高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)大賽教學(xué)案例設(shè)計(jì)匯編

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)匯編（下部）19、正弦定理（2） 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容支配在《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一課時(shí)，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等學(xué)問之后，明顯是對(duì)三角學(xué)問的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的干脆延長，因而定理本身的應(yīng)用又特別廣泛。依據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次老師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的探究，并大膽提出猜想；其次層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最終進(jìn)行簡潔的應(yīng)用。學(xué)生通過對(duì)隨意三角形中正弦定理的探究、發(fā)覺和證明，感受“視察——試驗(yàn)——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、擅長思索的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學(xué)情分析對(duì)普高高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等學(xué)問，有確定視察分析、解決問題的實(shí)力，但對(duì)前后學(xué)問間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有確定難度，因此思維敏捷性受到制約。依據(jù)以上特點(diǎn)，老師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后學(xué)問間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生干脆參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。三、設(shè)計(jì)思想：本節(jié)課采納探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作溝通為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)覺和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生供應(yīng)充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、探討問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，在學(xué)問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，逐步培育學(xué)生發(fā)覺問題、探究問題、解決問題的實(shí)力和創(chuàng)建性思維的實(shí)力。四、教學(xué)目標(biāo)：1．讓學(xué)生從已有的幾何學(xué)問動(dòng)身,通過對(duì)隨意三角形邊角關(guān)系的探究，共同探究在隨意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過視察，試驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，駕馭正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2．通過對(duì)實(shí)際問題的探究，培育學(xué)生視察問題、提出問題、分析問題、解決問題的實(shí)力，增加學(xué)生的協(xié)作實(shí)力和溝通實(shí)力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培育創(chuàng)建性思維的實(shí)力。3．通過學(xué)生自主探究、合作溝通，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)覺，培育學(xué)生勇于探究、擅長發(fā)覺、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增加學(xué)習(xí)的勝利心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好。4．培育學(xué)生合情合理探究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等學(xué)問間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)覺與證明；正弦定理的簡潔應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。教學(xué)打算：制作多媒體課件，學(xué)生打算計(jì)算器，直尺，量角器。六、教學(xué)過程：（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī) 師生活動(dòng)： 老師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后接著向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，假如船上有測角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？學(xué)生：思索提出測量角A，C老師：若已知測得，，要計(jì)算A、B兩地距離，你（圖1）有方法解決嗎？ 學(xué)生：思索溝通，畫一個(gè)三角形，使得為6cm，，，量得距離約為4.9cm，利用三角形相像性質(zhì)可知AB約為490m。老師：對(duì)，很好，在初中，我們學(xué)過相像三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？ 師生：共同回憶解直角三角形，=1\*GB3①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角。=2\*GB3②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角。。 老師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？ 學(xué)生：思索，溝通，得出過作于如圖2，把分為兩個(gè)直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，老師板書。解：過作于（圖2）在中，（圖2），在中，老師：表示對(duì)學(xué)生贊許，那么剛才解決問題的過程中，若，，能否用、、表示呢？老師：引導(dǎo)學(xué)生再視察剛才解題過程。學(xué)生：發(fā)覺， 老師：引導(dǎo) ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)覺什么？學(xué)生：發(fā)覺即然有，那么也有，。老師：引導(dǎo) ，，，我們習(xí)慣寫成對(duì)稱形式，，，因此我們可以發(fā)覺，是否隨意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：愛好是最好的老師。假如一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著勝利的一半。因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對(duì)特殊問題一般化，得出一個(gè)揣測性的結(jié)論——猜想，培育學(xué)生從特殊到一般思想意識(shí)，培育學(xué)生創(chuàng)建性思維實(shí)力。（二）數(shù)學(xué)試驗(yàn)，驗(yàn)證猜想老師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過特殊例子檢驗(yàn)是否成立，舉出特例。（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，，引導(dǎo)學(xué)生考察，，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等）（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1；（學(xué)生回答它們相等）（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：：2，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3）（圖3） 老師：對(duì)于呢？BaACBaACcb(圖4)則有，，又,則SHAPE從而在直角三角形ABC中， 老師：那么隨意三角形是否有呢？學(xué)生按事先支配分組，出示試驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀試驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（假如學(xué)生沒有問題，老師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附試驗(yàn)報(bào)告單。） 學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、、的近似值。 老師：借助多媒體演示隨著三角形隨意變換，、、值仍舊保持相等。 我們猜想：==設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)試驗(yàn)，激起學(xué)生的新奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行試驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)試驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動(dòng)：老師：我們雖然經(jīng)驗(yàn)了數(shù)學(xué)試驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)隨意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探究過程對(duì)我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組探討，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過程，依據(jù)學(xué)生回答狀況進(jìn)行敘述） 學(xué)生：思索得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗(yàn)。=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，，作：，垂足為在中，（圖5）在中，（圖5）同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，，作交的延長線于（圖6） 在中，（圖6） 在中， 同銳角三角形證明可知 老師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思索得出，分析圖形（圖7），對(duì)于隨意△ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，，==等式中均除以后可得，即。老師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過程。(圖7)AB(圖7)ABCDEFbac（圖7）在剛才的證明過程中大家是否發(fā)覺三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式 老師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個(gè)比值，那么它們也相等，這個(gè)究竟有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8） 學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（圖8）證明：連續(xù)并延長交圓于，在中，即同理可證：， 老師：從剛才的證明過程中,，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他學(xué)問來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為親密的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？