2024新高考數(shù)學(xué)模擬試題及答案 (三)

1.已知集合I"叫，3=則標(biāo)=（）

A.AB.BC.[AD.詞

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)確定集合A3,再由交集定義計(jì)算.

【詳解】由已知A={x[O<x<l},B={x|0<x<2},

所以AnB={x|O<尤W1}=A,

故選：A

2.已知向量力=（—3,根），^=（1,-2）,若切?叫,則加的值為（）

A.-6B.-4C.0D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：Z—石=（—4,m+2）,

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若石〃(。一B),貝I機(jī)+2=8,解得〃z=6.

故選：D.

。/、\ax~3,x>4,

3.若函數(shù)/(%)=是R上的單調(diào)函數(shù)，則。的取值范圍為()

-ax+4,x<4

A.（0,1）u

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分割點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，列出不等式，求解即可.

【詳解】因?yàn)槎?-依+4是減函數(shù)，且/(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，

根據(jù)題意，f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)；

0<a<1,4/4一

故可得〈,“，解得0<。<一，即“的取值范圍為0,三.

a<-4a+45I5_

故選：D.

4.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=|l+i|,則彳的虛部為()

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模及除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而得到彳，從而求解.

【詳解】由(l+i)z=|l+i|=VL

/曰41V2(l-i)V2V2.

得z=——=7——b-y=--------1，

1+i(l+i)(l-i)22

所以彳=變+交3即彳的虛部為也.

222

故選：D.

5.數(shù)列｛a.｝滿足%=2019,且對(duì)VzieN*，恒有4+3=4+2"，則%=()

A.2021B.2023C.2035D.2037

【答案】D

第2頁/共23頁

【解析】

【分析】由已知可依次求出%,%的值，即可得出答案.

1

【詳解】由已知可得，tz4=?1+2=2021,%=%+2,=2037.

故選：D.

6.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S,為底面圓的直徑，點(diǎn)M,C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧三等分，過

AC作平面a,使陽〃a,設(shè)a與SM交于點(diǎn)M則絲■的值為（）

【答案】B

【解析】

【分析】連接MB交AC于點(diǎn)D,連接ND,NA,NC,根據(jù)線面平行得性質(zhì)證明SB//DN,再根據(jù)

DMMC,小生

可得----=，進(jìn)而可傳出答案.

DBAB

【詳解】連接MB交AC于點(diǎn)連接ND,NA,NC,則平面NAC即為平面a,

因?yàn)镾3〃a,平面SMBce=DN,SBu平面SA",所以SB〃DN,

因?yàn)锳B為底面圓的直徑，點(diǎn)M,C將弧AB三等分，

所以NA3M=ZBMC=ZMBC=ZBAC=30。，MC=BC=-AB,

2

第3頁/共23頁

所以且MC=LA3,所以絲=如=」,

2DBAB2

又~瑞啜j所以*1

故選：B.

兀兀

7.已知函數(shù)/（x）及其導(dǎo)函數(shù)/'（x）的定義域均為，且/（X）為偶函數(shù)，f一2,

252

nx>0,則不等式/|x+1]cos3x—；〉0的解集為（

37(%)cosx+//(x)sii

4

兀兀2兀兀T。

A.B.C.D.

352T9i

【答案】D

【解析】

兀兀

【分析】構(gòu)建g(x)=/(x)sin3%,xe,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式.

2,2

兀兀

【詳解】令g(x)=f(x)sin3龍,xe，則

2,2

g"(x)=3/(%)sin2xcosx+/r(x)sin3%=sin2x[3/(x)cosx+/'(x)sinx],

7171

因?yàn)閄G,則sinx〉O,且3/(x)cosx+/'(x)sinx>0,

2,2

71兀

可知g'(x)>0,則g(x)在上單調(diào)遞增,

252

又因?yàn)椤癤）為偶函數(shù)，f-2,

.3兀

可得gsin

令g（%）〉；二g_口7171

，可得---<%<一，

62

注意到g1x+Tj=/1x+|71Jsin3n3

%+=/X+COSX,

2tI2

第4頁/共23頁

不等式/[x+|?]cos3x_；〉0,等價(jià)于g[x+|"]〉g

可得一巴<x+四<色，解得一@<x<0,

6223

所以不等式/1x+萬]cos'》一^〉0的解集為[—~],0

故選：D.

