2023屆高考物理一輪復(fù)習(xí)：第8講 圓周運動

第08講圓周運動

知識圖譜

圓周運動的運動學(xué)問題

知識精講

一.圓周運動各物理量之間的關(guān)系

(

各

物

理

量

間

的■>^y=2nrnj

關(guān)

系

〕

二.共軸轉(zhuǎn)動

如圖所示，A,8兩點在一個圓盤上，繞同一個軸。轉(zhuǎn)動時,它們屬于共軸轉(zhuǎn)動。

特點：繞同一轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動的各點角速度相等。根據(jù)圓周運動公式丫=切■可知：在。一定的時，V與廠成正比。

由此可知上圖中：vA：vB=rA\rH

三.皮帶傳動

如圖所示，/、8兩點分別是兩個輪子邊緣上的點，兩個輪子用皮帶連起來，并且皮帶不打滑。其中,提供動

力的為主動輪，不提供動力的為從動輪。

1.特點

(1)和同一皮帶接觸的各點線速度大小相等。

(2)根據(jù)圓周運動公式v=@?可知：在v一定的時，。與尸成反比。

由此可知上圖中：a>A：a>B=rB:rA

2.常見模型

四.齒輪傳動

如圖所示，齒輪傳動是指主動輪與從動輪的輪齒直接嚙合得轉(zhuǎn)動裝置。

1.特點

(1)兩個齒輪的輪齒嚙合點的線速度大小相等，但它們的轉(zhuǎn)動方向恰好相反。

(2)根據(jù)圓周運動公式v=可知：在丫一定的時，。與廠成反比。

2.常見模型

w

"剖析

一.課程目標(biāo)

1.理解圓周運動各物理量之間的關(guān)系；

2.熟悉幾種常見的傳動方式中物理量之間的關(guān)聯(lián)。

帚見傳動方式的線速度、角速度及周期關(guān)余

例題1、如圖所示的皮帶傳動裝置中，輪B和C同軸，A、B、C分別是三個輪邊緣的質(zhì)點，且其半徑RA=RC=2RB，

則三質(zhì)點的向心加速度之比aA：aB：ac等于（）

A.4：2：1B.2：1：2C.l：2：4D.4：1：4

例題2、如圖所示，甲、乙、丙三個輪子依靠摩擦傳動，相互之間不打滑，其半徑分別為口、功、n.若甲輪的角

速度為必，則丙輪的角速度為（）

乙丙

B.幽3D.生1

r2r2

例題3、水平放置的三個不同材料制成的圓輪A、B、C,用不打滑皮帶相連，如圖所示（俯視圖），三圓輪的半徑

之比為RA：RB：Rc=3：2：1,當(dāng)主動輪C勻速轉(zhuǎn)動時，在三輪的邊緣上分別放置一小物塊P（可視為質(zhì)點），P均

恰能相對靜止在各輪的邊緣上，設(shè)小物塊P所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小物塊P與輪A、B、C接觸面間

的動摩擦因數(shù)分別為同、由，Hc，A、B、C三輪轉(zhuǎn)動的角速度分別為3A、3B、3C，則（）

A.HA:|1B:M=2：3：6B.piA:PB:RC=6-3-2

C.(Jl)A-U)B:3c=1-2-3D.3A?(X)B-3c=6-3-2

例題4、某新型自行車，采用如圖1所示的無鏈傳動系統(tǒng)，利用圓錐齒輪90。軸交，將動力傳至后軸，驅(qū)動后輪

轉(zhuǎn)動，杜絕了傳統(tǒng)自行車"掉鏈子''問題。如圖2所示是圓錐齒輪90。軸交示意圖，其中A是圓錐齒輪轉(zhuǎn)軸上的點，

B、C分別是兩個圓錐齒輪邊緣上的點，兩個圓錐齒輪中心軸到A、B、C三點的距離分別記為S、m和rc（rA#BAc）?

下列有關(guān)物理量大小關(guān)系正確的是（）

圖1圖2

A.B點與C點的角速度：COB=O）CB.C點與A點的線速度：％=也匕,

rA

C.B點與A點的線速度：vB=^-vAD.A點和C點的線速度：巳=%?%

rc

例題5、如圖所示，一個不透明的小球以角速度沿順時針方向勻速圓周運動，圓的直徑MN與光屏PQ垂直，延

長線交PQ于0點。以0點為坐標(biāo)原點，以QP方向為正方向建立x軸。。時刻小球運動到M點，平行光束沿垂

直于PQ的方向照到光屏上，在0點顯示出小球的影。試求任意時刻t影的坐標(biāo)X。

隨練1、如圖所示，一個球繞中心軸線O。，以角速度3轉(zhuǎn)動，則（）

VB=1：2B.若。=30°,則VA：VB=2：1

C.A、B兩點的角速度相等D.A、B兩點的線速度相等

隨練2、如圖所示是自行車傳動結(jié)構(gòu)的示意圖，其中I是半徑為ri的牙盤（大齒輪），II是半徑為方的飛輪（小

齒輪），HI是半徑為。的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為n（r/s）,則自行車前進(jìn)的速度為（）

-2nnr.r,

C.-------D

r2rx

例題1、如圖所示，一根長為L的輕桿0A,。端用錢鏈喧固定，輕桿靠在一個高為h的物塊上，某時桿與水平方

向的夾角為6，物塊向右運動的速度V,則此時A點速度為（）

八Lvsin20Avcos20

C.-----------D.

