【幾何概率問題探討7000字（論文）】

幾何概率問題探討摘要在自然界與人類的社會活動中會出現(xiàn)各種各樣的現(xiàn)象，既有確定性現(xiàn)象，又有隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，它為人們認(rèn)識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法。概率統(tǒng)計的應(yīng)用性強，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和動手能力。日常生活中，經(jīng)常會遇到一些無法事先預(yù)測結(jié)果的事情，它們稱為隨機事件。為了研究這種隨機事件的規(guī)律性，數(shù)學(xué)中引進了概率。概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個常用詞匯。探討各類《概率與數(shù)理統(tǒng)計》教材中關(guān)于幾何概率的定義和計算方法的基礎(chǔ)上，通過幾個實際問題的分析解答，歸納出求解幾何摡率的若干技巧，并討論了幾何摡率在學(xué)習(xí)和實踐中的應(yīng)用價值關(guān)鍵詞：幾何概率；應(yīng)用技巧；方法目錄第一章引言 1第二章理論基礎(chǔ) 12.1幾何概率的產(chǎn)生 12.2幾何概率的意義 2第三章幾何概率的意義與概率計算的研究 33.1研究內(nèi)容 33.2研究目標(biāo) 43.3探討過程 43.3.1幾何概率的判斷 43.3.1與長度有關(guān)的幾何概率 53.3.3與面積有關(guān)的幾何概率 73.3.4與體積有關(guān)的幾何概率 73.3.5與角度有關(guān)的幾何概率 83.4研究體會 93.4.1直接計算法 93.4.2引進變量法 10結(jié)論 11參考文獻 13第一章引言數(shù)學(xué)，這門古老而常新的科學(xué)。己闊步邁進了21世紀(jì)。被譽為科學(xué)的皇后的她，以其抽象性、對稱性和廣泛的應(yīng)用性享此美譽是當(dāng)之無愧的?；仡欉^去的個世紀(jì)，數(shù)學(xué)科學(xué)的巨大發(fā)展，比以往任何時候都更牢固地確立了她作為整個科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)地位。數(shù)學(xué)正突破傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向幾乎所有的人類知識領(lǐng)域滲透。并越來越直接地為人類物質(zhì)生產(chǎn)與日常生活做出貢獻。同時數(shù)學(xué)作為一種文化，已成為人類文明進步的標(biāo)志。因此，對于當(dāng)今社會的每氣個有文化的人而言，不論他從事何種職業(yè)，都需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)。現(xiàn)代社會對數(shù)學(xué)的這種需要，在未來的世紀(jì)中無疑將更加與日俱增。從另一角度來說，20世紀(jì)數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生了巨大的變化，已將這門科學(xué)的核心部分引向高度抽象化的道路。然而其抽象性、各種深奧的數(shù)學(xué)理論和復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法，也使眾多崇拜者、愛好者、好奇者、門外漢望而生畏、或者望而卻步、臨陣退脫、敬而遠(yuǎn)之。幾何學(xué)是一門古老而又保持著旺盛生命力的數(shù)學(xué)學(xué)科。追溯歷史，它是分析、代數(shù)等許多數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生和發(fā)展的基礎(chǔ)和背景，又是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際應(yīng)用的重要橋梁。它體現(xiàn)了形與數(shù)的結(jié)合，演繹法與解析法的結(jié)合。它的直觀性、實驗性的特點啟示了許多新思想、新原理的誕生山。本課題的研究，需要同時采用有關(guān)常規(guī)研究方法：文獻研究法。