2021年江西省九江市高考數學一模試卷(文科)

第10頁（共20頁）2021年江西省九江市高考數學一模試卷（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[﹣2，2] C．（﹣1，2] D．[﹣2，3）2．（5分）已知復數z滿足z?（1+i）＝2，則|z|＝（）A．1 B． C．2 D．33．（5分）已知數列{an}為等差數列，且滿足a2+a5+a8＝24，則數列{an}的前9項和為（）A．96 B．48 C．56 D．724．（5分）如圖八面體中，有公共邊的兩個面稱為相鄰的面，若從上半部分的4個面和下半部分的4個面中各隨機選取1個面（）A． B． C． D．5．（5分）已知函數f（x）＝x2lnx，則曲線y＝f（x）在點（1，f（1）（）A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝06．（5分）公元前3世紀，古希臘數學家阿基米德研究過自然數的平方和，并得到公式12+22+32+…+n2＝，執(zhí)行如圖所示的程序．或輸出的結果為7，則判斷框中的實數k的取值范圍是（）A．[91，140） B．（91，140] C．[140，204） D．（140，204]7．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，其準線與x軸交點為M，A為拋物線C上一點，則|AF|＝（）A．2 B． C．4 D．8．（5分）已知a＝log0.20.3，b＝log0.30.2，c＝log23，則a，b，c的大小關系為（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b9．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．π10．（5分）已知雙曲線E：x2﹣y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P（x0，y0）為雙曲線E上一點，若∠F1PF2≥90°，則x02的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（5分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝an+2n，則下列說法正確的是（）A．數列{an+1﹣an}為等差數列 B．數列{an+1﹣an}為等比數列 C．數列{an+2﹣an}為等差數列 D．數列{an+2﹣an}為等比數列12．（5分）已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）+b（ω＞0，0＜φ＜π），則實數b的值為（）A．﹣1 B． C． D．1二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填在答題卡上．13．（5分）設x，y滿足約束條件，則z＝2x+y的最大值為．14．（5分）已知非零向量，的夾角為60°，||＝3，⊥（2﹣）|＝．15．（5分）已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的連續(xù)單調函數（x）﹣lnx]﹣1＝0，則不等式f（x）．16．（5分）如圖，一個有蓋圓柱形鐵桶的底面半徑為1，高為2，往鐵桶內塞入一個木球，則該木球的最大體積為．三、本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個試題考生必須作答．第22題～第23題為選考題，考生根據要求作答．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）從某公司生產的10000件產品中隨機抽取100件作為樣本，并測量它們的長度l（單位：mm），將樣本數據分為[28，[30，32），34），[34，[36，38），40]六組，并整理得到頻率分布直方圖如圖．（Ⅰ）求a的值及樣本產品長度的平均值；（Ⅱ）當l∈[31，39]時為合格品，其余為廢品．每件合格品可獲得利潤20元，且生產出的合格品全部銷售完，若以樣本估計總體（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）18．（12分）△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊（b+c）cosA＝bsinA﹣acosC．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．19．（12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠A＝60°，將△ADE沿著DE折起，使平面ADE⊥平面BEDC．（Ⅰ）在線段AC上是否存在一點M，使得BM∥平面ADE，請說明理由；（Ⅱ）求E到平面ABC的距離．20．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，|AF|＝3，過F的直線l與橢圓C交于M，且△AMN面積是△BMN面積的3倍．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線AM，AN與直線x＝4分別交于P，Q兩點21．（12分）已知函數f（x）＝x2﹣cosx（x＞0）．（Ⅰ）求證：f（x）有唯一零點x0，且x0∈（0，1）；（Ⅱ）對于（Ⅰ）中的x0，當x∈（x0，2）時，ex﹣af（x）≥0，求實數a的取值范圍．請考生在第22、23題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做第一個題目計分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．22．（10分）在直角坐標系xOy中，已知曲線E的參數方程為（t為參數），過原點的直線l1，l2相互垂直，且l1的傾斜角為α，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求直線l1與曲線E的極坐標方程；（Ⅱ）若l1，l2與曲線E分別相交于A，B兩點和C，D兩點，求23．已知函數f（x）＝a|x|﹣|x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）當a＝2時，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

