2023-2024學(xué)年河北省定興中學(xué)高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年河北省定興中學(xué)高二上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.一箱臍橙共有21個(gè)，其中有3個(gè)是壞果，若從中隨機(jī)取一個(gè)，則取到的臍橙不是壞果的

概率為()

13八46

A.-B.—C.-D.一

7777

【正確答案】D

【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得答案.

【詳解】依題意可得，取到的臍橙不是壞果的概率為

217

故選：D

2.若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,,=3〃+3"+l,則%=()

A.18B.19C.20D.21

【正確答案】D

［分析］利用S,與an的關(guān)系可得a3=S3-S2,計(jì)算即可.

【詳解】見=$3-$2=37-16=21.

故選：D.

3.設(shè)橢圓二+片=1的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為4,4,則以線段48為直徑的圓的方程為()

94

+(1)24

A.x-|

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.

【詳解】依題意可得40,2),8(3,0),則恒理=a，線段"的中點(diǎn)為(|,1

故以線段為直徑的圓的方程為(x_gj+(y-l)2=5.

故選:A.

4.在四面體/BCZ）中，CE=2ED，則BE=（）

21'***i?

A.-AB+-AC+-ADB.-AB+-AC+-AD

3333

2?

C.AB-^-AC+-ADD.AB+-AC+-AD

3333

【正確答案】B

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)樗訡E=§CD,則

BE=BA+AE=-AB+AC+CE=-AB+AC+-（AD-AC\=-AB+-AC+-AD.

3、＞33

故選.B

5.跑步是一項(xiàng)有氧運(yùn)動(dòng)，通過跑步，我們能提高肌力，令肌肉量適當(dāng)?shù)鼗謴?fù)正常的水平，

同時(shí)提高體內(nèi)的基礎(chǔ)代謝水平，加速脂肪的燃燒，養(yǎng)成易瘦體質(zhì).小孟最近給自己制定了一

個(gè)218千米的跑步健身計(jì)劃，第一天他跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，則他

要完成該計(jì)劃至少需要（）

A.29天B.28天C.27天D.26天

【正確答案】A

【分析】依題意可得，小孟從第一天開始每天跑步的路程依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公

差為0.5,然后利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】依題意可得，小孟從第一天開始每天跑步的路程依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1千米,

公差為0.5千米.設(shè)經(jīng)過〃天后他完成健身計(jì)劃，

則〃+業(yè)二DXL±218,整理得〃2+3〃_8722O.因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=犬+3x—872在［1,+s）上

為增函數(shù)，ja/（28）＜0,/（29）＞0,

所以〃之29.

故選.A

6.已知平面a的一個(gè)法向量為機(jī);（-2,1,-1）,向量力方二（0,-1,2）,套:（1,-1,0）,則平面a

與平面N8C夾角的正切值為（）

A.41B.2C.舊D.娓

【正確答案】C

【分析】根據(jù)面面角的向量求法求出平面。與平面N8C夾角的余弦值，即可根據(jù)同角三角

函數(shù)的關(guān)系得出答案.

【詳解】設(shè)〃=(x,%z)為平面N5C的法向量,

則翠一'+±_0,令“2,得；=(2,2,1).

nAC=x-y=0

則平面a與平面ABC夾角的正弦值為

而

所以平面a與平面N8C夾角的正切值為一少=若.

~6

故選：C.

限="，設(shè)…3則數(shù)列展

7.在首項(xiàng)為去的數(shù)列｛4“｝中，V/n,〃wN*

的前100項(xiàng)和為(

10050100

A.Bc.——200C.D.

201201ToTloT

【正確答案】A

【分析】令%=1得出4川=；/，即可得出｛%｝的通項(xiàng)公式，再將｛0,,｝的通項(xiàng)公式代入

2=log,a,中求得“，再代入‘二~4中，由裂項(xiàng)相消即可求得數(shù)列4的前100項(xiàng)和.

