2023屆浙江省溫州市龍灣中學(xué)高考數(shù)學(xué)試題命題比賽模擬試卷三

2023屆浙江省溫州市龍灣中學(xué)高考數(shù)學(xué)試題命題比賽模擬試卷（3）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.雙曲線_,,的離心率為不則其漸近線方程為

/-不=：（二〉6匚,0）

2.對于函數(shù)f（x）,若占滿足/?（玉）+/（々）=/（玉+々），則稱王，々為函數(shù)的一對“線性對稱點(diǎn)若實(shí)數(shù)a

與匕和a+方與c為函數(shù)/（%）=3*的兩對“線性對稱點(diǎn)”，則c的最大值為（）

4

A.log34B.log34+1C.—D.log34-l

3.已知AB=（2,-1）,AC=（1,2）,若cosNBAC=巫，則實(shí)數(shù)2的值是（）

D.1或7

4.為了得到函數(shù)y=sin的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)（

A.向左平移J個(gè)單位長度B.向右平移?個(gè)單位長度

6O

C.向左平移專個(gè)單位長度D.向右平移看個(gè)單位長度

5.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰

爻，，------，，.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是（）

6.2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成

一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.96B.84C.120D.360

7,已知函數(shù)/(x)=sin(x+K],要得到函數(shù)g(x)=cosx的圖象，只需將y=/(x)的圖象()

A.向左平移專個(gè)單位長度B.向右平移專個(gè)單位長度

C.向左平移2個(gè)單位長度D.向右平移包個(gè)單位長度

1212

8.設(shè)過拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)P(異于原點(diǎn)。)的直線與拋物線丁=8PMp>0)交于A8兩點(diǎn)，直線

s

OP與拋物線y2=8px(p>0)的另一個(gè)交點(diǎn)為。，則不理=()

ABO

A.1B.2C.3D.4

9.如圖所示，正方體ABCD-ABCid的棱長為1,線段所四上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、尸且Ef=在，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的

2

是()

A.ACLBEB.E/〃平面A5Q)

C.三棱錐A-8E尸的體積為定值D.異面直線4E,5月所成的角為定值

10.已知集合例={(x,y)|x+y<4,x、yeN*},則集合M的非空子集個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.7D.8

U.已知數(shù)列{%}是公比為q的等比數(shù)列，且囚，的，的成等差數(shù)列，則公比q的值為()

1_1fl

A.一一B.-2C.一1或一D.1或一一

222

V

12.已知正四面體的內(nèi)切球體積為h外接球的體積為匕則一=()

V

A.4B.8C.9D.27

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知橢圓C:三+營=1(。>?！?)的離心率是?，若以N(0,2)為圓心且與橢圓C有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為

x/26,此時(shí)橢圓。的方程是.

14.已知全集。={-1,0,1},集合A={0,|x|},則Q,A=.

15.設(shè)集合A={1,3},B={X|X2-2X-3<0},則AB=.

16.已知等差數(shù)列{a,,}的前〃項(xiàng)和為S“，且%+%=4+3,則Sg=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖(如

圖所示)，規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.

(2)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)？

(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X,求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

n(ad-bc)2

(參考公式：心=其中〃=a+〃+c+。)

(a+h)(c+d)(a+c)S+d)

2

P(K>k0)0.400.250.150.100.050.025

k。0.7801.3232.0722.7063.8415.024

18.(12分)已知函數(shù)./1(幻=62*+(1-加2卜工一623€火).

(1)證明：當(dāng)x?e2時(shí)，ex>x2;

(2)若函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC—AB|G中，RE分別是ARB用的中點(diǎn)，AA=AC=CB=—AB=42.

2

(1)證明：BC1平面4CD；

(2)求二面角?！狝C—E的余弦值.

20.(12分)已知橢圓C：0+(a>b>0)的離心率為白，且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線V=46x的

焦點(diǎn)重合.過點(diǎn)E(L0)的直線/交橢圓C于"&,yj,N(w，%)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線/過橢圓C的上頂點(diǎn)，求AMON的面積；

(2)若A,3分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線M4,NB,MB的斜率分別為匕，k2,%,求占(4+e)的值.

21.（12分）如圖，在四棱錐A—8CDE中，平面BCDE，平面ABC,BE±EC,BC=1,AB=2,ZABC=60°.

(I)求證：BE1平面ACE；

(H)若銳二面角E-AB-C的余弦值為也，求直線CE與平面ABC所成的角.

20

22.(10分)已知矩陣加=]],求矩陣M的特征值及其相應(yīng)的特征向量.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.