進一步學(xué)習(xí)和深入研究關(guān)于高中數(shù)學(xué)概率教學(xué)的各種載體的理論與研究資料以及資源平臺信息。案例分析法。通過對參考實例的分析，全面研究數(shù)學(xué)課程中概率各部分內(nèi)容的教學(xué)方法與解題策略。第二章理論基礎(chǔ)2.1幾何概率的產(chǎn)生概率的正確理解。概率是描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量。即:概率越大，事件A發(fā)生的可能性就越大，概率越小，事件A發(fā)生的可能性就越小。知道隨機事件的概率的大小，有利于我們做出正確的決策，還可以判斷某些決策或規(guī)則的正確性與公平性。概率論可以幫助我們在充滿隨機現(xiàn)象的人類社會和自然界中捕捉機遇，規(guī)避風(fēng)險，正確作出判斷和決策。概率論和隨機數(shù)學(xué)改變了我們關(guān)于自然、心智和社會的看法，以及我們的知識結(jié)構(gòu)乃至于世界觀。嚴(yán)格地講，人們甚至可以說幾乎所有的知識都是或然性的，而在我們能肯定知道的少量事情中，甚至在數(shù)學(xué)科學(xué)自身中，歸納與類比這樣的發(fā)現(xiàn)真理的主要方法都是基于概論事件，所以說整個人類知識系統(tǒng)是與概率論相關(guān)聯(lián)的。在概率論發(fā)展的早期，就己經(jīng)注意到只考慮隨機現(xiàn)象的可能結(jié)果只有有限個基本事件是不夠的，還必須計算有無窮個基本事件的情形。設(shè)聯(lián)系于某一隨機現(xiàn)象的樣本空間?？捎脷W氏空間的某一區(qū)域S表示，其樣本點具有所謂“均勻分布”的性質(zhì)。這里所說的“均勻分布”類似于古典概率模型中的等可能性這一概念。在我們所述的問題中，總是假設(shè)區(qū)域S以及其中任一可能出現(xiàn)的小區(qū)域A都是可以量度的，其度量大小用u（A）表示。例如一維區(qū)間的長度，二維區(qū)間的面積，三維空間中的體積，并且假定這種量度具有如長度一樣的各種性質(zhì)，如量度的非負(fù)性、可加性等。設(shè)某一事件A(也是某一區(qū)域)，A∈S，它量度大小為u（A），若以P（A）表示事件A發(fā)生的概率，考慮到“均勻分布”性，事件A發(fā)生的概率取為：這樣計算的概率，稱為幾何概率。2.2幾何概率的意義（1）幾何概率的定義如果每個事件發(fā)生的頻率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率概率，簡稱為幾何概率。（2）古典概率與幾何概率的區(qū)別古典概率研究的是僅有有限個等可能結(jié)果的隨機試驗，而幾何概率研究的是有無限多個試驗結(jié)果的隨機試驗；古典概率與實驗中基本事件總數(shù)及所求概率的事件所包含的基本事件個數(shù)有關(guān)，而幾何概率則只與該事件的區(qū)域長度有關(guān)。（3）幾何概率的計算公式在幾何概率中，事件A的概率計算公式：第三章幾何概率的意義與概率計算的研究3.1研究內(nèi)容這部分是新增加的內(nèi)容。介紹幾何概率主要是為了更廣泛地滿足隨機模擬的需要，但是對幾何概率的要求僅限于初步體會幾何概率的意義，所以教科書中選的例題都是比較簡單的。隨機模擬部分是本節(jié)的重點內(nèi)容，幾何概率是另一類等可能概率，它與古典概率的區(qū)別在于試驗的結(jié)果不是有限個，利用幾何概率可以很容易舉出概率為0的事件不是不可能事件的例子，概率為1的事件不是必然事件的1例子。利用古典概率產(chǎn)生的隨機數(shù)是取整數(shù)值的隨機數(shù)，是離散型隨機變量的一個樣本；利用幾何概率產(chǎn)生的隨機數(shù)是取值在一個區(qū)間的隨機數(shù)，是連續(xù)型隨機變量的一個樣本。比如[0，1]區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，是服從[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機變量的一個樣本。隨機模擬中的統(tǒng)計思想是用頻率估計概率。本節(jié)的研究需要一些實物模型為教具，如教科書中的轉(zhuǎn)盤模型、隨機撒豆子的模型等。研究中應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生實際動手操作，以使學(xué)生相信模擬結(jié)果的真實性，然后再通過計算機或計算器產(chǎn)生均勻隨機數(shù)進行模擬試驗，得到模擬的結(jié)果。