山東省煙臺市蓬萊區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年山東省煙臺市蓬萊區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

（五四學(xué)制）

一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共計30分，每題只有一個正確答案。）

1.（3分）在RtZ\A8C中，ZC=90°,cosA=工，那么sinB的值等于（）

A.AB.亞C.近D.1

222

2.（3分）已知△ABC三邊AC,BC,AB的長度分別5,13,現(xiàn)將每條邊的長度都擴大為原

來的3倍（）

A.不變B.縮小為原來的工

3

C.擴大為原來的3倍D.不能確定

3.（3分）反比例函數(shù)產(chǎn)（2/77-1）xm2-2的圖象在第二，四象限（）

A.-1B.1C.-1或1D.-毒或F

4.（3分）在平面直角坐標系中，拋物線y=-7-幺與坐標軸只有一個交點，則憶的值可能

為（）

A.-3B.-2C.-1D.0

5.（3分）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器計算sin72°38'25",按鍵順序正確的

是（）

C.I八人_JI__JI_)

6.（3分）將拋物線y=7-2什3通過某種方式平移后得到拋物線y=（%-4）2+4,則下列

平移方式正確的是（）

A.向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度

B.向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度

C.向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度

D.向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度

7.（3分）如圖，己知△ABC的三個頂點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的為（）

A-coseWB.tan^*tanC=1

C.sinB=sinCD.^ang=A

8.（3分）若點（xi,yi）（★,y2）（將，”）都是反比例函數(shù)y二一'一1圖象上的點,并且

X

Xl<0<^2<%3，則下列各式中正確的是（）

A.yi<0<y2<y3B.y\<0<y3<y2

C.y2Vy3VoVyiD.”VyiV0Vy3

9.（3分）二次函數(shù)-云+c（”W0）的圖象如圖所示，則下列說法：①。>0；③a-

b+c=O；④當-l<x<3時；⑤3a+c=0.其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.（3分）在同一直角坐標系中，反比例函數(shù)y=K與二次函數(shù)-履-上的大致圖象可

三、解答題（本題共8個小題，共計72分。17題5分，18題6分，19題6分，20題9分,

17.（5分）計算：V2sin45°+tan260°-（----L^）0+2sin60°.

2cos600

18.（6分）已知a>p均為銳角，且滿足|sinQ-11+J（tan8-1）?，求

AA12-4cosd+cos6-（V2）I的值，

19.（6分）如圖，在RtaABC中，N8AC=90°工，E為4c上一點，且4E：EC=2：1,

20.（9分）如圖，直線）'=2r+2與），軸交于A點，與反比例函數(shù)y工■過"作

x

軸于點兒且tan/4HO=2.

（1）求反比例函數(shù)表達式；

⑵點N（m1）是反比例函數(shù)y=&（x〉0）圖象上的點，使得PM+PN最小?若存在，

x

求出點P的坐標，請說明理由；

（3）將直線y=2x+2向下平移1個單位后與反比例函數(shù)y上（x>0）的圖象交于一點Q

X

（相，n）,求工一2的值.

mn

y

21.（11分）小明同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)>=/+公+。圖象時，由于粗心，他算錯了一

個y值（每個小格表示1個單位長度）:

X???-10123…

y=ax1+bx+c…53236…

（1）請指出這個錯誤的y值，并說明理由；

（2）請在網(wǎng)格中畫出此二次函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合圖象回答：

①當-2<xW2時，y的取值范圍是

②當時，x的取值范圍是.