詳解：.-；-X,

?.：|-=三,=\..三="T=\.

因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為二=±.;二,選A.

點(diǎn)睛：已知雙曲線方程一：求漸近線方程：一：一：一.

(二二>4三一$=。=二=±三二I

2、D

【解析】

根據(jù)已知有3"+"+3''=3"+%，可得S'nl+w/G，只需求出3"+&的最小值，根據(jù)

3—1

3"+〃=3"+3",利用基本不等式，得到3"+”的最小值，即可得出結(jié)論.

【詳解】

依題意知，〃與。為函數(shù)/(x)=3,的“線性對稱點(diǎn)”,

所以3a+b=3"+3"2253".3"=，

故3"，24(當(dāng)且僅當(dāng)a=。時(shí)取等號(hào)).

又a+b與c為函數(shù)/(x)=3,的"線性對稱點(diǎn),

所以3“+〃+3,=3"+〃+，

3""14

所以3c=二一=1+^^<-,

3a+b-13a+b-\3

從而c的最大值為log34-1.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出c的表達(dá)式是解題

的關(guān)鍵，屬于中檔題.

3、C

【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡即可求得2的值.

【詳解】

由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡可得

2-2Vio

cosZBAC=MM石5+分=記。

解得x=i.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

通過變形/(x)=sin(2x-f]=sin2(x-二),通過“左加右減唧可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意/(x)=sin[2x-[J=sin2(x-自

故只需把函數(shù)y=sin2x的圖象

上所有的點(diǎn)向右平移展個(gè)單位長度可得到函數(shù)…叩6看]的圖象，故答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.

5、C

【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件，即該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻的概率，再根據(jù)兩對立事件的概率和為1

求解即可.

【詳解】

設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽爻”為事件A.所有“重卦”共有2<,種；"該重卦至少有2個(gè)陽爻”的對立事件無是“該重卦沒有陽

爻或只有1個(gè)陽爻”，其中，沒有陽爻(即6個(gè)全部是陰爻)的情況有1種，只有1個(gè)陽爻的情況有C；=6種，故

尸(A-)=f1+6=7不，所以該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是P(4)=1-P(A)=1-7-=571-.

26646464

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共4A：=96個(gè)，其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共A：=12個(gè),

所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為96-12=84.故選B.

7、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?(x+2)=sin(x+]]=cosx,

故要得到g(x),只需將/(x)向左平移今個(gè)單位長度.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化，屬基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo),

最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.

【詳解】

作圖，設(shè)AB與。尸的夾角為。，則中AB邊上的高與中AB邊上的高之比為心絲=絲，

OPsin。OP

???］理=今=為二"=①一1，設(shè)則直線°')=蕭\即〉="工，與丁=8外聯(lián)立，解得

2

sABOOPyPyPVPJ7nx

4y.

幾=4多,從而得到面積比為3—1=3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.

9、D

【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可證真假；D.根

據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因?yàn)锳C_L8r>,ACJ_￡>A，OAn3O=。，所以AC_L平面，

又因?yàn)锽Eu平面8?！?gt;4,所以AC_LB￡,故正確;

B.因?yàn)镽BJ/DB,所以EF//DB,且旅仁平面ABC。，D3u平面ABC。,

所以所//平面ABCD,故正確;

C.因?yàn)?8〃=工'七尸*84=正為定值，A到平面5。。6的距離為〃=_14。=也,

B"2422

所以％n-_8EF=-SuBi-E.rF-h=—1與為定值，故正確;

D.當(dāng)4GBQI=E,ACr\BD=G,取尸為8,如下圖所示:

因?yàn)锽F//EG,所以異面直線AE,BE所成角為/AEG,

也

且tanZAEG=—=^-=—1

GE12

當(dāng)ACJBR=F,ACcBD=G,取E為R,如下圖所示:

因?yàn)镈、F//GB,D,F=GB,所以四邊形廠是平行四邊形，所以BF//RG,

tanZ.AEG

所以異面直線所成角為NAEG,且

由此可知：異面直線AE,8尸所成角不是定值，故錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計(jì)算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時(shí)，將直線平移至同一平面內(nèi).

10、C

【解析】

先確定集合“中元素，可得非空子集個(gè)數(shù).

【詳解】

由題意M={(U),(L2),(2,1)},共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為23=8,非空子集有7個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有“個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為2"，非空子集有2"-1個(gè).

11、D

【解析】

由如a3,az成等差數(shù)列得2a3=a1+a?,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開即可得到公比q的方程.