hh

例題2、一個有一定厚度的圓盤，可以繞通過中心垂直于盤面的水平軸轉(zhuǎn)動，圓盤加速轉(zhuǎn)動時，角速度的增加量

△3與對應(yīng)時間At的比值定義為角加速度，我們用電磁打點計時器、米尺、游標(biāo)卡尺、紙帶、復(fù)寫紙來完成下述

實驗：（打點計時器所接交流電的頻率為50Hz,A、B、C、D...為計數(shù)點，相鄰兩計數(shù)點間有四個點未畫出）

丙

①如圖甲所示，將打點計時器固定在桌面上，將紙帶的一端穿過打點計時器的限位孔，然后固定在圓盤的側(cè)面，當(dāng)

圓盤轉(zhuǎn)動時，紙帶可以卷在圓盤側(cè)面上；

②接通電源，打點計時器開始打點，啟動控制裝置使圓盤勻加速轉(zhuǎn)動；

③經(jīng)過一段時間，圓盤停止轉(zhuǎn)動和打點，取下紙帶，進(jìn)行測量.

（1）如圖乙所示，圓盤的直徑d為cm；

（2）由圖丙可知，打下計數(shù)點D時，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度為rad/s.

（3）角加速度是角速度變化的快慢，則圓盤轉(zhuǎn)動的角加速度。大小為rad/s2.

例題3、一水平放置的圓盤繞豎直軸轉(zhuǎn)動，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為2mm的均勻狹縫.將激光器與傳感

器上下對準(zhǔn)，使二者間連線與轉(zhuǎn)軸平行，分別置于；圓盤的上下兩側(cè)，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速移動，激

光器接收到一個激光信號，并將其輸入計算機，經(jīng)處理后畫出相應(yīng)圖線.圖（。）為該裝置示意圖，圖（6）為所

接收的光信號隨時間變化的圖線，橫坐標(biāo)表示時間，縱坐標(biāo)表示接收到的激光信號強度，圖中鵬=1.0x10%,

3

AZ2=0.8x10s

（1）利用圖（b）中的數(shù)據(jù)求1s時圓盤轉(zhuǎn)動的角速度；

（2）說明激光器和傳感器沿半徑移動的方向；

（3）求圖（6）中第三個激光信號的寬度

■1b：

例題4、如圖所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=8m,傳送帶的皮帶輪的半徑均

為R=0.2m,傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m,現(xiàn)有一個旅行包（視為質(zhì)點）以速度v0=10m/s的初速度水平

地滑上水平傳送帶.已知旅行包與皮帶之間的動摩擦因數(shù)為-0.6.皮帶輪與皮帶之間始終不打滑，g取10m/s2.討

論下列問題：

（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B點時，人若沒有及時取下，旅行包將從B端滑落.則包的落地點距B端的水平

距離為多少？

（2）設(shè)皮帶輪順時針勻速轉(zhuǎn)動，若皮帶輪的角速度@=40rad/s,旅行包落地點距B端的水平距離又為多少？

（3）設(shè)皮帶輪以不同的角速度順時針勻速轉(zhuǎn)動，畫出旅行包落地點距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度3變化的

圖象.（第（3）問要求作圖準(zhǔn)確，標(biāo)出相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值，但不要求寫出計算步驟）

圖2wrad"s"1

隨練1、轉(zhuǎn)筆是一項以手指來轉(zhuǎn)動筆的休閑活動，深受廣大中學(xué)生的喜愛，其中也包含了許多的物理知識，如圖

所示，假設(shè)某轉(zhuǎn)筆高手能讓筆繞其手上的某一點。做勻速圓周運動，下列有關(guān)該同學(xué)轉(zhuǎn)筆中涉及到的物理知識的敘

述正確的是（）

A.筆桿上的點離。點越近的，線速度越小B.筆桿上的點離。點越近的，角速度越小

C.筆桿上的點離。點越近的，周期越小D.筆桿上的點離。點越近的，向心加速度越小

隨練2、繩索套馬原是蒙古牧民的生產(chǎn)方式，近些年來逐漸演化為體育活動。套馬過程可簡化為如圖所示的物理

模型，套馬者騎在馬背上以速度v追趕提前釋放的烈馬，同時揮動套馬圈使套馬圈圍繞套馬者在水平面內(nèi)做角速度

為3,半徑為r的勻速圓周運動，追逐一段時間后套馬者和烈馬的距離s保持不變，待套馬圓周運動烈馬正后方時,

套馬者松開套馬圈，最終成功套住烈馬，已知運動過程中，套馬者和烈馬進(jìn)行路線平行，松手后套馬圈在空中的運

動可以看成平拋運動，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

老馬老路線

熬馬路綬

A.套馬圈平拋運動的時間為士B.套馬圈平拋運動的時間為‘一

vv+ra）

套馬圈平拋運動的初速度為+。）

C.套馬圈平拋運動的初速度為v+r3D.J/02

圓周運動的動力學(xué)分析

知識精講

一.向心加速度的推導(dǎo)