「nn

III

J

22.（8分）一座拱橋的示意圖如圖2所示，當水面寬為16米時，橋洞頂部離水面4米.已

知橋洞的拱橋是拋物線

（1）建立合適的平面直角坐標系，求該拋物線的表達式；

（2）由于暴雨導(dǎo)致水位上漲了1米，求此時水面的寬度：

（3）已知一艘貨船的高為2.16米，寬為3.2米，其截面如圖3所示.為保證這艘貨船可

以安全通過拱橋（結(jié)果精確到01）

23.（8分）某校為了迎接祖國華誕74周年，豐富學(xué)生社會實踐活動，決定組織九年級學(xué)生

到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí).如圖，A位于學(xué)校的南偏西75°方向，

C位于學(xué)校北偏東30°方向&切?處.如果將九年級學(xué)生分成兩組分別參觀學(xué)習(xí)，兩組

學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)，速度是40h“〃7：第二組學(xué)生乘坐公交車前往C地,速度是30kmih.請

問：哪組學(xué)生先到達目的地？并通過計算說明理由.（參考數(shù)據(jù)：72^1.414,73^1.732,

五比2.449）

A

24.（7分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長）,

用28機長的籬笆圍成一個矩形花園ABC。（籬笆只圍AB,BC兩邊），花園的面積為3川.

（1）求S與x之間的函數(shù)表達式；

（2）若在尸處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是\6m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)

（含邊界，不考慮樹的粗細）

25.（12分）如圖，二次函數(shù)yi=/+znr+l的圖象與y軸相交于點A,與反比例函數(shù)”=二三（*

x

<0）的圖象相交于點B（ml）.

（1）求出a的值及二次函數(shù)的表達式；

（2）當yi隨x的減少而增大且時，直接寫出x的取值范圍；

（3）在拋物線上是否存在一點E,使△ABE的面積等于」互，若存在請求出E點坐標;

8

（4）在x軸上確定一點P使△APB為直角三角形，請直接寫出尸點的坐標.

2023-2024學(xué)年山東省煙臺市蓬萊市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

（五四學(xué)制）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共計30分，每題只有一個正確答案。）

1.（3分）在RtZVIBC中，ZC=90°,cosA=X那么sinB的值等于（）

A..1B.亞C.近D.1

222

【分析】先根據(jù)cos4=工求出/A的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，由

2

特殊角的三角函數(shù)值即可得出sinfi的值.

【解答】解：YRtZXABC中，ZC=90°-1,

2

AZA=60°,

AZB=90°-ZA=90°-60°=30°,

...sin8=sin30°=1.

2

故選：A.

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及直角三角形的性質(zhì)，熟記各特殊角的三角

函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.

2.（3分）已知△ABC三邊AC,BC,AB的長度分別5,13,現(xiàn)將每條邊的長度都擴大為原

來的3倍（）

A.不變B.縮小為原來的工

3

C.擴大為原來的3倍D.不能確定

【分析】首先利用勾股定理的逆定理證明aABC為直角三角形，則COSA=3￡=且將每

AB13

條邊的長度都擴大為原來的5倍，則挺由此可得出答案.

AB13

【解答】解:,將△ABC三邊AC,BC,12,

/.ACa+BC2=82+122=169,AB3=132=169,

：.AC1+B（^=AB2,

.?.△45C為直角三角形，即/C=90°,

/.cos/A=-^-=-5-,

AB13

現(xiàn)將每條邊的長度都擴大為原來的7倍，則蛆=_L

AB13

cosA的值不變.

故選：A.

【點評】此題主要考查了余弦函數(shù)的定義，熟練掌握余弦函數(shù)的定義，理解三角形的邊

長都擴大為原來的5倍時，比值不變是解決問題的關(guān)鍵.

3.(3分)反比例函數(shù)y=(2/n-1)XIRZ-2的圖象在第二，四象限()

A.-IB.IC.-1或1D.-M或如

【分析】由反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限，得到反比例系數(shù)-1小于0,且x的

指數(shù)等于-1,列出關(guān)于膽的方程，求出方程的解，即可得到加的值.

【解答】解：???反比例函數(shù)y=(2/n-1)的圖象在第二，

..2m-6<0,且蘇-6=-1,

解得：機<」，且m=±1,

4

則m=-1.

故選：A.

