2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市陳倉區(qū)高二年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市陳倉區(qū)高二下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)(理)

試題

一、單選題

1.有下列四個(gè)命題：

①“若xy=\,則互為倒數(shù)”的逆命題；

②“面積相等的三角形全等”的否命題；

③“若，為1,則/-2工+〃?=0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；

④“若AB=B,則8”的逆否命題.

其中真命題為()

A.①②B.②③C.④D.①@③

【正確答案】D

【分析】寫出命題①的逆命題，再判斷真假；

寫出命題②的否命題，再判斷真假；

判斷出命題③是真命題，得到③的逆否命題也是真命題；

判斷出命題④是假命題，得到④的逆否命題也是假命題.

【詳解】①的逆命題為：”若x,y互為倒數(shù)，則沖=1”,顯然是真命題；

②的否命題為：“面積不相等的三角形不是全等三角形“，為是真命題；

命題③：當(dāng)"4,1時(shí)，△=4-4〃?N0,則2%+%=0有實(shí)數(shù)解，

故③是真命題，所以它的逆否命題也是真命題；

命題④：若AB=B,則8=A,故④是假命題，所以它的逆否命題也是假命題.

故選:D.

2.命題“Vxw(0,g,sinxVx”的否定是()

A.Vxe(0,—),sinx>xB.Vxe(0,—),sinx>x

22

C.3xe(0,—),sinx<xD.Hxe(0,—),sinx>x

22

【正確答案】D

【分析】直接利用全稱命題的否定為特稱命題進(jìn)行求解.

【詳解】命題“Vxe(0,g,sinxMx”為全稱命題，

按照改量詞否結(jié)論的法則,

所以否定為：3xe（0,y）,sinx>x,

故選：D

127r

3.已知creR則“cosa=--"是"夕=2%乃+—MeZ”的（）

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】由題意可知a=2Qr士菖/€2,再根據(jù)充分必要條件的概念，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏osa=-g,解得a=2Z萬士號,ZEZ,

工"cosa=-《”是"a=2k7i+孕，女￡Z”的必要不充分條件.

23

故選：B.

4.橢圓工+4=1與雙曲線二一片=1有相同的焦點(diǎn)，則4的值是（）

4礦a2

A.1B.1或-2C.1或gD.1

【正確答案】D

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線方程形式，利用焦點(diǎn)相同，列式求。的值.

【詳解】由條件可知，a>0,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，所以橢圓的焦點(diǎn)也在x軸，

所以4—〃=a+2,解得：。=1或a=—2（舍）

故選：D

5.已知命題VxeR,x2-x+l<0;命題Q：BxeR,x2>x3,則下列命題中為真命題

的是（）

A.P八qB.「p人qc.pdfD.-P八f

【正確答案】B

分別判斷兩個(gè)命題P，q的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于命題P,取X=1時(shí)，1<0不成立，故命題P為假命題，

對于命題q,x=-1時(shí)，（-if>（-I），成立，故命題q為真命題，

所以。人4為假命題，力八夕為真命題，，人F為假命題，-P八F為假命題，

故選：B

本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的判斷，結(jié)合條件判斷命題p,q的真假是解決本題的關(guān)鍵.

Q

6.若。=（1,42）,Z7=（2,-l,2）,且〃，。的夾角的余弦值為則丸等于（）

22

A.2B.—2C.—2或石D.2或一

【正確答案】C

【分析】根據(jù)cos（“，6）=筐i=￡,解得即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)橥?（1,42）,t=（2,-l,2）,

ab2-2+48

H=硼=詬

2

解得：2=-2或不.

故選：C.

7.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中8c=2,原點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

點(diǎn)。在平面yOz上，且NBDC=90,/￡）CB=30,則向量0￡＞的坐標(biāo)為（）

f01名

B.'3T

C.「5亍。J

【正確答案】B

【分析】過點(diǎn)八作DE,8c軸交BC于點(diǎn)E,根據(jù)已知條件算出三角形BDC的邊，利用直

角三角形的性質(zhì)及題中所給條件計(jì)算出OE,DE的長度即可解決問題.

