第6講一元二次方程及其應(yīng)用（講義）（原卷版）-2024年浙江中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二單元方程（組）與不等式（組）第6講一元二次方程及其應(yīng)用課標(biāo)要求課標(biāo)要求1.理解一元二次方程的定義及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化為一般形式；2.掌握一元二次方程的四種解法，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?.理解一元二次方程根的判別式，會(huì)用根的判別式判斷方程解的情況；了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；4.會(huì)用一元二次方程解如增長率問題、銷售利潤問題、距離問題、面積問題等實(shí)際生活中常見的問題.備考指南備考指南考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢考點(diǎn)1一元二次方程的相關(guān)概念☆本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．考點(diǎn)2一元二次方程的解法☆☆考點(diǎn)3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系☆考點(diǎn)4一元二次方程的應(yīng)用☆☆知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)清單知識(shí)清單1．一元二次方程的定義：兩邊都是，只含有，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是，這樣的方程叫做一元二次方程．我們把稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．2．一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有，，，四種.(1)開平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用開平方法．(2)配方法：一般步驟：①化二次項(xiàng)系數(shù)為；②移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；③配方，即方程兩邊都加上；④化為(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用求出方程的解．(3)公式法：求根公式(其中)．(4)因式分解法：一般步驟：①將方程右邊化為；②將方程化為A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A(yù)＝0，B＝0，即可解方程．3．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式：Δ=b2－4ac①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程實(shí)數(shù)根．②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程實(shí)數(shù)根．③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程實(shí)數(shù)根．（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)方程的兩個(gè)根為，則，4．一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：常見的等量問題：(1)平均增長率(下降率)問題：如果基數(shù)用a表示，末數(shù)用b表示，增長率(下降率)用x表示，時(shí)間間隔用n表示，那么可用等量關(guān)系表示為．(2)利潤問題：利潤＝售價(jià)－，利潤率＝，銷售價(jià)＝(1＋)×進(jìn)貨價(jià)．(3)利息問題：利息＝本金××?xí)r間，本息和＝＋利息．(4)面積問題：如圖，對(duì)于矩形中有條形通道的求面積問題，通常把圖①中的通道平移轉(zhuǎn)化為如圖②的形狀，再求面積．設(shè)通道的寬為x，則S空白＝．深度講練深度講練■考點(diǎn)一一元二次方程的有關(guān)概念?

典例1：（2023?蘭溪市模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個(gè)解是x＝1，則代數(shù)式2023﹣a﹣b的值為（）A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024◆變式訓(xùn)練1．（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣x﹣y2＝0B．x（x﹣2）＝0C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．2．（2021?永嘉縣模擬）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式為（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝03．（2023?長興縣二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一個(gè)根，則a﹣b的值是2．■考點(diǎn)二一元二次方程的解法?

典例2：（2021?東陽市模擬）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．◆變式訓(xùn)練1．（2022?永康市模擬）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一個(gè)解，則﹣4a2+6a的值為（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣402．（2023?臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣13．（2021?濱江區(qū)二模）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小濱的解答如下：解：原方程可化簡為x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），方程兩邊同時(shí)除以x﹣5，得x＝﹣1，小濱的解答是否正確，如不正確，寫出正確的解答過程．4．（2021?湖州模擬）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．■考點(diǎn)三一元二次方程根的判別式?

典例3：（2023?龍灣區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝k有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，k的取值范圍是（）A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜◆變式訓(xùn)練1．（2022?龍泉市一模）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝02．（2023?甌海區(qū)四模）已知關(guān)于x的方程x2﹣10x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m＝（）A．10 B．25 C．﹣25 D．±253.（2021?長興縣模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0．（1）若方程的一個(gè)根為1，求m的值；（2）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．■考點(diǎn)四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?

典例4：（2023?海曙區(qū)模擬）已知a為正實(shí)數(shù)，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個(gè)根，則＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1◆變式訓(xùn)練1．（2023?諸暨市模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一個(gè)解為x＝1，則該方程的另一個(gè)解為（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（2022?寧波模擬）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，則x1+x2﹣x1x2＝2．■考點(diǎn)五一元二次方程的應(yīng)用?

