2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及

答案

一、選擇題

sma-——

1.己知a為銳角，若2,則a的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)60度角的正弦值是立解答即可.

2

【詳解】解：：a為銳角，sina=@，sin600=—

22

a=60°.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題比較簡(jiǎn)單，只要熟知特殊角度的三角函數(shù)值即可.

2.已知在Rt-ABC中，ZC=90°,AB=c,AC=b,那么下列結(jié)論一定成立的是（）

A.b=ctanAB.b=ccotAC.b=csinAD.b=

ccosA

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)余弦的定義解答即可.

【詳解】解：在RtAABC中，/C=90",AB=c,AC=b,

ACb

貝ijcosK------=—.

ABc

.".b=ccosA,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了余弦的定義：角的余弦等于角的鄰邊與斜邊的比值，熟記定義是解題的

關(guān)鍵.

3.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）

A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c>0D.b<0,c

<0.

【答案】D

【解析】

【分析】通過(guò)函數(shù)圖象開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置及拋物線與y軸交點(diǎn)位置可確定a,b,c的符

號(hào)，進(jìn)而求解.

【詳解】解：；拋物線開(kāi)口向上，

.,.a>0,

?..拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

-->0,

2a

Ab<0,

???拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，

.\c<0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系.

4.已知。=2力，那么下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.a-2b—0B.b—~^aC.|。I=2[D.a//b

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平行向量以及模的定義的知識(shí)求解即可求得答案.

【詳解】解：A、由〃=2萬(wàn)知，a—2b=0,符合題意；

B、由a=2Z?知，b,不符合題意；

C、由a=2Z?知，|。|=2|6|,不符合題意:

D、由“=2人知，allb-不符合題意.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向.

5.如圖，已知點(diǎn)G是“ABC重心，那么S.BCG：So時(shí)等于（）

2B.1：3C.2：3

【答案】B

【解析】

【分析】連接AG延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,由G是重心可得D是BC的中點(diǎn)，所以S&,BD=S&、O）,SZSBDG

=SACDG,又由重心定理可AG—2GD,進(jìn)而得到3SABCG=SAABC,即可求解.

詳解】解：連接AG延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,

??SAABD=SAACD，SABDG=SACDG，

；AG=2GD,

=

2SABGDSZ\1\BG?2s△CGD=S/SACG，

??3SABCG=SAABC，

,?SABCG：SAABC=1:3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心，熟練掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面積的

特點(diǎn)求解是解題的關(guān)鍵.

6.下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

（1）底邊和腰對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似;

（2）底邊和底邊上的高對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似；（3）底邊和一腰上的高對(duì)應(yīng)成

比例的兩個(gè)等腰三角形相似；

（4）腰和腰上的高對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：（1）???兩個(gè)等腰三角形的兩腰相等，

，底邊和腰對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形一定相似；故（1）是真命題

（2）如圖，△ABC^AA,B'C'是等腰三角形，AD±BC,A'D'_LB'C',

..ADBC

?_A_D___B__D

A'D'~~B7D''

VZADC=ZAZD'C'=90°,

.,?△ADB^AAZD'B',

NB=NB',

A△ACB^AA,CB',

；?底邊和底邊上的高對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似，故（2）是真命題；

（3）同理，底邊和一腰上的高對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似，故（3）是真命題;

（4）如圖，AABC和AA'B'C是等腰三角形，BD±AC,B'D'J_A'C',

BD

,但此時(shí)

B'D'

兩個(gè)三角形不相似，故（4）是假命題；；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理，掌握相似的判定定理是解

題的關(guān)鍵.

二、填空題

x2x-y

7.已知一=2,那么一了=—.

yx+2y

3

【答案】-

4

【解析】

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求出x=2y,再把x=2y代入生?，即可求出答案.

x+2y

【詳解】；一=2,

y

/.x-2y,

.2x-y_4y-y_3y_3

x+2y2y+2y4y4'

3

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.把拋物線y=x?+l向右平移1個(gè)單位，所得新拋物線的表達(dá)式是一.

【答案】y=x2-2x+2

【解析】

【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到新拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得的新拋物線的表達(dá)式.

【詳解】???拋物線y=/+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

???拋物線向右平移1個(gè)單位后，所得新拋物線的表達(dá)式為y=(x-l)2+l,即

y=X2-2x+2.

故答案為：y=x2-2x+2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知”上加下減，左加右減”的原則是

解答此題的關(guān)鍵.