【點評】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)y=K(%#()),當&>0時，圖象位

x

于第一、三象限，且在每一個象限，y隨x的增大而減??；當k<0時，圖象位于第二、

四象限，且在每一個象限，y隨x的增大而增大.

4.(3分)在平面直角坐標系中，拋物線y=-/-k與坐標軸只有一個交點，則k的值可能

為()

A.-3B.-2C.-1D.0

【分析】由AW0求解.

【解答】解：..?拋物線y=-x2-k與坐標軸只有一個交點，

/.A=02-4X(-1)X(-k)W8,

解得k^O,

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

5.(3分)若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器計算sin72°38'25",按鍵順序正確的

是()

A0QQDQQD000

B.0QQHQQQQ0Q

C.

D.

【分析】根據(jù)計算器的使用方法進行解題即可.

【解答】解：根據(jù)計算器的使用方法可知，

依次輸入sin,72,38,25,=?

故選：D

【點評】本題考查計算器，熟練掌握計算器的使用方法是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）將拋物線y=/-2x+3通過某種方式平移后得到拋物線y=（%-4）2+4,則下列

平移方式正確的是（）

A.向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度

B.向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度

C.向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度

D.向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度

【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到.

【解答】解：,.，=7-2x+7=（x-1）2+7的頂點坐標為（1,2）2+4的頂點坐標為（4,

4）,

...將拋物線），=/-2x+5向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度得到拋物線y

=（x-5）2+4,

故選：A.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法

則是解答此題的關(guān)鍵.

7.（3分）如圖，已知AABC的三個頂點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的為（)

A.coseWB.lanB*tanC=1

C.sinB=sinCD.^ang=A

【分析】先設(shè)小正方形的邊長為1,利用勾股定理分別求出AC=M，AB=2?,BC=

VlO.進而可得為直角三角形，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出cosC,tanB,

tanC,sinB,sinC,進而可對題目中的四個選項進行判斷，從而可得出答案.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1,

由勾股定理得：我，AB=*7病&，

'：AC2=2,他4=8,BC2=10,

:.AC6+AB2^BC2,

.'.△ABC為直角三角形,即NA=90°,

:.cosC=^==立~,

BCV105

故選項A正確；

VtanB=-^-==j-,tanC=~^="J,

AB2722ACV2

tanB,tanC=Ax2=1,

6

故選項B正確；

「sin”心—返，心嶇=隹=也

BCV105BCV105

.?.sinBWsinC,

故選項C不正確；

*/tanB=—9

7

?,?選項。正確.

故選：c.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問

題的關(guān)鍵.

8.（3分）若點（XI,）1）（X2,72）（用，>3）都是反比例函數(shù)y二圖象上的點，并且

X

XI<0<^2<?,則下列各式中正確的是（）

A.yi<O<y2<y3B.yi<0<y3<）2

C.3V0<yiD.y2<yi<0<y3

【分析】首先確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)其增減性解答即可.

【解答】解：???-F-1<6,

二反比例函數(shù)圖象位于二、四象限，），隨x的增大而增大，

V%1<0<%6<%3,

，點（xi,”）在第二象限，點（X2,y2）、（%4>”）在第四象限，

故選：C.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9.（3分）二次函數(shù)），-法+c（ar0）的圖象如圖所示，則下列說法：①a>0；③

b+c=0；④當-l<x<3時；⑤3a+c=0.其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象開口向下，可知a〈0,從而可以判斷①；根據(jù)對稱軸為直線x=l,

可以判斷②；根據(jù)圖象中，當x=l時，y=a-b+c>0可以判斷③；根據(jù)圖象可以判斷④;

根據(jù)當x=-I時，y="+b+c和b=2a可以判斷⑤.

【解答】解：由圖象可得，

。<0,故①錯誤；

-二旦=7,2a-b=0,不符合題意；

2a

當x=3時，y—a-&+c>0,不符合題意;

當-l<x<4時，y>0,符合題意；

當x=-1時，y—a+b+c—2,故⑤正確；

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

_k

10.（3分）在同一直角坐標系中，反比例函數(shù)y與二次函數(shù)y=7-kx-k的大致圖象可

【分析】根據(jù)k的取值范圍分當k>0時和當*<0時兩種情況進行討論，根據(jù)反比例函

數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷即可.

