5.2平行線及其判定（十大題型）-（題型·技巧培優(yōu)系列）2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練（人教版）（原卷版 ）

（人教版）七級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.2平行線及其判定知識點一知識點一平行線及其表示方法★1、平行線定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．記作：AB∥CD；記作：a∥b；讀作：直線AB平行于直線CD．讀作：直線a平行于直線b．【注意】1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行．(重合的直線視為一條直線)2、.線段或射線平行是指它們所在的直線平行．知識點二知識點二平行線的畫法◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．【注意】1．經(jīng)過直線上一點不能作已知直線的平行線．2．畫線段或射線的平行線是指畫它們所在直線的平行線．3．借助三角尺畫平行線時，必須保持緊靠，否則畫出的直線不平行.知識點三知識點三平行公理及其推論★1、平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.★2、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說：如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.幾何語言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推論中，三條直線可以不在同一個平面內(nèi)．2、平行公理中強調(diào)“直線外一點”，因為若點在直線上，不可能有平行線；“有且只有”強調(diào)這樣的直線是存在的，也是唯一的．知識點四知識點四平行線的判定方法★1、平行線的判定：判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．★2、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線垂直．幾何語言表示：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三條直線在“同一平面內(nèi)”是前提，沒有這個條件結(jié)論不一定成立.★3、判定兩直線平行的方法（1）平行線的定義；（2）平行公理的推論（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）；（3利用同位角相等說明兩直線平行；（4）利用內(nèi)錯角相等說明兩直線平行；（5）利用同旁內(nèi)角互補說明兩直線平行；（6）同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.題型一平行線的定義與識別題型一平行線的定義與識別【例題1】（2023秋?埇橋區(qū)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行解題技巧提煉解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握平行線的概念，牢記平行線的三個條件：①在同一平面內(nèi)；②不相交；③都是直線，通過與定義進行對比來進行判斷.【變式1-1】如圖所示，能相交的是，平行的是．（填序號）【變式1-2】下列說法正確的是（）A．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么它們互相垂直 B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相垂直 C．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相平行 D．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，那么它們互相平行【變式1-3】（2022春?萊蕪區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．兩條不相交的直線叫做平行線 B．一條直線的平行線有且只有一條 C．在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，a∥c，則b∥c D．若兩條線段不相交，則它們互相平行【變式1-4】（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在長方體ABCD-EFGH中，與棱EF異面且與平面EFGH平行的棱是．【變式1-5】（2022春?沙河市期末）觀察如圖所示的長方體，與棱AB平行的棱有幾條（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-6】在同一平面內(nèi)，直線l1與l2滿足下列關(guān)系，寫出其對應(yīng)的位置關(guān)系：（1）若l1與l2沒有公共點，則l1和l2；（2）若l1與l2只有一個公共點，則l1和l2；（3）若l1與l2有兩個公共點，則l1和l2．【變式1-7】（2022春?趙縣月考）在同一平面內(nèi)，直線a，b相交于P，若a∥c，則b與c的位置關(guān)系是．題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系【例題2】A．1個或2個或3個 B．0個或1個或2個或3個 C．1個或2個 D．以上都不對解題技巧提煉用分類討論的思想根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系去討論求解.【變式2-1】在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能是（）A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交【變式2-2】在同一平面內(nèi)有三條直線，如果使其中有且只有兩條直線平行，那么這三條直線有且只有個交點．【變式2-3】平面內(nèi)四條直線共有三個交點，則這四條直線中最多有條平行線．【變式2-4】平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點的個數(shù)為個．題型三作已知直線的平行線題型三作已知直線的平行線【例題3】如圖，直線a，點B，點C．（1）過點B畫直線a的平行線，能畫幾條？（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行嗎？解題技巧提煉利用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線，是幾何畫圖的基本技能之一.注意“移”時經(jīng)過的邊是三角尺落在已知直線上的那一邊，而不是任意一邊.【變式3-1】如圖中完成下列各題．（1）用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過C點畫直線垂直于CD．（2）用符號表示上面①、②中的平行、垂直關(guān)系．【變式3-2】如圖，已知直線a和直線a外一點A．（1）完成下列畫圖：過點A畫AB⊥a，垂足為點B，畫AC∥a；（2）過點A你能畫幾條直線和a垂直？為什么？過點A你能畫幾條直線和a平行？為什么？（3）說出直線AC與直線AB的位置關(guān)系．【變式3-3】作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：（1）過點A作BC的平行線；（2）過點C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點D；（3）過點B作AB的垂線．【變式3-4】（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P．（1）過P畫l1∥OA；（2）過P畫l2∥OB；（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？題型四對平行公理及其推論的理解和應(yīng)用題型四對平行公理及其推論的理解和應(yīng)用【例題4】（2022?尋烏縣模擬）下面推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c解題技巧提煉在判定兩條直線平行時，一定要理解它們成立的條件，特別是關(guān)鍵字詞及其重要特征.【變式4-1】（2022春?叢臺區(qū)校級期中）如圖，過點A畫直線l的平行線，能畫（）A．兩條以上 B．2條 C．1條 D．0條【變式4-2】（2023春?薩爾圖區(qū)期中）下面說法正確的個數(shù)為（）

