2023年數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)10-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)-(含詳解)

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【考點(diǎn)預(yù)測】1.對數(shù)式的運(yùn)算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，【方法技巧與總結(jié)】1.對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)【題型歸納目錄】題型一：對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題【典例例題】題型一：對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算；（2）已知，求實(shí)數(shù)x的值；（3）若，，用a，b，表示．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）求的值.（2）已知，，試用，表示例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知a，b，c均為正數(shù)，且3a＝4b＝6c，求證：；（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．例4．（2022·全國·模擬預(yù)測）若，，則（

）A．a(chǎn)＋b＝100 B．b－a＝eC． D．例5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，，，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．例7．（2022·全國·江西師大附中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)則不等式的解集為______．例8．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校二模）若函數(shù)滿足：（1），且，都有；（2），則___________.（寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可）例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn).（1）解關(guān)于x的方程；（2）不等式的解集是，試求實(shí)數(shù)a的值.【方法技巧與總結(jié)】對數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像例10．（2022·山東濰坊·二模）已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（

）A． B． C． D．例11．（2022·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．（多選題）例12．（2022·福建·莆田二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且）的圖象如下所示．函數(shù)的圖象上有兩個不同的點(diǎn)，，則（

）A．， B．在上是奇函數(shù)C．在上是單調(diào)遞增函數(shù) D．當(dāng)時，例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若的圖象與軸有3個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【方法技巧與總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））例14．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．例15．（2022·天津·南開中學(xué)二模）已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．例16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）己知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（

）A．0 B．1C．2 D．a(chǎn)例18．（2022·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題例19．（2022·北京·高三專題練習(xí)）若不等式在內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例20．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋舨坏仁皆谏虾愠闪?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例21．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，已知實(shí)數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值與最小值之和為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例24．（2022·陜西安康·高三期末（文））已知函數(shù).(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.例25．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題例26．（2022·河北·張家口市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增函數(shù)滿足：，有，則方程的解的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．例28．（2022·廣西柳州·高一期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．例29．（2022·河北保定·二模）已知函數(shù)在上先增后減，函數(shù)在上先增后減.若，，，則（

）A． B． C． D．例30．（2022·廣東·三模）已知，e是自然對數(shù)的底，若，則的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則_______．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·遼寧遼陽·二模）區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個密碼的長度設(shè)定為512B，則密碼一共有種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況下，需要進(jìn)行次運(yùn)算.現(xiàn)在有一臺計(jì)算機(jī)，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，那么在最壞的情況下，這臺計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需的時間大約為（參考數(shù)據(jù)，）（

）A． B．C． D．2．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知，，其中且，且，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．33．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2022·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））設(shè)函數(shù)，，若對任意的，都存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）設(shè)且，若對恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）己知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·重慶市天星橋中學(xué)一模）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值是4B．的最小值是2C．的最小值是D．的最小值是10．（2022·廣東汕頭·二模）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．11．（2022·河北·高三階段練習(xí)）下列函數(shù)中，存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．12．（2022·江蘇·南京師大附中高三開學(xué)考試）當(dāng)時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·天津·二模）已知，則的最小值為__________.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________．15．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.16．（2022·河南·開封高中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有．當(dāng)時，．給出以下4個結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱；②函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)時，；④函數(shù)在上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號為______．四、解答題17．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)閇m，n](m<n)，值域?yàn)閇0，1]，定義“區(qū)間[m，n]的長度等于n－m”，若區(qū)間[m，n]長度的最小值為求實(shí)數(shù)a的值；18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當(dāng)a＞1時，求使f(x)＞0的x的解集．19．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，作出的大致圖像并寫出它的單調(diào)性；20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).當(dāng)時，求該函數(shù)的值域；21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知：函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1)求a的值．(2)證明：在上是增函數(shù)．(3)若對于上的每一個x的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．（2022·北京東城·高三期末）曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn).(1)當(dāng)時，求切線的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，記的面積為，求面積以為自變量的函數(shù)解析式，寫出其定義域，并求單調(diào)增區(qū)間.