(7T7T?1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)建函數(shù)g(x)=/(x)sin3x,xe-天萬，利用單調(diào)性解不等式g(x)>,利用誘

導(dǎo)公式可得/(x+|Jcos3x_：〉0,等價(jià)于+即可得結(jié)果.

8.已知函數(shù)/(x)=Gsin2"^+gsin(yx-￥^(0〉O)，若在上無零點(diǎn)，則。的取值范圍

是()

A[。觸DB.(0,|]U[1|]

C(O,|]U[|,1]D.1,汕1,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】先結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到/(x)=sin1Gx-3),由題可得

73兀71

kn<-----------

3CO7T23

，結(jié)合。>0即可得解.

1、3G)兀n

~ir(Z7k+l)〃>----

【詳解】因?yàn)?(x)=V3sin2+―sin>0)=(I-coscox)+—sina)x-^~

222

-ins-走

22I

,,7i3萬.，8n兀兀3a)兀

若一<x<——，則-------<a)x——<

222332

第5頁/共23頁

則啰2<1，又切>0,解得0<GV1.

228

,解得2k+—co—k+—（^kZ）.

八I、3①兀

（左+1）%>------

c,22,8

2k+—<—k+—

33941

c:，解得一一（左〈—,?左eZ,.?.左=0或-1.

2,8八32

28

2

當(dāng)上=0時(shí),3-9-當(dāng)上二一1時(shí)，0<GV1,可得0<?！丁?

9

A^efo,-U-8

I9」［39

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，還涉及二倍角公式和輔助角公式，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思

想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有至少兩項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.若｛%｝是公比為4的等比數(shù)列，記S.為｛%｝的前幾項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）

A.若｛%,｝是遞增數(shù)列，則q>lB.若q〉0,0<q<l,則｛4｝是遞減數(shù)列

C.若q〉0,則S4+S6〉2s5D.若〃=一,則也｝是等比數(shù)列

an

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于AC：舉反例分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式分析判斷；對(duì)

于D：根據(jù)等比數(shù)列定義分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如q=T,q=；,貝U,

可知數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，但“<1,故A錯(cuò)誤；

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對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?+1-4=。悶"一％4"-1=qq"T(q-l),

若q〉0,0<q<l,則％〉O,q"T〉0,q-l<0,

可得a“+i—?！?lt;0,即。用<4,

所以數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如4=1，則+S$=4q+6al=10q=2S5,

即S4+S6=2SS，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?｝是公比為4的等比數(shù)列，則為。0,

1

則*=牛=2=工，所以數(shù)列抄/是以公比為4的等比數(shù)列，故D正確；

b”4+1qq

a?

故選：BD.

10.已知z=(i,⑹，若同=1,且則()

(h

A.卜-耳=園B.B在a方向上投影向量的坐標(biāo)為

(66,

C.a_L(a-2B)D.bv｛la-3b^

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式判斷A選項(xiàng)，根據(jù)投影向量公式判斷B選項(xiàng)，根據(jù)數(shù)量積公式結(jié)合向量垂直計(jì)算判斷

C,D選項(xiàng).

【詳解】?.1a=^1,V2j|a|=^l2+^V2j=V3>

卜一耳=sia2+t>2-2a-b=^3+l-2xy/3xlxcos=^3+l-2xV3xlx=1,

A選項(xiàng)正確；

fl@

B在a方向上投影向量的坐標(biāo)為WcosP一告=1義—x—『一=

116L2出2"~r

\7

B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

第7頁/共23頁

一/一一\一2一—|一12一2忖.^cos煮=3-2xlxV3x^-=0,〃_L（Q—2石），C選項(xiàng)正確;

Va-\a-2b\=a-2a-b=\a\

?：b-（2a-=2tz-b-3b=2|a|-|&|cos-^--3|^|=2xlxV3x-^--3=0，

D選項(xiàng)正確；

故選：ACD.

11.定義max{a,b}為a,I中較大的數(shù),已知函數(shù)/(x)=max{sinx,cosx},則下列結(jié)論中正確的有

()

A.“X)的值域?yàn)椋?1』

B./(x)是周期函數(shù)

C.f(x)圖像既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心

D.不等式f(x)>0的解集為<x—、+2E<x<2kn+n,keZ>

【答案】BD

【解析】

【分析】做出函數(shù)/(x)的圖像，利用圖像確定出值域，周期，單調(diào)區(qū)間，即可求解.

