三章數(shù)學(xué)教育的基本理論省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第三章數(shù)學(xué)教育基本理論[德]FelixKlein(1849-1925)克萊因之路(P3)[荷]H.Freudenthal(1905-1990)費賴登塔爾(P43)[美]G.Polya(1887-1985)波利亞解題理論(P46)[瑞]JeanPiaget(1896-1980)皮亞杰智力發(fā)展理論[美]D.P.Ausubel奧蘇伯爾有意義言語學(xué)習(xí)理論中國”雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)理論()差異數(shù)學(xué)教學(xué)理論()

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公元10月24日18:05第1頁F·克萊因（F.Klein,1849-1925）弗賴登塔爾（H.Freudenthal,1905-1990）波利亞（G.Pólya,1887-1985）第2頁克萊因(Klein)數(shù)學(xué)教育觀點克萊因，數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家.一代幾何學(xué)權(quán)威，1872年發(fā)表著名幾何學(xué)“愛爾蘭根綱領(lǐng)”，用運動群下不變量對幾何學(xué)進行分類，成為劃時代數(shù)學(xué)里程碑.他以后是世界數(shù)學(xué)中心——哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)導(dǎo)人.并在那培養(yǎng)了第一個數(shù)學(xué)教育博士RudolfChimmack.19，在第四屆國際數(shù)學(xué)家大會(ICM)上成立了國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟(TMU)一個新下屬組織——國際數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)，克萊因當(dāng)選為該委員會第一任主席.第3頁Klein數(shù)學(xué)教育觀（1）數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備較高數(shù)學(xué)觀點，只有觀點高了，事物才能顯得簡單明了；（2）教育應(yīng)該是發(fā)生性(數(shù)學(xué)教學(xué)是生成)；（3）應(yīng)該用綜合起來普通概念和方法來處理問題，而不是去鉆研那種特殊解法(通法通識)；（4）應(yīng)該把算術(shù)、代數(shù)和幾何學(xué)方面內(nèi)容，用幾何形式以函數(shù)為中心觀念綜合起來(統(tǒng)一觀點下、整體數(shù)學(xué)).第4頁§3.1Freudenthal數(shù)學(xué)教育理論弗賴登塔爾（H.Freudenthal,1905-1990）荷蘭皇家科學(xué)院院士和數(shù)學(xué)教育研究所所長專長為李群和拓撲學(xué)，后重心轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育1967-1970年期間任國際數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)主席，倡議召開第一屆ICMI；提倡數(shù)學(xué)教育研究要像研究數(shù)學(xué)一樣，以科學(xué)論文形式交流，即前人作了什么，我作了什么，證據(jù)是什么，并有詳細文件支持，重視學(xué)術(shù)研究規(guī)范.1987年曾來華訪問（華東師大和北京師大）第5頁Freudenthal數(shù)學(xué)教育理論代表作《作為教育任務(wù)數(shù)學(xué)》數(shù)學(xué)教育基本特征（現(xiàn)實,數(shù)學(xué)化,再創(chuàng)造）:——情景問題是教學(xué)平臺.——數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育目標(biāo).——學(xué)生經(jīng)過自己努力得到結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容一部分.——“互動”是主要學(xué)習(xí)方式.——學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容展現(xiàn)方式.第6頁何謂數(shù)學(xué)教育中現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育中現(xiàn)實——數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，應(yīng)用于現(xiàn)實，而且每個學(xué)生有各自不一樣“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”.