全等三角形（教師版）-【幫課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義（浙教版）

第4課全等三角形

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的概念;能準(zhǔn)確辨認(rèn)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素.

2.掌握全等三角形的性質(zhì);會(huì)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算，解決某些實(shí)際問題.

極知識(shí)精講

冷

軍、知識(shí)點(diǎn)01全等圖形

全等圖形：能夠完全重合能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.

望、知識(shí)點(diǎn)02全等三角形相關(guān)概念

1.能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

2.對(duì)應(yīng)項(xiàng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義

兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.

要點(diǎn)詮釋：

在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把_對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

如下圖，AABC與4DEF全等，記作AABC絲ADEF,其中點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是

對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE,BC和EF,AC和DF是對(duì)應(yīng)邊;ZA和ZD,ZB和ZE,ZC和ZF是對(duì)應(yīng)角.

2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法

(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊，

(2)全簧三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；

(3)有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；

(4)有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；

(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

(6)兩個(gè)金等三角彩中一對(duì)量長的邊(或最大的角)是對(duì)應(yīng)邊(或角),一對(duì)最短的邊(或最小的角)

是對(duì)應(yīng)邊(或角),等等，

拿知識(shí)點(diǎn)03全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等

能力拓展

考點(diǎn)01全等圖形

【典例1］下列圖形是全等圖形的是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等形對(duì)各圖形進(jìn)行判斷.

【解析】解：4兩個(gè)圖形不全等，錯(cuò)誤；

8、兩個(gè)圖形不全等，錯(cuò)誤；

C、兩個(gè)圖形不全等，錯(cuò)誤；

。、兩個(gè)圖形全等，正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的定義，是基礎(chǔ)題，比較簡單，準(zhǔn)確識(shí)圖即可.

【即學(xué)即練1】觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（）

②

3

A.3組B.4組

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：觀察圖①④⑤⑥四組圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折后能夠完全重合，是全等圖形,

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了全等圖形的定義，能夠完全重合的圖形是全等形，難度不大.

考點(diǎn)02全等三角形的相關(guān)概念

【典例2】如圖，AABC^ACDA,ZBAC=ZDCA,則的對(duì)應(yīng)邊是（)

D.AC

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：:△ABC纟△CDA,ZBAC=ZDCA,

J.BC^AD,

：.AD的對(duì)應(yīng)邊為BC,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練2】△ABCg△BA。，A和8、C和。是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，/CAB的對(duì)應(yīng)角是（）

A.ZDABB.ZDBAC.ZDBCD.ZCAD

【思路點(diǎn)撥】畫出圖形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可.

【解析】解:

:△ABCdBAD,A和2、C和。是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

：.ZCAB=ZDBA,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

考點(diǎn)03全等三角形的性質(zhì)

【典例3】如圖，△ABE經(jīng)△QCE,點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)尸在C。延長線上，ZF=ZA,求證：AD//BF.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)△ABE四△￡＞（?￡得到/A=NADC,然后利用//=NA得到NB=/EDC,利用同位

角相等，兩直線平行證得結(jié)論.

【解析】證明：:△ABE纟△OCE,

/.ZA=ZADC,

；NF=NA,

/.NF=AEDC,

C.AD//BF.

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，難度不大.

【即學(xué)即練3】如圖，△ABCgZkQEF,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)。，點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,點(diǎn)8、F、C、E在一條直線上，Z

A=85°,NE=50°,AB=4,EF=6.

（1）求NACB的度數(shù)；

（2）求AC邊的取值范圍.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/B=NE=50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)

論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=EF=6,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解析】解：（1）；Z\ABC注ADEF,

：.ZB=ZE=50°,

VZA=85°,

：.ZACB=1800-ZB-ZA=45°；

(2)?；AABC空ADEF,

:?BC=EF=6,

???A8=4,

A6-4<AC<6+4,

???AC邊的取值范圍為：2VAeV10.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角

形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列四組圖形中，與如圖圖形全等的是（）

【思路點(diǎn)撥】認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)全等形的定義，能夠重合的圖形是全等形，可得答案.

【解析】解：A、與已知圖形不能重合，故此選項(xiàng)不合題意；

8、與已知圖形能完全重合，故此選項(xiàng)符合題意；

C、與已知圖形不重合，故此選項(xiàng)不合題意；

。、與已知圖形不重合，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等圖形，屬于較容易的基礎(chǔ)題，做題時(shí)要認(rèn)真觀察圖形，同時(shí)還要想到是否能

夠重合.