做出函數(shù)“X)的圖像，如圖所示:

令sin%=cosx,即J^sin%-巴=0,則X=左兀，keZ,解得％=一+EkeZ,當(dāng)

I4；44

x=—+2kn,左eZ時(shí)，/=—正，

4八)2

由圖可知，/(x)的值域?yàn)?學(xué)」，故A錯(cuò)誤；

且/(x)是以2兀為最小正周期的周期函數(shù)，故B正確;

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由圖可知函數(shù)/(x)有對(duì)稱軸，但是沒有對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤;

由圖可知，一■|■+2E:<x<24兀+M左eZ)時(shí)，/(x)>0,故D正確.

故選：BD.

12.定義在(一1,1)上的函數(shù)“X)滿足/(%)—/(>)=/三=，且當(dāng)xe(-L0)時(shí)，/(%)<0,則下

11-孫)

列結(jié)論中正確的有()

A.7(x)是奇函數(shù)B.7(x)是增函數(shù)

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于

C：根據(jù)題意令x=2,y=工代入運(yùn)算即可；對(duì)于D：令x=^,y=L,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.

342-4

/_A

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椤?/:二2，

11-孫J

令x=y=0,則/(O)—/(0)=f(0),可得/(0)=0,

令》=一子得：/(》)—"—%)=/［言］，

再以一X代X,得：/(-%)-f(x)=f-

兩式相加得：4高］+4常卜°，即d高(一4熹］,

2》/、2(1-/)

令g(x)=----,xe(-l,l),則^，(^)=7----八T〉。對(duì)任意恒成立，

1+x(1+x)

可知g(%)在(-1,1)上單調(diào)遞增，且g(-1)=-1,g(1)=1，

所以g(x)在內(nèi)的值域?yàn)?Tl),

由/(1^]=一xe(Tl)，即〃—x)=一/(x)，xe(Tl),

第9頁/共23頁

所以定義在(-M)上的函數(shù)人九)為奇函數(shù)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)楹瘮?shù)/(%)為定義在(-M)上的奇函數(shù)，且當(dāng)無￡(—L0)時(shí)，f(x)<0,

則/&)一/(%2)=/J"

不妨設(shè)-1<%<入2<1，

因?yàn)?1<西<%<1,則產(chǎn)且<0且產(chǎn)工+1=(1+%)(1-々)〉0

1-玉%21-玉%21-玉九2

可知T<：々<°，所以/%—/<0,

1-玉々^1-X1X2?

則/(%)—/(冗2)<°，即/(%)</(%)，

故函數(shù)/(九)在(-M)上為增函數(shù)，B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,令》=彳,、=7，且/(x)—/(y)=/,

34U-孫)

則/[0]—//卜/]：即，1+/]寸=/0，故。正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：令-卜[，且/⑴-/(?=/%一y

、1_盯,

則嗎732

21

因?yàn)橐?lt;一,且函數(shù)"X)在(-1,1)上為增函數(shù)，可得了

73

即嗎H〔外佃，所以/〔3+/1"出’故口錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根

據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

第二部分非選擇題(共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知y=〃x)一爐為奇函數(shù)，且"1)=3,貝!]/(-1)=.

【答案】-1

【解析】

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【分析】由題意丁=8(%)=〃》)--為奇函數(shù)，所以由奇函數(shù)的性質(zhì)有

g(l)+g(-l)=f(l)+f(-l)-2=0,結(jié)合/(1)=3即可求解.

【詳解】由題意y=g(x)=/(x)—x2為奇函數(shù)，

所以由奇函數(shù)的性質(zhì)可得+=+==

又因?yàn)?1)=3,

所以解得/(T)=-L

故答案為：T.

2

14.設(shè)S"是數(shù)列｛《,｝的前幾項(xiàng)和，HSn=n-cosjn,則4=.

……21

【答案】—##10.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)?！芭cS”之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)镾.=〃2—鵬兀=52-cos-7i=25-cos2TI--=25-cos—=25——

3I3J32

2

S6=6-cos27i=36-1=35,

所以％=S6—S$=35一〔25—

故答案為：—.