學(xué)生：思索（聯(lián)系作高的思想）得出： 在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，（圖9） （圖9） 即 同理： 對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的狀況作簡潔交代。 老師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有愛好的同學(xué)回家再探究。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)驗(yàn)證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)學(xué)問論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。（四）利用定理，解決引例師生活動(dòng)：老師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學(xué)生：立刻得出 在中， （五）了解解三角形概念設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成學(xué)問的完整性老師：一般地，把三角形的三個(gè)角、、和它們的對(duì)邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的學(xué)問，新的定理，解決問題更便利，更簡潔，激發(fā)學(xué)生不斷探究新學(xué)問的欲望。（六）運(yùn)用定理，解決例題師生活動(dòng)：老師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。 學(xué)生：探討正弦定理可以解決的問題類型： =1\*GB3①假如已知三角形的隨意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如； =2\*GB3②假如已知三角形隨意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學(xué)生思索回答解題思路，老師板書，讓學(xué)生思索主要是突出主體，老師板書的目的是規(guī)范解題步驟。 例1：在中，已知，，，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。 例2：在中，已知，，，解三角形。例2的處理，目的是讓學(xué)生駕馭分類探討的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充溝通 學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)） 用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計(jì)意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱忱和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到勝利的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要探討”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)：老師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思索溝通，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，老師剛好補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。（3）分類探討的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培育學(xué)生的歸納總結(jié)實(shí)力和語言表達(dá)實(shí)力。（八）作業(yè)設(shè)計(jì)作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1、2題。思索題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，視察解的狀況并說明出現(xiàn)一解，兩解，無解的緣由。課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜尋，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及應(yīng)用（相關(guān)fayz）七、設(shè)計(jì)思路：本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在老師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生主動(dòng)主動(dòng)參與一個(gè)個(gè)相關(guān)聯(lián)的探究活動(dòng)過程，通過“視察——試驗(yàn)——?dú)w納——猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)覺并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)了學(xué)問形成的過程，感受到創(chuàng)新的歡樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，促使學(xué)生去思索問題，去發(fā)覺問題，讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愛好，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的學(xué)問解決新的問題，方法一通過相像三角形相像比相等進(jìn)行計(jì)算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問題中發(fā)覺新學(xué)問，提出猜想，使學(xué)生在視察、試驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。2、數(shù)學(xué)試驗(yàn)，驗(yàn)證猜想通過特例檢驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)，提高了學(xué)生試驗(yàn)操作、分析思索和抽象概括的能，激發(fā)學(xué)生的新奇心和求知欲望，體會(huì)到數(shù)學(xué)試驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。3、證明猜想，得出定理引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進(jìn)行證明定理，展示自己的學(xué)問，培育學(xué)生解決問題的實(shí)力，增加學(xué)習(xí)的愛好，愛好，在學(xué)問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，培育推理的意識(shí)。附一：試驗(yàn)報(bào)告單組長: 組員：試驗(yàn)?zāi)康奶接懭切沃懈鬟吅退鼘?duì)角的正弦值的比(，，)是否相等。試驗(yàn)器材計(jì)算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）試驗(yàn)方法畫一個(gè)隨意三角形，量取三邊和三個(gè)角的值，并計(jì)算。試驗(yàn)內(nèi)容三邊：a= b= c=三角：A= B= C=計(jì)算：= = =（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）結(jié)論：福安一中陳楨仔林旭點(diǎn)評(píng)：本節(jié)定理教學(xué)課，老師把重點(diǎn)放在定理的發(fā)覺與證明上，符合新課標(biāo)重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學(xué)只留意結(jié)論的傾向。首先，利用解決一個(gè)可測量兩角一對(duì)邊，求另一對(duì)邊的實(shí)際問題引入，在解決實(shí)際問題中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺“三角形三邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過對(duì)特殊三角形的驗(yàn)證，大膽猜想對(duì)隨意三角形成立；接著證明白這個(gè)定理。在課堂上展示了定理的發(fā)覺過程，使學(xué)生感受到創(chuàng)新的歡樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)了“視察—試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)驗(yàn)了學(xué)問形成的過程，符合新課標(biāo)重視過程與方法的理念。其次，在解決引例中的測量問題時(shí)利用用初中相像三角形學(xué)問、正弦定理的不同證法（轉(zhuǎn)化為直角三角形、協(xié)助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了“在已有學(xué)問體系的基礎(chǔ)上去建構(gòu)新的學(xué)問體系”的理念，加強(qiáng)了學(xué)問間的聯(lián)系，培育了學(xué)生思維的敏捷性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。但是，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容還是偏多，在時(shí)間安排上要有規(guī)劃，突出重點(diǎn)，刪繁就簡；引入的例題要留意條件更加明確干脆，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，奢侈時(shí)間?？傊?，本節(jié)課有效地采納了探究式教學(xué)，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作溝通為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)覺和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生供應(yīng)充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、探討問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，感受“視察——試驗(yàn)——猜想——證明——應(yīng)用”等環(huán)節(jié)，教學(xué)過程流暢，在學(xué)問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，逐步培育學(xué)生發(fā)覺問題、探究問題、解決問題的實(shí)力和創(chuàng)建性思維的實(shí)力。20、正弦定理（3）一、教學(xué)內(nèi)容分析“正弦定理”是《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的干脆延拓，也是三角函數(shù)一般學(xué)問和平面對(duì)量等學(xué)問在三角形中的詳細(xì)運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要探討正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)覺的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而的確又是學(xué)生所關(guān)切的問題。本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時(shí)，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊學(xué)問，使學(xué)生駕馭新的有用的學(xué)問，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且通過對(duì)定理的探究，能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)覺和創(chuàng)建的歷程，進(jìn)而培育學(xué)生提出問題、解決問題等探討性學(xué)習(xí)的實(shí)力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)學(xué)問和平面對(duì)量的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)解直角三角形、三角函數(shù)、平面對(duì)量已形成初步的學(xué)問框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于隨意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，也為學(xué)習(xí)正弦定理供應(yīng)一種親和力與認(rèn)同感。三、設(shè)計(jì)思想培育學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生實(shí)力的重要前提，是中學(xué)新課程改革的主要任務(wù)。