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【考點(diǎn)預(yù)測】1.對數(shù)式的運(yùn)算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，【方法技巧與總結(jié)】1.對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)【題型歸納目錄】題型一：對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題【典例例題】題型一：對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算；（2）已知，求實(shí)數(shù)x的值；（3）若，，用a，b，表示．【答案】（1）7；（2）109；（3）．【解析】（1）利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）利用指對互化可得實(shí)數(shù)x的值；（3）先求出，再利用換底公式結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則求得結(jié)果．【詳解】（1）原式=；（2）因?yàn)?，所以，所以，所以x=109；（3）因?yàn)?，所以，所以．?．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）求的值.（2）已知，，試用，表示【答案】（1）18；（2）.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意得到原式，再利用換底公式化簡即可得到答案.（2）首先根據(jù)題意得到，，再利用換底公式化簡即可得到答案.【詳解】（1）原式（2）由得到，由，得到，即..【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)的換底公式，同時考查指數(shù)、對數(shù)的互化公式，屬于中檔題.例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知a，b，c均為正數(shù)，且3a＝4b＝6c，求證：；（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．【答案】（1）詳見解析；（2）2.【解析】【分析】（1）設(shè)，應(yīng)用指對數(shù)的互化有，進(jìn)而應(yīng)用換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分別求、，即可證結(jié)論；（2）應(yīng)用指對數(shù)互化有，應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求，進(jìn)而可求的值.【詳解】（1）設(shè)，則.∴，∴，而，∴.（2）由題設(shè)知：，得，，∴，則.例4．（2022·全國·模擬預(yù)測）若，，則（

）A．a(chǎn)＋b＝100 B．b－a＝eC． D．【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)和對數(shù)互化，得到a，b后逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A，由，，得，，所以，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：D．例5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，，，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，再利用換底公式得到，利用，即，求出，，所以.【詳解】由，得，.由，，所以，所以，解得：，則，即，所以，，所以，故選：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷區(qū)間單調(diào)性，根據(jù)解析式知恒過且，進(jìn)而確定區(qū)間值域，再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求的對應(yīng)區(qū)間值域，即可得不等式解集.【詳解】由題設(shè)，對稱軸為且圖象開口向下，則在上遞增，上遞減，由，即恒過且，所以上，上，而在上遞增，且上，上，所以的解集為.故選：C例7．（2022·全國·江西師大附中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】分、和，依次解不等式，再取并集即可.【詳解】當(dāng)時，不等式為，解得；當(dāng)時，不等式為，易知，解得；當(dāng)時，不等式為，解得；綜上，解集為：.故答案為：.例8．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校二模）若函數(shù)滿足：（1），且，都有；（2），則___________.（寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可）【答案】，（logax，(0<a<1)都對）【解析】【分析】滿足第一個條件，表示函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，第二個條件正好是符合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；【詳解】對于條件①，不妨設(shè)，則，∵，∴∴，∴為上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于條件②，剛好符合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，故這樣的函數(shù)可以是一個單調(diào)遞減的對數(shù)函數(shù).故答案為:.（logax，(0<a<1)都對）例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn).（1）解關(guān)于x的方程；（2）不等式的解集是，試求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件求出m值，并代入方程，再解方程即得.(2)由給定解集借助對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出范圍，換元借助一元二次不等式即可得解.【詳解】（1）由已知得，即，則，于是得，方程，從而得或，即或，或，所以原方程的根為或；（2）依題意，函數(shù)中，，從而得.又，令，即一元二次不等式的解集為，因此有-1，2是關(guān)于的方程的兩根，則，所以實(shí)數(shù)a的值為2.【方法技巧與總結(jié)】對數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像例10．（2022·山東濰坊·二模）已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象可得和，然后逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，令，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，所以，因此，故A錯誤；，又因?yàn)?，所以，因此不一定成立，故B錯誤；因?yàn)?，即，且，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，即，故D錯誤，故選：C.例11．（2022·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，可得，再根據(jù)基本不等式“”的用法，即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：C.（多選題）例12．（2022·福建·莆田二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且）的圖象如下所示．函數(shù)的圖象上有兩個不同的點(diǎn)，，則（