[b?b?+lJ的也+J

【詳解】令m=l,得。的=；卅"=%”，所以｛“,｝是首項(xiàng)為/公比為;的等比數(shù)列,

所以%2

=2'-",bn=\og2an=\-2n,—^―!___=4-

2⑷4%(2/7-1)(2/?+1)2⑵-12n+l)

所以數(shù)列，二一[的前l(fā)oo項(xiàng)和為100

IA&J21335+看高20?

故選：A.

8.已知產(chǎn)為拋物線C：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過/且斜率為百的直線交。于4B兩點(diǎn),

過力，3兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為4，4,線段4/交》軸于4,線段4尸交y軸于

B2,1^1=2,則p的值為（）

A.2B.4C.y/3D.2-73

【正確答案】C

【分析】設(shè)4（司,必），B（x2,y2）,由題意可知4名為的中位線，則

14聞=2|44|=苗-％|=4,聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.

【詳解】設(shè)/（占,凹），8（々，%），

由題意可知4員為尸4用的中位線，則|4聞=2|4為|=|必-%1=4,

過尸且斜率為行的直線方程為：尸石

2

聯(lián)立，（-2）'得y—py_pi=o,則乂+%=2"p,yty2=—p~,

2c33

[y=2px,

則|兇-8I=4=J?+%『-4%為=Jf+4/p,解得p=6

故選：c.

二、多選題

9.在正項(xiàng)等差數(shù)列｛（｝中，的=12,在正項(xiàng)等比數(shù)列出｝中，8+"=6,則（）

A.6+6+沏=36B.4的最大值為3

3

C.0<a,-a2<-D.4（4+26?+々）>36

【正確答案】ABC

【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷A；由基本不等式及等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷B；由題

意4=且4=。9-8〃=12-8">0,即可判斷C；由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知勾+%+%=3（4+8"）=3〃9=36,故A正確；

在正項(xiàng)等比數(shù)列也｝中，6=瓦+瓦*2歷=2A,當(dāng)且僅當(dāng)a=”=3時(shí)，等號成立，則4

的最大值為3,故B正確;

設(shè)｛a〃｝的公差為d,因?yàn)椤啊?gt;0,所以"="3-。2>0，且q=。9-86/=12-8〃>0,所以

33

0<d<—,即0<%—42<1，故C正確；

4M+24+與)=姑3+2b；+貼5=片+2仙+照=(4+4)2=36,故D錯(cuò)誤，

故選：ABC.

10.已知P為直線/：x+y-7=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C:(x-l>+(y-2)2=l(C為圓心)

的切線，/為其中的一個(gè)切點(diǎn)，則()

A.|PC|的最小值為2后

B.的最小值為3

C.sin4”的最小值為巫

4

D.當(dāng)8為另一個(gè)切點(diǎn)時(shí)，方的最小值為2忘-3

【正確答案】AC

【分析】直線/與圓C相離，則歸。|的最小值為C到直線/的距離，即可判斷A；由

爐旬=1|尸。2-1可判斷&在直角三角形中求得sin44c尸=J-由,即可判斷C；設(shè)

ZAPC=e,/最=|前(l-2siMe)=|PC『+爐*-3,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.

【詳解】圓C的圓心(1,2),半徑為1,

因?yàn)镃到直線/的距離為歐浮1=2近>1,所以直線/與圓C相離，所以|PC|的最小值為

72

2五，故A正確；

因?yàn)镹PL/C,所以陷|=標(biāo)修，四|而11=/',故8錯(cuò)誤；

故C正確;

.=M1,

設(shè)NZPC=6sln則

四|p。

20=|斤(

PA-PB=歸彳cosl-2sin")=(|PCf-1)1

z=|PC|2e[8,-Ko）,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，P4P8=：+-3在fw[8,w）上單調(diào)遞增，則

當(dāng)t=8時(shí)，p4P8的最小值為亍，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖，在四棱錐尸-18CD中，P4_L平面/BCD,底面Z8C。是正方形，S.PA=AB=2,

E,尸分別為尸。，PB的中點(diǎn)，貝IJ（）

￡■尸4平面刃C

/B//平面EFC

點(diǎn)尸到直線C。的距離為布

點(diǎn)“到平面的的距離為砰

【正確答案】AD

【分析】以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，A6,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角

坐標(biāo)系，由E方:/￡=0，EFPC=0,利用線面垂直的判定定理可判斷A正確；求出平面

EFC的法向量、＜3的坐標(biāo)，利用/方:加可判斷B；設(shè)點(diǎn)4到平面EFC的距離為力

f

由"=可判斷D：設(shè)點(diǎn)廠到直線CD的距離為肌計(jì)算/=CU-可判斷

C.