1.用矢量圖表示速度變化量

（1）曲線運動速度的變化

w和匕不在同一直線上時，仍可以代表兩矢量的箭頭端作出

例如：平拋運動中，以外平拋，經(jīng)時間f（物體未落地），則矢量關(guān)系如圖所示。

加

做圓周運動物體的速度變化量，如圖所示。

2.勻速圓周運動的加速度的推導(dǎo)

如圖所示，質(zhì)點沿半徑為廠的圓周做勻速圓周運動，線速度的大小為口設(shè)經(jīng)時間△/,質(zhì)點由4點沿圓周

運動到5點，線速度的變化量的大小為AV,由速度矢量三角形與AAOB相似可求得：Av/u=（/指弦長）

當(dāng)4很小時、弦長與弧長近似相等，由線速度的定義式丫=迎得“=」空=上且，從而得

4trr

a=—=—,又因v=0廠，t^.a=arr

方向：在時間”內(nèi)，設(shè)質(zhì)點由4點運動到8點轉(zhuǎn)過的圓心角為，由速度矢量三角形可知，當(dāng)AfT0時，一0,

速度的變化量AV的方向與線速度v的方向垂直，即加速度a的方向與線速度v的方向垂直且指向圓心。

3.非勻速圓周運動的加速度

非勻速圓周運動物體的加速度并不指向圓心，而是與半徑有一個夾角，我們可以把加速度a分解為沿半徑方向

的耳和沿切線方向的q,如圖所示，則凡描述速度方向改變的快慢，/描述速度大小改變的快慢，其中％就是向

心加速度，仍滿足％=匕=〃〃。

r

二.勻速圓周運動的向心加速度和向心力

1.向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量，方向時刻指向圓心。

V247r72,22

an=—=rco=cyv=『-=4乃"'r單位：m/s

2.向心力：作用效果是產(chǎn)生向心加速度，只改變線速度方向,不改變線速度大小，方向時刻指向向圓心。

萬V224，"

r=m*——=m*r(o=〃??單位：N

nrT2

線速度、角速度、周期之間的關(guān)系：

v=ra)==2萬

3.向心力的確定

(1)向心力的來源：向心力是幾個力的合力，或者某個力的分力。

(2)確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置；

(3)分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力。

三.常見圓周運動的向心力來源圖示

四.兩類圓周運動的具體分析

1.拱橋與凹橋模型

(2)拱橋最高的：耳=mg_m二,汽車處于失重狀態(tài)。若丫=而，則益=0,汽車將脫離橋面做平

r

拋運動。

2.火車轉(zhuǎn)彎問題

若心=zHgtane=mL,車輪與內(nèi)外軌道均無擠壓，即v=Jgrtan。。

r

(1)當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時n〉Jgrtan。,車輪對外側(cè)軌道有擠壓。

(2)當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時v<Jgrtan。,車輪對內(nèi)側(cè)軌道有擠壓。

五.近心運動和離心運動

當(dāng)工=加。2廠時，物體做勻速圓周運動;

當(dāng)F〃=0時，物體沿切線飛出；

當(dāng)￡<mco2r時，物體做離心運動；

當(dāng)￡>inarr時，物體做近心運動。

三點割析

一.課程目標(biāo)

1.理解圓周運動的基本動力學(xué)規(guī)律

2.學(xué)會分析常見圓周運動的受力與運動

df7,常見模型的動力學(xué)分析

例題1、兩根長度不同的細(xì)線下面分別懸掛兩個小球，細(xì)線上端固定在同一點，若兩個小球以相同的角速度，繞

共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則兩個擺球在運動過程中，相對位置關(guān)系示意圖正確的是()

第1步：先用粉筆在地上畫一個直徑為2L的圓；

第2步：通過力傳感器，用繩子綁住質(zhì)量為m的小球，人站在圓內(nèi)，手拽住繩子離小球距離為L的位置，用力甩

繩子，使繩子離小球近似水平，帶動小球做勻速圓周運動，調(diào)整位置，讓轉(zhuǎn)動小球的手肘的延長線剛好通過地上的

圓心，量出手拽住處距離地面的高度為h,記下力傳感器的讀數(shù)為F；

第3步：轉(zhuǎn)到某位置時，突然放手，讓小球自由拋出去；

第4步：另一個同學(xué)記下小球的落地點C,將通過拋出點A垂直于地面的豎直線在地面上的垂足B與落地點C連

一條直線，這條直線近似記錄了小球做圓周運動時在地面上的投影圓的運動方向，量出BC間距離為S；

第5步：保持小球做圓周運動半徑不變，改變小球做圓周運動的速度，重復(fù)上述操作。

試回答：（用題中的m、L、h、S和重力加速度g表示）

（1）放手后，小球在空中運動的時間t=。

（2）在誤差范圍內(nèi)，有F=o

（3）小球落地時的速度大小為v=。

例題3、如圖所示，某同學(xué)用硬塑料管和一個質(zhì)量為m的鐵質(zhì)螺絲帽研究勻速圓周運動，將螺絲帽套在塑料管上,

手握塑料管使其保持豎直并在水平方向做半徑為r的勻速圓周運動，則只要運動角速度合適，螺絲帽恰好不下滑，

假設(shè)螺絲帽與塑料管間的動摩擦因數(shù)為U，認(rèn)為最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力.則在該同學(xué)手轉(zhuǎn)塑料管使螺絲