（1）在同一平面內(nèi)，過直線外一點有一條直線與已知直線平行；

（2）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

（3）兩角之和為180°，這兩個角一定鄰補角；

（4）同一平面內(nèi)不平行的兩條直線一定相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】（2023春?瀘縣校級期中）下列說法正確的是（）A．經(jīng)過一點有一條直線與已知直線平行 B．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行 C．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線平行 D．經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【變式4-4】（2023春?新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（）A．在同一個平面內(nèi) B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一個平面內(nèi)【變式4-5】（2022春?和平區(qū)校級月考）下列語句正確的有（）個①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【變式4-6】（2022春?大荔縣期末）如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由是．【變式4-7】（2022春?海陽市期末）若P，Q是直線AB外不重合的兩點，則下列說法不正確的是（）A．直線PQ可能與直線AB垂直 B．直線PQ可能與直線AB平行 C．過點P的直線一定與直線AB相交 D．過點Q只能畫出一條直線與直線AB平行【變式4-8】如圖所示，將一張長方形紙對折三次，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無法確定題型五同位角相等，兩直線平行題型五同位角相等，兩直線平行【例題5】（2022春?昭陽區(qū)校級月考）如圖，把三角尺的直角頂點放在直線b上．若∠1＝50°，則當(dāng)∠2＝時，a∥b．解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.【變式5-1】（2022春?洞頭區(qū)期中）如圖，在下列給出的條件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【變式5-2】（2023秋?淮陽區(qū)校級期末）如圖，木條a，b，c在同一平面內(nèi)，經(jīng)測量∠1＝115°，要使木條a∥b，則∠2的度數(shù)應(yīng)為（）A．65° B．75° C．115° D．165°【變式5-3】（2023秋?涇陽縣期末）如圖，直線AB、CD分別與EF相交于點G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，試說明：AB∥CD．【變式5-4】（2023秋?泰和縣期末）如圖，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求證：AB∥CD．【變式5-5】（2023春?樟樹市期中）將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F．求證：CF∥AB．【變式5-6】（2023秋?靖邊縣期末）如圖，AF與BD相交于點C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．試說明：AB∥CE．題型六內(nèi)錯角角相等，兩直線平行題型六內(nèi)錯角角相等，兩直線平行【例題6】（2023秋?哈爾濱期末）如圖，能判定AB∥CD的條件是（）A．∠A+∠ABC＝180° B．∠A＝∠C C．∠CBD＝∠ADB D．∠ABD＝∠CDB解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.【變式6-1】A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【變式6-2】（2023秋?蘭州期末）如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證：DC∥AB．【變式6-3】（2023秋?黃埔區(qū)期中）如圖，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，證明：AB∥CD．【變式6-4】（2023秋?高州市期末）已知：如圖，BC⊥AC于點C，CD⊥AB于點D，∠EBC＝∠A，求證：BE∥CD．【變式6-5】（2023春?鄱陽縣期末）如圖，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2．試判斷BE與CF的關(guān)系，并說明你的理由．【變式6-6】（2023秋?福州期末）如圖，點O在直線AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F(xiàn)是DE上一點，連結(jié)OF．（1）求證：OC⊥OD；（2）若∠D與∠1互余，求證：ED∥AB．題型七同旁內(nèi)角互補，兩直線平行題型七同旁內(nèi)角互補，兩直線平行【例題7】（2022春?灤南縣期末）如圖，由∠A+∠B=180°，可得：．理由是