數(shù)學(xué)教師任務(wù)之一就是幫助學(xué)生結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們數(shù)學(xué)現(xiàn)實.如：例題生活化，問題情境化.第7頁利用“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”進行教學(xué)第一，數(shù)學(xué)概念、運算、法則和命題，都是來自于現(xiàn)實世界實際需要而形成，是現(xiàn)實世界抽象反應(yīng)和人類經(jīng)驗總結(jié).第二，數(shù)學(xué)研究對象，是現(xiàn)實世界同一類事物或現(xiàn)象抽象而成量化模式.第三，數(shù)學(xué)教育應(yīng)為不一樣人提供不一樣層次數(shù)學(xué)知識.第8頁什么是數(shù)學(xué)化人們在觀察、認識和改造客觀世界過程中，利用數(shù)學(xué)思想方法來分析和研究客觀世界種種現(xiàn)象并加以整理和組織過程——即數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界過程就是數(shù)學(xué)化.數(shù)學(xué)教學(xué)即是數(shù)學(xué)化教學(xué).抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是數(shù)學(xué)化.現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育所說數(shù)學(xué)化形式有兩種：實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)化；從符號到概念數(shù)學(xué)化.第9頁數(shù)學(xué)化基本流程（1）實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)化流程：1.確定一個詳細問題中包含數(shù)學(xué)成份；2.建立這些成份與學(xué)生已知數(shù)學(xué)模型之間聯(lián)絡(luò);3.經(jīng)過不一樣方法使之形象化、符號化和公式化；4.找出蘊涵其中關(guān)系和規(guī)則；5.考慮相同數(shù)學(xué)成份在其它數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域表達;6.作出形式化表述.第10頁數(shù)學(xué)化基本流程（2）從符號到概念數(shù)學(xué)化基本流程：1.用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)系；2.對相關(guān)規(guī)則作出證實；3.嘗試建立和使用不一樣數(shù)學(xué)模型；4.對得出數(shù)學(xué)模型進行調(diào)整和加工；5.綜合不一樣數(shù)學(xué)模型共性，形成新模式；6.用已知數(shù)學(xué)語言盡可能準(zhǔn)確描述得到新概念和新方法.第11頁數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”學(xué)生“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程實際上就是一個“做數(shù)學(xué)”(doingmathematics)過程。其關(guān)鍵是數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個經(jīng)驗、了解和反思過程，強調(diào)以學(xué)生為主體學(xué)習(xí)活動對學(xué)生了解數(shù)學(xué)主要性，強調(diào)激發(fā)學(xué)生學(xué)生主動學(xué)習(xí)，做數(shù)學(xué)是學(xué)生了解數(shù)學(xué)主要路徑第12頁§3.2波利亞解題理論GeorgePolya(1887-1985)喬治.波利亞美籍匈牙利人，布達佩斯大學(xué)畢業(yè)(法律-語言-數(shù)學(xué))，20世紀(jì)主要數(shù)學(xué)家，更是一位偉大數(shù)學(xué)教育家.美國國家科學(xué)院士、巴黎科學(xué)院院士、匈牙利科學(xué)院院士，1980年被選為國家數(shù)學(xué)教育大會榮譽主席.喜歡哲學(xué)，老師告訴他“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與物理能夠幫助人了解哲學(xué)”，他徘徊后選擇數(shù)學(xué)，理由是“學(xué)物理我不夠好.學(xué)哲學(xué)我又太強，數(shù)學(xué)在這二者之間.”第13頁波利亞數(shù)學(xué)教育觀數(shù)學(xué)研究,編寫教材,教師培訓(xùn).波利亞認為,中學(xué)數(shù)學(xué)教育根本目標(biāo)是“教會學(xué)生思索”——有目標(biāo)思索、產(chǎn)生式思索，也包含形式和非形式思維.學(xué)東西最好路徑是自己探索、親自去發(fā)覺它學(xué)習(xí)過程：探索，說明，吸收.好數(shù)學(xué)教師，必須具備數(shù)學(xué)和教學(xué)法兩方面知識.