【詳解】以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AB，4方的方向分別為x,V，Z軸的正方向建立如圖空間

直角坐標(biāo)系，則4（0,0,0）,P（0,0,2）,C（2,2,0）,E（0,l,l）,尸（1,0,1）,￡＞（0,2,0）,

則以：（1,-1,0）,（0,0,2）,PC=（2,2-2）,￡C=（2,1,-1）,

因?yàn)镋F/P=0-0+0=0，E尸?PC=2-2+0=0，

所以￡尸_1_/方，EhPC，即￡7F/P，EF1PC,

又APPC=P,/尸、尸Cu平面以C,

所以E尸工平面以C,A正確；

設(shè)平面EFC的法向量為〃?=(x,y,z),則]:),令x=l,得〃?=(1,1,3),

[2x+y-z=0,

因?yàn)?片:(2,0,0),所以/片：〃；12二0,B不正確；

設(shè)點(diǎn)/到平面Ek的距離為d,AC=(2,2,0),則d=0審=巖能=坪，D正確;

設(shè)點(diǎn)廠到直線8的距離為A,C片:(―cS=(-2,0,0),

則〃2=C廣-C：*=5,即人=指，C不正確.

UMJ

的直線/與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A,與雙曲線C的其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)3,

且店段=2|。同(。是坐標(biāo)原點(diǎn))，下列結(jié)論正確的有()

A.阿|=也、忸周2

B.若/片二2片二，則雙曲線C的離心率為耳可

C.\BFt\-\BF2\>2a

D.C-4<y用<

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)閨閭=2|。8|可得8鳥_1M，根據(jù)勾股定理可判斷A,根據(jù)向量共線可得

'代入雙曲線方程可得離心率，進(jìn)而判斷日根據(jù)雙曲線的定義及三角形的三

邊關(guān)系即可判斷C,根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離以及A的坐標(biāo)的范圍即可判斷D.

【詳解】由于閨用=2|。⑷=2|。用=2|。耳|,因此明_L%，則

\BF\=用2-忸周2=J4c2-忸gf，故A正確，

由于|O5|=c,tanN8OQ=：,c2="+b2,因此易得5(a,b),耳(-c,0),貝lj

-----?■火1(a+cb\(a—2cb\

6B=(a+c,b),由48=2￡/，則44=丁,弓J,進(jìn)而力(-^—,將

“注"馬代入雙曲線的方程中得IT化簡得4e2-4e-9=0,解得

()^

e=仝叵，由于e>l,故6=上述，故B正確，

22

設(shè)直線/與雙曲線的右支交于點(diǎn)"，則由雙曲線的定義可知：|岫|-|帆與卜2”，由三角形三

邊關(guān)系可得附3|>阿用-忸周,則|班|—|峭|=|明|+|胡8卜|此|>忸耳卜忸圖,故

\BF\-\BF^<2a,故C錯(cuò)誤，

設(shè)/(x,y),(x<0),則

|/用=、卜+4+/=l(x+c)2+b2l^j=yJCI2x+a~=%c+a,

/2\

由于0<”%=6,所以。2</=/[1+方<2a2,進(jìn)而_缶<x<-4，

^(.c-a<\AF[\=~x-a<y/2c-a,故D正確，

故選：ABD

三、填空題

13.空間向量a，b滿足卜+26卜卜-4，且6=(2,1,-3),則1

【正確答案】-7

【分析】先由空間向量的模的坐標(biāo)表示求同，把p'f卜「二耳兩邊同時(shí)完全平方，化簡可

求。力.