．解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.【變式7-1】（2022秋?陽山縣期末）如圖，∠2=∠3=65°，要使直線a∥b,則∠1=度．【變式7-2】如圖，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求證：BC∥GD．【變式7-3】（2022春?江陰市校級月考）如圖，∠1=75°，∠2=105°，AB與ED平行嗎？為什么？【變式7-4】（2023春?白銀期末）如圖，這是一個由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案，其中∠1＝62°，∠2＝62°，∠3＝118°，找出圖中的平行線，并說明理由．【變式7-5】（2022秋?新興縣校級期中）已知：如圖，E為AC上一點，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求證：AB∥CD．【變式7-6】（2022春?郾城區(qū)校級月考）如圖，∠B+∠E+∠C=360°，試判斷AB與CD是否平行？請說明理由．題型八利用兩直線平行的條件解決實際問題題型八利用兩直線平行的條件解決實際問題【例題8】（2022春?新吳區(qū)月考）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．解題技巧提煉題中會給出一個生活中的實際問題，要讀懂題意，結(jié)合圖形構(gòu)造平行線模型，選擇相應(yīng)的判定定理求解.【變式8-1】（2022春?太原期中）木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【變式8-2】如圖，是一個防盜窗欞的示意圖，如果測得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否斷定AB∥CD，已知條件夠不夠？如不夠，需要再補充一個什么條件？【變式8-3】如圖所示，一束光線在兩面垂直的玻璃墻內(nèi)進行傳播，路徑為A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直線AB與CD是否平行？為什么？【變式8-4】你知道潛水艇嗎？它在軍事上的作用可大呢．潛水艇下潛后，艇內(nèi)人員以用潛望鏡來觀察水面上的情況，如圖①．其實它的原理非常簡單，（如圖②，潛望鏡中的兩個平面鏡與水平方向的夾角都為45°，光線經(jīng)過鏡子反射時，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解釋為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行嗎？

【變式8-5】（2023春?沂水縣期中）【問題情境】學(xué)習(xí)了平行線后，小明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的（如圖中的①—④，虛線部分表示折痕）．【操作發(fā)現(xiàn)】發(fā)現(xiàn)一：如圖④，由圖②中的折疊可知，PE⊥AB，由圖③中的折疊可知，PE⊥CD，則AB∥CD．用數(shù)學(xué)符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．發(fā)現(xiàn)二：如圖④，由圖②中的折疊可知，∠1＝90°，由圖③中的折疊可知∠2＝90°，則∠1＝∠2，所以AB∥CD．用數(shù)學(xué)符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．【解決問題】如圖⑤，AD⊥BC于點D，AD平分∠BAC，EG⊥BC于點G．求證：∠E＝∠1．【變式8-6】取一副三角尺按如圖所示的方式拼接，固定三角尺ADC，將三角尺ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角得到三角形AB′C′，示意圖如圖所示．（1）當(dāng)為多少度時，能使圖2中的AB′∥CD？請說明理由；（2）當(dāng)α分別為多少度時，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必說明理由）題型九通過閱讀推理過程填空題型九通過閱讀推理過程填空【例題9】（20221秋?洛寧縣期末）如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？抄寫下面的解答過程，并填空或填寫理由．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）∴∠1＝∠2（）；∴AC∥BD（）；又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），∴（垂直的定義）；∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（）；即∠＝∠；∴∥（同位角相等，兩直線平行）．解題技巧提煉題中會給出一個平行線判定問題的求解過程，要求填寫理由，此時要認真分析題意，然后聯(lián)系上下文求.【變式9-1】（2022春?龍華區(qū)期中）在橫線上填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，完成下面的證明．已知，直線a，b，c，d的位置如圖所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求證：c∥d．證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴＝∠3（），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（），∴c∥d（）．【變式9-2】（2023春?禪城區(qū)校級期中）如圖，已知E，B，C三點共線，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，試說明：BF∥AC．因為BE平分∠DBF（），所以＝（），又因為∠1＝∠ACB（），所以∠2＝∠ACB（）．所以BF∥AC（）．【變式9-3】請你將下面的證明補充完整，并在括號內(nèi)填寫推理依據(jù)．如圖，點M在直線AB上，MP⊥直線CD，垂足為P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求證：AB∥CD．證明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（）∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+＝+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵MP⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（）．∴AB∥CD（）【變式9-4】（2022春?灌南縣校級期末）完成下面的證明：已知：如圖．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【變式9-5】（2023春?青浦區(qū)期中）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，GH是∠EGC的平分線，∠EGH＝56°，∠EIB＝68°，說明AB∥CD的理由．解：因為GH是∠EGC的角平分線（），所以∠EGH＝∠HGC＝56°（）．因為CD是條直線（已知），所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（）．所以∠IGD＝68°．因為∠EIB＝68°（已知），所以＝（）．所以AB∥CD（）．【變式9-6】（2022春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補充完整．如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（）∴∠ABF＝（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12（∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12（∴∠EBF＝，∴BE∥CF（）．題型十平行線判定方法的綜合運用題型十平行線判定方法的綜合運用【例題10】（2023秋?紫金縣期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1+∠3＝180° B．∠