【詳解】

由題意2a3=a]+a?,.*.2a(q2=ajq+a,,/.2q2=q+l,.\4=1或4=-；

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練.

12、D

【解析】

設(shè)正四面體的棱長為1,取8C的中點(diǎn)為。，連接AO,作正四面體的高為PM,首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在RtAAMN中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)正四面體的棱長為1,取8C的中點(diǎn)為。，連接AO,

作正四面體的高為

A

則AD=—,AM=—,

233

：.PM=y/PA2-AM2=—,

3

??.^c=-x—xT=—,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為「，內(nèi)切球的球心為。，

則VP-ABC=4%-ABC=4X；X日r，

解得：r=；

12

設(shè)外接球的半徑為R,外接球的球心為N,

則尸M-4或區(qū)一PM|,AN=R,

在放A4MN中，由勾股定理得：

AM2+MN2=AN2,

.」+（且-/?]=R2,解得R=近,

3I3）4

;3,

r

VRacr

—=-r-=27

vr

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2?

13、土+匕=1

189

【解析】

根據(jù)題意設(shè)P(x0,%)為橢圓上任意一點(diǎn),表達(dá)出|PN「,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與求解的關(guān)系分析最值求解即可.

【詳解】

因?yàn)闄E圓的離心率是也，/=^+。2,所以標(biāo)=2〃,故橢圓方程為￡+}=］.

22b2b2

因?yàn)橐訬(0,2)為圓心且與橢圓。有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為四，所以橢圓。上的點(diǎn)到點(diǎn)N(0,2)的距離的最大值為

V26.

設(shè)P(Xo，%)為橢圓上任意一點(diǎn)，則頭+$=L

所以|叩2=尤。2+(%—2)2=2《1-$?(％-2)2

2

=--4%+2b+4(-b<y0<b)

2

因?yàn)?(%)=-討-4%+2b+4(-4<y0<b)的對稱軸為%=-2.

⑴當(dāng)。>2時(shí),/(%)在［-^,-2］上單調(diào)遞增，在［-2,以上單調(diào)遞減.

此時(shí)/^(%)=/(-2)=8+?2=26,解得〃=9.

(ii)當(dāng)0<。42時(shí)，/(%)在可上單調(diào)遞減.

此時(shí)盤x(%)=/(一?=廿+劭+4=26,解得力=后一2>2舍去.

22

綜上從=9,橢圓方程為土+匕=1.

189

x22

故答案為：土+匕v=1

189

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)橢圓上的點(diǎn)，再求出距離，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與

區(qū)間的關(guān)系分析最值的取值點(diǎn)分類討論求解.屬于中檔題.

14、{-1}

【解析】

根據(jù)題意可得出A={0,1},然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

【詳解】

根據(jù)題意知，|x|=l,

.?.A={0』},U={-1,0,1},

.??A={T}.

故答案為：{-1}.

【點(diǎn)睛】

本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、{1}

【解析】

先解不等式必一2x-3<0，再求交集的定義求解即可.

【詳解】

由題，因?yàn)閒一2%—3<0,解得-1<%<3,即8={%]-1<%<3},

則A6=付，

故答案為:{1}

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查解一元二次不等式.

16、27

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得小，結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求得S9的值.

【詳解】

因?yàn)閧4}為等差數(shù)列，所以。4+%=4+%=。6+3,解得%=3,

所以59=9（1；“9）=等%=9%=27.

故答案為：27

【點(diǎn)睛】

本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識(shí).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a=0.005；(2)列聯(lián)表見解析，有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，E(X)=3

【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求。的值；

(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計(jì)算晉級成功的人數(shù)，

填寫2x2列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，

知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a-0.005；

(2)由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.()5=0.25,

所以晉級成功的人數(shù)為100x0.25=25(人)，

填表如下：

晉級成功晉級失敗合計(jì)

男163450

女94150

合計(jì)2575100

假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，

2

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得K=34x9『w2.613>2.072,

25x75x50x50

所以有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75,

將頻率視為概率，

則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，這人晉級失敗的概率為0.75,

所以X可視為服從二項(xiàng)分布，即X?

p(x=k)=c：gJgJ*(左=0,1,2,3,4),

故P(X=0)=

所以X的分布列為:

X01234

15481

P(X=k)12108

256256256256256

數(shù)學(xué)期望為E(X)=4X°=3.或(E(X)=-5-xO+衛(wèi)*1+史x2+&x3+-^-x4=3).