帽恰好不下滑時，下述分析正確的是（）

。二二口

翁一…）＞

T7

A.螺絲帽受的重力與最大靜摩擦力平衡

B.螺絲帽受到桿的彈力方向水平向外，背離圓心

c.此時手轉(zhuǎn)動塑料管的角速度。一叵

D.若桿的轉(zhuǎn)動加快，螺絲帽有可能相對桿發(fā)生運動

例題4、用如圖所示的裝置來探究小球做圓周運動所需向心力的大小F與質(zhì)量m、角速度3和半徑r之間的關(guān)系.兩

個變速輪塔通過皮帶連接，轉(zhuǎn)動手柄使長槽和短槽分別隨變速輪塔勻速轉(zhuǎn)動，槽內(nèi)的鋼球就做勻速圓周運動.橫臂

的擋板對鋼球的壓力提供向心力，鋼球?qū)醢宓姆醋饔昧νㄟ^橫臂的杠桿作用使彈簧測力筒下降，從而露出標(biāo)尺，

標(biāo)尺上的紅白相間的等分格顯示出兩個鋼球所受向心力的比值.如圖是探究過程中某次實驗時裝置的狀態(tài).

（1）在研究向心力的大小F與質(zhì)量m關(guān)系時，要保持相同.

A.3和r

B.3和m

C.m和r

D.m和F

（2）圖中所示是在研究向心力的大小F與的關(guān)系.

A.質(zhì)量m

B.半徑r

C.角速度3

（3）若圖中標(biāo)尺上紅白相間的等分格顯示出兩個小球所受向心力的比值為1：9,與皮帶連接的兩個變速輪塔的半

徑之比為.

A.1：3

B.3：1

C.1：9

D.9：1

（4）實驗得到的“向心力大小F與質(zhì)量m、角速度3和半徑r"之間的關(guān)系表達(dá)式：.

隨練1、在“用圓錐擺驗證向心力的表達(dá)式“實驗中，如圖甲所示，懸點剛好與一個豎直的刻度尺零刻度線對齊。

將畫著幾個同心圓的白紙置于水平桌面上，使鋼球靜止時剛好位于圓心。用手帶動鋼球，設(shè)法使它剛好沿紙上某個

半徑為r的圓周運動，鋼球的質(zhì)量為m,重力加速度為g。

①用秒表記錄運動n圈的總時間為t,那么小球做圓周運動中需要的向心力表達(dá)式為Fn=。

②通過刻度尺測得小球軌道平面距懸點的高度為h,那么小球做圓周運動中外力提供的向心力表達(dá)式為F=

③改變小球做圓周運動的半徑，多次實驗，得到如圖乙所示的二-A關(guān)系圖象，可以達(dá)到粗略驗證向心力表達(dá)式的

目的，該圖線的斜率表達(dá)式為o

隨練2、向心力演示器如圖所示.轉(zhuǎn)動手柄1,可使變速塔輪2和3及長槽4和短槽5隨之勻速轉(zhuǎn)動.皮帶分輻套

在塔輪2和3上的不同圓盤上，可使兩個槽內(nèi)的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運動.小球做圓周運動的

向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供，球?qū)醢宓姆醋饔昧?，通過橫臂的杠桿使彈簧測力套筒7下降，從而露

出標(biāo)尺8,標(biāo)尺8上露出的紅白相間等分格子的多少可以顯示出兩個球所受向心力的大小.現(xiàn)將小球分別放在兩邊

的槽內(nèi)，為探究小球受到的向心力大小與角速度的關(guān)系，下列做法正確的是（）

A.在小球運動半徑相等的情況下,用質(zhì)量不同的鋼球做實驗

B.在小球運動半徑相等的情況下,用質(zhì)量相同的鋼球做實驗

C.在小球運動半徑不等的情況下,用質(zhì)量不同的鋼球做實驗

D.在小球運動半徑不等的情況下,用質(zhì)量相同的鋼球做實驗

7圓周運動的實例分析

例題1、［多選題|火車轉(zhuǎn)彎可近似看成是做勻速圓周運動。當(dāng)火車以規(guī)定速度通過時，內(nèi)外軌道均不受側(cè)向擠壓。

現(xiàn)要降低火車轉(zhuǎn)彎時的規(guī)定速度，須對鐵路進(jìn)行改造，從理論上講以下措施可行的是（）

A.減小內(nèi)外軌的高度差B.增加內(nèi)外軌的高度差

C.減小彎道半徑D.增大彎道半徑

例題2、國家的惠民政策使私家車數(shù)量快速增長，高級和一級公路的建設(shè)也正加速進(jìn)行。為了防止在公路彎道部

分由于行車速度過大而發(fā)生側(cè)滑，常將彎道部分設(shè)計成外高內(nèi)低的斜面。如果某品牌汽車的質(zhì)量M=104kg汽車行

駛時彎道部分的半徑r=20m,汽車輪胎與路面的動摩擦因數(shù)以=0.5,路面設(shè)計的傾角為仇如圖所示。（已知sin。

=0.6.cos?=0.8.重力加速度g取10m/s?）求為使汽車轉(zhuǎn)彎時不發(fā)生側(cè)滑，彎道部分汽車行駛的最大速度是多少？

例題3、某物理小組的同學(xué)設(shè)計了一個測量玩具小車通過凹形橋最低點時速度的實驗。所用器材有：玩具小車m、

壓力式托盤秤、凹形橋模擬器m板（圓弧部分的半徑為R=0.20m）。

凹形橋模擬

任微

BB（a）

完成下列填空：

（1）將凹形橋模擬器靜置于托盤秤上，如圖（a）所示，托盤秤的示數(shù)m標(biāo)為1.00kg；

（2）將玩具小車靜置于凹形橋模擬器最低點時，托盤秤的示數(shù)如圖（b）所示，該示數(shù)m折+m軍為kg；

（3）將小車從凹形橋模擬器某一位置釋放，小車經(jīng)過最低點后滑向另一側(cè)，此過程中托盤秤的最大示數(shù)為m：多

次從同一位置釋放小車，記錄各次的m值如下表所示:

序號12345

m(kg)1.801.751.851.751.90

（4）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可求出小車mt經(jīng)過凹形橋最低點時對橋的壓力為N：小車通過最低點時的速度大小為

m/so（重力加速度大小取9.80m/s2,計算結(jié)果保留2位有效數(shù)字）

隨練1、如圖所示，一個質(zhì)量為m的物體（體積可忽略）在半徑為R的光滑半球面頂點處以水平速度V。運動。則

下列結(jié)論中正確的是（）

A.若%則物體m對半球面頂點壓力為mg

B.若%＞廊，則物體m對半球面頂點壓力小于mg

C.若v0=0,則物體m對半球面頂點壓力小于mg

D.若0＜%＜場，物體m在半球面頂點處于失重狀態(tài)

隨練2、如圖，一個質(zhì)量為m=0.6kg的小球，在左側(cè)平臺上運行一段距離后從邊緣A點以h=與m/s水平飛出,

恰能沿圓弧切線從P點進(jìn)入固定在地面上的豎直的圓弧管道，并繼續(xù)滑行。已知圓弧管道口內(nèi)徑遠(yuǎn)小于圓弧半徑R,

0P與豎直方向的夾角是9=37。，平臺到地面的高度差為h=1.45m若小球運動到圓弧軌道最低點時的速度大小是

（2）P點距地面的高度Ah和圓弧半徑R；

（3）小球?qū)A弧軌道最低點的壓力FN大?。?/p>

（4）若通過最高點Q點時小球?qū)苌媳诘膲毫Υ笮?N,求小球經(jīng)過Q點時的速度V2大小。

圓周運動的水平臨界問題

知識精講

一.水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

關(guān)于水平面內(nèi)的勻速圓周運動的臨界問題，主要是臨界速度和臨界力的問題，常見的是與繩子的拉力，彈簧的

拉力，接觸面的彈力，和摩擦力相關(guān)的問題。通過受力分析來確定臨界狀態(tài)和臨界條件，是較常用的解題方法。

二.處理臨界問題的解題步驟

1.判斷臨界狀態(tài)

如果題目中有“剛好，恰好，正好”，則說明題目中存在臨界點；如果題目中有“取值范圍，多長時間，多大

距離”，說明物體運動中存在“起止點”，而這些“起止點”往往也是臨界狀態(tài)；若題目中有“最大，最小，至少”

等字眼，說明物體運動中存在極值點，這個極值點也往往是臨界狀態(tài)。

2.確定臨界條件

判斷物體運動過程中存在臨界狀態(tài)之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學(xué)的形式表達(dá)出來。

3.選擇臨界規(guī)律

當(dāng)確定物體運動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，要分別對于不同的運動過程和現(xiàn)象，選擇相應(yīng)的物理規(guī)律，然后列

方程求解。

三.常見水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

1.彈力和摩擦力提供向心力

佝心力來

實例分析

源

律力提供

上圖所示，小樂在尤滑桌面上做勺速偈局運動.小珞健￡）建OB網(wǎng)送動的向心力

曲ft子的柱力（停力）找供

伸小■力

提話何心如陽所垂.木塊時》1氐一名救。金圖局運動.X向心力由外學(xué)祥力提供,木塊

力相財一盤的遇動心等方向昊;5牛涇背離畫、.什摩掾力的方向與柯計達(dá)動無等

方向樹反.但￡.當(dāng)女先清（幻冷撩力）時.物塊墨沿切娓方向飛出.說明物

展相計于也面的運動無等方南港半役向外的方向.

汽隼&十字珞口挎與時所需的向心力就比由汽率與無與同的仰9推力發(fā)侯的

2.由于彈力突變引發(fā)的臨界問題

在水平面上做圓周運動的物體，當(dāng)角速度變化時，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時，

要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在，以及這個力存在時的方向（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、

繩的拉力等）。

舉例說明，如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為。

=30°,一條長度為A的繩（質(zhì)量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質(zhì)量為〃?的小物

體（物體可看質(zhì)點），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。

（1）當(dāng)八時，求繩對物體的拉力;

（2）當(dāng)丫=小|8工時，求繩對物體的拉力。

解析：設(shè)小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為%,則有:

Tcos0=〃zg;