2021年江西省九江市高考數學一模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[﹣2，2] C．（﹣1，2] D．[﹣2，3）【分析】求出集合A,然后進行交集的運算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣6≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤7}＝（﹣1,2]．故選：C．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．（5分）已知復數z滿足z?（1+i）＝2，則|z|＝（）A．1 B． C．2 D．3【分析】求出z，求出z的模即可．【解答】解：z＝＝6﹣i，故|z|＝，故選：B．【點評】本題考查了復數求模問題，考查復數的運算，是一道基礎題．3．（5分）已知數列{an}為等差數列，且滿足a2+a5+a8＝24，則數列{an}的前9項和為（）A．96 B．48 C．56 D．72【分析】利用等差數列通項公式求出a5＝8，由此能求出數列{an}的前9項和．【解答】解：∵數列{an}為等差數列，∴a2+a5+as＝6a5＝24，則a5＝6，∴．故選：D．【點評】本題考查等差數列的運算，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力等核心素養(yǎng)，是基礎題．4．（5分）如圖八面體中，有公共邊的兩個面稱為相鄰的面，若從上半部分的4個面和下半部分的4個面中各隨機選取1個面（）A． B． C． D．【分析】利用古典概型概率公式即可求解．【解答】解：從上半部分的4個面和下半部分的4個面中各隨機選取3個面，共有4×4＝16種取法，其中兩個面相鄰的取法有5種，故所求概率為．故選：A．【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題．5．（5分）已知函數f（x）＝x2lnx，則曲線y＝f（x）在點（1，f（1）（）A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝0【分析】求得f(x)的導數，由導數的幾何意義，代入x＝1可得切線的斜率，求得f(1),由直線的點斜式方程可得切線的方程．【解答】解：f（x）＝x2lnx的導數為f′(x)＝2xlnx+x,可得y＝f（x）在點（8，f（1））處的切線的斜率為k＝2ln1+4＝1，且f(1)＝0,所以曲線y＝f（x）在點（6，f（1）處的切線方程為y＝x﹣1．故選：B．【點評】本題考查導數的運用：求切線方程，以及直線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．6．（5分）公元前3世紀，古希臘數學家阿基米德研究過自然數的平方和，并得到公式12+22+32+…+n2＝，執(zhí)行如圖所示的程序．或輸出的結果為7，則判斷框中的實數k的取值范圍是（）A．[91，140） B．（91，140] C．[140，204） D．（140，204]【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算S的值并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：依題意得，解得91＜k≤140，可得判斷框中的實數k的取值范圍是（91，140]．故選：B．【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．7．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，其準線與x軸交點為M，A為拋物線C上一點，則|AF|＝（）A．2 B． C．4 D．【分析】過點A作準線的垂線，垂足為A'，利用平行關系得出△AFA'為等邊三角形，進而可以求解．【解答】解：如圖，過點A作準線的垂線，當∠MFA＝120°時，∠FAA'＝60°，又|AF|＝|AA'|，∴△AFA'為等邊三角形，所以∠A′FM＝60°,在直角三角形MFA′中，|A′F|＝,則|AF|＝4,故選：C．【點評】本題考查了拋物線的定義與性質，考查了學生的數形結合的能力，屬于中檔題．8．（5分）已知a＝log0.20.3，b＝log0.30.2，c＝log23，則a，b，c的大小關系為（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】利用對數函數的單調性直接求解．【解答】解：∵0＜a＝log0.20.3＜2，b＝log0.36.2＞1，c＝log73＞1，又，∴b＜c，即a＜b＜c．故選：A．【點評】本題考查對數的運算，考查對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力等核心素養(yǎng)，是基礎題．9．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．π【分析】根據三視圖知該幾何體是圓柱體，斜截去一半，結合圖中數據求出該幾何體的體積．【解答】解：根據三視圖知，該幾何體是圓柱體，畫出該幾何體的直觀圖，如圖所示：計算該幾何體的體積為：V＝×π×82×1＝．故選：C．【點評】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應用問題，是基礎題．10．