如何培育學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“學(xué)問不是被動(dòng)汲取的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來理解就是：學(xué)問不是通過老師傳授得到的，而是學(xué)生在確定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)閱歷，并通過與他人（在老師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，老師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。四、教學(xué)目標(biāo)1、學(xué)問與技能：通過對(duì)隨意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探究，駕馭正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。2、過程與方法：讓學(xué)生從已有的學(xué)問動(dòng)身,共同探究在隨意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過視察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)覺和創(chuàng)建的歷程。3、情感看法與價(jià)值觀：在同等的教學(xué)氛圍中，通過學(xué)生之間、師生之間的溝通、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)覺和推導(dǎo)難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請(qǐng)你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。已知船在靜水中的速度，水流速度?！驹O(shè)計(jì)意圖】培育學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于生活”的思想意識(shí)，同時(shí)情境問題的圖形及解題思路均為探討正弦定理做鋪墊。（二）提出問題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問題：1、船應(yīng)開往B處還是C處？2、船從A開到B、C分別須要多少時(shí)間？3、船從A到B、C的距離分別是多少？4、船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？5、船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？【設(shè)計(jì)意圖】通過小組溝通，供應(yīng)確定的探討學(xué)習(xí)與情感溝通的時(shí)空，培育學(xué)生合作學(xué)習(xí)的實(shí)力；問題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愛好；問題通過老師的篩選，確定探討的方向，體現(xiàn)老師的主導(dǎo)作用。師：誰能幫大家講解，應(yīng)當(dāng)怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過探討達(dá)成如下共識(shí)：要回答問題1，須要解決問題2，要解決問題2，須要先解決問題3和4，問題3用直角三角形學(xué)問可解，所以重點(diǎn)是解決問題4，問題4與問題5是兩個(gè)相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題4和5。師：請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1：船從A開往B的狀況如圖2，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的學(xué)問，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：，用計(jì)算器可求得船從A開往C的狀況如圖3，，，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個(gè)問題。師：請(qǐng)大家思索，這兩個(gè)問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊?！驹O(shè)計(jì)意圖】將問題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對(duì)問題的理解，有助于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。師：請(qǐng)大家探討一下，如何解決這兩個(gè)問題？生3：不知道。師：圖2的情形大家都會(huì)解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點(diǎn)？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可干脆利用邊角的關(guān)系求解。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過老師的問題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培育學(xué)生的化歸思想，同時(shí)為下一步用特例作為突破口來探討正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。生5：能，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G（如圖4），，師：很好！實(shí)行分割的方法，將一般三角形化為兩個(gè)直角三角形求解。但在生活中有很多三角形不是直角三角形，假如每個(gè)三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣干脆利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，隨意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【設(shè)計(jì)意圖】通過老師對(duì)學(xué)生的確定評(píng)價(jià)，創(chuàng)建一個(gè)教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，使緊接著的問題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和老師的共同成長。（三）解決問題1、正弦定理的引入師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時(shí)，是怎樣處理的？眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)覺解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中摸索一下。師：假如一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對(duì)于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先探討特例，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)直角三角形進(jìn)行探討，找尋一般三角形的各邊及其對(duì)角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同探討。（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探討；老師視察學(xué)生的探討進(jìn)展?fàn)顩r或參與學(xué)生的探討。（2）展示學(xué)生探討的結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】老師參與學(xué)生之間的探討，增進(jìn)師生之間的思維與情感的溝通，并通過老師的指導(dǎo)與視察，剛好駕馭學(xué)生探討的狀況，為展示學(xué)生的探討結(jié)論做打算；同時(shí)通過展示探討結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的勝利感及學(xué)習(xí)的信念。師：請(qǐng)說出你探討的結(jié)論？生7：師：你是怎樣想出來的？生7：因?yàn)樵谥苯侨切沃?，它們的比值都等于斜邊。師：有沒有其它的探討結(jié)論？（依據(jù)實(shí)際狀況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析推斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深化探討。）師：對(duì)一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不確定，可以先用詳細(xì)例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想方法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個(gè)好辦法。那么對(duì)等邊三角形是否成立呢？生9：成立。師：對(duì)隨意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個(gè)數(shù)學(xué)試驗(yàn)，……【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思索”——“提出問題”——“探討特例”——“歸納猜想”——“試驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問題的實(shí)力。2、正弦定理的探究（1）試驗(yàn)探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生視察三角形形態(tài)的變更與三個(gè)比值的變更狀況。結(jié)論：對(duì)于隨意三角形都成立?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對(duì)結(jié)論的相識(shí)從感性逐步上升到理性。師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一樣。生10：（通過計(jì)算）與生5的結(jié)果相同。師：假如上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊?！钡膯栴}就簡潔多了。【設(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡潔應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。（2）點(diǎn)明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則須要證明，請(qǐng)同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形——已驗(yàn)證；銳角三角形——課堂探究；鈍角三角形——課后證明?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。師：請(qǐng)你（生11）到講臺(tái)上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺(tái)），設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。通過作三角形的高，與生5的方法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則，所以，同理可得師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件動(dòng)身，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。留意：表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個(gè)簡捷的證明方法！【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時(shí)適時(shí)對(duì)學(xué)生作出合情的評(píng)價(jià)。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)探討后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在老師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是的三條高。則有，，。證法三：如圖7，設(shè)是外接圓的直徑，則，同理可證：【設(shè)計(jì)意圖】在證明正弦定理的同時(shí)，將兩邊及其夾角的三角形面積公式及一并牽出，使學(xué)問的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學(xué)習(xí)了平面對(duì)量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？