在這個過程中，要讓學(xué)生體會結(jié)果的隨機性與規(guī)律性，體會隨著試驗次數(shù)的增加，結(jié)果的精度會越來越高。隨機數(shù)的產(chǎn)生與隨機模擬的研究中要充分使用信息技術(shù)，讓學(xué)生親自動手產(chǎn)生隨機數(shù)，進行模擬活動。幾何概率也是一種概率模型，它與古典概率的區(qū)別是試驗的可能結(jié)果不是有限個。它的特點是在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)。如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件。均勻分布是一種常用的連續(xù)性分布，它來源于凡何概率。由于沒有講隨機變量的定義，教科書中均勻分布的定義僅是描述性的，不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，要求學(xué)生體會如果X落到[0，1]區(qū)間內(nèi)任何一點是等可能的，則稱x為[0，1]區(qū)間上的均勻隨機數(shù)。3.2研究目標(biāo)（1）通過共同探究，體會數(shù)學(xué)知識的形成，正確理解幾何概率的概念；掌握幾何概率的概率計算公式：具體學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決問題，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。（2）學(xué)習(xí)時養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，會根據(jù)古典概率與幾何概率的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概率是古典概率還是幾何概率，會進行簡單的幾何概率計算，培養(yǎng)學(xué)生從有限向無限探究的意識。3.3探討過程3.3.1幾何概率的判斷例1判斷下列試驗中事件發(fā)生的概率是古典概率還是幾何概率。(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的般子，求出現(xiàn)兩個，"4點”的概率；(2)如圖1所示，圖中有一個轉(zhuǎn)盤，甲，乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率本題考查的是幾何概率與古典概率的特點，古典概率具有有限性和等可能性，而幾何概率則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結(jié)果，且與事件的區(qū)域長度有關(guān)。圖1解：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的散子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36(種)，而它們都是等可能的，因此屬于古典概率。游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)指針落在陰影部分的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關(guān)，因此屬于幾何概率?！窘忸}策略】解決此類問題的關(guān)鍵是弄清古典概率與幾何概率的聯(lián)系與區(qū)別。古典概率與幾何概率中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概率要求基本事件有有限個，幾何概率要求基本事件有無限多個。都是等可能的，因此屬于古典概率。3.3.1與長度有關(guān)的幾何概率例2，在無盡[-1，1]上隨機抽取一個數(shù)x，得到cos=πx/2的價值在0到?之間的概率為：分析這是一道幾何概率問題。區(qū)間[-1，1]的長度為2.設(shè)使得0＜πx/2＜?的X滿足-1≤X1≤X2≤X3≤1，這是[x1，x2]的長度為（x2-x1），所求概率為（x2-x1）/2.解區(qū)間[-1，1]的長度為1-(-1)=2圖2如圖所示，在[-1，1]上，使得滿足不等式組其中k∈Z.這兩個不等式組就是解這兩個不等式組，得所以，滿足(1)-1≤X≤1，（2）的x對應(yīng)2個區(qū)間，即（-1，-?），（?