【詳解】由，1(2,1,-3),可得W'=J4+1+9=47,

「2泊「同,所以必彳,所以02介=0@:

因?yàn)?/p>

Cz>八個(gè)cz>z\c

所以a+4。?6+46=a-2a-b+b,所以6a,6+3x14=0，所以a-6=-7,

故答案為.-7

14.若等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S“=5+〃6"，則。=

【正確答案】

6

【分析】由S,求出a“，結(jié)合等比數(shù)列求得4值.

+,

【詳解】由題意〃22時(shí)，a?=Sn-Sn_,=5+a-6"-(5+a-6")=5a6",

當(dāng)N=1時(shí)，q=S[=5+36a,又｛a“｝是等比數(shù)列，所以5+36a=5ax6,解得“=-■!.

6

45

故_7

6

15.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收

天線的口徑力8=6,深度MO=2,信號處理中心廠位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建

立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,若P是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)小￡,2),則歸尸|+歸。|

的最小值為__________

圖1

【正確答案】3

【分析】由題意可知點(diǎn)(2,3)在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義

求|PF|+|尸。|的最小值.

【詳解】設(shè)拋物線的方程為/=2/(p>0),

Q

因?yàn)?=6,M0=2,所以點(diǎn)42,3)在拋物線上，所以9=4p,故夕=:,

Q

所以拋物線的方程為/

所以拋物線的焦點(diǎn)廠準(zhǔn)線方程為x=

Q1<1QC

在方程V=；x中取x=?可得/=亍>4,所以點(diǎn)Q在拋物線內(nèi)，

2816

過點(diǎn)P作PP'與準(zhǔn)線垂直，P為垂足，點(diǎn)。作。。'與準(zhǔn)線垂直，。'為垂足,

15Q

則|PF|=|PP|,所以|M+|PQ|=|PPl+|P0|N|Q0l=9+g=3,當(dāng)且僅當(dāng)直線尸。與準(zhǔn)線垂

OO

直時(shí)等號成立,

所以|尸尸|+|尸0|的最小值為3.

故3.

四、雙空題

16.對正整數(shù)〃，函數(shù)是小于或等于〃的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.此函數(shù)以其

首名研究者歐拉命名，故被稱為歐拉函數(shù).根據(jù)歐拉函數(shù)的概念，可得8(441)=,數(shù)

列｛則7")｝的前n項(xiàng)和S,=.

【正確答案】252(6〃-1)7"+1

6

【分析】由質(zhì)因數(shù)分解求得441的所有質(zhì)因數(shù)，利用質(zhì)因數(shù)結(jié)合定義可求得9(441),因?yàn)槌?/p>

了7的倍數(shù)外，其他數(shù)都與7"互質(zhì)，因此易得9(7"),然后由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列｛〃*(7”)｝

的前〃項(xiàng)和.

【詳解】因?yàn)?41=32x72,

所以不大于441的數(shù)中，能被/(i=3,7)整除的數(shù)與441都不互質(zhì)，

dr*/..,\A1441441441___

所以e(44l)=4A41——----—+=252.

因?yàn)槌?的倍數(shù)外，其他數(shù)都與7"互質(zhì)，所以夕(7")=7"-：=6X7"T,

則S“=6x(l+2x7++"x7")所以7S?=6X(7+2X7?++WX7"),

(]—7〃、

所以一6s“=6x(l+7++7"T-WX7")=6X-nxVJ=(l-6/?)7"-I,

故」T7f.

6

故252；(6〃"+L

6

方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

(I)公式法：等差數(shù)列和等比數(shù)列直接應(yīng)用其前〃項(xiàng)和公式計(jì)算：

(2)裂項(xiàng)相消法：最典型的數(shù)列：｛4｝是公差為d且各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，數(shù)列｛三一;

_IIII、

的項(xiàng)需變形：——=「(z-------)，然后求和：

《口用danan+l

(3)錯(cuò)位相減法：S“｝是等差數(shù)列，也;是等比數(shù)列，則數(shù)列｛a,,"｝的前”項(xiàng)和需用此法;

(4)分組(并項(xiàng))求和法：例如凡｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，則數(shù)列。+4｝的前〃

項(xiàng)可用分組求和法；

(5)倒序相加法：與等差數(shù)列有類似性質(zhì)的數(shù)列：首末兩項(xiàng)及與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的

和相等，則可用倒序相加法求和.