師：隨意中，三個(gè)向量、、間有什么關(guān)系？生12：師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否隨意？又如何選擇向量?生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量與三個(gè)向量中的一個(gè)向量（如向量）垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。師：還是先探討銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家詳細(xì)試一下，看還有什么問題？老師參與學(xué)生的小組探討，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生留意兩個(gè)向量的夾角，最終讓學(xué)生通過小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8，設(shè)非零向量與向量垂直。因?yàn)?，所以即所以，同理可得師：能否簡化證法四的過程？（留有確定的時(shí)間給學(xué)生思索）師：有什么幾何意義？生15：把移項(xiàng)可得，由向量數(shù)量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。生16：我還有一種證法師：請(qǐng)你到講臺(tái)來給大家講一講。（學(xué)生16上臺(tái)板書自己的證明方法。）證法五：如圖9，作，則與在方向上的投影相等,即故，同理可得師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明白正弦定理，方法特別簡捷明白！【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來證明幾何問題，學(xué)生相對(duì)比較生疏，不簡潔立刻想出來，老師通過設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問題賜予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。（四）小結(jié)師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問題動(dòng)身，通過猜想、試驗(yàn)，歸納等思維方法，最終發(fā)覺了正弦定理，并從不同的角度證明白它。本節(jié)課，我們探討問題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)試驗(yàn)。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探究過程我們也駕馭了探討問題的一般方法。（五）作業(yè)1、回顧本節(jié)課的整個(gè)探討過程，體會(huì)學(xué)問的發(fā)生過程；2、思索：證法五與證法一有何聯(lián)系？3、思索：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，證明正弦定理?！驹O(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有足夠的時(shí)間來完成視察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時(shí)間花得少且比較簡潔，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的打算。七、教學(xué)反思為了使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為學(xué)問的“發(fā)覺者”和“創(chuàng)建者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲得學(xué)問、發(fā)展實(shí)力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。我想到了“情境——問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問題”學(xué)習(xí)鏈，并依據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，詳細(xì)做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版）其次章習(xí)題B組其次題，我將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)切的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題4與5時(shí)須要運(yùn)用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探究解決問題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問題須要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟識(shí)的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后運(yùn)用幾何畫板對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明?？傊?，整個(gè)過程讓學(xué)生通過自主探究、合作溝通，親身經(jīng)驗(yàn)了“情境思索”——“提出問題”——“探討特例”——“歸納猜想”——“試驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)覺者”和“創(chuàng)建者”，切身感受了創(chuàng)建的苦和樂，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。大田一中陳永民點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課是典型合作探究課，老師先設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生探討問題解決方案，將方案數(shù)學(xué)化，歸納出一類數(shù)學(xué)問題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊”，順當(dāng)?shù)匾胄抡n，實(shí)現(xiàn)了從“現(xiàn)象”到“本質(zhì)”的飛躍，培育了學(xué)生提出問題、分析問題、數(shù)學(xué)建模的實(shí)力。為尋求解決問題的普遍方法，對(duì)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行探究，在特殊狀況（直角三角形）下得到正弦定理，又在等邊三角形和一般三角形中驗(yàn)證，堅(jiān)決了結(jié)論成立的猜想，最終通過嚴(yán)格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學(xué)生親身經(jīng)驗(yàn)了“情境思索”—“提出問題”—“探討特例”—“歸納猜想”—“試驗(yàn)探究”—“理論探究”—“解決問題”—“反思總結(jié)”的歷程，學(xué)會(huì)探討數(shù)學(xué)問題的方法，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)覺者”和“創(chuàng)建者”，切身感受了創(chuàng)建的苦和樂。在對(duì)詳細(xì)的一般三角形驗(yàn)證成立的過程中，利用《幾何畫板》軟件，不斷變換三角形，視察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教化技術(shù)的運(yùn)用恰到好處。21、余弦定理一、教學(xué)內(nèi)容分析人教版《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元其次課《余弦定理》。通過利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會(huì)余弦定理解決“邊、邊、角”，體會(huì)方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能。二、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況分析本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本學(xué)問和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的相識(shí)。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有確定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)愛好?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)建力較弱，看待與分析問題不深化，學(xué)問的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有確定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生酷愛數(shù)學(xué)的思想感情；從詳細(xì)問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去諦視，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。三、設(shè)計(jì)思想新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探究，合作溝通，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)覺和創(chuàng)建的歷程，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思索，作出推斷；同時(shí)要求老師從學(xué)問的傳授者向課堂的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動(dòng)合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維實(shí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)接著探究三角形的邊長與角度間的詳細(xì)量化關(guān)系、駕馭余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會(huì)向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過實(shí)踐演算運(yùn)用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細(xì)化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過相關(guān)教學(xué)學(xué)問的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理的發(fā)覺過程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時(shí)的思路。六、教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)合作探究活動(dòng)學(xué)情分析與設(shè)計(jì)意圖學(xué)問回顧1、一般三角形全等的四種推斷方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類問題的三角形？回顧舊知，防止遺忘創(chuàng)設(shè)引入你能推斷下列三角形的類型嗎？1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c邊長嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實(shí)踐作圖方面進(jìn)行估計(jì)推斷。學(xué)生可能比較茫然，幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)。提出問題你能夠有更好的詳細(xì)的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量學(xué)問、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析探討，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的主動(dòng)探討。引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)學(xué)問入手，選擇簡潔的工具。合作探究ABABC如圖：設(shè)，由三角形法則有同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)向量學(xué)問可能遺忘，留意復(fù)習(xí)；在利用數(shù)量積時(shí)，角度可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中發(fā)覺問題，鞏固向量學(xué)問，明確向量工具的作用。