2.如圖所示，△ABC經(jīng)△CD4,且AB與C。是對(duì)應(yīng)邊，那么下列說法錯(cuò)誤的是（）

1

B

A./I與/2是對(duì)應(yīng)角B.NB與/。是對(duì)應(yīng)角C.BC與AC是對(duì)應(yīng)邊D.AC與CA是對(duì)應(yīng)邊

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等解答.

【解析】解：?.,△ABC絲△CD4,

；.A、/I與/2是對(duì)應(yīng)角，正確，不符合題意；

B、與ND是對(duì)應(yīng)角，正確，不符合題意；

C、與ZM是對(duì)應(yīng)邊，故錯(cuò)誤，符合題意；

D、AC與C4是對(duì)應(yīng)邊，正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是

解題的關(guān)鍵.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)△A2C段從而推出對(duì)應(yīng)角相等求解.

【解析】解：:,△ABC纟△DEF,

/.ZA=ZD=30°,ZB=Z￡=80°,ZC=ZF,

,：ZD+ZE+ZF=180°,

:.NF=70°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.

4.如圖，已知纟RtZ\CDB,則/AZ)8+/C=()

D.無法確定

【思路點(diǎn)撥】利用全等三角形的性質(zhì)求得/A的度數(shù)，然后利用直角三角形的性質(zhì)求得答案即可.

【解析】解：VRtAABD^RtACDB,

，NC=NA,

ZADB+ZC=ZADB+ZA=90°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，難度不大.

5.如圖，AB,C。相交于O,△0CA纟△03。，49=6,3。=4,則CZ）的長為（）

【思路點(diǎn)撥】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出AO=OO=6,CO=BO=4,進(jìn)而得出答案.

【解析】解：?.,△OCA絲△08。，AO=6,BO=4,

：.AO=DO=6,CO=BO=4,

：.DC=DO+CO=6+4=10.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

6.如圖，△AB8ADBE,ZABC=80°,ZD=65°,則NC的度數(shù)為35°.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到N8AC=/。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案.

【解析】解：,:△AB8ADBE,ZD=65°,

：.ZBAC=ZD=65°,

VZABC=80°,

AZC=180°-AABC-ZBAC^35a,

故答案為：35°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的

關(guān)鍵.

7.如圖，AABC出ADEC,點(diǎn)、B,C,。在同一條直線上，且CE=2,C￡)=4,則BD的長為6

A

/E

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而解答即可.

【解析】解：；△ABC/ADEC,CE=2,CD=4,

:.BC=CE=2,

：.BD=BC+CD=4+2=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等解答.

8.如圖，AB,CD相交于點(diǎn)O,AAOB^ADOC,且乙4=80°,ZDOC=30°,8。=23,AO=18,求/

DCO的度數(shù)和BD的長度.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可以解答本題.

【解析】解：vAAOB^ADOC,/A=80°,OA=18,BO=23,

：.ZD=ZA=SO°,DO=AO=1S,

：.ZDCO=1SO°-ZD-ZDOC=180°-80°-30°=70°,

.,.80=80+00=23+18=41,

即NQCO=70°,BD的長度是41.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

9.如圖，△ABC出LADE,AC和AE,AB和4。是對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)E在邊BC上，A8與。E交于點(diǎn)

(1)求證：ZCAE^ZBAD；

(2)若N8AO=35°,求N8E。的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NBAC=NZME,再求出答案即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出

ZD+ZBAD+ZAFD=180°,ZB+ZEFB+ZBED=180°,求岀/BE￡>=NBA。即可.

【解析】（1）證明：:△ABC四△AOE,

ZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

：.ZCAE=ZBAD；

（2）解：VAABC^AADE,

：.ZD=ZB,

VZAFD=ZEFB,ZD+ZBAD+ZAFD=1?,O°,ZB+ZEFB+ZBED=180°,

：.ZBED=ZBAD,

'：ZBAD^35°,

：.ZBED=35°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵,

注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.

題組B能力提升練

10.如圖，有四張小畫片，畫的都是用七巧板拼成的人物圖形，與另外三張與眾不同的是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，圖形重合的是全等形，不重合的不是全等形,

進(jìn)行判斷.

【解析】解：根據(jù)四個(gè)圖片可以看出C選項(xiàng)中圖形與其他三個(gè)不同,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等形的概念，判定是不是全等形主要看圖形是不是能夠重合.

