特殊函數(shù)的不定積分

關(guān)于特殊函數(shù)的不定積分第三節(jié)幾種特殊函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的積分二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡單無理函數(shù)的積分第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天基本積分法:

換元積分法;分部積分法.初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分例如,下列函數(shù)積分都不是初等函數(shù)直接積分法;在概率論、數(shù)論、光學(xué)、傅里葉分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用的積分,都屬于“積不出”的范圍.第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天有理函數(shù)的定義兩個多項式的商表示的函數(shù)一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式真分式;假分式.第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例多項式的積分容易計算.真分式的積分.只討論:多項式真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解若干部分分式之和第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

對一般有理真分式的積分,代數(shù)學(xué)中下述定理起著關(guān)鍵性的作用.定理第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天部分分式(最簡分式).第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

用此定理有理函數(shù)的積分就易計算了.且由下面的例題可看出:

有理函數(shù)的積分是初等函數(shù).注系數(shù)的確定,一般有三種方法:(1)等式兩邊同次冪系數(shù)相等;(2)賦值;(3)求導(dǎo)與賦值結(jié)合使用.第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例

求解由多項式除法,有

說明:當(dāng)被積函數(shù)是假分式時,應(yīng)把它分為一個多項式和一個真分式,分別積分.假分式第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例

求解

比較系數(shù)

因式分解第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天代入特殊值來確定系數(shù)取取取例求解

二次質(zhì)因式第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天注任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列其中A,B,a,p,q都為常數(shù),并設(shè)

幾種典型部分分式的積分之和n為大于1的正整數(shù).第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天類型解決方法作代換去掉根號.二、簡單無理函數(shù)的積分第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天回代例

解令原式=第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天解

令

分部積分

回代例

第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù).一般記為如三、三角函數(shù)有理式的積分和分部積分法討論過一些.對于三角函數(shù)有理式的積分,曾用換元法

是否任何一個三角函數(shù)有理式的積分都有原函數(shù)

回答是肯定的.?第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

由三角學(xué)知識可通過變換事實上,由半角變換(或稱萬能代換）則表示.化為有理函數(shù)的積分.第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天u的有理函數(shù)第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例求解由萬能代換第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天回代第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例求解

法一回代第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

法二修改萬能代換公式令說明及的有理式的積分時,更方便.用代換通常求含第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

例求解原式=這是有理函數(shù)的積分.如按部分分式法很麻煩.使分母為單項,作變換分析分母是100次多項式,如作一個適當(dāng)?shù)淖儞Q,而分子為多項,除一下,化為和差的積分.第25頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例求解原式=

分項

湊微分

約去公因子

配方第26頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例求解

比較系數(shù)

二次質(zhì)因式第2