同時(shí)，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。學(xué)問歸納比較，發(fā)覺特征，加強(qiáng)識(shí)記結(jié)構(gòu)分析視察余弦定理，指明白三邊長與其中一角的詳細(xì)關(guān)系，并發(fā)覺a與A，b與B，C與c之間的對(duì)應(yīng)表述，同時(shí)發(fā)覺三邊長的平方在余弦定理中同時(shí)出現(xiàn)使學(xué)生明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊”問題學(xué)問聯(lián)系余弦定理的推論：解決“邊、邊、邊”問題方法應(yīng)用怎樣精確地解答引入中的兩個(gè)問題？怎樣利用已知條件推斷三角形的形態(tài)？用精確的量化關(guān)系去解決問題，用邊長去推斷三角形形態(tài)，勾股定理是余弦定理特例。學(xué)問應(yīng)用例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，求解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精確到1′）應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問求解問題加強(qiáng)計(jì)算器的運(yùn)算功能，同時(shí)，鞏固好正弦定理，余弦定理學(xué)問，發(fā)覺兩種學(xué)問方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。學(xué)問深化例3：已知△ABC中求c邊長分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。接著深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于余弦定理。并讓學(xué)生初步發(fā)覺“邊、邊、角”問題解法，為下節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。練習(xí)檢測1、某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來，他望見第一輛車與其次輛車的俯角差等于他望見其次輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與其次輛車的距離與其次輛車的距離之間關(guān)系為（）A：>B：=C：<D：大小不確定2、銳角△ABC中b＝1，c＝2，則a取值為（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在△ABC中若有，你能推斷這個(gè)三角形的形態(tài)嗎？若呢？用練習(xí)去鞏固所學(xué)學(xué)問，使學(xué)生逐步形成良好的學(xué)問結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)問應(yīng)用實(shí)力的培育。課堂小結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些學(xué)問和方法？通過學(xué)問回顧，使學(xué)生各自體會(huì)收獲。板書設(shè)計(jì)1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例3、例43、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解學(xué)問作業(yè)設(shè)計(jì)1、探討余弦定理的其它解法設(shè)計(jì)思路。2、第11頁A組3、4題鞏固學(xué)問多角度看待問題七、教學(xué)反思本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要兼顧前后學(xué)問的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，將新舊學(xué)問漸漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的學(xué)問系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問題。本課教學(xué)設(shè)計(jì)力求在型（模型、類型），質(zhì)（實(shí)質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達(dá)到教學(xué)效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面對(duì)量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中抓住前后學(xué)問的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，相識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問和方法解決一些實(shí)際問題。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)建力不足、看待問題不深化，很大緣由在于學(xué)生的學(xué)問系統(tǒng)不夠完善。因此本課運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從多角度看待問題，在提出問題、思索分析問題、解決問題等多方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行示范引導(dǎo)，將舊學(xué)問與新學(xué)問進(jìn)行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立自己的良好學(xué)問結(jié)構(gòu)。福建漳平市第一中學(xué)李永彬點(diǎn)評(píng)：本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面對(duì)量、正弦定理的基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理方法。李老師從解三角形的問題動(dòng)身，提出解題須要，引發(fā)認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性；在定理證明的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量學(xué)問、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析探討，留意分析思路，揭示蘊(yùn)含在證明中的數(shù)學(xué)思想，最終引導(dǎo)學(xué)生用向量學(xué)問推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個(gè)等式和三個(gè)推論之后，又對(duì)學(xué)問進(jìn)行了歸納比較，發(fā)覺特征，便于學(xué)生識(shí)記，同時(shí)也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。命題的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)命題的重要目的是應(yīng)用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計(jì)中的例1、例2是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理學(xué)問。例3是已知兩邊一對(duì)角，求解三角形問題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的聯(lián)系，深化了對(duì)兩個(gè)定理的理解，培育了解決問題的實(shí)力。但李老師在對(duì)例3解法的總結(jié)時(shí)，指出“能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性?！边@結(jié)論有點(diǎn)片面。本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合新課程的要求進(jìn)行改進(jìn)和發(fā)展，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維實(shí)力為主線，發(fā)揮老師的設(shè)計(jì)者，組織者作用，在使學(xué)生駕馭學(xué)問的同時(shí)，幫助學(xué)生摸索自己的學(xué)習(xí)方法。22、等差數(shù)列一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5》（人教版）其次章數(shù)列其次節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不行分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好打算。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的學(xué)問進(jìn)一步深化和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列供應(yīng)了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況分析我所教學(xué)的學(xué)生是我校高二（2）班的學(xué)生，經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生學(xué)問閱歷已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維實(shí)力和演繹推理實(shí)力，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好還不是很濃，所以我在授課時(shí)留意從詳細(xì)的生活實(shí)例動(dòng)身，留意引導(dǎo)、啟發(fā)、探討和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維實(shí)力的進(jìn)一步發(fā)展。三、設(shè)計(jì)思想1．教法⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)學(xué)問進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和主動(dòng)性，發(fā)揮其創(chuàng)建性。⑵分組探討法：有利于學(xué)生進(jìn)行溝通，剛好發(fā)覺問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性。⑶講練結(jié)合法：可以剛好鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2．學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問題、水庫水位問題、儲(chǔ)蓄問題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對(duì)各種實(shí)力的同學(xué)引導(dǎo)相識(shí)多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探究，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和須要解決的問題弄清。四、教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并駕馭等差數(shù)列的概念，能用定義推斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想，會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式，能在解題中敏捷應(yīng)用，初步引入“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\(yùn)用；并在此過程中培育學(xué)生視察、分析、歸納、推理的實(shí)力，在領(lǐng)悟函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把探討函數(shù)的方法遷移來探討數(shù)列，培育學(xué)生的學(xué)問、方法遷移實(shí)力；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的實(shí)力。在解決問題的過程中培育學(xué)生主動(dòng)探究、勇于發(fā)覺的求知精神；使學(xué)生相識(shí)事物的變更形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心視察、細(xì)致分析、擅長總結(jié)的良好思維習(xí)慣。并通過確定的實(shí)例激發(fā)同學(xué)們的民族驕傲感和愛國熱忱。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：①等差數(shù)列的概念。②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。