【解答】解：當時，反比例函數(shù)y=K、三象限2-fcv-k的圖象開口向上，其對稱

X

軸X=1，且與y軸交于負半軸、。不符合題意；

當ZV0時，反比例函數(shù)y*、四象限2-依-%的圖象開口向上，其對稱軸*工，且與

x7

y軸交于正半軸，選項B符合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)

鍵是根據(jù)k的取值范圍分當Jt>0時和當k<0時兩種情況進行討論.

二、填空題（本題共6個小題，每小題3分。共計18分）

11.(3分)在函數(shù)中,自變量x的取值范圍是X2-1FlxWO.

x

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0,分母不等于0,可

以求出X的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：x+l，0且xW2,

解得：x2-1且x#0.

故答案為：X2-3且x#0.

【點評】考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的取值范圍一般從三個方面考慮：

(1)當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

12.(3分)已知二次函數(shù)y=3(x-a)2的圖象上，當x>2時，v隨x的增大而增大aW2.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱軸不大于2列式計算即可得解.

【解答】解：二次函數(shù)y=3(x-a)2的對稱軸為直線x=“，

：當x>a時，)，的值隨x值的增大而增大，

.?.aW4.

故答案為：aW2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出

不等式是解題的關(guān)鍵.

13.(3分)如圖，為確定某隧道A3的長度，在建設(shè)中測量人員在離地面2700米高度C處

的飛機上，3c的坡比為1：M，則隧道A3的長為1800JQ米(結(jié)果保留根號).

【分析】證明NACB=N8=30°,則A8=C4,即可求解.

【解答】解：如下圖，連接AC,

CM

由題意得：NMC4=60°=ZCAH,

:BC的坡比為1：V3＞則NB=30°,

則/ACB=/B=30°,

則AB=CA=.=27?=1800百，

sinz_CAHV7

T"

故答案為：1800加米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

14.(3分)若函數(shù))，=/+(m+2)x+^n+1的圖象與x軸只有一個交點0或2或-2.

【分析】當機=0時，函數(shù)為一次函數(shù)與X軸有一個交點，當相70時，△=()時，拋物

線與x軸只有一個交點.

【解答】解：當帆=0時，函數(shù)為y=2x+4.

當機70時，△=06-4m(―=0.

3

解得：加=±7.

...當根=0,或，"=±2時4+(m+2)x+Ln+1的圖象與x軸只有一個交點.

6

故答案為：0或3或-2.

【點評】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，

分類討論是解題的關(guān)鍵.

15.(3分)如圖，在平面直角坐標系中，菱形480c的頂點。在坐標原點，N8OC=60°,

頂點C的坐標為(〃33我)K的圖象與菱形對角線AO交于點。，連接8D,%的值是

X

【分析】延長AC交y軸于E,如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC〃。&則4E_Ly軸，再由N

BOC=60°得到NCOE=30°,則根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CE=

叵OE=3,OC=2CE=6,接著根據(jù)菱形的性質(zhì)得OB=OC=6,NBOA=30°,于是在

3

中可計算出8。=漁08=2代，所以力點坐標為（-6,2瓶），然后利用反

3

比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出k的值.

【解答】解：延長4c交y軸于E,如圖，

???菱形ABOC的頂點O在坐標原點，邊8。在x軸的負半軸上，

：.AC//OB,

；.AE_Ly軸，

：NBOC=60°,

AZCOE=30°,

而頂點C的坐標為（〃33如）,

：.OE=3如,

."￡：=返-。6=3,

4

：.OC=2CE=6,

?.?四邊形ABOC為菱形，

：.OB=OC=6,ZBOA=30°,

在RtZ\B￡>0中，

；8。=亞08=2代，

6

二￡>點坐標為（-7,2亞,

?反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點D,

X

：.k=-5x25/3=-1274.

