適用于新高考新教材備戰(zhàn)2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練35解三角形的實(shí)際應(yīng)用新人教A版

課時(shí)規(guī)范練35解三角形的實(shí)際應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·河北高三學(xué)業(yè)考試)如圖,一艘船沿正北方向航行,航行速度為每小時(shí)30海里,在A處看燈塔S在船的北偏東30°的方向上.1小時(shí)后,船航行到B處,在B處看燈塔S在船的北偏東75°的方向上,則船航行到B處時(shí)與燈塔S的距離為()A.152海里 B.156海里C.302海里 D.106海里2.(2024·河南駐馬店模擬)如圖,某景區(qū)為方便游客,計(jì)劃在兩個(gè)山頭M,N間架設(shè)一條索道.為測量M,N間的距離,施工單位測得以下數(shù)據(jù):兩個(gè)山頭的海拔高度MC=1003m,NB=502m,在BC同一水平面上選一點(diǎn)A,測得M點(diǎn)的仰角為60°,N點(diǎn)的仰角為30°,以及∠MAN=45°,則M,N間的距離為()A.1002m B.120m C.1003m D.200m3.(2024·寧夏銀川模擬)某社區(qū)為了美化社區(qū)環(huán)境,欲建一塊休閑草坪,其形狀如圖所示為四邊形ABCD,AB=23,BC=4(單位:百米),CD=AD,∠ADC=π3,且擬在A,C兩點(diǎn)間修建一條筆直的小路(路的寬度忽略不計(jì)),則當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí),AC=(A.27百米 B.210百米C.213百米 D.219百米4.(2024·安徽合肥模擬)如圖,某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D,E兩點(diǎn)修建一條穿山隧道.工程人員先選取直線DE上的三點(diǎn)A,B,C,設(shè)在隧道DE正上方的山頂P處測得A處的俯角為15°,B處的俯角為45°,C處的俯角為30°,且測得AB=1.4km,BD=0.2km,CE=0.5km,則擬修建的隧道DE的長為km.

5.(2024·河北滄州模擬)汾陽文峰塔建于明末清初,位于山西省汾陽市建昌村,該塔共十三層,雄偉挺拔,高度位于中國磚結(jié)構(gòu)古塔之首.如圖,某測繪小組為了測量汾陽文峰塔的實(shí)際高度AB,選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的三個(gè)測量基點(diǎn)C,D,E,現(xiàn)測得∠BCD=30°,∠BDC=70°,∠BED=120°,BE=17.2m,DE=10.32m,在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為62°.參考數(shù)據(jù):tan62°≈1.88,sin70°≈0.94,144.9616=12.(1)求BD;(2)估算塔高AB(結(jié)果精確到1m).綜合提升練6.(2024·江西南昌模擬)八一廣場是南昌市的心臟地帶,八一南昌起義紀(jì)念塔是八一廣場的標(biāo)志性建筑,塔座正面鐫刻“八一南昌起義簡介”碑文,東、西、南三門各有一幅反映武裝起義的人物浮雕,塔身正面為“八一起義紀(jì)念塔”銅胎鎏金大字,塔頂由一支直立的巨型“漢陽造”步槍和一面八一軍旗組成.現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場上對八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)行測量,并繪制出測量方案示意圖,A為紀(jì)念塔最頂端,B為紀(jì)念塔的基座(B在A的正下方),在廣場內(nèi)(與B在同一水平面內(nèi))選取C,D兩點(diǎn),測得CD的長為m.已知興趣小組利用測角儀可測得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù),不能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB的是()A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDCB.m,∠ACB,∠BCD,∠ACDC.m,∠ACB,∠ACD,∠ADCD.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC7.(2024·河北衡水中學(xué)?？?據(jù)氣象部門報(bào)道某臺(tái)風(fēng)影響我國東南沿海一帶,測定臺(tái)風(fēng)中心位于某市南偏東60°,距離該市400千米的位置,臺(tái)風(fēng)中心以40千米/時(shí)的速度向正北方向移動(dòng),在距離臺(tái)風(fēng)中心350千米的范圍內(nèi)都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響,則該市從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束,持續(xù)的時(shí)間為小時(shí).

8.(2024·湖南邵陽模擬)人類從未停止對自然界探索的腳步,位于美洲大草原點(diǎn)C處正上空1003m的點(diǎn)P處,一架無人機(jī)正在對獵豹捕食羚羊的自然現(xiàn)象進(jìn)行航拍.已知位于點(diǎn)C西南方向的草叢A處潛伏著一只饑餓的獵豹,獵豹正盯著其東偏北15°方向上點(diǎn)B處的一只羚羊,且無人機(jī)拍攝獵豹的俯角為45°,拍攝羚羊的俯角為60°,假設(shè)A,B,C三點(diǎn)在同一水平面上.(1)求此時(shí)獵豹與羚羊之間的距離AB的長度;(2)若此時(shí)獵豹到點(diǎn)C處比到點(diǎn)B處的距離更近,且開始以25m/s的速度出擊,與此同時(shí)機(jī)警的羚羊以20m/s的速度沿北偏東15°方向逃跑,已知獵豹受耐力限制,最多能持續(xù)奔跑600m,試問獵豹這次捕獵是否有成功的可能?請說明原因.創(chuàng)新應(yīng)用練9.某市民活動(dòng)中心內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心,半徑為20米的半圓形區(qū)域,為豐富市民的業(yè)余文化生活,現(xiàn)提出如下設(shè)計(jì)方案:如圖,在半圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺(tái),舞臺(tái)為扇形OAB區(qū)域,其中兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在圓周上,觀眾席為等腰梯形ABQP內(nèi)且在半圓O外的區(qū)域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=2π3,且AB,PQ在點(diǎn)O的同側(cè),為保證視聽效果,要求觀眾席內(nèi)每一個(gè)觀眾到舞臺(tái)中心O處的距離都不超過60米(即要求PO≤60),設(shè)∠OAB=α,α∈(0,π(1)當(dāng)α=π6時(shí),求舞臺(tái)表演區(qū)域的面積及AB的長(2)對于任意α,上述設(shè)計(jì)方案是否均能符合要求?請說明理由.