解得

%=離

（1）當(dāng)y=時，v<v0,貝!1：

2

Tsin。-Ncos。=

r

Tcos6+Nsin。=mg

T=1+j的〃7g?1.037wg

6

（2）當(dāng)丫=屈>%時，小球離開錐面，設(shè)繩與軸線夾角為外則

Tcos°=mg

v2

Ts\n（p=m-------

￡sin°

T-2mg

3.由于摩擦力突變引發(fā)的臨界問題

摩擦力突變引發(fā)的臨界問題也很常見，需要考慮摩擦力的大小、方向的變化。下面舉例說明。

如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M=0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量〃?=0.3kg

的物體，"的中與圓孔距離為0.2m,并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速

度3在什么范圍機會處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g取lOm/s?）

解析：要使m靜止，M也應(yīng)與平面相對靜止。而M與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：

當(dāng)3為所求范圍最小值時，M有向著圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向

背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2N；

此時，對M運用牛頓第二定律：

T-f=M①"

T=mmg

例=2.9rad/s

當(dāng)。為所求范圍最大值時，M有背離圓心運動的趨勢，水平面對/的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于最

大靜摩擦力2N。

再對M運用牛頓第二定律：

T+fm=Mc^r

T=mg

co2=o.5rad/s

所以，題中所求co的范圍是：2.9rad/sv<y<6.5rad/s。

4^三點剖析一

一.課程目標(biāo)

i.學(xué)會應(yīng)用受力分析解決水平面內(nèi)的臨界問題

由于彈力突變引起的臨界問題

例題1、如圖所示，把一個質(zhì)量m=lkg的物體通過兩根等長的細(xì)繩與豎直桿上A、B兩個固定點相連接，繩a、

b長都是lm,AB長度是1.6m,直桿和球旋轉(zhuǎn)的角速度等于多少時，b繩上才有張力？（g=10m/s2）

例題2、如圖所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔。，一根輕繩穿過小孔，一端連接質(zhì)量為m=lkg的小球A,

另一端連接質(zhì)量為M=4kg的重物B,已知g=10m/s2,則：

（1）當(dāng)A球沿半徑r=O.lm的圓周做勻速圓周運動，其角速度31為多大時，B物體處于將要離開、而尚未離開地

面的臨界狀態(tài)？

（2）當(dāng)小球A的角速度為s=10rad/s時，物體B對地面的壓力為多大？

例題3、用一根細(xì)線一端系一小球（可視為質(zhì)點），另一端固定在一光滑錐頂上，如圖所示，設(shè)小球在水平面內(nèi)做

勻速圓周運動的角速度為3,細(xì)線的張力為FT，則FT隨32變化的圖象是下圖中的（）

例題4、如圖所示，小球A可視為質(zhì)點，裝置靜止時輕質(zhì)細(xì)線AB水平，輕質(zhì)細(xì)線AC與豎直方向的夾角6=37。.

已知小球的質(zhì)量為m,細(xì)線AC長L,B點距C點的水平和豎直距離相等。裝置BCTO能以任意角速度繞豎直軸00

轉(zhuǎn)動，且小球始終在BCTO平面內(nèi)，那么在3從零緩慢增大的過程中（)(g取10m/s2,sin370=0.6,cos370=0.8)

A.兩細(xì)線張力均增大B.細(xì)線AB中張力一直變小，直到為零

C.細(xì)線AC中張力先不變，后增大

D.當(dāng)AB中張力為零時，角速度可能為

隨練1、［多選題|如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)繩相連的質(zhì)量均為m的兩個物體A

和B,它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為魚=廠，此=2廠，與盤間的動摩擦因數(shù)〃相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩

物體剛好要發(fā)生滑動時，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是（）

o

A.此時繩子張力為/jmg

B.此時圓盤的角速度為楞1

C.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外

D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運動

隨練2、如圖所示，輕繩上端固定在0點，下端系一小球（可視為質(zhì)點），開始時在光滑的水平地面上，輕繩伸

直且繩長大于0點離地面的高度。設(shè)小球繞豎直軸00,做勻速圓周運動的角速度為3,輕繩的拉力大小為F,則下

列四幅圖中，能正確反映F隨32變化規(guī)律的是（）

亙，由于摩擦力突變引起的臨界問題

例題1、A、B、C三個完全相同的物塊隨轉(zhuǎn)動的圓盤一起運動，如圖所示，且物塊相對于圓盤靜止。當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)

速逐漸增大時，哪個物塊最先離開原位置（）

D.同時離開

例題2、如圖，在圓盤圓心處通過一個光滑小孔把質(zhì)量相等的兩物塊用輕繩連接，物塊A到轉(zhuǎn)軸的距離為R=20cm,

與圓盤的動摩擦因數(shù)為U=0.2,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力（已知n2=g）則（）

5口旭

A.物塊A一定會受圓盤的摩擦力

B.當(dāng)轉(zhuǎn)速n=0.5r/s時，A不受摩擦力

C.A受摩擦力方向一定與線速度方向在一條直線上

D.當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速n=lr/s時，摩擦力方向沿半徑背離圓心

例題3、［多選題|如圖所示，在水平圓盤上，放著用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的兩個物體A和B,它們位于圓心同

側(cè)的一條半徑上，與圓心距離RA=r,RB=2r,兩個物體與盤的動摩擦因數(shù)均為由現(xiàn)讓圓盤由靜止開始繞通過圓心

的豎直軸轉(zhuǎn)動，并逐漸加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動，在這一過程中，下列說法正確的是（）