故答案為-12?.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相

等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形,

它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)

系.

16.(3分)小蘭畫了一個函數(shù)y=/+or+%的圖象如圖，則關(guān)于x的方程x2-ox+h=0的解

是xi=-4,x2=l.

【分析】先利用交點式寫出拋物線解析式得到。=-3,%=-4,則關(guān)于x的方程/-ax+b

=0化為/+3x-4=0,然后利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：???函數(shù)y=f+ar+b的圖象與x軸交于點(7,2),0),

二函數(shù)解析式為y=(x+1)(x-5),

即y—x1-3x-2,

?h~~~4,

二.關(guān)于x的方程x6-ax+b=0化為/+5x-4=0,

解得X7=-4,X2=4,

故答案為：無1=-4,X2=\.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù))=蘇+灰+c(m4c是常數(shù),

aKO）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性

質(zhì).

三、解答題（本題共8個小題，共計72分。17題5分，18題6分，19題6分，20題9分,

17.（5分）計算：V2sin45°+tan260°-（-----1----）°+2sin60°.

2cos60°

【分析】利用特殊銳角的三角函數(shù)值，零指數(shù)幕計算即可.

【解答】解：原式=&xY2+（V3）2-8+2XYW

23

=1+3-8+百

=3+娓.

【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

18.（6分）己知a、p均為銳角，且滿足|sinCCV1+7（tanP-1）2，求

4cosa+cos8-（V2）1的值，

【分析】根據(jù)絕對值及其算術(shù)平方根的非負性，結(jié)合特殊銳角的三角函數(shù)值求得a,p

的度數(shù)，然后代入原式計算即可.

【解答】解：由題意可得sina-工=3,

2

貝ljsina=工，tanp=4,

2

那么a=30°,0=45°,

原式=2?-8X亞_+近-近

225

=2我-5?+亞-返_

32

=3.

【點評】本題考查實數(shù)的運算，絕對值及其算術(shù)平方根的非負性，結(jié)合已知條件求得a,

P的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

19.（6分）如圖，在RtZ\A8C中，ZBAC=90QA,E為AC上一點，且AE：EC=2：I,

3

求tanZCFE.

B

E

【分析】過點C作交AF的延長線于“，先由sinN演C=E2=工，設(shè)EF=k,

AF3

AE=3k,則4尸=2V^k，證Er〃CH得AF：FH=AE：EC=2：1,NCFE=NHCF,

由此得FH=&A,則AH=3&k,再證△AEF和△AC”相似得AF：AH=EF：CH,由

此得CH=1.5k,然后在RtACFH中得tan/”CF=EH=返'=2巨，最后再根據(jù)/

CH1.5k3

CFE=NHCF即可得出答案.

【解答】解：過點C作CH_LA/交4尸的延長線于H,如圖：

3

在Rt^AEF中，sin/1KAe=g2=2

AF3

設(shè)EF=鼠AE=3k,

由勾股定理得：AF=VAE4-EF2=2>/8k)

"JEFLAF,CHIEF,

J.EF//CH,

：.AF：FH=AE：EC=2：1,NCFE=NHCF,

：,5&kFH=2：5,

：.FH=\]2k,

:.AH=AF+FH=3近k,

,JEF//CH,

^AEF^AACH,

：.AF：AH=EF：CH,

；.2&k：772，

:?CH=\3k,

在RtZ\CF”中，tanN，CF=FK=YlX_=22巨，

CH1.7k8

AtanZCFE=tan/HCF=2M.

2

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比

例定理，熟練掌握正切函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定

理是解決問題的關(guān)鍵.

20.(9分)如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數(shù)(x>0)，過M作

軸于點，，且tan/AaO=2.