第14頁給數(shù)學(xué)教師“十條提議”：（1）對自己科目要有興趣（2）熟知自己科目（3）知道學(xué)習(xí)路徑（親自獨立發(fā)覺）（4）努力觀察學(xué)生，覺察期望和困難（5）傳授知識，更要傳授技能，思維方式（6）讓學(xué)生學(xué)會猜測問題（7）讓學(xué)生學(xué)會證實問題（8）從手頭上題目出發(fā)，尋找普通模式（9）不要把你全部秘訣一下子倒給學(xué)生（10）啟發(fā)問題，而不要填鴨式地塞給學(xué)生第15頁波利亞Polya解題理論著作《怎樣解題》(1945)《數(shù)學(xué)發(fā)覺》(1954)《數(shù)學(xué)與猜測》(1962)《數(shù)學(xué)分析中定理和問題》（與G.舍貴,1925年Springer-Verlag出版）“每個大學(xué)生，每個學(xué)者，尤其是每個老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝書”——范.德.瓦爾登.第16頁解題(ProblemSolving)是數(shù)學(xué)特點波利亞對解題理論進行了系統(tǒng)、深入研究，《怎樣解題(HowtoSolveIt)》,1945年由美國斯普林格大學(xué)出版，最少翻譯成17種以上文字.問題是數(shù)學(xué)心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)在于解題.波利亞熱衷于數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究，尤其是中學(xué)教師培訓(xùn).他指出應(yīng)該給學(xué)生“以適合他們程度問題去引發(fā)他們好奇心，而且用一些吸引人問題來幫助他們解題”，這么做“會引發(fā)學(xué)生們對對立思索興趣并教給他們一些方法”.第17頁解題(ProblemSolving)是數(shù)學(xué)特點學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題.解題是數(shù)學(xué)一大特點.其它學(xué)科，比如語文，也需要習(xí)作，需要命題作文，但其數(shù)量與種類均不能與數(shù)學(xué)習(xí)題相提并論。至于理化等科，它們特點是動手試驗或?qū)嵙?xí).我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝曾指出：“夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設(shè)一題.”第18頁解題(ProblemSolving)是數(shù)學(xué)特點學(xué)數(shù)學(xué)目標(biāo)，不是別，就是為了學(xué)會解題.數(shù)學(xué)書中有不少公式、法則、定義、定理，這些都不需要死記硬背，而是要經(jīng)過解題逐步地了解、掌握.所以上諭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)生，都把主要精力花在解題上.“數(shù)學(xué)尖子”就是解題能力強同學(xué).任何一本當(dāng)代數(shù)學(xué)書本，都配置了相當(dāng)數(shù)量習(xí)題，用以領(lǐng)悟鞏固所學(xué)內(nèi)容、方法.但做習(xí)題并不只是在學(xué)完一個方法或一些知識之后，知識、方法應(yīng)該盡可能地經(jīng)過問題形式引入.第19頁“怎樣解題表”（P48）第一，搞清問題第二，確定計劃第三，實施計劃第四，回顧總結(jié)為了回答“一個好解法是怎樣想出來”這個感令人迷惑問題，波利亞研究了解題思維過程，并把他解題格調(diào)心路歷程，概括為“怎樣解題表”第20頁“怎樣解題表”——例1（P50~55）

例

給定正四棱臺高h，上底一條邊長a和下底一條邊長b，求正四棱臺體積F.（學(xué)生已學(xué)過棱柱、棱錐體積）

[講解]：第一，搞清問題（問題1，2）第二，確定計劃（問題3，4，5）第三，實施計劃（作輔助線）第四，回顧總結(jié)（正面檢核每一步，推理有效、演算準(zhǔn)確；回顧過程，總結(jié)模式；分析方法，思維策略；心理機制；組合與分解；反思與信念）第21頁12條解題要訣（單墫）1.要享受到解題樂趣（濃厚興趣，有幾分癡迷更加好）.2.要有充分信心.3.要有百折不回決心與堅忍不拔毅力.4.要做100道有質(zhì)量題目.5.重復(fù)探索，大膽地跟著感覺走.6.從簡單做起.7.從不一樣角度看問題.8.學(xué)思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生“好想法”.9.創(chuàng)設(shè)條件，不停變更題目.10.因如適當(dāng)字母（符號），向基本量靠攏.11.力爭簡單自然，直指關(guān)鍵.12注意總結(jié).（每一個解題人，都有自己經(jīng)驗，依據(jù)自己經(jīng)驗總結(jié)出若干條有用要訣.）第22頁§3.3建構(gòu)主義數(shù)學(xué)教育理論什么是數(shù)學(xué)知識.