，1）這兩個區(qū)間的長度之和為[-?-（-1）]+（1-?）=?。使得的價值介于0到?之間的概率為所以選擇答案A。本題的知識關(guān)鍵點是公式在本例的解答中，涉及兩個具體細(xì)節(jié)。一是由不等式組，得到連個不等式組的時候，要把πx/2當(dāng)成一個整體來使用，這樣才能把不等式組與余弦函數(shù)y=cosx聯(lián)系起來；二是由不等式組得到兩個不等式或者的時候，期間給K賦值了，即K=0。3.3.3與面積有關(guān)的幾何概率例3，兩人相約8點到9點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，這時就可離去，試求這兩人能會面的概率。解：因為兩人誰也沒有講好確切的時間，故樣本點由兩個數(shù)(甲、乙兩人各自到達的時刻)組成，以8點作為計算時間的起點，設(shè)甲、乙各在第x分鐘和第Y分鐘到達，則樣本空間為：畫成圖為一正方形。以，分別表示兩人的到達時刻，則兩人能會面的充要條件為。這是一個幾何概率問題，可能的結(jié)果全體是邊長為60的正方形里的點，能會面的點的區(qū)域用陰影標(biāo)出(如圖3)。圖3所求概率為。3.3.4與體積有關(guān)的幾何概率例4，已知半徑為1的球在棱長為3的正方體內(nèi)運動，求正方體內(nèi)任一點可作為球心的概率。圖4解：如圖4所示，正方體的棱長為3，P，Q，R，S分別是所在棱的三等分點。一個半徑為1的球在這個正方體內(nèi)運動，當(dāng)球與正方體的側(cè)面BCC，B，相切時，球心在截面PQRS上，向右不可能再超過這個截面了。正方體共有六個側(cè)面，球心可以到達的位置都是這種情況。球心的變化區(qū)域是以正方體A，B，C，D，-ABCDD的對稱中心為對稱中心、六個面分別與正方體A，B，C，D，-ABCDD的六個面平行的正方體，其棱長為1。所求概率為。反思：本例是幾何概率問題，其概率是通過體積之比得到的。本例的難點體現(xiàn)在對球心變化的分析上了，即確定球心的變化區(qū)域是一個棱長為1的正方體。3.3.5與角度有關(guān)的幾何概率圖5例5，如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在內(nèi)的概率?！军c撥】此題關(guān)鍵是弄清過O作射線OA可以在平面內(nèi)任意的位置上，而且是均勻的，因而基本事件的發(fā)生是等可能的。分析以O(shè)為起點作射線OA是隨機的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的，落在內(nèi)的概率只與的大小有關(guān)，符合幾何概率的條件。解：記B={射線OA落在內(nèi)}。正確理解并掌握幾何概率的兩個特點是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。兩個特點為：①在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(無限性)；②每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等(等可能性)。求試驗為幾何概率的概率，關(guān)鍵是求出事件所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解。適當(dāng)?shù)剡x擇觀察角度是解決有關(guān)長度、角度、面積、體積等問題的關(guān)鍵。3.4研究體會從某種意義上說，幾何概率是古典概率的補充和推廣，幾何概率是從古典概率的有限多個等可能結(jié)果到無限多個等可能結(jié)果的推廣，是建立在廣泛意義下的等可能性基礎(chǔ)上的模型。它在現(xiàn)代概率概念的發(fā)展中，曾經(jīng)起過積極的作用。幾何概率問題一般可分為兩種解題途徑：一是直接計算法，二是引進變量法。對于樣本空間具有明顯的幾何意義，樣本點所在區(qū)域己經(jīng)直接給出的題目，可直接計算。當(dāng)樣本空間對應(yīng)的幾何區(qū)域沒有直接指明，需要對問題做深入的分析才能把樣本空間歸結(jié)為幾何空間的某個區(qū)域時，常常引進變量，這類題目結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜，解答富有技巧性。3.4.1直接計算法例1，在半徑為1的圓內(nèi)隨機地取一弦，問其長超過該圓內(nèi)接等邊三角性邊長的概率是多少?