）A．， B．在上是奇函數(shù)C．在上是單調(diào)遞增函數(shù) D．當(dāng)時，【答案】BCD【解析】【分析】對于A結(jié)合對數(shù)型函數(shù)圖像相關(guān)知識求解；對于B運(yùn)用定義法判斷是否在上是奇函數(shù)；對于C運(yùn)用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性；對于D通過作差法并對式子變形即可判斷.【詳解】對于A，由圖像可知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榻?jīng)過，所以，所以，，故A錯誤.對于B，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以在上是奇函數(shù)，故B正確.對于C，對于，由題意不妨令，則，因?yàn)?，，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確.對于D，，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即當(dāng)時，成立，故D正確.故選：BCD例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若的圖象與軸有3個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，再將問題轉(zhuǎn)化為與有3個不同交點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想有與在上至少有2個交點(diǎn)，最后由導(dǎo)數(shù)求它們相切或過時參數(shù)a的值，即可知的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，上，故值域?yàn)榍覇握{(diào)遞增；上，故值域?yàn)榍覇握{(diào)遞減；∴在上值域?yàn)榍覇握{(diào)遞減；在上值域?yàn)榍覇握{(diào)遞增；要使與軸有3個不同的交點(diǎn)，即與有3個不同交點(diǎn)，它們的圖象如下：∴由圖知：要使函數(shù)圖象有3個交點(diǎn)，則與在上至少有2個交點(diǎn)，由，，則，此時，若與相切時，切點(diǎn)為，∴，可得，當(dāng)過時，有，得，∴.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知研究的性質(zhì)，并將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、數(shù)形結(jié)合的思想求參數(shù)范圍.【方法技巧與總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））例14．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?要求函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間，只需求的增區(qū)間，只需.所以.所以函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是.故選：C例15．（2022·天津·南開中學(xué)二模）已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】分函數(shù)在R上的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增求解.【詳解】當(dāng)函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，因?yàn)榍?，所以?dāng)時，不可能是增函數(shù)，所以函數(shù)在R上不可能是增函數(shù)，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B例16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）己知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對利用換底公式等價變形，得，結(jié)合的單調(diào)性判斷，同理利用換底公式得，即，再根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，結(jié)合單調(diào)性，，繼而得解.【詳解】由可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，即，其次，，所以，又因?yàn)榍覇握{(diào)遞增，所以由可知，綜上，．故選：A例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（