(1)求反比例函數(shù)表達式；

(2)點N(a,1)是反比例函數(shù)y=&(x〉0)圖象上的點，使得PM+PN最小?若存在，

X

求出點尸的坐標，請說明理由；

(3)將直線y=2x+2向下平移I個單位后與反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象交于一點Q

X

Cm,n),求"的值.

【分析】(1)根據(jù)直線解析式求A點坐標，得OA的長度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求OH

的長度，得點〃的橫坐標；根據(jù)點M在直線上可求點M的坐標，進而可求女的值：

(2)根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求N點坐標；作點M關(guān)于y軸的對稱點Mi,連接NMi

與y軸的交點就是滿足條件的P點位置.

(3)直線y=2x+2向下平移1個單位后解析式y(tǒng)=2x+l,與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組得到

相、”的值代入計算即可.

【解答】解：(1)由y=2r+2可知A(2,2).

；tanNAHO=2,

OH=5.

軸,

，點M的橫坐標為1.

???點M在直線y=2x+7上，

.,.點M的縱坐標為4,即M（l.

,點時在、=區(qū)上，

X

"=7X4=4.

反比例函數(shù)表達式為尸區(qū)；

x

（2）存在.

過點M作M關(guān)于y軸的對稱點Mi,連接NMi,交y軸于尸（如圖所示）.此時PM+PN

最小.

?:點、N（小5）在反比例函數(shù)y=￡

X

??.〃=4,即點N的坐標為（6.

???M與Mi關(guān)于y軸的對稱，M點坐標為（1,

???M4的坐標為（-1,4）.

設(shè)直線NM?的解析式為y=kx+b.

由卜k+b=4,解得

I4k+b=2

?,?直線MN\的解析式為y=-卷葉卷，

令x=0,得），=_1Z_.

5

，產(chǎn)點坐標為（0,.II）.

5

（3）直線y=4x+2向下平移1個單位后解析式為：y=6x+l,聯(lián)立方程組得：

y=2x+7

45

【點評】此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及線路最短問題，難度中等.

21.（11分）小明同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)ynM+foc+c圖象時，由于粗心，他算錯了一

個y值（每個小格表示1個單位長度）：

x-10123…

y=a）?+bx+c53236

（1）請指出這個錯誤的），值，并說明理由；

（2）請在網(wǎng)格中畫出此二次函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合圖象回答：

①當-2<xW2時，y的取值范圍是2Wy〈ll

②當y23時，x的取值范圍是xWO或x22

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于對稱軸對稱的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得答案.

（2）描點、連線化成圖象即可；

（3）根據(jù)圖象即可求得.

【解答】解：（1）由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得

（0,3）,6）,3）在函數(shù)圖象上，

把(0,8),2),3)代入函數(shù)解析式,

c=6

得：(a+b+c=2，

4a+3b+c=3

'a=l

解得：,b=-4>

c=3

函數(shù)解析式為-7x+3,

x--1時y—4,

故y錯誤的數(shù)值為5.

(2)函數(shù)圖象如圖:

-8-

⑶x=-2時，>■=(-7)2-2X(-5)+3=11,

觀察圖象，①當-2<xW3時：

②當時，x的取值范圍是xWO或x23.

故答案為：2Wy<ll；xWO或無25.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以

及二次函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.(8分)一座拱橋的示意圖如圖2所示，當水面寬為16米時，橋洞頂部離水面4米.已

知橋洞的拱橋是拋物線

(1)建立合適的平面直角坐標系，求該拋物線的表達式；

(2)由于暴雨導(dǎo)致水位上漲了I米，求此時水面的寬度；

(3)已知一艘貨船的高為2.16米，寬為3.2米，其截面如圖3所示.為保證這艘貨船可

以安全通過拱橋(結(jié)果精確到0.1)

【分析】（1）以AB的中點為平面直角坐標系的原點O,AB所在線為x軸，過點。作AB

的垂線為），軸建立平面直角坐標系；因此，拋物線的頂點坐標為（0,4）,可設(shè)拋物線的

函數(shù)表達式為y=o?+4,再將B點的坐標（8,0）代入即可求解；

（2）根據(jù)題（1）的結(jié)果，令y=l求出x的兩個值，從而可得水面上升1，〃后的水面寬

度；

（3）將x代入，得出y的值，進而減去貨船的高度，即可求解.