A.B所受摩擦力一直增大

B.A所受摩擦力先增大后減小再增大

C.此時繩子張力為7=；〃加g

D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運動

例題4、如圖所示，一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內(nèi)運動，圓柱半徑為R,甲、乙兩物體的質(zhì)量分別為M和m

它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的J倍，兩物體用長為L的輕繩連在一起，L<R.若將甲物

體放在轉(zhuǎn)軸位置上，甲、乙連線正好沿半徑方向拉直，要使兩物體與圓盤不發(fā)生相對滑動，則圓盤旋轉(zhuǎn)的角速度最

大不得超過：（兩物體看作質(zhì)點）（）

Bc卜(M+w)g'DIMM+m)g

W-ML,VMLVmL

隨練1、如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和，，筒

內(nèi)壁力點的高度為筒高的一半，內(nèi)壁上有一質(zhì)量為加的小物塊，求：

（1）當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁/點受到的摩擦力和支持力的大小.

（2）當(dāng)物塊在/點隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其所受到的摩擦力為零時，筒轉(zhuǎn)動的角速度.

隨練2、為確保彎道行車安全，汽車進(jìn)入彎道前必須減速。如圖所示，AB為進(jìn)入彎道前的平直公路，BC為水平

圓弧形彎道。已知AB段的距離SAB=14HI,彎道半徑R=24m。汽車到達(dá)A點時速度VA=16m/s,汽車與路面間

的動摩擦因數(shù)N=0.6,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s2.要確保汽車進(jìn)入彎道后不側(cè)滑。求汽車

（1）在彎道上行駛的最大速度；

（2）在AB段做勻減速運動的最小加速度;

（3）為提高BC處轉(zhuǎn)彎的最大速度，請?zhí)岢龉方ㄔO(shè)時的合理建議。

圓周運動的繩和桿臨界問題

知識精講

—.豎直平面內(nèi)的圓周問題

豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動，中學(xué)物理中常研究物體通過最高點和最低點的兩種情況。下面

將對這類臨界狀態(tài)問題進(jìn)行綜合分析。

1.輕繩類問題

繩或光滑圓軌道的內(nèi)側(cè)，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時均沒有物體支撐著小球。下面討論小球（質(zhì)

量為"?）在豎直平面內(nèi)做圓周運動（半徑為火）通過最高點時的情況：

（1）臨界條件

小球到達(dá)最高點時受到繩子的拉力恰好等于零，這時小球做圓周運動所需要的向心力僅由小球的重力來提供。

根據(jù)牛頓第二定律得，磔="7匕，臨界速度匕=倔。

R

這個速度可理解為小球恰好通過最高點或恰好通不過最高點時的速度，也可認(rèn)為是小球通過最高點時的最小速

度，通常叫臨界速度。

（2）小球能通過最高點的條件：

當(dāng)v＞展時，小球能通過最高點，這時繩子對球有作用力，為拉力；

當(dāng)丫=倔時，小球剛好能通過最高點，此時繩子對球不產(chǎn)生作用力。

（3）小球不能通過最高點的條件：

當(dāng)丫＜倔時，小球不能通過最高點，實際上小球還沒有到達(dá)最高點就已經(jīng)脫離了軌道。（如圖）

2.輕桿類模型

桿和光滑管道，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時有物體支撐著小球。下面討論小球（質(zhì)量為機）在

豎直平面內(nèi)做圓周運動（半徑為R）通過最高點時的情況：

（1）臨界條件

由于硬桿的支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點的臨界速度是：vc=0:

此時，硬桿對物體的支持力恰等于小球的重力mg。

（2）如上圖所示的小球通過最高點時，硬桿對小球的彈力情況為：

當(dāng)v=0時，硬桿對小球有豎直向上的支持力入，其大小等于小球的重力，即FN=wg;

當(dāng)0<v<倔時，桿對小球的支持力豎直向上，大小隨速度的增加而減小，其取值范圍為0<mg；

當(dāng)v=J欣時，F(xiàn)N=O，這時小球的重力恰好提供小球做圓周運動的向心力。

當(dāng)v>倔時，硬桿對小球有指向圓心（即方向向下）的拉力，其大小隨速度的增大而增大。

（3）其他桿問題

如果是帶電小球，且空間存在電磁場，臨界條件則是重力、電場力或洛侖茲力的合力為向心力，此時臨界速度

v產(chǎn)曬,需要具體問題具體分析。

二.豎直面內(nèi)圓周運動的求解思路

1.定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點的臨界條件不同。在最高點繩模型中小球

的最小速度是匕=底；而輕桿模型中小球在最高點時的最小速度為零。

2.確定臨界點：對輕繩模型來說是能否通過最高點的臨界點，而對輕桿模型來說是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力

的臨界點（%=曬）（因為輕繩不能有支撐力，桿可有支撐力）。

3.研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況。

4.受力分析：對物體在最高點或最低點時進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，七

5.過程分析：應(yīng)用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程。

三點剖析一

一.課程目標(biāo)

1.學(xué)會分析輕繩、輕桿、管道在豎直平面內(nèi)的圓周運動的臨界問題

4^^回周運動中繩的臨界問題

例題1、［多選題］質(zhì)量為M的支架（包含底座）上有一水平細(xì)軸，軸上套有一長為L的輕質(zhì)細(xì)線，繩的另一端拴

一質(zhì)量為m（可視為質(zhì)點）的小球，如圖。現(xiàn)使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，已知小球在運動過程中底座恰好不離