難點(diǎn)：①理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)情境設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教化貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的實(shí)際計(jì)算問題，都須要用到有關(guān)數(shù)列的學(xué)問來解決。今日我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。傾聽課堂引入探究探討由學(xué)生視察分析并得出答案：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常這樣數(shù)數(shù)，從0起先，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，___,___,___,___,…2000年，在澳大利亞悉尼實(shí)行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為競賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別。其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。假如一個(gè)水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從起先放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。依據(jù)單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么依據(jù)單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時(shí)間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360。視察分析，發(fā)表各自的看法引向課題發(fā)覺規(guī)律思索：同學(xué)們視察一下上面的這四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？視察分析并得出答案:引導(dǎo)學(xué)生視察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于-2.5；對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于72；由學(xué)生歸納和概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。通過分析，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的探究學(xué)問的愛好，引導(dǎo)揭示數(shù)列的共性特點(diǎn)?？偨Y(jié)提高[等差數(shù)列的概念]對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：等差數(shù)列：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。學(xué)生細(xì)致閱讀課本相關(guān)概念，找出關(guān)鍵字。通過學(xué)生自己閱讀課本，找出關(guān)鍵字，提高學(xué)生的閱讀水平和思維概括實(shí)力，學(xué)會(huì)抓重點(diǎn)。提問：假如在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿意什么條件？由學(xué)生回答：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有讓學(xué)生參與到學(xué)問的形成過程中，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。不難發(fā)覺，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)。看來，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則深化探究，得到更一般化的結(jié)論引領(lǐng)學(xué)習(xí)更深化的探究，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平?？偨Y(jié)提高[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。⑴、我們是通過探討數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們依據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通項(xiàng)公式：①這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5，第2項(xiàng)是10（=5+5），第3項(xiàng)是15（=5+5+5），第4項(xiàng)是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是②這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是48，第2項(xiàng)是53（=48+5），第3項(xiàng)是58（=48+5×2），第4項(xiàng)是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是③這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是18，第2項(xiàng)是15.5（=18-2.5），第3項(xiàng)是13（=18-2.5×2），第4項(xiàng)是10.5（=18-2.5×3），第5項(xiàng)是8（=18-2.5×4），第6項(xiàng)是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是④這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是10072，第2項(xiàng)是10144（=10172+72），第3項(xiàng)是10216（=10072+72×2），第4項(xiàng)是10288（=10072+72×3），第5項(xiàng)是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)會(huì)發(fā)覺規(guī)律，并加以總結(jié)。⑵、那么，假如隨意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：所以……引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性分析與推導(dǎo)，從而得出公式。總結(jié)提高思索：那么通項(xiàng)公式究竟如何表達(dá)呢？……進(jìn)一步的分析。得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜想得出：以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)就可以表示出來了。思索，并發(fā)表各自的看法。讓學(xué)生有自主思索的時(shí)空。應(yīng)用鞏固例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng).⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？讓兩個(gè)學(xué)生分別對(duì)這兩小題加以分析。讓學(xué)生參與課堂。分析：⑴要求出第20項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出來。首項(xiàng)知道了，還須要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；⑵這個(gè)問題可以看成是上面那個(gè)問題的一個(gè)逆問題。要推斷這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿意該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且須要留意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義。解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。例題評(píng)述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于、、d、n（獨(dú)立的量有3個(gè)）的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來推斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)推斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，假如不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。傾聽老師點(diǎn)評(píng)通過老師點(diǎn)評(píng)，提高學(xué)生對(duì)關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”第1題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的學(xué)問應(yīng)用水平例2．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4千米）計(jì)費(fèi)10元。假如某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，須要支付多少車費(fèi)？解：依據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客須要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列來計(jì)算車費(fèi).令=11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)須要支付車費(fèi)答：須要支付車費(fèi)23.2元。學(xué)以致用，將所學(xué)學(xué)問應(yīng)用到詳細(xì)生活中去，加深對(duì)概念的理解。例題評(píng)述：這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問題的一個(gè)簡潔應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的學(xué)問解決實(shí)際問題。傾聽老師點(diǎn)評(píng)通過老師點(diǎn)評(píng)，提高學(xué)生對(duì)關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”第2題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的學(xué)問應(yīng)用水平例3已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列確定是等差數(shù)列嗎？分析思索，然后分組探討，讓兩組學(xué)生代表發(fā)表自己的見解。培育學(xué)生分析問題的實(shí)力，在小組探討中提高組長的組織與歸納組內(nèi)成員想法的實(shí)力。分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)。解：取數(shù)列中的隨意相鄰兩項(xiàng)（n＞1），求差得它是一個(gè)與n無關(guān)的數(shù).所以是等差數(shù)列。課本左邊“旁注”：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少？這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)公差。由此我們可以知道對(duì)于通項(xiàng)公式是形如的數(shù)列，確定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.例題評(píng)述：通過這個(gè)例題我們知道推斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：假如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列。對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行更深化一步的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好。探究探討引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖探討完成以下探究：⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？