9.已知兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9,那么這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為.

2

【答案】2:3##-

3

【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得這兩個(gè)相似三角形的相似

比，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：：兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9,

...這兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3,

???這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3；

故答案為2：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.己知，AB=8,P是AB黃金分割點(diǎn)，PA>PB,則PA的長(zhǎng)為.

【答案】475-4

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線段；則AP=正二1AB,代入數(shù)據(jù)即可得出

2

AP的長(zhǎng).

【詳解】由于P為線段AB=8的黃金分割點(diǎn)，

且AP較長(zhǎng)線段；

則AP=8X@二！-4(石-1).

2

故答案為：4>/5-4.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3),那么直線0A與x軸夾角的正切

值是一

3

【答案】-

2

【解析】

AB

［分析］過(guò)點(diǎn)A作AB，x軸交于點(diǎn)B,由A(2,3)得03=2,A8=3,根據(jù)tanZAOB=—

OB

即可得出答案.

如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)

B,

???A（2,3）,

OB=2,AB=3,

AB3

tan/^AOB=----=—>

OB2

3

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)得正切值，掌握正切的比值是解題的關(guān)鍵.

12.如果一個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=2,且沿著x軸正方向看，圖象在對(duì)稱軸左

側(cè)部分是上升的，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式

【答案】y=-x?+4x+5（答案不唯一）.

【解析】

【分析】由于二次函數(shù)圖象在對(duì)稱軸x=2的左側(cè)部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)

的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，由此可以確定函數(shù)解析式，答案不唯一.

【詳解】解：???二次函數(shù)的圖象在對(duì)稱軸x=2的左側(cè)部分是上升的，

.?.這個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，

符合條件的函數(shù)有y=-X2+4X+5,

答案為：y=-X2+4X+5,答案不唯一.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各

項(xiàng)系數(shù).

13.一位運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面高度為y（米）關(guān)于水平距離x（米）的

125

函數(shù)解析式為y=-五那么鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)離地面的距離為m.

【答案】J

【解析】

【詳解】由題意可得：y=-x2+-x+-=-(x2-^-x)+-=-(x-)2+—,

333339

故鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)離地面的距離為：—m.

9

故答案為3.

9

點(diǎn)睛：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確利用配方法求出最值是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為10海里.一貨船由碼頭A出發(fā),

沿北偏東45°方向航行到達(dá)小島C處，此時(shí)測(cè)得碼頭B在南偏西60°方向，那么碼頭A與

小島C的距離是一海里(結(jié)果保留根號(hào)).

【答案】(5#+5a)

【分析】過(guò)C作CDLBA于D,則ZCDB=90°,根據(jù)等角對(duì)等邊可得_ACD是等腰直角

三角形，得CD=AD,AC=6CD，設(shè)CD=A￡)=x海里，則4。=缶海里，再由

銳角三角函數(shù)得60=百8=，結(jié)合圖形得5D=AT>+AB，Gx=x+10，求解

即可解決.

【詳解】解：過(guò)C作CDLBA于D,則NCDB=9()°,

由題意得：NBCD=60°，

NC4D=9()°-45°=45°，

，.AC。是等腰直角三角形，

/.CD=AD,AC=^AD2+CD2=>J2CD>

設(shè)QD=AZ）=x海里，則AC=Jir海里，

在Rf_BCD中,

tanABCD--tan60°—百，

CD

:.BD=^CD=0x（海里），

,/BD=AD+AB，

二底=x+10,解得：x=5s/3+5.

及x=V^x（5百+5）=5#+5拒，

即AC=（576+5夜）海里，

故答案為：576+572.

【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、勾股定理解三角形等，理

解題意，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解三角形是解題關(guān)鍵.

15.如圖，已知在梯形ABCD中，AB/7CD,AB=2CD,設(shè)A3=a，AD=b，那么AE可

【分析】由AB〃CD,即可證得△PCDs^PAB,又由AB=2CD,即可求得BE與BO的關(guān)系，

利用三角形法則，求得80,即可求得

【詳解】解：AB=d,AD=b,

/.BD=AD-AB=b-a-

QAB//CD,AB=2CD,

.,.△ECD^AEAB,

CDDE\

22

BE=-BD=-(b-a),

—?22-1

AE=AB+BE=a+-(b-a)=-b+-a.

333

，“依自、，2-1.

故答案為：-bn—a.

33

【點(diǎn)睛】此題考查向量的知識(shí)與相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用，還要注意向量是有方向的.