五、解答題

17.在等差數(shù)列｛%｝中，4。=19,須=99.

(1)求｛““｝的通項(xiàng)公式：

(2)求數(shù)列,%+2x｝的前"項(xiàng)和S,,.

【正確答案】=

(2電+

【分析1(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求d和％,由此可求

通項(xiàng)公式：

(2)利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式求

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為力

因?yàn)?o=19,%o=99,

所以q+9d=19,q+491=99,

所以=l,d=2,

故=2"-1.

(2)由(1)%+=(2N-l)+2x(g),

所以S“=l+2x；+3+2x(*)+5+2x(3)+???+)-2x(Q

所以S“=l+3+5+―+（2〃-1）+2H升（撲…+0”

所以S=〃（1+2〃T）+2XL_U!

"23,1

1-----

3

故s,=/+1-（；）.

18.某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有四關(guān)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活

動(dòng)的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過率為0.7,

第二關(guān)、第三關(guān)的通過率均為0.5,第四關(guān)的通過率為0.3,四關(guān)全部通過可以獲得一等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)

金為50（）元），通過前三關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金為200元），如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等

獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金可以累加.假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).

（1）求甲最后沒有得獎(jiǎng)的概率：

（2）已知甲和乙都通過了前兩關(guān)，求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為900元的概率.

【正確答案】（1）0.825

（2）0.105

【分析】（1）分第一關(guān)未通過，第一關(guān)通過第二關(guān)未通過，前兩關(guān)通過第三關(guān)未通過三種情

況，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；

（2）若獎(jiǎng)金為900,則甲和乙一人得一等獎(jiǎng)一人得二等獎(jiǎng)，計(jì)算對應(yīng)概率即可.

【詳解】（1）記第一關(guān)未通過為事件A,第一關(guān)通過第二關(guān)未通過為事件B,前兩關(guān)通過第

三關(guān)未通過為事件C,甲最后沒有得獎(jiǎng)為事件。，

則P（/）=0.3,P（5）=0.7x（l-0,5）=0.35,P（C）=0.7x0.5x（l-0.5）=0.175,

故P（￡＞）=P（4）+P（3）+P（C）=0.825.

（2）記通過了前兩關(guān)時(shí)最后獲得二等獎(jiǎng)為事件E,通過了前兩關(guān)時(shí)最后獲得一等獎(jiǎng)為事件

F,

則P（E）=0.5x（l-0.3）=0.35,P（F）=0.5x0.3=0.15.

因?yàn)榧缀鸵易詈笏锚?jiǎng)金總和為900元，所以甲和乙一人得一等獎(jiǎng)一人得二等獎(jiǎng)，

故甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為900元的概率為0.35x0.15+0.15x0.35=0.105.

19.已知圓A/:（x+3）2+V=16,圓N:（x-3）?+y2=4,圓尸與圓圓N都外切，圓尸的

圓心的軌跡記為。.

（1）求。的方程：

（2）若直線，：y=3x-4與。交于4,B兩點(diǎn),求|N8|.

【正確答案】⑴/-亡=l（x>l）

8

⑵40百

【分析】（1）設(shè)圓P的半徑為廠，由圓尸與圓A/和圓N都外切，得出|「也|-|尸乂|等于定值，

由雙曲線的定義知，軌跡。為雙曲線的右支（除去頂點(diǎn)），寫出方程即可.

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出|力用即可.