2

15.在口ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c.ZABC=120°,NA5C的平分線交AC于點(diǎn)

D,且3。=1,則4a+3c的最小值為.

【答案】7+4百

【解析】

【分析】利用等面積法可得ac=a+c,從而工+工=1,再利用乘“1”法及基本不等式可求解.

ac

【詳解】因?yàn)镾AABC=S^ABD+S^BCD，

^fyl^—ac-sin120°=—cx1xsin60°+—6/x1xsin60°,所以ac=a+c,可得——F—=1.

222ac

所以4〃+3c=(4〃+30)=+，］=7+至+乜7+2、區(qū)①=7+46,

\ac)ac\ac

第H頁/共23頁

(當(dāng)且僅當(dāng)即1+*皿+￥時(shí)取等號(hào)).

故答案為：7+4省.

/、f|lnx|,0<x<2/、

16.設(shè)〃x)=?,若方程〃司=機(jī)恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則這三個(gè)根之和為

/IT,4),乙4人<一

；若方程y(x)=機(jī)有四個(gè)不相等的實(shí)根茗1=1,2,3,4),且XI<%<%3<%4，貝U

(X1+%2)2+X；+X：的取值范圍為.

45

【答案】①.6②.(22,萬)

【解析】

【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，作出圖象，可知1cx2<2,X2+X3=4,石+%4=4,

即可求得石+々+毛+%=8,同時(shí)把(芯+々)2+后+后用表示，利用換元法，函數(shù)的單調(diào)性求得其范

圍.

【詳解】/(x)=/(4-x),因此/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖，

作直線y=m,

_17

石，是二?個(gè)根，則m—1,%=5,X、—2,%=5，%+X]+陽—6,

若是四個(gè)根，由圖可知1<%<2,x2+x3=4,Xj+x4=4,所以西+9+%+Z=8，

-In%1=Inx2,因此%%2=1，

(%1+%)2+%3+^4=(—+222

2x2)+(4-x2)+(4-—)=^+2x^-8(x2+—)+34

-'^2__%々一%

2

=2(羽+―)-8(X2+—)+30,

/_/

第12頁/共23頁

19

令，=々+—，則(/+9)+%；+%：=2(2—2)2+22,

對(duì)函數(shù)y-m-\——(1<m<2),設(shè)1〈班〈加2<2,

m

11、八1、

%一,2=m\+------叫-----=(z加1—相2)(1----------)，

mxm2mxm2

11八

因?yàn)?〈叫〈加2<2,所以叫—g<0,1--------->0,所以即

m1m2

即y=加+2(1<根<2)是增函數(shù)，所以2<y<9,

m2

因素f=3+,e(2,1),y=2(/—2尸+22在/e(2,卞時(shí)遞增，

45

所以y=2?—2『9+22e(22,彳).

45

故答案為：6；(22,—).

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.若y=/（x）=Asin（0x+。）［4〉0,0〉0,冏＜|"）的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)y=〃x）的解析式;

第13頁/共23頁

⑵將y=/(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)，3〉0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象；若y=g(x)

圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為［不，0)求。的最小值.

【答案】(1)/(x)=2sin|^2x+-^

(2)—

12

【解析】

【分析】(1)由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出。，由代入點(diǎn)法求出夕的值，從而可得函數(shù)的

解析式.

(2)根據(jù)函數(shù)＞=Asin(ox+M的圖象變換規(guī)律求得g(x)的解析式，再利用整體代換法與正弦函數(shù)的對(duì)稱

性得到6關(guān)于左的表達(dá)式，從而求得。的最小值.

【小問1詳解】

根據(jù)/(x)的部分圖象易知其最大值為2,又A＞0,故4=2,

2兀

則［r=兀，又。＞o,所以。=2,

所以“X）=2sin（2x+e）,

又|一~在圖象上，所以2sin|-二+0|=0,故-4+°=2左兀，左1eZ,則°=烏+2匕兀，尢eZ,

V12JV6)66

又時(shí)＜￡,所以°=

2o

所以/(X)=2sin12x+W：

【小問2詳解】

將y=/(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)，(。〉0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

y=g（x）=2sin2（=+6）+>=2sin2%+2。+二的圖象,

因?yàn)閂=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(?，。］，所以2x2+26+^=?,左eZ,即。=如—吏"eZ,

\6)66212

因?yàn)?。?,所以--------＞0,則左＞一，又上eZ,

2126

第14頁/共23頁

71

所以當(dāng)左=2時(shí)，6取得最小值為一.