16.如圖，某時(shí)刻陽(yáng)光通過(guò)窗口AB照射到室內(nèi)，在地面上留下4米寬的“亮區(qū)”DE,光線

與地面所成的角(如NBEC)的正切值是那么窗口的高AB等于一米.

【答案】2

【解析】

【分析】由題意知CE=2BC,CD=2AC,進(jìn)而得到CD=DE+CE=4+2BC,由BE〃AD得到

△BCE-AACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC=化簡(jiǎn)即可求

BC+AB4+2BC24-BC

出AB.

【詳解】解：由題意知tanN3EC=+=4^=,，DE=4,

CECD2

ACE=2BC,CD=2AC,

???CD=DE+CE=4+2BC,

VADZ/BE,

.'.△BCE^AACD,

.BC_CE

?___B_C______2_B__C____B__C_

-BC+AB~4+2BC~2+BC

???BC+AB=2+BC,

???AB=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)

鍵.

17.我們知道：四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形是相似四邊形.如圖，已

知梯形ABCD中，AD〃BC,AD=1,BC=2,E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，且EF〃BC,如果

4￡

四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么一的值是

EB

【解析】

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出一=—,把AD=1和BC=2代入求出EF,再根據(jù)相

EFBC

ApAr)

似多邊形的性質(zhì)得出——=——，再求出答案即可.

EBEF

【詳解】解：???四邊AEFD與四邊形EBCF相似,

.-AD=--EF,

EFBC

VAD=1,BC=2,

1EF

???—,

EF2

解得：EF=&,

四邊AEFD與四邊形EBCF相似，

?.?-AE=-A-D=—1―2=-V2,

EBEF722

故答案為：YZ.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了梯形和相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式是解此

題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知矩形ABCD中，AD=3,AB=5,E是邊DC上一點(diǎn)，將—ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到△AD'E,使得點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)以落在AE上，如果?！甑难娱L(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,那

么DE的長(zhǎng)度等于.

【解析】

【分析】如圖，連接BE、BE',根據(jù)矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得:AD'=AD=3,ZAD,E

=ZD=90°,利用勾股定理可得BD'=4,再運(yùn)用等面積法可得：AB?AD=AE?BD',求出

AE=—,再運(yùn)用勾股定理即可求得答案.【詳解】解：如圖，連接BE、BE',

4

;矩形ABCD中，AD=3,AB=5,

.,.ZD=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，AAD*E'^AADE,

.*.AD'=AD=3,NAD'E=ZD=90°,

???D'E'的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,

.?./AD'B=90°，

在RtZXABD'中，BD'-yjAB2-AD2=752-32=4-

,

,.,S&.wE=yAB.AD=|AE?BD,

ABAD_5x315

；.AE=

BD丁4

----------------I15,79

在RtZXADE中,DE=ylAE2-AD2=yj(-)-3-=->

9

故答案為：--

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理、三角形的

面積，熟練掌握矩形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，會(huì)利用等面積法求解是解答的關(guān)鍵.

三、解答題

19.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為(1,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,1).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象.【答案】(1)y=(x-\)2

(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x—1尸，將(0,1)代入解析式求解;

(2)根據(jù)二次函數(shù)解析式作圖即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2,

將(0,1)代入y=“0-1)2得：。=1

y=(x-l)2；

【小問(wèn)2詳解】

二次函數(shù)圖像如下圖所示:

E、F,且AE：EC=3：2.

D,

//(1)如果AB=10,求BG的長(zhǎng)；

BG

EF

(2)求——的值.

FG

4

【答案】(1)5(2)y【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意由平行四邊形的性質(zhì)證明△AGEs/\CDE,再根據(jù)AE：EC=3：2求出

AG—15,從而得出結(jié)論；

DEAE3DEEC2

(2)由題意利用△ADEsACFE和△AGES/XCDE得出--------——和------------,

EFEC2GEAE3

從而得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AB//CD,

.\ZGAE=ZCDE,ZAGE=ZCDE,

.,.△AGE^ACDE,

.AGAE_3

"'CD~'CE~2'

XVAB=CD=10,

33

.\AG=-CD=-X10=15,

22

.?.BG=AG-AB=15-10=5；

【小問(wèn)2詳解】

解：?..四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD//BC,即AD〃CF,

.?.ZADE=ZCFE,ZDAE=ZFCE,

.,.△ADE^ACFE,

.DE_AE_3

,?而一耘—5'

又「△AGEs/xcDE,

.DEEC2

"GE-AE-3)

EFEFDE224

------=-------X-------=-X-=——

GEDEGE339

EF_EF_4

FG—GE-EF~,

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

相似三角形的判定與性質(zhì)的基本知識(shí).