4256256256256256

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，屬于中檔題.若離散型隨機(jī)變量

XB[n,p),則=

18、(1)見解析；(2)(y,+oo)

【解析】

(1)要證明e、＞x2(xZe2),只需證明尤＞21nx即可;

pP八

(2)e、一以2=0有3個(gè)根，可轉(zhuǎn)化為。==有3個(gè)根，即y與/?(*)=二有3個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)作出〃(幻

XX

的圖象即可.

【詳解】

2

(1)令g(x)=x-21nx,貝(Jg'(x)=l-—,當(dāng)時(shí)，^'(x)>o,

X

故g(x)在歸2,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(e2)=e2-4>0,

即x>21nx,所以

(2)由已知，/(x)=eZ'+(1-52卜*-奴2=(e'-<zx2)(e*+l),

依題意，/(x)有3個(gè)零點(diǎn)，即e*-?2=()有3個(gè)根，顯然0不是其根，所以

X

有3個(gè)根，令〃(?=二，貝!]"")=史0=22,當(dāng)》>2時(shí)，”(x)>0,當(dāng)0<x<2

XX

時(shí)，"(x)<0,當(dāng)天<0時(shí)，/i(x)>0,故人(幻在(0,2)單調(diào)遞減，在(一8,0),(2,+00)上

單調(diào)遞增，作出〃(X)的圖象，易得a>2.

4

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(―,+oo).

4

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

19、(1)證明見解析⑵立

3

【解析】

(1)連接AG交AC于點(diǎn)尸，由三角形中位線定理得BG//OF,由此能證明8CJ/平面ACO.

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，04的方向?yàn)閄軸正方向，CB的方向?yàn)閥軸正方向，CG的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系C-型.分別求出平面A|CO的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-4C-E的余

弦值.

【詳解】

證明：證明：連接AG交AC于點(diǎn)F,

則戶為AG的中點(diǎn).又。是AB的中點(diǎn)，

連接。則BCJ/OF.

因?yàn)镈Fu平面A。。，8G《平面4。。，

所以8CJ/平面A。。.

(2)由AA=AC=CB=^48=后，可得：AB=2,即AC?+BC?=AB?

2

所以AC_L8C

又因?yàn)锳BC-A4cl直棱柱，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA、CB、CG為x軸、》軸、二軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，則c(o,o,o)、A(血，°，血))、D與，與,0、E0,72,,

,C￡：=[o,>/2,—

,CD=—，—，0

22I2J

設(shè)平面A。。的法向量為〃=(x,y,z),貝U〃.CD=0且〃.(％=0,可解得丫=一％=2,令x=l,得平面4c。的

一個(gè)法向量為n=(1,-1,-1),

同理可得平面4CE的一個(gè)法向量為加=(2,1,-2),

貝!Jcos<n,m>=

3

所以二面角O-AC-E的余弦值為①.

3

C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

20、(1)—(2)%3(仁+%2)=—1

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得橢圓的焦點(diǎn)，由此求得C,結(jié)合橢圓離心率求得。，進(jìn)而求得b,從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)

方程，求得橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線/的方程.聯(lián)立直線/的方程和橢圓方程，求得”,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此

求得AMON的面積.

(2)求得A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得電?%

的值，根據(jù)“在橢圓上求得勺?勺的值，由此求得《(4+幺)的值?

【詳解】

(1)因?yàn)閽佄锞€：/=4GX的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),所以橢圓C的右焦點(diǎn)

的坐標(biāo)為所以c=百，

因?yàn)闄E圓。的離心率為立，所以工=正，解得。=2,

2a2

所以。2=a2—c2=19

2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4-

<八x+y—1=0

其上頂點(diǎn)為(0/)，所以直線/：%+丁-1=0,聯(lián)立「二2/

x+4/=4

3

消去X整理得5y2—2〉—3=0,解得X=1,j2=--,

所以AA/ON的面積加0八,MMOE+SS=gxlx(l+|J=*.

(2)由題知，A(-2,0),8(2,0),設(shè)N(x2,y2).

由題還可知，直線MN的斜率不為0,故可設(shè)MN：x=my+1.

x=my+1

2,消去X,得（加2+4）/+2加），-3=0,

由,X1

—4-V2=1

4

2m

X+%=一

m2+4

所以，

3

%=一

nr+4

所以22，=7----------------7=--------------------;—=一一，

_（西-2）（々一2）療乂必一加（）'I+%）+14

21

又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以女「&=4；=一:，

%,-44

31

所以&（勺+女2）=_:_W=_L

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓，三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證

能力、運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.