（1）數(shù)學(xué)知識不是對現(xiàn)實純粹客觀反應(yīng)，任何一個傳載知識符號系統(tǒng)也不是絕對真實表征；（不過是人們對客觀世界一個堅固、假設(shè)或假說）（2）數(shù)學(xué)知識不可能以實體形式存在于個體之外，真正了解只能是由學(xué)習(xí)者本身基于自己經(jīng)驗背景而建構(gòu).第23頁什么是數(shù)學(xué)了解真正了解只能是由學(xué)習(xí)者本身基于自己經(jīng)驗背景而建構(gòu)起來.了解，取決于個人特定情況下學(xué)習(xí)活動過程，不然就是死記硬背或生吞活剝，是被動復(fù)制式學(xué)習(xí).學(xué)生了解只能由學(xué)生自己去進行，而且要經(jīng)過對新知識進行分析、檢驗和批判才能真正做到了解.建構(gòu)主義有些觀點，也要辨證分析.第24頁建構(gòu)主義觀下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特征數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式:復(fù)制式和建構(gòu)式.學(xué)習(xí)不是由教師把知識簡單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識過程，他人無法替換.學(xué)習(xí)不是被動接收信息刺激，而是主動地建構(gòu)意義，是依據(jù)自己經(jīng)驗背景，對外部信息進行主動地選擇、加工和處理，取得自己意義.學(xué)習(xí)意義取得，是每個學(xué)習(xí)者以自己原有知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對新知信息重新認識和編碼，建構(gòu)自己了解.——了解\情境\問題\反思\建構(gòu).第25頁數(shù)學(xué)建構(gòu)觀基本標(biāo)準(zhǔn)1.主體標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主體.2.適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)：教師應(yīng)該從學(xué)生現(xiàn)實出發(fā).3.建構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生從原有經(jīng)驗世界中建構(gòu).4.主導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)：教師是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動設(shè)計者、參加者、指導(dǎo)者和評定者.5.問題處理標(biāo)準(zhǔn)：問題處理是數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)鍵.第26頁數(shù)學(xué)教學(xué)中一條必須恪守主要標(biāo)準(zhǔn)：主動學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn).它中心思想是：學(xué)習(xí)任何東西最正確路徑就是靠自己去發(fā)覺.（所謂師傅引進門修行靠個人）.第27頁建構(gòu)主義教學(xué)觀主要論點教師不應(yīng)該被看成是“知識授予者”，而應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)活動促進者.對傳統(tǒng)教學(xué)法設(shè)計理論嚴(yán)重挑戰(zhàn)(徹底否定).數(shù)學(xué)教師對“什么是數(shù)學(xué)”和“應(yīng)該怎樣去從事數(shù)學(xué)研究”觀念對教學(xué)觀有直接和主要影響.不唯一著眼于結(jié)論，而愈加重視過程分析.變“問題處理”為“數(shù)學(xué)地思索”，并以此為中心.第28頁建構(gòu)主義教學(xué)原理應(yīng)用舉例傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)步驟：概念明確（定義，名稱，符號）；分類；鞏固；應(yīng)用與聯(lián)絡(luò)數(shù)學(xué)概念含有過程-對象雙重性，既是邏輯分析對象，又是含有現(xiàn)實背景和豐富寓意數(shù)學(xué)過程。所以，必須返樸歸真，揭示概念形成過程，從現(xiàn)實原形、抽象過程、思想指導(dǎo)、形式表示等多方位了解一個數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動建構(gòu)教育原理。第29頁杜賓斯基:APOS理論（以函數(shù)為例）Action階段：經(jīng)過操作活動，了解函數(shù)意義.Process階段：把上述操作活動綜合為一個函數(shù)過程.如x→x2，x→f(x).Object階段：把函數(shù)過程當(dāng)組一個獨立對象來處理，可進行函數(shù)加減乘除、復(fù)合運算.Scheme階段：函數(shù)概念以一個綜合心理圖式存于大腦，形成知識體系（完整）.第30頁APOS理論（以代數(shù)式為例）代數(shù)式本質(zhì)在于“不定元”和數(shù)字能夠像數(shù)一樣進行運算.A：經(jīng)過運算活動了解詳細代數(shù)式.P：體驗代數(shù)式過程.O：對代數(shù)式形式化表示.S：建立綜合心理圖式.