分析題目沒有明確規(guī)定等可能值參數(shù)的含義，對“隨機地取一弦”可以有多種理解。如果把它理解為弦與垂直于它的直徑之交點的位置是等可能性的，即“隨機點M等可能地落在直徑上”有解法1；如果把它理解為弦與某一給定方向之間的夾角是等可能性的，即“隨機點M是等可能性的落在圓弧上”有解法2；如果把它理解為圓內(nèi)的弦的中點位置是等可能性的，即“隨機點M等可能地落在直徑為?同心圓中有解法3。解法1半徑為1的圓內(nèi)接等邊三角性邊長為，因為弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與它的方向無關(guān)，所以可假定它垂直于某一直徑。當(dāng)且僅當(dāng)弦長與圓心的距離小于?時，其長才大于，故所求概率為。解法2在圓周上任取一點A，作圓的切線AT，則過A的圓的任一弦AB與AZ，的交角e決定了弦的位置。e可從0°變到180°，而弦大于等價于e在60°與120°之間取值。于是，所求概率為（120-60）÷180=?。解法3.弦被其中點唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點屬于半徑為?的同心圓時，其長才大于，由于此小圓面積為。故所求概率為：。注本題是一個很著名問題，在概率論的早期討論中被稱為貝特朗(Bertrand)奇論。同一個幾何概率題為什么會有多種不同的答案?問題出在對等可能值參數(shù)沒有做出確切的規(guī)定?！半S機地任取一弦”一詞應(yīng)如何理解?不同的理解就導(dǎo)致各種不同的答案。因此，從這種意義上說，相對于每種解釋，其計算結(jié)果都是正確的。3.4.2引進變量法例2在長為a的線段AB上，隨機投兩個質(zhì)點M，N，求點M離點比離點N近的概率。解：設(shè)點M離點A的距離為x，點M離點N的距離為Y，則，于是，樣本空間所對應(yīng)的平面區(qū)域為G=[（x，y：]，又點M離點A比離點N近的充要條件是0≤x＜y≤a，故。在平面上建立直角坐標(biāo)系，則G是邊長為正方形區(qū)域，Ga就是圖中的陰影部分。故所求概率為幾何概率是一類在可測集中均勻投點，計算這些點落在某一區(qū)域的概率問題，此類問題的概率是用可測集的測度表示的。那么要計算實際問題的概率，只要考查問題所涉及的試驗是否滿足：①實驗的結(jié)果有無限多個：②全體結(jié)果可用一個可求測度的幾何圖形(線段長度，平面面積，立體體積等)表示：③每個實驗結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，那么就滿足幾何概率的條件。在解決實際中條件①可直接判斷，③一般由題意從直觀上判斷，而條件②是我們解決問題的關(guān)鍵，我們應(yīng)在①③的基礎(chǔ)上實際計算。在具體計算中，首先，將實際問題具體化，寫出其數(shù)學(xué)形式的樣本空問及隨機事件：其次，分別計算樣本空問和隨機事件的測度(長度，面積，體積等)：最后，利用幾何概率的定義公式計算概率。結(jié)論我們在對概率這個基礎(chǔ)概念的課堂研究時，大都是從事件的統(tǒng)計性規(guī)律概率)入手，然后對“有限等可能”的古典概率進行定義，最后運用集合表示的方法講授概率的一般性定義和概率的性質(zhì)特征。然而，在學(xué)習(xí)和實踐中我們經(jīng)常會遇到另外一種“無限等可能”的概率模型一一幾何概率，它以直觀上的等可能性為基礎(chǔ)，借助于幾何圖形(線段長度，平面面積，立體體積等)的測度來對問題進行求解。幾何概率從某種意義上說是古典概率的補充和推廣，在現(xiàn)代概率的發(fā)展中起過非常重要的作用，在概率的運算和實際應(yīng)用中占有一定的地位，這要求我們在研究中一定要重視幾何概率問題。一般教科書中出現(xiàn)的幾何概率問題經(jīng)常都是用數(shù)學(xué)術(shù)語表述的，因而很容易想到作圖，計算測度來求解概率，除此之外，我們經(jīng)常還會遇到一些描述生活中的實際問題而求概率的問題，如我們常見的幾何概率的三種典型問題(候車問題，約會問題，蒲豐(Buffox)投針問題等)中的候車問題，約會問題。經(jīng)過仔細(xì)分析就會發(fā)現(xiàn)它們是幾何概率問題，而這類問題經(jīng)常使學(xué)生小知所措，無從著手。本文通過幾類例題就此類問題加以分析來說明幾何概率在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用