【詳解】（1）M（-3,0）,N（3,0）,|MN|=6,

設(shè)圓尸的半徑為廠，因?yàn)閳A”與圓N的半徑分別為4,2,

所以隰|=4+r,網(wǎng)=2+7,所以1PMTfM=2,

又圓M與圓N相切于點(diǎn)（1,0）,

所以軌跡。為以M（-3,0）,N（3,0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支（除去頂點(diǎn)），

2

故0的方程為X?-±=1（X>1）.

8

（2）聯(lián)立|8'得X2-24X+24=0,

=3x-4,

設(shè)，（國,必）,由韋達(dá)定理可得士+比2=X1%=24,

故=>/1+32X］（占+々）2-4%》2=406.

20.在等比數(shù)列｛叫中，的=4,且3%-%=8.

（1）求｛““｝的通項(xiàng)公式；

⑵若為工4,b“=a?W+4-?）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S,.

【正確答案】（1）勺=2"或%=4

⑵5；=7^.2向_2

【分析】（1）設(shè)公比為/根據(jù)條件列出方程，求出4與q的值，進(jìn)一步可得。.；

（2）求得"=2"?僅而！-?）=U-2"|/-2",從而利用裂項(xiàng)相消法即可求出s..

【詳解】（1）設(shè)公比為q,因?yàn)椋?4,且3%-4=8,

所以I2q-4/=8,解得9=1或0=2.

當(dāng)夕=1時(shí)，q=4,?！?4；

當(dāng)g=2時(shí)，q=2,?！?2x2"~'=2".

（2）因?yàn)?=4,所以%=2”,

所以a=2".（2，TV）=77+1-2*,-Tn-2",

所以S“=V2-22-Vl-2+V3-23-V2-22++V?+T-2"+l-4n-2"=7n+T-2"+l-2.

21.如圖1,在平行四邊形N8CD中，AB=2AD=4,ZDAB=60°,E,F分別為/B,CD

的中點(diǎn).將VNOE沿。E折起到△NQE的位置，使得平面4QE,平面8瓦方，將△BW沿

BF折起到△8C7的位置，使得二面角E-8E-G的大小為120。，連接4G，,C}E,

得到如圖2所示的多面體4G8E。尸.

（1）證明.DEJ.4尸

（2）求直線BC,與平面4GE所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析；

c、3屈一回

26,

【分析】(1)取。E的中點(diǎn)O,連接4。,尸。，證明瓦尸由線面垂直判定定

理證明。E工平面4。尸，由此證明DE，4F；

(2)由面面垂直性質(zhì)定理證明4。，平面8￡。尸，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線8G的方向向

量與平面A^E法向量，利用向量夾角公式求兩向量夾角余弦可得結(jié)論.

【詳解】(1)在圖1中，連接",因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，E,尸分別為ZB,CD

的中點(diǎn)，AB=4,所以DF//AE,DF=AE=2,

所以四邊形為平行四邊形，又AD=2=AE,所以四邊形NE尸。為菱形，

故AE=EF=FD=DA,同理可證四邊形5CFE為菱形，

故BC=CF=FE=EB,

所以在圖2中，連接EF,4Q=4E,FD=FE,取。E的中點(diǎn)O,連接4。,尸。,

則4O_LDE,尸OJ,DE,

又4。U平面4。尸，/Ou平面4。尸，4。FO=O,

所以。平面4。尸，又4Fu平面4。尸，所以。E_L4尸;

(2)由(1)4。1。/，因?yàn)槠矫?DE_L平面SEDF,平面4QE平面BEDF=DE,A,Oc

平面4?！?，

所以4。，平面3￡0尸，又FOu平面BEDF,所以4。，尸。,

因?yàn)锳DOLFO,FOX.DE,

如圖以點(diǎn)o為原點(diǎn)，以o￡；o￡：o/分別作為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?M===NRAE=60°,所以4（0,0,G）,￡（1,0,0）,8（2,6,0）,

取8尸的中點(diǎn)"，連接GM,EW,因?yàn)閳D1中8C=CF=FE=E8,

所以圖2中￡8=EF,C]B=C、F,所以G"，EV，8廠,

所以NG〃E為二面角E-8F-G的平面角，

因?yàn)槎娼荅-8尸-G的大小為1