）A．0 B．1C．2 D．a(chǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是減函數(shù)，∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2．故選：C例18．（2022·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，則，即可求出的大致范圍，再令的根為、且，，，對分兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A【方法技巧與總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題例19．（2022·北京·高三專題練習(xí)）若不等式在內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分和兩種情況分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)時，由，可得，則，又由，此時不等式不成立，不合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由在上單調(diào)遞增，要使得不等式在內(nèi)恒成立，可得，解得.故選：A.例20．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，先求得，把不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的值域?yàn)?，可得函?shù)的最大值為，當(dāng)時，函數(shù)顯然不存在最大值；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即，解得；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.例21．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在對應(yīng)區(qū)間上，結(jié)合對勾函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求、的區(qū)間最值，即可求的范圍.【詳解】若在上的最大值，在上的最大值，由題設(shè)，只需即可.在上，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)：在上遞增，故.在上，單調(diào)遞增，則，所以，可得.故答案為：.例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，已知實(shí)數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】把不等式作等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助其單調(diào)性可得，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)并求出最大值作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，則：，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有原不等式等價于，令，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值與最小值之和為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得，解方程得；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對于任意的，恒成立，進(jìn)而求函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上的單調(diào)性相同，所以函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，所以，解得和（舍）所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由（1）得，因?yàn)閷τ谌我獾?，不等式恒成立，所以對于任意的，恒成立，?dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即所以實(shí)數(shù)的取值范圍【點(diǎn)睛】本題考查指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立求參數(shù)范圍，考查運(yùn)算求解能力，回歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為任意的，恒成立求解.例24．（2022·陜西安康·高三期末（文））已知函數(shù).(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由可求得的值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值；（2）由可得出或，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)解：因?yàn)椋?，所以，所以，解?(2)解：由，得，即，即或.當(dāng)時，，則或，因?yàn)?，則不成立，由可得，得；當(dāng)時，，則或，因?yàn)?，則不成立，所以，解得.綜上，的取值范圍是.例25．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，.【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由得，令，對一切的恒成立，參變分離，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】（1）因?yàn)?，，令，∵，∴，所以?dāng)，即時取最大值，當(dāng)或，即或時取最小值，∴函數(shù)的值域?yàn)?（2）由得，令，∵，∴，∴對一切的恒成立，①當(dāng)時，若時，；當(dāng)時，恒成立，即，函數(shù)在單調(diào)遞減，于是時取最小值-2，此時，于是；②當(dāng)時，此時時，恒成立，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為-3，；③當(dāng)時，此時時，恒成立，即，函數(shù)在單調(diào)遞增，于是時取最小值，此時，于是.綜上可得：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題例26．（2022·河北·張家口市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增函數(shù)滿足：，有，則方程的解的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)的解析式，再將問題轉(zhuǎn)化成求兩個函數(shù)圖象公共點(diǎn)個數(shù)作答.【詳解】因定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增函數(shù)滿足：，有，則存在唯一正實(shí)數(shù)使得，且，即，于是得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，因此，，方程，于是得方程的解的個數(shù)是函數(shù)與的圖象公共點(diǎn)個數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象如圖，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有3個公共點(diǎn)，所以方程的解的個數(shù)為3.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圖象法判斷方程的根的個數(shù)，常常將方程變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個數(shù).例27．（2022·四川雅安·三模（文））設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】把方程恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合去解決即可.【詳解】由題意可得，函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)．根據(jù)，，畫出內(nèi)的圖象如圖所示．關(guān)于x的方程恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，則在區(qū)間內(nèi)函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)，則，解得．故選：D例28．（2022·廣西柳州·高一期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定a，b的范圍，利用正弦函數(shù)單調(diào)性判斷A；利用不等式性質(zhì)及均值不等式結(jié)合指對數(shù)函數(shù)判斷B，C，D作答.【詳解】因，且，則，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，即有，A正確；由得：，B不正確；因，，則，C正確；因，，則，D不正確.故選：AC例29．（2022·河北保定·二模）已知函數(shù)在上先增后減，函數(shù)在上先增后減.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系由條件求出，，，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定的范圍，由此判斷的大小關(guān)系.【詳解】∵，∴，，∴.設(shè)，∵，，在上先增后減，∴.∵，∴，，∴，∴.∵，∴設(shè)，∵，，在上先增后減，∴.∴.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理確定的范圍.例30．（2022·廣東·三模）已知，e是自然對數(shù)的底，若，則的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【解析】【分析】由題構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的最小值，即得.【詳解】設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，設(shè)，則，即，所以，設(shè)，，當(dāng)，當(dāng)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，即，所以，即，故的取值可以是3和4.故選：CD.例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則_______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義可得，整理可得，根據(jù)此時可得成立，代入化簡即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，整理可得，可得當(dāng)，即成立，又，代入可得.