（5分）已知雙曲線E：x2﹣y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P（x0，y0）為雙曲線E上一點，若∠F1PF2≥90°，則x02的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】求得雙曲線的a,b,c,可得以F1F2為直徑的圓的方程，由題意可得點P在以F1F2為直徑的圓上或圓內，將P的坐標代入圓的方程，解不等式可得所求范圍．【解答】解：雙曲線E：x2﹣y2＝3的a＝b＝1,c＝,可得以F7F2為直徑的圓的方程為x2+y7＝2,要使得∠F1PF8≥90°，則點P在以F1F2為直徑的圓上或圓內，∴，又，∴，∴，故選：C．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，以及圓的方程和運用，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．11．（5分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝an+2n，則下列說法正確的是（）A．數列{an+1﹣an}為等差數列 B．數列{an+1﹣an}為等比數列 C．數列{an+2﹣an}為等差數列 D．數列{an+2﹣an}為等比數列【分析】由數列遞推式可得，則，兩式相減可得，從而可得結論．【解答】解：∵①，∴②，②﹣①得③，則④，④﹣③得，因此數列{an+2﹣an}為等比數列．故選：D．【點評】本題主要考查數列的遞推關系式的應用，屬于基礎題．12．（5分）已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）+b（ω＞0，0＜φ＜π），則實數b的值為（）A．﹣1 B． C． D．1【分析】由題意可求函數的周期，利用周期公式可求ω的值，根據x＝×（+）＝為函數的一條對稱軸，可求φ的值，進而可得函數解析式，即可得解b的值．【解答】解：依題意得，∴，又x＝×（+為函數的一條對稱軸，可得，解得，∵8＜φ＜π，∴，∴，∴b＝﹣5．故選：A．【點評】本題考查函數零點與方程根的關系，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數的圖象與性質，是中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填在答題卡上．13．（5分）設x，y滿足約束條件，則z＝2x+y的最大值為．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案．【解答】解：如圖所示，作出可行域，聯(lián)立，解得A（，），作出直線2x+y＝2，當直線2x+y＝0平移到點時，z＝2x+y取得最大值．故答案為：．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合思想，是中檔題．14．（5分）已知非零向量，的夾角為60°，||＝3，⊥（2﹣）|＝．【分析】利用向量垂直，則數量積為零，列出關于的方程求解即可．【解答】解：由得＝＝．故．故答案為：．【點評】本題考查平面向量數量積的性質以及運算，屬于中檔題．15．（5分）已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的連續(xù)單調函數（x）﹣lnx]﹣1＝0，則不等式f（x）[e，+∞）．【分析】求出函數的解析式，求出函數的單調性，問題轉化為≥2，求出x的范圍即可．【解答】解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上的連續(xù)單調函數，∴存在唯一t，使得f（t）＝1，f（x）＝lnx+t，∴f（t）＝lnt+t＝5，令g（t）＝lnt+t﹣1（t>,則g′(t)＝+6>0，+∞）上單調遞增，令g(t)＝0,∴t＝6，∵f（x）≥2，x≥e，故f（x）≥2的解集為：[e，+∞），故答案為：[e，+∞）．【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查復合函數以及不等式問題，是中檔題．16．（5分）如圖，一個有蓋圓柱形鐵桶的底面半徑為1，高為2，往鐵桶內塞入一個木球，則該木球的最大體積為．【分析】點B到鐵蓋中心O1的距離恰好是最大球的直徑，求出最大球的半徑，由此能求出該木球的最大體積．【解答】解：如圖，點B到鐵蓋中心O1的距離恰好是最大球的直徑，AB＝2，∠O2AB＝60°，∴，則，即最大球的半徑為，∴該木球的最大體積為V＝．故答案為：．【點評】本題考查木球的最大體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、空間想象能力等核心素養(yǎng)，是中檔題．三、本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個試題考生必須作答．第22題～第23題為選考題，考生根據要求作答．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）從某公司生產的10000件產品中隨機抽取100件作為樣本，并測量它們的長度l（單位：mm），將樣本數據分為[28，[30，32），34），[34，[36，38），40]六組，并整理得到頻率分布直方圖如圖．（Ⅰ）求a的值及樣本產品長度的平均值；（Ⅱ）當l∈[31，39]時為合格品，其余為廢品．每件合格品可獲得利潤20元，且生產出的合格品全部銷售完，若以樣本估計總體（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）【分析】（I）由頻率分布直方圖列出方程，求出a，由此能求出樣本產品長度的平均值．（II）從樣本中隨機抽取一件產品，其為合格品的概率為0.8，從而其為廢品的概率為1﹣0.8＝0.2，由此能求出該公司獲得的利潤．【解答】解：（I）∵（0.05×3+4.1×2+a）×6＝1，∴a＝0.15，樣本產品長度的平均值為：．（II）依題意得，從樣本中隨機抽取一件產品，其為廢品的概率為8﹣0.8＝2.2，故該公司獲得的利潤為10000×（0.2×20﹣0.2×15）＝130000元．【點評】本題考查頻率、平均數、概率、利潤的運算，涉及到頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力、數據分析能力等核心素養(yǎng)，是基礎題．