典例5：（2021?寧波模擬）某商場品牌經(jīng)過5，6月份連續(xù)兩次降價(jià)每部售價(jià)由5000元降到3600元．且第一次降價(jià)的百分率是第二次的2倍，設(shè)第二次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000 C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝50002．（2021?寧波模擬）美麗的鮮花為人們傳遞著各種各樣的情感：桔梗象征著永恒；水仙象征著尊敬；康乃馨象征著母親的愛；風(fēng)鈴草象征著知恩圖報(bào)…3月里，花店里的桔梗、風(fēng)鈴草兩種鮮花共銷售了1000朵，其中風(fēng)鈴草和桔梗的銷量之比為3：2，且風(fēng)鈴草的單價(jià)是桔梗單價(jià)的．（1）若3月份兩種鮮花的總銷售額不低于3600元，則桔梗的單價(jià)至少為多少元？（2）根據(jù)往年的經(jīng)驗(yàn)，4月份的桔梗更美，它的進(jìn)價(jià)也會(huì)有所提升，因此商家決定將桔梗的單價(jià)在（1）中的最少單價(jià)的基礎(chǔ)上提高m%，預(yù)計(jì)桔梗的銷量將比3月份提高4m%，則4月份桔梗的銷售額將比（1）中總銷售額最低時(shí)風(fēng)鈴草的銷售額多192元，求m的值．◆變式訓(xùn)練1．（2022?衢江區(qū)二模）某超市將進(jìn)價(jià)為40元件的商品按50元/件出售時(shí)，每月可售出500件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該商品售價(jià)每上漲1元，其月銷量就減少10件．超市為了每月獲利8000元，則每件應(yīng)漲價(jià)多少元？若設(shè)每件應(yīng)漲價(jià)x元，則依據(jù)題意可列方程為（）A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000 C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝80002.（2023?衢州）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36B．2（1+x）＝36C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝363．（2023?拱墅區(qū)三模）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)2021年的新注冊(cè)用戶數(shù)為100萬，2023年的新注冊(cè)用戶數(shù)為64萬，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均下降率為x（x＞0），則x＝（用百分?jǐn)?shù)表示）．4．（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個(gè)新的矩形綠地．（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m2，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．真題演練真題演練1．（2022?婺城區(qū)模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個(gè)解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．20232．（2021?麗水）用配方法解方程x2+4x+1＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝33．（2023?浦江縣模擬）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣14．（2022?溫州）若關(guān)于x的方程x2+6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（）A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣95．（2021?臺(tái)州）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜46．（2023?黃巖區(qū)一模）神舟十五號(hào)載人飛船搭載3名宇航員于2022年11月29日進(jìn)入太空，在中國空間站進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，計(jì)劃今年6月返回．太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水，即將宇航員的汗液、尿液和太空水收集起來，經(jīng)過特殊的凈水器處理成可用水循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中的雜質(zhì)x%，經(jīng)過2次過濾可使水中的雜質(zhì)減少到原來的64%，根據(jù)題意可列方程為（）A．1﹣2x＝64% B．（1﹣x）2＝64% C．2（1﹣x%）＝64% D．（1﹣x%）2＝64%7．（2022?婺城區(qū)模擬）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．設(shè)長為x步，則可列方程為（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝8648．（2022?浦江縣模擬）如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬10cm，長15cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，設(shè)橫彩條的寬度是3xcm，則可列方程為（）A．4x×10+6x×15＝×10×15 B．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×15 C．4x×10+6x×15＝×10×15﹣2x×3x×4 D．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×159．（2023?武義縣一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的兩根分別為x1，x2，則代數(shù)式x1+x2＝．10．（2022?金華模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一個(gè)根為x＝1，寫出滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的值．11．（2021?嘉善縣一模）新能源汽車節(jié)能環(huán)保，越來越受到消費(fèi)者的喜愛，各種品牌相繼投放市場．某地2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬輛，銷售量逐年增加，到2020年為125.6萬輛．若年增長率x不變，則x的值是多少？根據(jù)題意可列方程為．12．（2022?衢州）將一個(gè)容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：（不必化簡）．13．（2022?仙居縣二模）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0），此方程的解為x1＝2，x2＝3．則關(guān)于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解為．14．（2021?南潯區(qū)模擬）設(shè)x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則4x12+4x1﹣2x2的值為．15．（2021?婺城區(qū)模擬）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．16．（2023?杭州）設(shè)一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17．（2023?舟山一模）在學(xué)習(xí)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系一課時(shí)老師出示了這樣一