11.如圖，AADF出LCBE,有以下結(jié)論：?AF=CE；②/1=/2；③BE=CF；?AE=CF.其中正確的

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形得出對(duì)應(yīng)邊以及對(duì)應(yīng)角即可.

【解析】解：?.,△AO戸纟△CBE,

：.@AF^CE；②N1=N2；③BE=DF；?AE^CF,故只有③錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

12.如圖，已知厶人?'纟△ACM,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.NB=NCB./BAM=/CANC./AMN=/ANMD./AMC=/BAN

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等判斷即可.

【解析】解：A、:△ABN四△ACM,

ZB=ZC,本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

B、,:AABN沿AACM,

：.ZBAN=ZCAM,

：./BAN-NMAN=ZCAN-/MAN,

ZBAM=ZCAN,本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

C、:△ABN纟△ACM,

/.ZAMN=ZANM,本選項(xiàng)說法正確，不符合題意;

D、V/\ABN^/\ACM,

ZAMC=ZANB,本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，已知△ABC纟△?DBE,ZA=36°,ZB=40°,則的度數(shù)為76°.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NA=ND=36°,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案.

【解析】解：；△ABCgADBE,

，—。=36°,

,/ZAED是△BDE的外角，

ZAED=ZB+ZD=400+36°=76°.

故答案為：76。.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

14.一個(gè)三角形的三邊為2、4、無，另一個(gè)三角形的三邊為y、2、5,若這兩個(gè)三角形全等，則x+y=9

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出x=5,y=4,再代入x+y求出答案即可.

【解析】解：???一個(gè)三角形的三邊為2、4、x,另一個(gè)三角形的三邊為y、2、5,兩三角形全等，

'.x—5,y=4,此時(shí)x+y—9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解此題的關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)A、B、C、。在同一直線上，AACE^ADBF,AD=8,BC=2.

(1)求AC的長；

(2)求證：CE//BF,AE//DF.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等解答即可;

(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和平行線的判定解答即可.

【解析［解：(1)；AACE咨ADBF,

J.AC^DB,

"：AC+BD=AD+BC,

：.2AC=AD+BC,

VAD=8,BC=2,

.?.2AC=8+2=10,

：.AC=5；

(2)V

AZECA=ZFBD,ZA=ZD,

J.CE//BF,AE//DF.

【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等解答.

16.如圖，AACF^ADBE,/E=NF,若A￡>=11,BC=7.

(1)試說明AB=CD

(2)求線段AB的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=Q8,然后推出AB=CD,

(2)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解析】解：(1),:4ACF絲ADBE,

：.AC=DB,

:.AC-BC=DB-BC,

即AB=CD

(2)：AO=11,BC=7,

：.AB=1-CAD-BC)=-Lx(11-7)=2

22

即AB=2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，根據(jù)圖形以及全等三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)

位置上準(zhǔn)確找出AC、是對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

17.已知△A8C纟△OERAB=2,AC=3,若△。所周長為偶數(shù)，則EF的取值為（）

A.2或3或4B.4C.3D.2

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閮蓚€(gè)全等的三角形對(duì)應(yīng)邊相等，所以求的長就是求BC的長.

【解析】解：?..AB：2,AC=3,

/.3-2<BC<3+2,

：.1<BC<5.

若周長為偶數(shù)，BC也要取奇數(shù)所以為3.

AABgADEF,

C.AB^EF,

的長也是3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及三角形的三邊關(guān)系.

18.△ABC中，NB=/C,若與AABC全等的三角形中有一個(gè)角是92°,則這個(gè)角在△ABC中的對(duì)應(yīng)角

是（）

A.ZAB.NA或/BC.ZCD.NB或/C

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出和/C必須都是銳角，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

即可.

【解析】解：?.?在△A8C中，ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

和NC必須都是銳角，

若與△A2C全等的一個(gè)三角形中有一個(gè)角為92°,那么92°的角在△口□□中的對(duì)應(yīng)角一定是NA,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理

是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

19.如圖，在2X2的方格紙中，N1+/2等于（

C.120°D.150°

【思路點(diǎn)撥】標(biāo)注字母，然后利用“邊角邊”求出AABC和△DE4全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可

得N2=N3,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解.

【解析】解：如圖，在△ABC和△￡>￡?1中，

fAB=DE

>ZB=ZAED=90°，

BC=EA

.?.△ABC纟△DEA(SAS)，

；./2=/3,

在RtzXABC中，Nl+N3=90°,

.,.Z1+Z2=9O°.

【