18．（12分）△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊（b+c）cosA＝bsinA﹣acosC．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求解即可求出角A的大??；（Ⅱ）由正弦定理及兩角和的正弦公式可得＝+，求出角C的取值范圍即可求得的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理的（sinB+sinC）cosA＝sinBsinA﹣sinAcosC，所以sinBcosA+sinCcosA+cosCsinA＝sinBsinA，即sinBcosA+sin（A+C）＝sinBsinA，因為sin（A+C）＝sinB，所以sinBcosA+sinB＝sinBsinA，因為sinB＞0，所以cosA+2＝，所以sin（A﹣）＝，因為A﹣∈（﹣，），所以A﹣＝，所以A＝．（Ⅱ）＝＝＝＝+，因為△ABC為銳角三角形，所以0﹣C＜，所以＜C＜，所以＜+＜2，即，2）．【點評】本題考查了正弦定理、兩角和的正弦公式、三角函數的單調性應用問題，是中檔題．19．（12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠A＝60°，將△ADE沿著DE折起，使平面ADE⊥平面BEDC．（Ⅰ）在線段AC上是否存在一點M，使得BM∥平面ADE，請說明理由；（Ⅱ）求E到平面ABC的距離．【分析】（I）當點M位于AC的中點時，BM∥平面ADE，設N為AD的中點，連接MN，NE，MB，運用三角形的中位線定理推得MNEB為平行四邊形，再由平行四邊形的性質和線面平行的判定定理，可得結論；（II）由面面垂直的性質定理可得AE⊥平面BEDC,設E到平面ABC的距離為d，三棱錐E﹣ABC的體積，求得底面的面積，結合體積公式，解方程雕刻所求值．【解答】解：（I）當點M位于AC的中點時，BM∥平面ADE，設N為AD的中點，連接MN，MB，N分別為AC，∴，依題意易知，∴，∴MNEB為平行四邊形，∴BM∥EN，又∵BM?平面ADE，EN?平面ADE，∴BM∥平面ADE．（II）∵AD＝AB＝2，∠A＝60°，又E為AB的中點，∴DE⊥AB，又平面ADE⊥平面BEDC，∴AE⊥平面BEDC,設E到平面ABC的距離為d，三棱錐E﹣ABC的體積，即,,∴，∴,∴,S△EBC＝×1×＝,由得，，即．【點評】本題考查空間線線、線面和面面的位置關系，以及點到平面的距離，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．20．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，|AF|＝3，過F的直線l與橢圓C交于M，且△AMN面積是△BMN面積的3倍．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線AM，AN與直線x＝4分別交于P，Q兩點【分析】（Ⅰ）由|AF|＝3，得a+c＝3，再由面積關系可得a+c＝3（a﹣c），聯(lián)立求得a與c，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設l：x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得關于y的一元二次方程，分別寫出直線AM與AN的方程，求得P與Q的坐標，寫出直線PF與QF的斜率，結合根與系數的關系可得斜率乘積等于﹣1，即可證明PF⊥QF．【解答】解：（Ⅰ）∵|AF|＝3，∴a+c＝3，又△AMN面積是△BMN面積的2倍，∴a+c＝3（a﹣c），解得：a＝2，c＝22＝a2﹣c2＝3，故橢圓C的標準方程為；證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（﹣2，F(xiàn)（1，設l：x＝ty+3，M（x1，y1），N（x3，y2），聯(lián)立方程組，消去x整理得（3t3+4）y2+8ty﹣9＝0．∴，直線AM的方程為，令x＝4，得，同理，∴，∴＝＝．∴PF⊥QF．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查運算求解能力，是中檔題．21．（12分）已知函數f（x）＝x2﹣cosx（x＞0）．（Ⅰ）求證：f（x）有唯一零點x0，且x0∈（0，1）；（Ⅱ）對于（Ⅰ）中的x0，當x∈（x0，2）時，ex﹣af（x）≥0，求實數a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）對f（x）二次求導，確定函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，結合零點的存在性定理即可證明；（Ⅱ）將問題轉化為在x∈（x0，2）恒成立，構造函數，利用導數研究g（x）的取值范圍，得到，從而得到a的取值范圍．【解答】（I）證明：函數f（x）＝x2﹣cosx（x＞0），則f'（x）＝7x+sinx，又f''（x）＝2+cosx＞0，故f'（x）在（4，所以f'（x）＞f'（0）＝0，故f（x）在（0，又f（0）＝﹣6＜0，f（1）＝1﹣cos8＞0，所以f（x）在（0，+∞）上存在唯一零點x3∈（0，1）；（II）解：由（I）知，x∈（x7，2）時，f（x）＞f（x0）＝5，所以x2﹣cosx＞0，即問題等價于0，2）恒成立，令，令，當x∈（x0，2）時，x（x﹣7）＜0，，所以h（x）＜0，即g'（x）＜6，故g（x）在（x0，2）上單調遞減，所以當x∈（x6，2）時，，所以，故實數a的取值范圍是．【點評】本題考查了導數的綜合應用，利用導數研究不等式恒成立問題的策略為：通常構造新函數或參變量分離，利用導數研究函數的單調性，求出最值從而求得參數的取值范圍，屬于難題．請考生在第22、23題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目，如果多做，