【解答】解：（1）以A8的中點為平面直角坐標系的原點。，AB所在線為x軸，建立的

平面直角坐標系如下：

根據(jù)所建立的平面直角坐標系可知，B點的坐標為（8,拋物線的頂點坐標為（0,

因此設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=aQ+4,

將B（8,6）代入得：82Xa+5=0,

解得：。=-上，

16

則所求的拋物線的函數(shù)表達式為：了:-冬一+生

16

（2）由題意，令）=5得）=-得f+3=l,

解得：x=±W^,

則水面上升1根后的水面寬度為：8a（米），

（3）由題意,當x=L6時且義（1.6）5+1=3.84,

16

???一艘貨船的高為8.16米，

.?.水面在正常水位的基礎(chǔ)上最多能上升3.84-2.16=8.6821.7（米）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)建立的平面直角坐標系求出函數(shù)的表達

式是解題關(guān)鍵.

23.（8分）某校為了迎接祖國華誕74周年，豐富學(xué)生社會實踐活動，決定組織九年級學(xué)生

到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí).如圖，A位于學(xué)校的南偏西75°方向，

C位于學(xué)校北偏東30°方向處.如果將九年級學(xué)生分成兩組分別參觀學(xué)習(xí)，兩組

學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)，速度是40W/Z：第二組學(xué)生乘坐公交車前往C地,速度是30km/h.請

問：哪組學(xué)生先到達目的地？并通過計算說明理由.（參考數(shù)據(jù)：72^1.414,北Q1.732,

五右2.449）

【分析】過點B作于。，在RtZ^BCD中證得20=8,設(shè)8O=x,則C￡）=x,

在中，ZBAC=30°,利用三角函數(shù)定義表示出AC的長，在中，利

用三角函數(shù)表示出CD的長，由AD+CD=AC列出方程問題得解.

【解答】解：第二組學(xué)生先到達目的地.

如圖，過點B作8。，AC于。.

依題意得，/8AE=45°,NCAE=15°,

AZMC=30°,

：.ZACB=45°.

在RtZ\BCD中，ZB￡>C=90°,

：.ZCBD=45°,

:.NCBD=NDCB,

：.BD=CD.

設(shè)BD=x,則CD=x,

在中，ZBAC=30°,

：.AB=2BD=2x,tan30?染

?&_X

??-------~>

3AD

，AD=V3X，

在RtZXBDC中，ZBDC=90°,

?'?gin/DCR=^->

sin乙火DBC2

BC=V2x，

VCD+AD=30+30V6>

x+V3x=30+30V3)

?,.x=30,

.?.A2=8x=60,BC=V2x=30V2>

第一組用時：604-40=6.5(h)；第二組用時：30V2^-30=V6(h).

VA/2<1.4,

第二組學(xué)生先到達目的地.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助

線面構(gòu)造直角三角形解決問題.

24.（7分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），

用28機長的籬笆圍成一個矩形花園ABC。（籬笆只圍AB,BC兩邊），花園的面積為S，R

（1）求S與x之間的函數(shù)表達式；

（2）若在P處有一棵樹與墻CD,A。的距離分別是16根和要將這棵樹圍在花園內(nèi)

（含邊界，不考慮樹的粗細）

【分析】(1)根據(jù)題意可以列出面積與x的關(guān)系式，然后由花園的面積為180m2,可以

求得相應(yīng)的x的值；

(2)由題意可知ABN6,CB216,從而可以得到x的取值范圍，然后進行討論，即可求

得花園面積S的最大值.

【解答】解：(1)由題意，得

S=x(28-x)；

(2)由題意，

(x)6,

l28-x>16，

解得，6WxW⑵

?花園面積S=x(28-x)=-(-7