3

21.如圖，已知.ABC中，AB=AC=12,cosB=-,AP_LAB,交BC于點(diǎn)

4

P.

(1)求CP的長(zhǎng);

(2)求NPAC的正弦值.

【答案】(1)2(2)-

8

【解析】

【分析】(1)通過(guò)作底邊上的高AD,在直角三角形ABD和直角三角形ABP中分別求出BD、

BP,由等腰三角形的性質(zhì)求出BC,進(jìn)而求出PC的長(zhǎng)；

(2)作高構(gòu)造直角三角形，求出AE、PE后，由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

過(guò)點(diǎn)A作ADLBC于D,

；.BD=cosB?AB=9,

：AB=AC,

；.BD=CD=9,ZB=ZC,

VAP±AB,

.,?/PAB=90°,

3

在Rt/XABP中，AB=12,cosB=-

4

AB

???BP==16,

cos3

???PC=BC-BP

=9X2-16

=2；

【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)P作PE1AC于E,

AP=dAD?+DP)

=y/AB2-BD2+PD2

=7144-81+49

—4-77>

PEI

sinAPAC=----=—.

AP8

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三角形

的性質(zhì)是正確解答的前提.

22.某貨站沿斜坡AB將貨物傳送到平臺(tái)BC.一個(gè)正方體木箱沿著斜坡移動(dòng)，當(dāng)木箱的底部

到達(dá)點(diǎn)B時(shí)的平面示意圖如圖所示.已知斜坡AB的坡度為1：2.4,點(diǎn)B到地面的距離BE

=1.5米，正方體木箱的棱長(zhǎng)BF=0.65米，求點(diǎn)F到地面的距離.

【答案】點(diǎn)F到地面的距離為2.1米

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)F作FGLAD于G,延長(zhǎng)CB交FG于H,根據(jù)坡度的概念、勾股定理求出BH,

進(jìn)而求出FH,計(jì)算即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FGLAD于G,延長(zhǎng)CB交FG于H,則四邊形HGEB為矩形，

；.HG=BE=L5米，ZHBE=ZFHB=90°,

VZBEA=90°,

，ZBFH+ZFBH=ZFBH+ZIIBA=ZHBA+ZABE=ZA+ZABE=90°,

；./BFH=NHBA=/A,

ABE：AE=BH：FH=1：2.4,

由勾股定理得：BF2=BH2+FH2,BP0.652=BH2+(2.4BH)2,

解得：BH=0.25,

.,.FH=0.25X2.4=0.6(米),

；.FG=FH+HG=2.1(米),

答：點(diǎn)F到地面的距離為2.1米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問(wèn)題，掌

握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

(2)如果AD2=AE?AC,求證:AD=BC.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)通過(guò)證明△DECs/\CEB,可得C匕E=把BE，可得結(jié)論；

DECE

(2)通過(guò)證明△BCESAACB,可得生=三，由相似三角形的性質(zhì)可得變=C￡,可

ACBCCEBC

RCHFADHFDF

得生=43,通過(guò)證明△ADES/XACD,可得絲=也=上竺，可得結(jié)論.

ACCEACCDCE

【小問(wèn)1詳解】證明：（1）VAC=AB,

.,.ZACB=ZABC,

???DC〃AB,

???NDCE=NCAB,

VDE//BC,

/.ZDEC=ZBCE,

VZDEC=ZBEC,

???ZDEC=ZBCE=ZBEC=ZABC,

???ZBAC=ZCBE=ZDCE,BE=BC,

AADEC^ACEB,

.CEBE

??------=------,

DECE

；.CE2=DE，BE=DE?CB；

【小問(wèn)2詳解】

證明：(2)VZBAC=ZCBE,ZACB=ZBCE,

/.△BCE^AACB,

.BCCE

,,AC-BC)

VADEC^ACEB,

DECE

：.—=——，ZCDE=ZBCE=ZCED=ZBEC,

CEBC

:隼=器CD=CE，

VAD2=AE?AC,

.ADAC

??一,

AEAD

又,.,NDAE=NDAC,

AAADE^AACD,

.ADDEDE

*^C~~CD~~CE

.ADBC

??—，

ACAC

/.AD=BC.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

22

24如圖，已知直線y=--x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=--x2+bx+c

經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式;

(2)直線x=t與該拋物線交于點(diǎn)C,與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合)，與x

軸交于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AC、BC.

