陜西省商洛市2024屆高三下學(xué)期尖子生學(xué)情診斷考試（第三次）數(shù)學(xué)（理科）試卷（含答案）

商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第三次）數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）．A．1 B．3 C． D．2．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．3．已知在特定的時(shí)期內(nèi)某人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間x（分鐘）與一個(gè)月內(nèi)減輕的體重y（斤）的一組數(shù)據(jù)如表所示：x3040506070y1.11.93.244.8一個(gè)月內(nèi)減輕的體重y與每天投入的體育鍛煉時(shí)間x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，據(jù)此模型估計(jì)當(dāng)此人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間為90分鐘時(shí)，該月內(nèi)減輕的體重約為（）．A．7.1斤 B．7.0斤 C．6.9斤 D．6.8斤4．已知，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（）．A．112 B．80 C．64 D．326．對于兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面，，下列命題錯(cuò)誤的是（）．A．若，，，則B．若，，，則或C．若，，則或D．若，，則或7．在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則滿足的概率為（）．A． B． C． C．8．已知是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（）．A． B． C． D．9．為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國，扎實(shí)推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)、人才、文化、生態(tài)、組織振興”的目標(biāo)，某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù)．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例P關(guān)于還款人的年收入x（單位：萬元）的Logistic模型：．已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50％，若貸款人的年收入約為5萬元，則實(shí)際還款比例約為（）．（參考數(shù)據(jù)：）A．30％ B．40％ C．60％ D．70％10．在中，，則的最小值為（）．A．4 B． C． D．1611．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，，，，則（）．A． B． C． D．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AP交E于另一點(diǎn)C，直線BP交E于另一點(diǎn)D，記，的面積分別為，，則（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)，向量，，若，則__________．14．已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為__________．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C的左支上，，，延長PO交C的右支于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于P，Q兩點(diǎn)），則直線MP與MQ的斜率之積__________．16．已知圓錐的體積為，若球O在圓錐內(nèi)部，則球O體積的最大值為__________，此時(shí)圓錐的底面圓的半徑為__________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）在數(shù)列中，，，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（本小題滿分12分）我國一科技公司生產(chǎn)的手機(jī)前幾年的零部件嚴(yán)重依賴進(jìn)口，2019年某大國對其實(shí)施限制性策略，該公司啟動零部件國產(chǎn)替代計(jì)劃，與國內(nèi)產(chǎn)業(yè)鏈上下游企業(yè)開展深度合作，共同推動產(chǎn)業(yè)發(fā)展．2023年9月該公司最新發(fā)布的智能手機(jī)零部件本土制造比例達(dá)到了90％，該公司與一零部件制造公司合作生產(chǎn)某手機(jī)零部件，為提高零部件質(zhì)量，該公司通過資金扶持與技術(shù)扶持，幫助制造公司提高產(chǎn)品質(zhì)量和競爭力，同時(shí)派本公司技術(shù)人員進(jìn)廠指導(dǎo)，并每天隨機(jī)從生產(chǎn)線上抽取一批零件進(jìn)行質(zhì)量檢測．下面是某天從生產(chǎn)線上抽取的10個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)（總分1000分，分?jǐn)?shù)越高質(zhì)量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假設(shè)該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，并把這10個(gè)樣本質(zhì)量分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為的值．參考數(shù)據(jù)：若，則．（1）求的值；（2）估計(jì)該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個(gè)零部件中，有多少個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于940？（3）若從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取n個(gè)零件中恰有個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在內(nèi)，則n為何值時(shí)，的值最大？19．（本小題滿分12分）如圖，在幾何體ABCDE中，，平面ABC，，．（1）求證：平面平面ABE；（2）若，，，在棱AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF與平面ACD所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．20．（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為，M，N是直線上直線AM與E交于另外一點(diǎn)B，直線AN與E交于另外一點(diǎn)C．（1）記直線AM，AN的斜率分別為、，求的值；（2）求點(diǎn)O到直線BC的距離的最大值．21．（本小題滿分12分）已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對任意的，，．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線過點(diǎn)且傾斜角為，曲線的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求直線的參數(shù)方程及曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，交于P，Q兩點(diǎn)，求的最小值．23．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知m，n，t均為正數(shù)，函數(shù)的最小值為3．（1）求的最小值；（2）求證：．