建立代數(shù)式心理表征：詳細實例，運算過程，字母表示數(shù)思想，代數(shù)式定義，能利用.第31頁瑞士心理學(xué)家哲學(xué)家J.Piaget關(guān)于智力發(fā)展四個階段：1、感覺運動階段（0~2歲）2、前運算階段（2~7歲）3、詳細運算階段（7~12歲）4、形式運算階段（12~15歲）即命題運算思維智力發(fā)展理論概念：圖式，同化，順應(yīng)，平衡第32頁在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用學(xué)習(xí)要有準(zhǔn)備詳細運算階段利用數(shù)學(xué)符號語言和概念有困難初中生處于詳細和形式運算兩個階段——提供適合運算學(xué)習(xí)策略，設(shè)計對應(yīng)教學(xué)活動。比如，初中生喜歡經(jīng)過圖表、模型和其它詳細伎倆進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。智力源于動作（活動）缺點:影響智力發(fā)展原因還有社會文化語言等第33頁§6.4Ausubel有意義學(xué)習(xí)理論講授法至今仍是學(xué)校教學(xué)中最為慣用一個主要教學(xué)方法美國認知心理學(xué)家奧蘇伯爾提出了有意義言語學(xué)習(xí)理論。他認為，講解法是一個非常有效教學(xué)方法，并提倡應(yīng)該愈加致力于發(fā)展有效講解教學(xué)技巧，包含一個有意義學(xué)習(xí)有效講解過程。第34頁學(xué)習(xí)類型及學(xué)習(xí)條件依據(jù)課堂學(xué)習(xí)中知識起源和學(xué)習(xí)過程性質(zhì)，將學(xué)習(xí)劃分為“機械—意義”“接收—發(fā)覺”兩個維度。機械學(xué)習(xí)與有意義學(xué)習(xí)——前者實質(zhì)是形成文字符號表面聯(lián)絡(luò)，學(xué)生不了解文字符號實質(zhì)；后者是指以符號為代表新知識與學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有適當(dāng)知識建立非人為和實質(zhì)性聯(lián)絡(luò)。接收學(xué)習(xí)與發(fā)覺學(xué)習(xí)——全部學(xué)習(xí)內(nèi)容是以定論形式展現(xiàn)給學(xué)生者；學(xué)生需要進行獨立或有指導(dǎo)發(fā)覺。概念學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)關(guān)鍵，概念同化是經(jīng)典有意義接收學(xué)習(xí)第35頁有意義接收學(xué)習(xí)條件學(xué)習(xí)材料本身應(yīng)有邏輯意義，它必須符合非人為和實質(zhì)性標(biāo)準(zhǔn)；（外部原因）學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中必須具備適當(dāng)知識，方便與新知識進行聯(lián)絡(luò)；（認知原因）學(xué)習(xí)者必須具備有意義學(xué)習(xí)意向，即學(xué)習(xí)者具備主動主動地把符號所代表新知識與其認知結(jié)構(gòu)中原有適當(dāng)觀念加以聯(lián)絡(luò)傾向。（情感原因）第36頁§6.5中國數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)理論數(shù)學(xué)雙基教學(xué)，是中華文化組成部分，含有悠久歷史.稻作文化精耕細作；儒家文化重視基礎(chǔ)；科舉考試、考據(jù)文化嚴(yán)謹(jǐn)推演——這些傳統(tǒng)協(xié)力形成雙基.認知心理學(xué)研究支持——人專長是由自動化技能、概念性了解和策略性知識組成；有意義接收學(xué)習(xí)，更是重視“雙基”接收與形成；“熟能生巧”當(dāng)代研究表明數(shù)學(xué)是“做”出來.這些都是與“雙基”息息相關(guān)?！半p基”教學(xué)是一個精細優(yōu)質(zhì)教學(xué).第37頁中國數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)理論特征第一，記憶通向了解形成直覺（記憶背誦，熟能生巧，促進了解）第二，運算速度贏得思維效率（條件反射，算法直覺，高級思維）第三，邏輯演繹保持嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確（抽象定義，邏輯表示，理性思維）第四，“重復(fù)”練習(xí)依賴變式提升（在改變中求得重復(fù)，在重復(fù)中獲取改變；概念變式、過程變式、問題變式，等；提倡各種不一樣算法和各種不一樣了解）數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)，還有縱向3個層次：雙基基樁建設(shè)——以雙基模塊教學(xué)——構(gòu)建雙基平臺