開地面、且始終保持靜止。忽略一切阻力，重力加速度為g。則（）

A.小球運動到最高點時底座對地壓力最大

B.小球運動過程中地面對底座始終無摩擦力

C.小球運動至右邊與。點等高時，地面對底座的摩擦力向左

D.小球運動到最高點時細(xì)線拉力大小為Mg

例題2、如圖所示，小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕細(xì)一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手

腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。當(dāng)球某次運動到最低點時.，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地。已知握繩

的手離地面高度為d,手與球之間的繩長為4,重力加速度為g。忽略手的運動半徑和空氣阻力。

(1)若想小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動，其通過最高點的速度VI至少應(yīng)為多少？

(2)求繩斷時球的速度大小V2和球落地時的速度大小V3O

(3)輕繩能承受的最大拉力多大？

隨練1、雜技演員表演的“水流星”如圖所示。細(xì)長繩一端系著盛了水的容器。以繩的另一端為圓心，使容器在豎

直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動。N為圓周的最高點，M為圓周的最低點。若“水流星”通過最高點時沒有水流出，

則其在最高點的速度至少為()

；：?

\/?：/

y

A.2MB.再°棒D婀

隨練2,如圖所示，長為1的懸線固定在0點，在0點正下方L的C點處有一釘子。把一端懸掛的小球拉到跟懸

2

點在同一水平面上無初速度釋放，小球擺到懸點正下方懸線碰到釘子時、此時小球()

A.線速度突然增大B.向心加速度突然增大

C.角速度保持不變D.懸線拉力保持不變

隨練3、如圖1所示，在某星球表面輕繩約束下的質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球在最低點與最

高點所受輕繩的拉力之差為AF,假設(shè)星球是均勻球體，其半徑為R,己知萬有引力常量為G.不計一切阻力.

(1)求星球表面重力加速度；

(2)求該星球的密度；

(3)如圖2所示.在該星球表面上，某小球以大小為V。的初速度平拋，恰好能擊中傾角為。的斜面，且位移最短.試

求該小球平拋的時間.

7圓周運動中桿的臨界問題

例題1、質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓管軌道內(nèi)運動，小球的直徑略小于圓管的直徑，如圖所示。已知小球

以速度V通過最高點時對圓管的夕卜壁的壓力大小恰好為mg,則小球以速度牌過圓管的最高點時（）

A.小球?qū)A管的內(nèi)、外壁均無壓力B.小球?qū)A管的外壁壓力等于臂

C.小球?qū)A管的內(nèi)壁壓力等于等D.小球?qū)A管的內(nèi)壁壓力等于mg

例題2、如圖所示，ABC為豎直平面內(nèi)的金屬半圓環(huán)，AC連線水平，AB為固定在A、B兩點間的直的金屬棒，在

直棒上和圓環(huán)的BC部分分別套著兩個相同的小環(huán)M、N,現(xiàn)讓半圓環(huán)繞對稱軸以角速度3做勻速轉(zhuǎn)動，半圓環(huán)的半

徑為R,小圓環(huán)的質(zhì)量均為m,棒和半圓環(huán)均光滑，已知重力加速度為g,小環(huán)可視為質(zhì)點，則M、N兩環(huán)做圓周

運動的線速度之比為（）

例題3、如圖，V形細(xì)桿AOB能繞其對稱軸00,轉(zhuǎn)動，。0'沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉(zhuǎn)軸間的夾角均為a=45。。

兩質(zhì)量均為m=0.1kg的小環(huán)，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為L=L2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的輕質(zhì)細(xì)

線連接。環(huán)與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍。當(dāng)桿以角速度3轉(zhuǎn)動時，細(xì)線始終處于水平狀態(tài)，取g

=10m/s2?

（1）求桿轉(zhuǎn)動角速度3的最小值；

（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細(xì)線斷裂，寫出此過程中細(xì)線拉力隨角速度變化

的函數(shù)關(guān)系式。

例題4、如圖所示，在水平面內(nèi)有一平臺可繞豎直的中心軸以角速度3=3.14rad/s旋轉(zhuǎn)。在平臺內(nèi)沿半徑方向開兩

個溝槽，質(zhì)量為0.01kg的小球A放置在粗糙的溝槽內(nèi)，球與溝槽的動摩擦因數(shù)為0.5；質(zhì)量為0.04kg的小球B放置

在另一光滑的溝槽內(nèi)。長度為1m的細(xì)線繞過平臺的中心軸，其兩端與兩球相連。設(shè)平臺中心軸是半徑可忽略的細(xì)

軸，且光滑，球A始終相對圓盤保持靜止。（g=3.142m/s2.最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）求：

（1）球A到軸O的距離多大時，小球A恰好不受摩擦力？

（2）球A到軸O的最大距離為多少？

隨練1、如圖所示，長為L的輕桿，一端固定在水平轉(zhuǎn)軸。上，另一端固定一個質(zhì)量為m的小球.現(xiàn)讓桿繞轉(zhuǎn)軸

。在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，角速度為3,重力加速度為g.某時刻桿對球的作用力方向恰好與桿垂直，則此時桿與水

平面的夾角。滿足（）

B.tan9=Wg

C.sin。=gD.tan0-