12

18.已知數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，q=2,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛4｝滿足4----=4，求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和S..

unun-\

ri

【答案】(1)??=2n；(2)S=——.

nn+1

【解析】

【分析】⑴設(shè)｛4｝的公差為d,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)有(2+2d)2=2(2+8d)可求"，進(jìn)而寫出｛?！埃?/p>

通項(xiàng)公式；

(2)應(yīng)用累加法求也｝的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求也｝的前幾項(xiàng)和工.

【詳解】⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由％=2,。；=的9有：(2+24)2=2(2+84),解得d=2或

d=0(舍去)

/.an=2n.

11c

(2)---—=2n,

b"Ui

11cli“八11cc11

-=2n,工----------=—--=2x2,將它們累加得：—=

%Hi*瓦［bn4

1111,1n

/.b=-------,則Sc=-------1--------1-----1----------r=1-------=------.

"n2+n1x22x3+1)w+1n+1

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=60°,側(cè)面為等邊三

角形.

(1)求證：ADLPB-,

(2)若尸―AD—8的大小為120。，求A—P6—C的正弦值.

第15頁/共23頁

【答案】（1）證明見解析；（2）X二.

7

【解析】

【分析】⑴取的中點(diǎn)0,連接OP,BD,證明ADJ_平面P08即得；

⑵在平面尸內(nèi)過。作OzLOB,以射線OB,Oz分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)

系，借助空間向量推理計(jì)算即可得解.

【詳解】（1）取的中點(diǎn)0,連接。8,OP,BD,如圖，

因PA。為正三角形，則。尸，A。，又底面ABCQ是菱形，且NBA。=60°,則△ABO是正三角形,

于是得A。，

而。PnOB=。，OP,OBcznPOB,則AD,平面POB,又PBu平面「。6,

所以ADLP6；

(2)由(1)知尸―AD—5的平面角為/P05,即NPOB=120°,0P=0B=^3>

顯然平面POB1平面ABD,在平面POB內(nèi)過。作Oz_L05,平面POBQ平面ABD=OB,則Oz_L

平面ABD,

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),4(1,0,0),5(0,73,0)，C(-2,V3,0)，

Afi=(-l,V3,0),PB=(0,|V3,-|)>屈=(2,0,0),

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異方=￥%一11°,令％=1,得

設(shè)平面PA3的法向量為4=(%1，%，4),則＜

n{-AB=-xx+y/3yi=0

"i二(V3,l,V3),

n9-CB=2X2=0

設(shè)平面BBC的法向量為〃2=(%2，%，Z2)，貝叫------3W3“，令%=1，得

n2?PB5A/3%--22=0

n2=(0,1,6)，

々?41+2\/7

cos〈4-n)=

2|4|?|%|V7-27

-cos2〈雇后〉=理

設(shè)A-P8-C的大小為6,從而得sin6=Jl-co為0=

所以A—P5—C的正弦值為叵.

7

20.已知“X)=Llnx—ax

(aNO),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

X

(1)若函數(shù)“X)在％=6處的切線平行于x軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

：,e)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)若函數(shù)/(x)在

【答案】⑴/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+co)

11

(2)—<a<——

e22e

【解析】

【分析】(1)求出了'(x)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到a=0,再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系即可得解;

(2)構(gòu)造函數(shù)R(x)=與，將問題轉(zhuǎn)化為b(x)與丁=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析R(x)的性

X

質(zhì)，結(jié)合圖象即可得解.

【小問1詳解】

1-lnx

因?yàn)?(%))。)，所以/'(%)=------5-------〃,

X

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又函數(shù)/(X)在％=0處的切線平行于X軸，則/(e)=0,

即上坐—。=0,解得。=0,

e

此時(shí)/'("=匕"，令/'("=0,解得％=e,

X

當(dāng)0<x<e時(shí)，-(x)>。，〃x)單調(diào)遞增，

當(dāng)％>e時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+8).