課時(shí)規(guī)范練35解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.A解析由題意得,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=30,∠BSA=75°-30°=45°,由正弦定理得ABsin∠BSA=BSsin∠BAS,即30sin452.A解析由題意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=1003m,NB=502m,∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt△ACM中,可得AM=MCsin60°=200m,在Rt△ABN中,可得AN=NBsin30°=1002m,在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20000,所以MN=3.C解析設(shè)∠ABC=θ,0<θ<π,在△ABC中,AC2=42+(23)2-2×4×23cosθ=28-163cosθ.由CD=AD,∠ADC=π3,所以△ABC為等邊三角形.所以S四邊形ABCD=S三角形ABC+S三角形DAC=12×4×23sinθ+34AC2=43sinθ+34(28-163cosθ)=73+83sin(θ-π3),當(dāng)θ-π3=π2,即θ=5π64.0.7解析由題意知,∠PAD=15°,∠PBD=45°,∠PCE=30°,∠APB=30°.在△PAB中,由正弦定理得ABsin∠APB=PBsin∠PAB,即1.4sin30°=PBsin15°,所以PB=2.8sin15°.在△PBC中,因?yàn)椤螧PC=180°-∠PBD-∠PCE=180°-45°-30°=105°,由正弦定理得PBsinC=BCsin∠BPC,即PBsin30°=BCsin105°,所以BC=PBsin30°×sin105°=2PB×sin105°=5.6×sin15°×sin105°=5.6×sin15°×cos15°5.解(1)在△BDE中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos∠BED,則BD=17.22+10.322-2×17.2(2)在△BCD中,由正弦定理得BDsin則BC=BD·sin∠BDCsin∠BCD≈24.08×所以AB=BC·tan∠ACB≈45.27×1.88≈85.11≈85m,故塔高AB約為85m.6.B解析對于A,由m,∠BCD,∠BDC可以解△BCD,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高度AB,故選項(xiàng)A能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB;對于B,在△BCD中,由CD=m,∠BCD無法解三角形,在△ACD中,由CD=m,∠ACD無法解三角形,在△BCA中,已知兩角∠ACB,∠ABC無法解三角形,所以無法解出任意三角形,故選項(xiàng)B不能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB;對于C,由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,即可求塔高度AB,故選項(xiàng)C能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB;對于D,如圖,過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,連接AE,由題意知,AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD,因?yàn)锽E∩AB=B,BE,AB?平面ABE,所以CD⊥平面ABE,AE?平面ABE,所以CD⊥AE,則cos∠ACE=ECAC,由cos∠ACB=BCAC,cos∠BCD=ECBC,cos∠ACE=ECAC,知cos∠ACE=cos∠ACB·cos∠BCD,故可知∠ACD的大小,由∠ACD,∠ADC,m可解△ACD,故可求出AC,又AB=AC·sin∠ACB,即可求塔高度AB,7.52解析如圖,假設(shè)A點(diǎn)為某市的位置,B點(diǎn)是臺(tái)風(fēng)中心在向正北方向移動(dòng)前的位置.設(shè)臺(tái)風(fēng)移動(dòng)t小時(shí)后的位置為C,則BC=40t.又∠ABC=60°,AB=400,在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos60°=4002+(40t)2-2×400×40t×12=1600t2-16000t+160000,令A(yù)C≤350,則1600t2-16000t+160000≤3502,整理可得16t2-解得154≤t≤254,又254-158.解(1)由題意作圖如右,則∠PAC=45°,∠CBP=60°,∠BAC=45°-15°=30°,AC=PCtan∠PAC=1003m,BC=PC由正弦定理得ACsin即sin∠ABC=AC因此∠ABC=60°或120°,當(dāng)∠ABC=60°時(shí),∠ACB=90°,獵豹與羚羊之間的距離AB=AC2+BC2=200m,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),∠ACB=∠(2)獵豹這次捕獵不成功.理由如下,由題意知AC<AB,所以結(jié)合(1)知AB=200m.由題意作圖如右,設(shè)捕獵成功所需的最短時(shí)間為t,在△ABQ中,BQ=20t,AQ=25t,AB=200,∠ABQ=120°.由余弦定理得AQ2=BQ2+AB2-2BQ·ABcos∠ABQ,即625t2=400t2+2002-2×20t×200×(-12)整理得9t2-160t-1600=0.設(shè)f(t)=9t2-160t-1600,顯然f(0)<0,f(809)<0,因?yàn)楂C豹能堅(jiān)持奔跑最長時(shí)間為60025=24s,且f(24)=-256<0,9.解(1)由題意知OA=OB=20,又α=π6,∴∠AOB=π-2×∴S扇形AOB=12×2π3AB=OA2+O即舞臺(tái)表演區(qū)域的面積為400π3平方米;AB的長為203(2)均能符合要求.理由如下,∵α∈(0,π3),∴cosα>0在△AOB中,由余弦定理得AB=OA2+OB2-2OA又∠OAP=2π3+α,∴