【詳解】過點(diǎn)。作。8c交BC于點(diǎn)E,如圖所示:

因?yàn)?C=2,ZBDC=90,ZDCB=30,

所以在Rt_BE>C中有:

得|BO|=1、加卜省,

在RtZVJEC中,

有|。目=「￡>卜皿30=等

所以IOE|=|031-1BE|=|031-1BD卜cos60°=1-'

22

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-g,

又。為原點(diǎn)，所以。0=（0,

2

故選：B.

8.如圖，空間四邊形OU5c中，0A="，OB=b，0C=c，且OM=2M4,BNNC,

則MN等于（)

L+L+111,1

A.—cB.—a+—b——c

332222

二J+Lr12,1

C.D.—a——b+—c

322232

【正確答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，用04、0B和0C表示出MN即可.

【詳解】由題意知，MN=MA+AC+CN

=-OA+（OC-OA\+-CB

3''2

=――QA+OC+—（O8-OC）

32、>

=--OA^-OB+-OC

322

21I

=——a+-bf+—c

322

故選：C.

22

9.已知拋物線C/：V=2pMp>0）與橢圓C2：餐+2=l（a>h>0）共焦點(diǎn)，。與C2在第

CTh~

一象限內(nèi)交于尸點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為斗心，且2鳥，耳且，則橢圓的離心率為（）

A.73-1B.72-1C.4-2石D,3-2a

【正確答案】B

.2f2V

【分析】根據(jù)尸心，斗鳥得到P（C,巴），然后將點(diǎn)P代入拋物線方程得到2pc=—h,根據(jù)

a

共焦點(diǎn)得到P=2c,最后聯(lián)立求離心率即可.

【詳解】結(jié)合拋物線及橢圓的定義可得P（c,⑥）在拋物線上，故2pc=（Q],且p=2c,

aJ

?4,2

；?4c2=—=>2c=—=>a2-c2=2ac=>e2+2e-\=0=e=0-l.

優(yōu)a

故選：B.

10.己知橢圓C:，■+￡=l（a>6>O）,四點(diǎn)?）,￡（o,省），6，l,*），dl,-*）中恰

有三點(diǎn)在橢圓C上,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.上+片=1B.￡+亡=1C.￡+片=1D.￡+$=1

43938363

【正確答案】D

在橢圓上,{1，j不在橢圓

【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知月

匕P2（0,6）在橢圓上，代入橢圓方程求出即可.

【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性可知勺T乎卜功,一奇）在橢圓上,41,3

不在橢圓

2

匕鳥（0,⑹在橢圓上

將g(o,q,A代入橢圓方程得:

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+?=

故選:D.

11.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周

2

率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓4+

p-=l(a>Z?>0)的右焦點(diǎn)

a

為尸（3,0）,過/作直線/交橢圓于A、8兩點(diǎn)，若弦A3中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,則橢圓的面積為

()

A.36揚(yáng)rB.18缶C.907tD.6及兀

【正確答案】C

【分析】利用作差法構(gòu)建斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)方程及--黃^|T＞再結(jié)合C=4/2一匕2

即可求解出a、b,進(jìn)而求出面積.

￥=1

+

b、,兩式作差得:

【詳解】設(shè)A（XQJ,網(wǎng)孫％），則有，

+

a2

即心上&=_》玉X*

玉一馬y+乃a'

弦中點(diǎn)坐標(biāo)為（2.-D，則』,

-ry..>_0-(-1)_,2b~.22

又?k——--——1,??1=---x--，??a=2b，

3-2-1a2

又?：c=\ja2-b2=3，；?可見軍得a=3>/2，b=3,

故橢圓的面積為aljR=90Tl.