八iDEAE,4

①當(dāng)不工二時(shí)，求t的值；

CDOE

②當(dāng)CD平分NACB時(shí)，求“ABC的面積.

……224八

【答案】(1)y——x"4—x+2

33

(2)①2；②.

4

【解析】

【分析】(1)先求出點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；

(2)①證明△ADESABDC,由相似三角形的性質(zhì)得出NDAE=NDBC,證出AE〃BC,得出C

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則可求出答案：

②設(shè)C(t,--t2+-t+2),過(guò)點(diǎn)B作BH_LCE于點(diǎn)H,得出tanNBCH=tan/ACE,則

33

RHAF

——=——,解方程求出t的值，則可求出答案.

CHCE

【小問(wèn)1詳解】

2

解：由y=-§x+2可得：

當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=3,

/.A(3,0),B(0,2),

2

把A^B的坐標(biāo)代入y=--x2+bx+c得:

2

——x9+3/?+c=0b^-

3,解得:3,

c=22

24

拋物線的解析式為：y=—X2+-X+2；

33

【小問(wèn)2詳解】

①如圖1,

.AEAD

,,----=-----,

OEBD

..AEDE

"詬一而‘

.ADDE

??一，

BDCD

XVZADE=ZBDC,

AAADE^ABDC,

???ZDAE=ZDBC,

???AE〃BC,

???C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,

/.x=0或x=2,

AC(2,2),

?t—2；

24

②如圖2,設(shè)C(t,--t2+—1+2),

33

圖2

過(guò)點(diǎn)B作BHJ_CE于點(diǎn)H,

VZBCH=ZACE,

/.tanZBCH=tanZACE,

.BHAE

____—__________

??一，

CHCE

t3—t

1

??t二一9

2

.rJ5

22

=+-

??SAACBSAACT：S梯形BOCESAABO

1551-5、11,5

=—x—x—+—x(2+—)x------x2x3=_.

22222224

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的判定和性質(zhì)，相似

三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，已知“ABC中，ZACB=90°,AB=6,BC=4,1)是邊AB上一點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重

合)，DE平分/CDB,交邊BC于點(diǎn)E,EF1CD,垂足為點(diǎn)F.

(2)當(dāng)cCEF與4ABe相似時(shí)，求NCDE的正切值；

(3)如果r,BDE的面積是，DEF面積的2倍，求這時(shí)AD的長(zhǎng).

【答案】(1)V5(2)1或短

⑶—

3

【解析】

DEAC

【分析】(1)證明4DCE之Z\DBE(ASA),可得CE=BE=2,根據(jù)——=tanZB=—,即

BEBC

可求得答案；

(2)分兩種情況：①當(dāng)△CEFs^ABC時(shí)，可證得/CDB=90°,再根據(jù)DE平分NCDB,可

得/CDE=45°,再由特殊角的三角函數(shù)值即可求得答案；②當(dāng)△CEFS/M3AC時(shí)，則/ECF

=ZABC,得出DC=DB,再由DE平分NCDB,可得DE_LBC,推出NCDE=NBAC,利用三角函

數(shù)定義即可求得答案；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGLAB于點(diǎn)G,根據(jù)角平分線性質(zhì)可得出EF=EG,推出DF=DG,再

由ABDE的面積是4DEF面積的2倍，可得出BD=2DF,進(jìn)而推出DE=BE,設(shè)BE=x,貝UDE

=x,CE=BC-BE=4-x,

242

BG=BEcosB=-x,BD=2BG=-x,DG=DF=BG=-x,

333

4CDCEDE

AD=AB-BD=6x,根據(jù)△CDEsCBD,得出=---=----,建立方程求解即可.

3CBCDBD

【小問(wèn)1詳解】

在RtZXABC中，NACB=90°,AB=6,BC=4,

???AC=>JAB2-BC2=V62-42=2A/5，

〈DE平分NCDB,

AZCDE=ZBDE,

VDE±BC,

/.ZDEC=ZDEB=90°,

在ADCE和ADBE中，

ZCDE=ZBDE

<DE=DE,

/DEC=/DEB

AADCE^ADBE(ASA),

??.CE=BE,

VCE+BE=BC=4,

，CE=BE=