商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第三次）·數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案、提示及評分細(xì)則1．A，的實(shí)部與虛部相等，則，所以．故選A．2．D因?yàn)?，，所以，，，．故選D．3．D由表格的數(shù)據(jù)可得，，，因?yàn)榫€性回歸直線方程是，所以，所以，當(dāng)時(shí)，．故選D．4．A若，則，所以，充分性成立；若，則，但不一定成立，不滿足必要性，所以“”是“”的充分不必要條件．故選A．5．A分兩類情況，第一類情況，去C企業(yè)僅有一人，有種情況；第二類情況，沒有一個(gè)去C企業(yè)，有種情況，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有種．故選A．6．B對于A，令，分別為直線m，n的方向向量，因?yàn)?，，又，所以，即，故A正確；對于B，如圖所示，在正方體中，令平面ABCD為平面，平面為平面，直線為m，直線為n，滿足，，，但m與n既不平行也不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，若，過m作平面分別與平面和平面相交，且交線分別為a，b，則，，所以，所以；若，符合題意，故C正確；對于D，若，符合題意；若，過直線n作一平面與平面相交，設(shè)交線為b，因?yàn)椋?，所以，又，且n，b在同一平面內(nèi)，若n，b不平行，則，又，則與矛盾，所以，所以，故D正確．故選B．7．C如圖，不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)榧捌鋬?nèi)部，其中，，，所以，設(shè)直線與直線，分別交于點(diǎn)，，所以滿足的平面區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲CDB及其內(nèi)部，，所以滿足的概率為．故選C．8．D設(shè)，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，是圓上任意一點(diǎn)，則，解得，即的最大為．故選D．9．B由題意得當(dāng)時(shí)，％，則％，得，所以，得，所以．當(dāng)時(shí)，％．故選B．10．C因?yàn)?，設(shè)，則，顯然，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為．故選C．11．B令，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，，所以．再令，則，所以在R上是增函數(shù)，時(shí)，，即時(shí)，，故，，即，所以．故選B．12．C由題意知，又，所以．顯然直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，，，由得，所以．顯然直線BD的斜率不為0，設(shè)，直線BD的方程為，由得，所以，又，所以，設(shè)，同理可得，．故選C．13．由題意得，解得．14．或因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，，解得，，∵，∴，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，均滿足題意．15．2依題意，設(shè)雙曲線C的半焦距為c，則，，因?yàn)镺是的中點(diǎn)，所以，故由得，因?yàn)椋?，所以．在中，，在中，，所以，則，，所以．16．（3分） （2分）設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，當(dāng)球O與圓錐相切時(shí)體積最大，設(shè)此時(shí)球O的半徑為R，如圖，作出圓錐的軸截面，內(nèi)切圓圓心為O，AB中點(diǎn)為H，則，高，設(shè)，則，其中，所以，，所以，，所以，所以圓錐的體積，所以，令，，所以，所以，，所以，，令，，則，，所以當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以球O體積的最大值為，此時(shí)，，，所以，所以，，所以圓錐的底面圓的半徑為．17．解：（1）因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，（1分）所以．（2分）所以．（3分）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，得，即，因?yàn)?，所以，解得（舍去）．?分）因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．所以．（6分）（2）因?yàn)椋?分）所以．（12分）18．解：（1），（2分）所以．（3分）（2）由（1）知，，．該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個(gè)零部件中，質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于940的個(gè)數(shù)約為．（6分）（3）每個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率為，由題意可知，則，（8分）設(shè)，則，（9分）令，得，所以當(dāng)時(shí)，，（10分）令，得，所以當(dāng)時(shí)，，（11分）所以時(shí)，最大，故使最大的n的值為14．（12分）19．（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，AB，平面ABC，所以，，（1分）因?yàn)?，所以，，又AB，平面ABC，，所以平面ABC．（2分）取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則平面ABC，所以，又，所以，（3分）取AE的中點(diǎn)M，連接OM，DM，則，且，又，，所以，且，所以四邊形OCDM為平行四邊形，所以，（4分）所以，，又AB，平面ABE，，所以平面ABE，因?yàn)槠矫鍭DE，所以平面平面ABE．（6分）（2）解：由（1）知OC，OB，OM兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OM所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．（7分）設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量，則，即，令，解得，，所以．（9分）設(shè)，所以，（10分）記EF與平面ACD所成的角為，所以，（11分）解得，故F為AC的中點(diǎn)，即．所以在棱AC上存在點(diǎn)F，使得EF與平面ACD所成角的正弦值為，且．（12分）20．解：（1）設(shè)，，所以，，又，所以，（2分）又，，所以．（4分）（2）由題意知，解得，，，所以E的方程為．（5分）當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)直線BC的方程為，，，由得，所以，，．（7分）由（1）知，所以，整理得，所以，整理得，即，所以，或．（9分）當(dāng)時(shí)，直線BC的方程為，過定點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線BC的方程為，過定點(diǎn)．（10分）當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，易得，，，所以直線AM的方程是，由得，解得或，所以，同理得，此時(shí)直線BC的方程是，過定點(diǎn)．綜上，直線BC過定點(diǎn)．（11分）又，所以點(diǎn)O到直線BC的距離的最大值為．（12分）21．（1）解：的定義域?yàn)?，，?分）若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增．（2分）若，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（4分）（2）證明：當(dāng)時(shí)，．所以，．（5分）要證，即證，即證．（6分）由，得，即，，故只需證．（8分）下面給出證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以．所以