故選：C

12.如圖，在正方體ABCD-AAGA中，E是棱8上的動點(diǎn).則下列結(jié)論不正確的是（）

A.RE//平面A48A

B.±ADX

C.直線4E與BQ所成角的范圍為（f，W）

42

jr

D.二面角的大小為今

【正確答案】C

【分析】由平面C。。。//平面A48A,QEu平面CD。?,即可判斷4；建立空間直角坐

標(biāo)系計(jì)算￡8「曲即可判斷選項(xiàng)B：求|cosG4￡，4A）|的范圍即可判斷選項(xiàng)C；先找出二面

角的平面角為NQAA即可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)槠矫鍯C￡>C〃平面AgBA,〃Eu平面CDDC，

所以〃E//平面Ag/M,故選項(xiàng)A正確;

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,則A(1,O,O),￡(0,/M,0),0</M<1,

D,(0,0,1),A(1,0,1),對于選項(xiàng)8：甌=(1,1-犯1),=(-1,0,1),

因?yàn)镋B「AR=(1,1-祖,1>(一1,0,1)=-1+0+1=0,所以E3JA。，即

故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C：AE=(-l,m,0),S,D,=(-1,-1,0),設(shè)直線AE與8Q所成角為6,

則cos6=|cos(A￡,BQ)|=(戶,

+xV2

當(dāng),〃=o時(shí)最大等于YZ,此時(shí)。最小為】，

24

當(dāng)帆=1時(shí)COS。最小等于0,此時(shí)。最大為所以，

即直線AE與8a所成角的范圍為py,故選項(xiàng)C不正確；

對于選項(xiàng)。：二面角E-AM-A即二面角。-AB-A,

因?yàn)椤?_LA4，A41_LAg，

DAU平面EA[B],AAu平面AABx,

所以NOA4即為二面角的平面角，

TTTT

在正方形ADRA中，/%%=￡，所以二面角E—A4—A的大小為J,

44

故選項(xiàng)。正確，

故選：C.

二、填空題

13.已知空間向量a=(3,2,4),。=(義一2,2,8),“〃b，則a-b=

【正確答案】-58

【分析】運(yùn)用空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】；a=(3,2,2),fe=(2-2,2,8),allb

,存在實(shí)數(shù)，使得a=仍，

3=32)卜一

/.-2=M=，]

t-----

2=8r2

二a=(3,2,-4),b=(-6,-4,8)

a-b=3x(-6)+2x(-4)+(-4)x8=-58

故答案為.-58

14.“a=￡”是“sina=sin￡”的條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、”既

不充分也不必要''中的一個(gè))

【正確答案】充分不必要

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】若。=尸，貝!]sina=sin/7,

當(dāng)a=0,￡=2兀時(shí),則sina=sin尸,

所以“a=#”是“sina=sin￡”的充分不必要條件.

故充分不必要.

15.如圖，把橢圓《+￡=1的長軸A8八等分，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部

169

分于6，4，L,4七個(gè)點(diǎn)，尸是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|眩|+怛可+限司++忸/I的值為

【正確答案】28

【詳解】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為尸’由橢圓的幾何性質(zhì)可知:

12HHeF?,|.?.仍尸下^川|阜也|阜2a,同理可得

忸川+山尸卜優(yōu)尸|+|《尸卜出刊+怩下|=2出耳=%,且a=4,故

|子|+|乙川+|6丹++|?百=7a=28，故答案為28.

16.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AMCQ中，M,N分別是棱4片，AR的中點(diǎn),

點(diǎn)E在80上，點(diǎn)F在B。上，且BE=CF,點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①當(dāng)點(diǎn)E是80中點(diǎn)時(shí)，直線所〃平面。CG。；

②直線4鼻到平面CMN的距離是巫:

2

③存在點(diǎn)P,使得少叫=90。；

④,PC。面積的最小值是偵.