（程序性知識）（知識鏈網(wǎng)絡(luò)）（綜合發(fā)展基礎(chǔ)）參見：張奠宙，“中國數(shù)學(xué)‘雙基’教學(xué)理論框架”《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》，第3期第1-3頁第38頁“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)“雙基”要求應(yīng)該與時俱進：雙基+創(chuàng)新=優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)問題處理教學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)數(shù)學(xué)雙基和計算機信息技術(shù)相結(jié)合——沒有基礎(chǔ)創(chuàng)新是空想，沒有創(chuàng)新基礎(chǔ)是傻練第39頁數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)策略“雙基”教學(xué)理論是以重視邏輯演繹為主要特征，是“熟能生巧”一個繼續(xù).數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)策略包含三個主要步驟：（1）以問題驅(qū)動引入；（2）師生互動交流；（3）精講多練變式.一些詳細做法:情境創(chuàng)設(shè)；對話提問；鞏固練習(xí)；啟發(fā)式；

熟能生巧，精講多練，變式訓(xùn)練，題海戰(zhàn)術(shù)；

小步走,小轉(zhuǎn)彎,小坡度;大容量,快節(jié)奏,高密度.第40頁建構(gòu)主義教學(xué)觀下“雙基”教學(xué)準(zhǔn)確把握建構(gòu)主義數(shù)學(xué)教育觀，促進數(shù)學(xué)“雙基”科學(xué)有效地進行：第一，學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)是一個統(tǒng)一過程，學(xué)習(xí)觀與教學(xué)觀應(yīng)作為一個整體對待.第二，數(shù)學(xué)基本技能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程有著尤其主要意義.第三，教師應(yīng)該樹立正確“學(xué)生觀”，“吃透兩頭”（教材和學(xué)生）：寬容、適應(yīng)、尊重、創(chuàng)造.第四，教師中心任務(wù)是圍繞主題，精心設(shè)計.第41頁變式教學(xué)成為中國數(shù)學(xué)教學(xué)特征變式教學(xué)普通含義：

在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念主要方法之一。即在教學(xué)中用不一樣形式直觀材料或事例說明事物本質(zhì)屬性，或變換同類失去非本質(zhì)屬性特征以突出事物本質(zhì)特征。目標(biāo)在于使學(xué)生了解哪些是事物本質(zhì)特征，哪些是事物非本質(zhì)特征，從而對一事物形成科學(xué)概念。（顧明遠.〈教育大辭典〉上海教育出版社，1999）第42頁我國數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題變式”中國問題處理教學(xué)，包含習(xí)題和考題，“問題變式”早已為廣大數(shù)學(xué)教師廣泛使用。翻開任何一本數(shù)學(xué)習(xí)題輔導(dǎo)書，其中例題和習(xí)題，都是使用邊式方法，由淺入深地排列，循序漸進地解答。是一個精巧“變式”教學(xué)設(shè)計。例證：3個詳細例子（P68-69）第43頁中國優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)若干特點1．突出知識性詳細目標(biāo)（三維目標(biāo)）2．教學(xué)中長于由“舊知”引出“新知”（復(fù)習(xí)引入）3．重視對新知內(nèi)部深入了解（溝通聯(lián)絡(luò)、建立關(guān)系、形成體系）4．強調(diào)解題，關(guān)注方法和重視技巧（思想方法）5．重視及時鞏固、強化練習(xí)和記憶有法（參見：涂榮豹、宋曉平，《課程教材教法》第2期，第43-46頁）第44頁經(jīng)過教“問題處理”，培養(yǎng)

數(shù)學(xué)教師研究性教學(xué)意識教師不但要能有效地組織教學(xué)，而且必須含有一定教學(xué)研究能力。數(shù)學(xué)教師基本素質(zhì)組成中，堅實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和廣博專業(yè)知識是尤其必要。因為數(shù)學(xué)教學(xué)根本目標(biāo)是教會學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)、研究與應(yīng)用數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)本身進行研究是尤其需要，不然教學(xué)只能是就事論事、照本宣科。第45頁“問題處理”是數(shù)學(xué)教育關(guān)鍵問題是數(shù)學(xué)心臟，“數(shù)學(xué)真正組成部分是問題和解?！