⑵在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)覺了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，……時(shí)，對(duì)應(yīng)的可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過描點(diǎn)知道該圖象是勻稱分布的一群孤立點(diǎn)；⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)覺數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個(gè)子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。學(xué)生動(dòng)手畫圖，并進(jìn)行學(xué)習(xí)小組探討，發(fā)表見解。通過學(xué)生動(dòng)手作圖，并加以對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。課堂小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：①等差數(shù)列定義：即(n≥2)②等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n≥1)推導(dǎo)出公式：以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)習(xí)小組中，各自歸納自己對(duì)這堂課的收獲，后由小組代表總結(jié)歸納。學(xué)生自己小結(jié)，使學(xué)生對(duì)自己所學(xué)學(xué)問有更深刻的相識(shí)。評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)1、已知是等差數(shù)列.⑴是否成立？呢？為什么？⑵是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？2、已知等差數(shù)列的公差為d.求證：作業(yè)是課堂的持續(xù)，除了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)問的理解程度，還在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本課學(xué)問的進(jìn)一步探究，讓學(xué)生在更大的深度與廣度之間進(jìn)行思索。七、教學(xué)反思本節(jié)課通過生活中一系列的實(shí)例讓學(xué)生視察，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式，培育了學(xué)生視察、分析、歸納、推理的實(shí)力。充分體現(xiàn)了學(xué)生做數(shù)學(xué)的過程，使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列有了從感性到理性的相識(shí)過程，也使本節(jié)課的三維目標(biāo)真正落到實(shí)處。福州金橋高級(jí)中學(xué)林岳水點(diǎn)評(píng)：本設(shè)計(jì)從生活中的數(shù)列模型，如舉重級(jí)別、水庫水位、儲(chǔ)蓄的本息計(jì)算等問題引入，進(jìn)而提出有待探究的問題，這有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。在探究的過程中，學(xué)生通過分析、視察，逐步抽象概括得出等差數(shù)列定義，強(qiáng)化了由詳細(xì)到抽象，由特殊到一般的思維過程。本課各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、簡潔明白、重點(diǎn)突出，引導(dǎo)分析細(xì)致、到位、適度。如：推斷某數(shù)列是否成等差數(shù)列，這是促進(jìn)概念理解的好素材；又如：把通項(xiàng)公式與一次函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，利用函數(shù)這一“上位”概念，來“同化”等差數(shù)列的概念，體現(xiàn)函數(shù)思想；還有讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)列表、畫圖象的過程，從“形”的角度，感受函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系；此外，用方程的思想指導(dǎo)等差數(shù)列基本量的運(yùn)算等等。學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)過程中，加深了對(duì)概念的理解和鞏固。本節(jié)課教學(xué)體現(xiàn)了課堂教學(xué)從“灌輸式”到“引導(dǎo)發(fā)覺式”的轉(zhuǎn)變，以老師提出問題、學(xué)生探討解決問題為途徑，以相互補(bǔ)充綻開教學(xué)，總結(jié)科學(xué)合理的學(xué)問體系，形成師生之間的良性互動(dòng)，提高課堂教學(xué)效率。教學(xué)手段和教學(xué)方法的選擇合理有效，體現(xiàn)了新課程所提倡的“培育學(xué)生主動(dòng)主動(dòng)，勇于探究的學(xué)習(xí)方式”。值得商討的問題，在等差數(shù)列中，對(duì)于隨意正整數(shù)，若則這一性質(zhì)的在第一課時(shí)提出是否不合時(shí)宜，并且只是這樣蜻蜒點(diǎn)水是否忽視了其重要性。23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（人教A版）中其次章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”（第一課時(shí)）．本節(jié)課主要探討如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用．等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中常常遇到的一類問題．同時(shí)，求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列探討的基本問題，通過對(duì)公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步駕馭從特殊到一般的探討問題方法．二、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì)，也對(duì)高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)供應(yīng)了基礎(chǔ)；同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù)學(xué)問，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)思想．高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有確定的距離，如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．三、設(shè)計(jì)思想建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)主動(dòng)地建構(gòu)學(xué)問的過程，因此，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生在詳細(xì)的問題情境中經(jīng)驗(yàn)學(xué)問的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的學(xué)問與閱歷，自主地在老師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新學(xué)問的建構(gòu)．在教學(xué)過程中，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法起先，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．通過設(shè)計(jì)一些從簡潔到困難，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生綻開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會(huì)思索、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．同時(shí)依據(jù)我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成果優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了選做題和探究題，進(jìn)一步培育優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問題的實(shí)力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的．四、教學(xué)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程；駕馭并能嫻熟運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；了解倒序相加法的原理；2.通過公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特殊到一般的探討方法，滲透函數(shù)思想與方程（組）思想，培育學(xué)生視察、歸納、反思的實(shí)力；通過小組探討學(xué)習(xí)，培育學(xué)生合作溝通、獨(dú)立思索等良好的特性品質(zhì)．五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是探究并駕馭等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問題；難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得．六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生學(xué)問閱歷的感悟和體驗(yàn)世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳聞陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？體展示三角形圖案）[設(shè)計(jì)意圖]情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與確定的學(xué)問背景，即“情境”相聯(lián)系．從實(shí)際問題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新學(xué)問的愛好，并且可引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊．[學(xué)問鏈接]高斯，德國聞名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…+100＝？據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法快速算出了正確答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.[學(xué)情預(yù)設(shè)]高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性．教學(xué)時(shí)，應(yīng)給學(xué)生供應(yīng)充裕的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去視察、探究發(fā)覺這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律．學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟識(shí)的，知道采納首尾配對(duì)的方法來求和，但估計(jì)他們對(duì)這種方法的相識(shí)可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了以下三道由易到難的問題．（二）由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學(xué)生分組探討，在合作中學(xué)習(xí)，并把小組發(fā)覺的方法一一呈現(xiàn)．[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26以上方法事實(shí)上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，老師應(yīng)進(jìn)行充分確定與表揚(yáng)．[設(shè)計(jì)意圖]這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問題，若簡潔地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對(duì)的問題，借此滲透化歸思想．