6

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【正確答案】①③

【分析】對①，由線面平行的判定定理進(jìn)行判斷即可;

對②，證B\D、U平面CMN,則直線BR到平面CMN的距離等于點(diǎn)D,到平面CMN的距離,

由等體積法%』加=VD「CMN列式即可求；

對③，設(shè)=(?e[0,l]),可得P(f+l,2f,-2f+2),由向量垂直的坐標(biāo)表示，存在點(diǎn)

P使NB、PD,=90。等價(jià)于Pg.PR=0有解；

對④，由點(diǎn)到直線距離求尸到。。的距離"，則△面積為討論最小值即可

【詳解】對①，如下圖所示：因?yàn)镋是8。中點(diǎn)，BE=CF,

所以點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，連接8G，顯然〃也是8G的交點(diǎn)，連接。G，

所以EF//QD,而EF（Z平面。CC|R,OQu平面。CCQ,所以直線EF//平面。CQ。，

①對；

小N6

/二wz

Bc

以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則M（l,0,2）,C（2,2,0）,4（2,0,2）,D,（0,2,2）,

對②，M,N分別是棱的中點(diǎn)，.?.8QMN,BQ<Z平面CMN,MNu平面CMN,

故BQJ/平面OWN,

故直線BR到平面CMN的距離等于點(diǎn)。到平面CMN的距離，設(shè)為〃，

=xxlxlx2=

MN=6,CN=CM=3,VC-MND,1（|lp

V17IZ_1717

S.CMN=-xV2x~，yn=1Z-

由匕'-MMO,=V[*_CMN得力=，②錯(cuò);

對③，設(shè)MP=/-MC=f(l,2,—2)(re[0,1]),則P(f+l,2f,-2f+2),則尸丹2f,2/),

PD、=(-/-1,2-2r,2/),

由NB，PR=90。即PB「PR=(1-/)(-/-l)+(-2/)(2-2r)+2/-2/=9/2-4/-1=0Wr=2士屈

由f=普40/］,故存在點(diǎn)p,使得“叩=90。，③對；

對④，由③得P（f+12,-2f+2）到。。的投影為（0,2,-2，+2）,故P到。2的距離

16

d=gl『+(2-2f)2=+一

5

△產(chǎn)鶴面積為S=5-2O+y（止［。,1］）,由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)f時(shí),

S取得最小值為逑，④錯(cuò).

5

故①?

關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.已知集合尸=卜|號Nl1,非空集合5={乂1-〃”*41+〃?}.

(1)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，求PUS；

(2)若xwP是xcS的必要條件，求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍.

【正確答案]⑴{乂一2<X43}

⑵[0,1]

【分析】(1)先求解集合「中不等式，再結(jié)合并集運(yùn)算求解即可;

(2)轉(zhuǎn)化題干條件為51尸，列出不等式組，求解即可.

【詳解】(1)由」;21，可得上;20,

f(x+2)(x-2)<0,

叫X+2H0,

所以P={._2<x42}.

又當(dāng)機(jī)=2時(shí)，

S'=1x|-l<x<3},

所以PuS={x|-2<x〈3}.

(2)由xeP是xeS的必要條件，知非空集合SqP,

又P={M-2<x42},

1-/n<1+m,

所以《1-〃2>-2,

14-7ZZ<2,

所以O(shè)WmWl,

即所求m的取值范圍是［()』.

18.已知空間三點(diǎn)4-2,0,2),8(-1,1,2),C(一3,0,4),設(shè)”=A8，h=AC.

(I)若同=6,cHBC，求c：

(2)求a,方夾角的余弦值.

【正確答案】(l)c=(Y,-2,4)或c=(4,2,T)；

⑵.巫

10

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解;

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)8(-1,1,2),C(—3,0,4),則8c=(-2,-1,2),

C//8C，；?可設(shè)c=〃-2,—1,2),義工。，

年|=6,7(-22)2+(-2)2+(2/1)2=6，解得;1=±2,

c=(-4,-2,4)或c=(4,2,-4)；

(2)A(-2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),

a=AB-(1,1,0)>b-AC-(—1,0,2),

19.已知拋物線C:V=2Px(p>0)上一點(diǎn)P(3,w)到焦點(diǎn)F的距離為4.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過焦點(diǎn)尸的直線/與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,8,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線。4,。8的斜

率分別為％,k2,求證：用修為定值.

【正確答案】⑴9=4x.