故答案為：.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·遼寧遼陽·二模）區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個密碼的長度設(shè)定為512B，則密碼一共有種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況下，需要進(jìn)行次運(yùn)算.現(xiàn)在有一臺計(jì)算機(jī)，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，那么在最壞的情況下，這臺計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需的時間大約為（參考數(shù)據(jù)，）（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意所求時間為，利用對數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)在最壞的情況下，這臺計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需的時間為秒，則有，兩邊取常用對數(shù)，得，所以.故選：B.2．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知，，其中且，且，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】由對數(shù)換底公式用表示出，代入解方程可得．【詳解】因?yàn)?，所以，得，所?即.因?yàn)?，所以，解得故選：A．3．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)可考慮令，再分別表示出再判斷即可【詳解】令，則，故，故故選：C4．（2022·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)求定義域，由奇偶性定義判斷的奇偶性，利用復(fù)合的單調(diào)性判斷的單調(diào)性.【詳解】對于，有，解得，∴的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.函數(shù)為偶函數(shù).，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù).故選：D.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（2，0）【答案】A【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)恒過（1,0）點(diǎn)，即在它的范圍內(nèi)不論取什么值，x=1,y=0恒成立.類似令x-1=1,即x=2,f(2)=2,所以恒過（2,2）.故選A.考點(diǎn)：過定點(diǎn)的問題，就是要讓參數(shù)不起作用，由恒過（1,0）點(diǎn)類似可得結(jié)論.6．（2022·安徽六安·一模（文））設(shè)函數(shù)，，若對任意的，都存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)可知值域?yàn)橹涤虻淖蛹?，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)的值域?yàn)锳，而的值域?yàn)?，由已知有，所以是值域的子集，?dāng)時，開口向下且對稱軸，又，顯然是值域上的子集，符合題設(shè)；當(dāng)時，，顯然是值域上的子集，符合題設(shè)；當(dāng)時，開口向上且對稱軸，此時只需，即時，是值域上的子集.綜上，.故選：A.7．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）設(shè)且，若對恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)知在恒成立，結(jié)合正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，再根據(jù)正弦、對數(shù)函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性及恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，即在恒成立，當(dāng)時，上，不滿足題設(shè)，所以，此時在上遞減，遞增，要使不等式恒成立，則，即，綜上.故選：D8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）己知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對利用換底公式等價變形，得，結(jié)合的單調(diào)性判斷，同理利用換底公式得，即，再根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，結(jié)合單調(diào)性，，繼而得解.【詳解】由可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，即，其次，，所以，又因?yàn)榍覇握{(diào)遞增，所以由可知，綜上，．故選：A二、多選題9．（2022·重慶市天星橋中學(xué)一模）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值是4B．的最小值是2C．的最小值是D．的最小值是【答案】AC【解析】【分析】對于A：利用“乘1法”轉(zhuǎn)化后，利用基本不等式求得最小值，進(jìn)而判定；對于B：先利用基本不等式求得的取值范圍，根據(jù)此范圍利用基本不等式求最小值時注意基本不等式取等號的條件不能成立，進(jìn)而判定；對于C：利用基本不等式和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而判定；對于D：利用對數(shù)的運(yùn)算法則、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和B中求得的的取值范圍，得到所求式子的最大值為-2，進(jìn)而判定.【詳解】對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∵,∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.但,故等號取不到，∴，故B錯誤；對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤．故選：AC．10．（2022·廣東汕頭·二模）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，利用換底公式及指數(shù)冪的運(yùn)算法則，逐一驗(yàn)證四個選項(xiàng)得答案．【詳解】解：設(shè)，則，，，所以，即，所以，所以，故D正確；由，所以，故A正確，B錯誤；因?yàn)?，，又，所以，即，故C正確；故選：ACD11．（2022·河北·高三階段練習(xí)）下列函數(shù)中，存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，當(dāng)時，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又由，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；對于B中，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)不可能是函數(shù)，即不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)，所以B不符合題意；對于C中，由函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又由，即，解得，所以C符合題意；對于D中，當(dāng)時，函數(shù)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又由，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以D正確；故選：ACD.12．（2022·江蘇·南京師大附中高三開學(xué)考試）當(dāng)時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】分和，分別作函數(shù)與的圖象，觀察在處的函數(shù)值關(guān)系可解.【詳解】分別記函數(shù)，由圖1知，當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，如圖2，要使時，不等式恒成立，只需滿足，即，即，解得.故選：ABC三、填空題13．（2022·天津·二模）已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)得運(yùn)算性質(zhì)可得，則，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行同構(gòu)，研究同構(gòu)函數(shù)單調(diào)性得到再轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)楫?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以．故答案為：315．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】分和，解指數(shù)不等式及對數(shù)不等式，再取并集即可.【詳解】若，則，故，解得，故；若，則，故，解得，故；綜上：或.故答案為：.16．（2022·河南·開封高中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有．當(dāng)時，．給出以下4個結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱；②函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)時，；④函數(shù)在上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號為______．【答案】①②③【解析】【分析】由題意，作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖形變換，即可判斷各結(jié)論的真假．【詳解】由題知為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，又對定義域內(nèi)的任意x都有，所以其圖象還關(guān)于點(diǎn)對稱，據(jù)此可判斷函數(shù)為周期函數(shù)，2是函數(shù)的周期．又當(dāng)時，，畫出函數(shù)圖象可知①②正確，④錯誤．當(dāng)時，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是以2為周期的奇函數(shù)，所以，所以，所以③也正確．故答案為：