【小問2詳解】

因?yàn)?(x)在e)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

令/(x)=0,則Lnx-ax=0,即竽=a在,e］上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

令R(x)=坐，xe-,e^|

則問題轉(zhuǎn)化為歹(X)與V=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

xJ

1-2Inx

又尸'(無)=

x3

當(dāng)時(shí)，尸(x)〉0,R(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(血,e)時(shí)，尸(x)<0,R(x)單調(diào)遞減，

所以歹(力在兀=正處取得極大值/(五)=：，

又'<°，F(xiàn)(e)=^-

作出歹(x)與y=a的大致圖象，如圖,

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結(jié)合圖象可得二＜。（工,

e22e

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為］＜a＜—.

e22e

21.某單位為端正工作人員儀容，在單位設(shè)置一面平面鏡.如圖，平面鏡寬為2m,某人在A點(diǎn)處觀察

到自己在平面鏡中所成的像為A.當(dāng)且僅當(dāng)線段AA與線段有異于B,C的交點(diǎn)。時(shí)，此人能在鏡中

TT

看到自己的像.已知NBAC=

3

（1）若在A點(diǎn)處能在鏡中看到自己的像，求一上的取值范圍;

AB

（2）求某人在A處與其在平面鏡中的像的距離AA的最大值.

【答案】（1）2

I7

⑵2G

【解析】

JT7T

【分析】（1）設(shè)NACB=e,則一＜，＜一,利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得

62

AC=—（sin6）+V3cosAB=—sin0，進(jìn)而整理可得把='+"!—,結(jié)合正切函數(shù)運(yùn)算

3'＞3AB22tan6?

求解;

（2）根據(jù)（1）中結(jié)果結(jié)合三角恒等變換整理得AA'=迪sin（26-巴］+逋，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解.

316）3

【小問1詳解】

設(shè)NAC8=。，由題意可知□ABC為銳角三角形,

0<0<~

7717r

則c，可得」<。<2,

2717162

0n<---0<—

[32

第19頁/共23頁

AC_A3_BC_2_473

由正弦定理smZABC-smZACB-smZBAC一正一亍，

—,-Zg.?4^3.,,??4-\/3.(n7l)

可得AC=----sinZABC=----sin3+—=卜由6+百cose),

33I3j

4J34J3

AB=sinZACB=sin0

33

._..7T八兀則tan6＞也，可得0＜」^〈百，即0〈上一＜?,

因?yàn)橐唬糴＜一,

623tand2tan，2

所以條i2-

【小問2詳解】

由(1)可知：AC=~~~(sin+V3cos0^，AB=4,sin6，

由題意可知：AfA.LBC,AD=-AAr,

2

利用等面積法可得—X-AAfx2=—x(sin6+百cos6)x4"sin0x,

22223"、'32

由6用,日AA,..4A/3.nc?c/i2V32A/34V3.兀)2\/3

整理得AA=4sinNcos0NH----sm22e=2sin2e------cos20N-\-----=----sin20—d-----,

3333I6)3

因?yàn)榘停?，＜巴，則2"ge傳￥],

626166J

當(dāng)2，—2=g,即6=g時(shí)，AA取到最大值2百.

623

22.設(shè)/⑴=加+COSX-1,6Z€R.

(1)當(dāng)。=工時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值;

兀

(2)當(dāng)時(shí)，證明：/W＞0;

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r1114/、*

(3)證明：cos—+cos—H——+cos—>n——I7?eNT,n>\\.

23n3、'

TT

【答案】22.——1

4

23.證明見解析24.證明見解析

【解析】

【分析】(1)由題意可知：/(x)為偶函數(shù)，所以僅需研究x20的部分，求導(dǎo)，分和04x<；兩種

情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；

(2)由題意可知：/(x)為偶函數(shù)，所以僅需研究x20的部分，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最

值，分析證明；

(3)由⑵可得：COS->1-^(H>2),分”=2和“23兩種情況，利用裂項(xiàng)相消法分析證明；

nn

【小問1詳解】

因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，Kf(-x)=+cos(-x)-1=ax2+cosx-l==/(%),

所以〃x)為偶函數(shù)，

下取xNO,

112

當(dāng)〃=一時(shí)，/(x)=—x2+cosx-l,則/'