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義即可求得P=2,即得答案;

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去x,設(shè)&玉,,),8(七,必)，可得%當(dāng)=-4,結(jié)合

點(diǎn)在拋物線方程上化簡％他，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)由拋物線。：尸=2后5>0)方程可得焦點(diǎn)為(5,0),準(zhǔn)線方程為犬=-5,

因?yàn)辄c(diǎn)P(3,⑼到焦點(diǎn)F距離為4,由拋物線的性質(zhì)可知p(3,〃?)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的

距離，

即3+^=4,解得p=2,

故拋物線方程為.V=4x

(2)證明：因?yàn)橹本€/過焦點(diǎn)尸(1,0),與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,8,

所以設(shè)直線/方程為x=，”y+l,

與拋物線方程V=4%聯(lián)立即?,消去x得丁-4*4=0,

[y=4x

A=16/H2+32>0，設(shè)4(芭，弘)，8(尤2，，2)，

所以乂%=-4，由于勺="，&=&

X\X2

_x必一y%_16一

所k以k一如㈤「一―

即占玲為定值.

20.命題p：11VXG[1,21,x2+x-a>0'?命題q：uGR,x2+3x+2-a=0，'.

(1)當(dāng)p為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若p和q中有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【正確答案】⑴

4

⑵

【分析】(1)根據(jù)全稱命題的否定，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案;

(2)利用分類討論的解題思想，可得答案.

2

【詳解】(1)由p為假命題，則可為真命題，即大目1,2］,x+x-a<0,

令/(x)+X—。,開口向上，則△=l+4a>(),解得

(2)由(1)可知，當(dāng)p為真命題時(shí)，。4-w；當(dāng)p為假命題時(shí)，a>――-

當(dāng)q為真命題時(shí)，A=9-4(2-?)>0,解得當(dāng)q為假命題時(shí)，

當(dāng)p為真命題，4為假命題時(shí)，”-；；當(dāng)?為假命題，q為真命題時(shí)，”>-；；

則P和q中有且只有一個(gè)是真命題時(shí)，

21.在四棱錐尸—ABCE中，AB//CE,AB1BC,AB=4,BC=0CE=3,PA_L平面

ABCE,PE與平面ABCE所成角60,又AMLPE于M,ANLPB于N.

P

⑴證明：/>8_L平面AMN；

(2)求二面角尸-AM-N的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵叵

7

［分析］(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,根據(jù)A"_LPE求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，進(jìn)而可得尸8，AM,

利用線面垂直的判定定理即可證明；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解面面夾角的余弦值.

【詳解】(1)過A作AF〃BC,AF=BC,則四邊形ABCF為矩形，

以ARAB,4P分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

AE=\lAF2+FE2=2>因?yàn)镻E與平面ABCE所成角60,

所以/PE4=60,所以tan60=二=百,所以PA=2g,

AE

P(0,0,2^),5(0,4,0),￡(73,1,0),涉=(61,一2@,

設(shè)AM=AP+2PE=(0,0,273)+(^2,Z,-2>^Z)=(石4,42月一2&),

所以AM=(>/3Z,2,2yli-2向),即M(G/l,42G-2&),

3

因?yàn)锳W_1_尸石，所以AM?尸石=34+4+12/1—12=0,解得力=:，

4

所以AM=(￥，；,*),又因?yàn)镻B=(0,4,-2百)，

所以PB-AM=0+3-3=0，BPPBA.AM,

又因?yàn)?N_LP3,AMAN=A,A〃,ANu平面AMN,

所以P8_L平面AMM

(2)由(1)可知依J_平面AMW,

則BP=(0,-4,2>/3)為平面AMN的一個(gè)法向量.

BE=JBC：+a=26,所以BE?+A爐=/152,即跖_1_/1￡,

又因?yàn)镻AJL平面A3CE,8《<=平面45。邑所以24,8《，

又因?yàn)镽4AE=A,PAAEu平面APE,

所以BEJ.平面APE,

則BE=(73,-3,0)為平面APE的一個(gè)法向量.

UHUU1____

/黑吃、絲―12V21

刑