保≒.R.Halmos）數(shù)學(xué)教育活動中，“解題”是最基本活動形式。美國數(shù)學(xué)家Halmos在《解題教學(xué)》中指出：“為了培養(yǎng)學(xué)生研究性意識，每位教師都應(yīng)該作好研究工作，而且在做研究工作方面訓(xùn)練有素——那是保持研究意識經(jīng)久不衰而且一直處于一個能傳遞給他人良好狀態(tài)唯一方法?！保ā稊?shù)學(xué)譯林》1990年第3期）第46頁G.Polya要求數(shù)學(xué)教師需提供“從事適當(dāng)水平創(chuàng)造性工作機會”，“假如一個教師連非常規(guī)問題都沒有處理過，從沒有經(jīng)歷過發(fā)覺擔(dān)心和成功喜悅，假如他也看不到自己學(xué)生有過這種擔(dān)心和成功，那么他就應(yīng)該另找職業(yè)，而不應(yīng)再教數(shù)學(xué)?！焙商m數(shù)學(xué)教育家H.Freudenthal提出：中學(xué)數(shù)學(xué)教師最低要求其中之一就是“對于怎樣進行數(shù)學(xué)研究有初步概念?！彼f：“數(shù)學(xué)知識既不是教出來也不是學(xué)出來，而是研究出來?！钡?7頁研究意味著發(fā)覺與創(chuàng)造所謂發(fā)覺和創(chuàng)造，并非高深莫測。法國數(shù)學(xué)家阿達瑪指出：“一個學(xué)生處理某一個代數(shù)問題或幾何問題過程，與數(shù)學(xué)家做出發(fā)覺和創(chuàng)造過程含有相同性質(zhì)，至多只有程度上差異?！边@也正是把研究引入數(shù)學(xué)教學(xué)過程中依據(jù)和意義所在。（程向陽.問題處理與研究性教學(xué)意識培養(yǎng).《阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）》，第18卷第1期，第61-64頁）第48頁“創(chuàng)新”與“研究”是密不可分教育部在《深入加強高等學(xué)校本科教學(xué)工作若干意見》中，尤其提倡“主動推進研究性教學(xué)，提升大學(xué)生創(chuàng)新能力.”國家最近提出“落實科學(xué)發(fā)展觀，建設(shè)創(chuàng)新型國家”戰(zhàn)略構(gòu)想.參見：汪勁松，等《實施研究性教學(xué)，推進創(chuàng)新型教育》，《中國高等教育》第6期第26頁第49頁做一名研究型數(shù)學(xué)教師只有研究型教師才能勝任教育改革和創(chuàng)新要聯(lián)絡(luò)課改實際開展教育科研要有科學(xué)態(tài)度和方法行動研究是中學(xué)教師進行教育科研基本方法—在研究中行動，在行動中反思，在思索中研究第50頁[美]國家研究理事會《教育科學(xué)研究》關(guān)于研究設(shè)計要求:

提出主要可進行實證研究問題；建立研究和相關(guān)理論聯(lián)絡(luò)；使用能夠直接研究問題研究方法；提供一條嚴(yán)密明確推理鏈；實施重復(fù)驗證和研究推廣；公開研究結(jié)果以勉勵專長、檢驗和批評。第51頁研究設(shè)計基本內(nèi)容:研究目標(biāo)（假設(shè)）、內(nèi)容、關(guān)鍵概念界定選題意義、國內(nèi)外研究現(xiàn)實狀況評述研究思緒、研究技術(shù)路線和方法、步驟研究結(jié)果及評價立項論證與開題論證目標(biāo)不一樣論證側(cè)重點不一樣體例不完全相同第52頁§6.6差異教學(xué)理論面向全體是優(yōu)質(zhì)教育主要特征，而“面向全體”在某種意義上說與“照料差異”是同義語。差異教學(xué)，是班集體課堂教學(xué)中立足于學(xué)生個性差異，滿足學(xué)生個別學(xué)習(xí)需要，以促進每個學(xué)生在原有基礎(chǔ)上得到充分發(fā)展教學(xué)。認可個性差異是差異教學(xué)前提，學(xué)生個體差異表現(xiàn)為家庭文化背景差異、先前知識基礎(chǔ)差異、志向水平或?qū)W習(xí)動機差異、智力差異、能力傾向差異、學(xué)習(xí)方式差異和性別學(xué)習(xí)差異等。差異是課堂教學(xué)動力基礎(chǔ)和可能性條件，應(yīng)把學(xué)生差異作為教學(xué)起點和歸宿。第53頁準(zhǔn)確地說，差異教學(xué)，不但是一個教學(xué)模式，更是表達了一個教學(xué)思想、教學(xué)理念.是一個指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計基本原理，它能夠經(jīng)過各種詳細教學(xué)方式、方法表達出來.同時，它又是一個開放性體系，能夠不停地吸收新教學(xué)經(jīng)驗、教學(xué)方法、教學(xué)思想，不停完善和發(fā)展，利用不一樣教學(xué)模式，有詳細操作步驟.第54頁數(shù)學(xué)差異教學(xué)對數(shù)學(xué)后進生教學(xué)對數(shù)學(xué)優(yōu)異生教學(xué)男女生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)差異研究有特殊學(xué)習(xí)需要學(xué)生課堂