問題2：求圖案中從第1層到第n層（1＜n＜100，n∈N*）共有多少顆寶石？[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生通過激烈的探討后，發(fā)覺n為奇數(shù)時(shí)不能配對(duì)，可能會(huì)分n為奇數(shù)、偶數(shù)的狀況分別求解，老師如何引導(dǎo)學(xué)生避開探討成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵．[設(shè)計(jì)意圖]從求確定的前n個(gè)正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和，讓學(xué)生領(lǐng)悟從特殊到一般的探討方法，旨在讓學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)求和”這一算法的改進(jìn)．啟發(fā)：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形．[設(shè)計(jì)意圖]借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現(xiàn)供應(yīng)了一個(gè)干脆的模型．通過以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，信任簡潔得出解法：∵1+2+3+…（n－1）+nn+（n－1）+（n－2）+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=問題3：在公差為d的等差數(shù)列{an}中，定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？由前面的大量鋪墊，學(xué)生應(yīng)簡潔得出如下過程：∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n－1)d]Sn=an+(an－d)+（an－2d）+…+[an－(n－1)d]∴(公式1)組織學(xué)生探討：在公式1中若將an=a1+（n－1）d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?即：（公式2）（三）設(shè)置典例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用對(duì)于以上兩個(gè)公式，初學(xué)的學(xué)生在解決一些問題時(shí)，往往不知道該如何選?。蠋煈?yīng)通過適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行分析，依據(jù)公式各自的特點(diǎn)，幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式．例1為了參與冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的5000m長跑競賽，某同學(xué)給自己制定了7天的訓(xùn)練支配（單位：m）如下表：5000550060006500700075008000問這個(gè)同學(xué)7天一共將跑多長的距離？[設(shè)計(jì)意圖]該例題是將課本P53習(xí)題2.3A組第3題改編成表格形式，可以熬煉學(xué)生處理數(shù)據(jù)信息的實(shí)力和選用公式的實(shí)力。學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)動(dòng)身，選用公式1；也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)動(dòng)身，選用公式2，通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)留意選擇適當(dāng)?shù)墓?，以便于?jì)算．例2已知等差數(shù)列5，4，3，…求(1)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時(shí)相應(yīng)的n的值。[設(shè)計(jì)意圖]通項(xiàng)公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個(gè)基本元素，假如已知其中三個(gè)，就可求其余兩個(gè)，主要是訓(xùn)練學(xué)生的方程（組）思想。第（3）小題是讓學(xué)生初步接觸用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ)．[學(xué)問鏈接]（1）由若令可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的學(xué)問解決的最值問題；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和（），則數(shù)列確定是等差數(shù)列；（3）由，可知，點(diǎn)在直線上；（4）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最小。（四）反饋調(diào)控，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)學(xué)問的駕馭練習(xí)1已知等差數(shù)列｛an｝的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和Sn.練習(xí)2等差數(shù)列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d及前n項(xiàng)和Sn.選做題已知函數(shù)f（x）=，則f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值為[設(shè)計(jì)意圖]分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得勝利的喜悅，看到自己的潛能，從而實(shí)現(xiàn)“以人為本”的教化理念．（五）回顧反思，深化學(xué)問組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間相互補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化．1.從特殊到一般的探討方法；2.體會(huì)倒序相加的算法，駕馭等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)悟方程（組）思想；3.前n項(xiàng)和公式的函數(shù)意義4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；[學(xué)問鏈接]（六）布置作業(yè)1.課本P52習(xí)題2．3，第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題2.探究題（1）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和=+++…+，求；（2）若公差為d(d≠0）的等差數(shù)列{}中，=+++…+，你能否由題（1）的啟發(fā)，得到的表達(dá)式？七、教學(xué)反思“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和．該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的理解，而且該推導(dǎo)過程體現(xiàn)了人類探討、解決問題的一般思路．本節(jié)課教學(xué)過程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點(diǎn)，在教學(xué)中采納了以問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)的三個(gè)問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運(yùn)用這一方法解決一般問題．在教學(xué)過程中，通過老師的層層引導(dǎo)、學(xué)生的合作學(xué)習(xí)與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學(xué)生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了．德化第一中學(xué)陳麗真點(diǎn)評(píng)本節(jié)課以故事引課，增加學(xué)生的新奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和熱忱。以問題為紐帶，通過三個(gè)問題組織學(xué)生探討，由特殊（自然數(shù)的前51項(xiàng)和）到一般（自然數(shù)的前幾項(xiàng)和），再到一類（等差數(shù)列前幾項(xiàng)和），按部就班。通過類比Causs配對(duì)求和方法，借助幾何直觀，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思索，探討溝通，對(duì)問題進(jìn)行層層遞進(jìn)的探究，使學(xué)生從不同的思維角度駕馭了等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，從中深刻領(lǐng)悟推導(dǎo)過程所蘊(yùn)涵的邏輯推理方法和數(shù)學(xué)思維方法，培育了學(xué)生思維的深刻性、尖銳性和批判性。通過精選例題，分層次練習(xí)，使學(xué)生既鞏固了學(xué)問又形成了技能。在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培育學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培育了學(xué)生勇于探究、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。必需指出的是，在用Causs配對(duì)法得到前幾項(xiàng)和公式后，如能對(duì)此方法做更深化分析，指出其實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列的重要性質(zhì)——等距性（即∈N,m+n=k+l,則am+an=a+a）的應(yīng)用，在作業(yè)中的探究題中如能加上：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1則可得到一類問題（由等差連續(xù)項(xiàng)或連續(xù)項(xiàng)倒數(shù)）組成的數(shù)列求和問題的解決，深化學(xué)生對(duì)相關(guān)問題的理解。24、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（人教版）其次章第5節(jié)第一課時(shí)。從在教材中的地位與作用來：看《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類探討、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況分析從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很簡潔把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是主動(dòng)因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q=1這一特殊狀況，學(xué)生往往簡潔忽視，尤其是在后面運(yùn)用的過程中簡潔出錯(cuò)。教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入中學(xué)的學(xué)生，雖然具有確定的分析問題和解決問題的實(shí)力，邏輯思維實(shí)力也初步形成，但由于年齡的緣由，思維盡管活躍、靈敏，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。三、設(shè)計(jì)思想《新課程改革綱要》提出，要“變更課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，提倡學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)手，培育學(xué)生搜集和處理信息實(shí)力、獲得新學(xué)問的實(shí)力、分析和解決問題的實(shí)力以及溝通合作的實(shí)力”。對(duì)這一目標(biāo)本人認(rèn)為更加留意培育學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)建性、發(fā)展性。心理學(xué)家探討發(fā)覺，9~22歲的學(xué)生正處于創(chuàng)新思維的培育期，中學(xué)生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學(xué)老師應(yīng)因勢力導(dǎo)，培育學(xué)生的創(chuàng)新思維實(shí)力。利用問題探究式的方法對(duì)新課加以鞏固理解。在生生、師生溝通的過程中，體現(xiàn)對(duì)弱勢學(xué)生更多的關(guān)切。四、教學(xué)目標(biāo)理解并駕馭等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點(diǎn)