2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 第32講 空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第32講空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（精講）

題型目錄一覽

①共面、共線'共點(diǎn)問題的證明

②異面直線

③平面的基本性質(zhì)

④等角定理

、知識點(diǎn)梳理

一、四個(gè)公理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

二、直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7之

符號ab=Pa//ba\a=A,b(^a,A^b

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一

個(gè)平面內(nèi)

三'直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

符號lua1a=P1//a

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10

四、平面與耳R面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

三~a

二

符號a//(3a(3=1a工B、a?。=1

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在

唯一的一條直線上唯一的一條直線上

【常用結(jié)論】

等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

二、題型分類精講

題型二共面、共線「共點(diǎn)問題的證明

畬策略方法共面、共線、共點(diǎn)問題的證明

①先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線

(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②證兩平面重合

①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)

都在這條直線上;②直接證明這些點(diǎn)都在

同一條特定直線上

先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直

線經(jīng)過該點(diǎn)

【典例1］如圖，在長方體ABC。-44C山中，E、歹分別是BG和CQ的中點(diǎn).

⑵對角線AC與平面BOG交于點(diǎn)。，AG8。交于點(diǎn)"，求證：點(diǎn)G，O,M共線；

(3)證明：BE、DF、CG三線共點(diǎn).

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析；

(3)證明見解析.

【分析】(1)證明班//3。，即可說明E、F、D、5四點(diǎn)共面.

(2)先證明點(diǎn)Oe面MCC和Oe面BDG，即點(diǎn)。在面與面BOG的交線上在證明面例￡C面

=GM,即點(diǎn)OeQM,即可得到答案.

(3)延長DEBE交于G面于面OCG面3CG=CG，則G在交線CG上.

【詳解】(1)連接所,82月。

AF

在長方體-A4GR中

!BD

E、尸分別是8c和的中點(diǎn)

,.EF/【BQ、

■.EF//BD

-E、F>D、B四點(diǎn)共面

(2)AV/CG

AA,C,C1確定一個(gè)平面44.CC

OeAC,A。u面AA,C|C

.?.Oe面A41cle

對角線4c與平面BD&交于點(diǎn)0

r.Oe面BOQ

。在面AAGC與面BOG的交線上

,ACcBD=M

.,.Me面AAiCtC且Afe面BDC}

..面A41GC面BOG

.-.OeCXM

即點(diǎn)G，O,M共線.

（3）延長交于G

DGu面。CG

GeDG

Ge面DCG

BEu面BCG

GeBE

Ge面BCG

面DCG面BCG=CQ

GeCq

???BE、DF、C￡三線共點(diǎn).

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知空間四個(gè)點(diǎn)，貝『'這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上''是"這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，由此可驗(yàn)證充分性成立；“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”時(shí)，可能有“兩

點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，從而必要性不成立.

【詳解】“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”，則第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，

因?yàn)橐粭l直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定能推出“這四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)”，從而充分性成立；

“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”時(shí)，可能有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點(diǎn)在同一直線上，從而必要

性不成立，

所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）正方體ABCD-AI/。。/中，E,尸分別是線段8C,CQ的中點(diǎn)，則直線42與直線

EF的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.垂直

【答案】A

【分析】連接BQ,CA，CR與QD交于點(diǎn)F,易得ABCj是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線A超與

直線所的位置關(guān)系.

【詳解】如圖所示，連接與CQ交于點(diǎn)F,

由題意，易得四邊形ABCR是平行四邊形，

在平行四邊形中，E,F分別是線段BCCQ的中點(diǎn)，

；.EF//BDlt又且4，民瓦尸共面，則直線與直線E尸相交.

故選：A.

3.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABC。的各邊A8、BC、CD、D4上分別取E、F、G、”四點(diǎn)，若EFCGH

=P,則點(diǎn)尸（）

A.一定在直線8。上B.一定在直線AC上

C.既在直線AC上也在直線3。上D.既不在直線AC上也不在直線8。上

【答案】B

【分析】由題意可得PG平面ABC,PG平面ACD,又平面ABCCI平面ACD=AC,貝?。軵GAC,可得答案.

【詳解】如圖，

?rEFu平面ABC,GHu平面ACD,EFAGH=P,

.?.PC平面ABC,pe平面ACD,

又平面ABCn平面ACD=AC,

APeAC,即點(diǎn)P一定在直線AC上.

故選：B.

4.（2023?吉林?長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）在長方體ABCD-AgGR中，直線與平面A耳，的交點(diǎn)

為V。為線段8a的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AM,O三點(diǎn)共線B.M,0，A，8四點(diǎn)異不共面

C.民環(huán)四點(diǎn)共面D.B,R,C,M四點(diǎn)共面

【答案】C

【分析】由長方體性質(zhì)易知A，A，C，C四點(diǎn)共面且片是異面直線，再根據(jù)M與AC、面ACGA、面

的位置關(guān)系知M在面ACQA,與面AB,Dt的交線上，同理判斷O、*A,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

因?yàn)锳A.//CQ,

則A，4，G，C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镸eAC,

則Me平面ACGA,

又Me平面

則點(diǎn)M在平面ACGA與平面的交線上，

同理，O、A也在平面ACGA與平面ABR的交線上,

所以4"。三點(diǎn)共線；

從而M,O,^A四點(diǎn)共面，都在平面ACC,A內(nèi)，

而點(diǎn)B不在平面ACQA內(nèi)，

所以M,。,4,8四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；

8,耳,。,三點(diǎn)均在平面8BQ。內(nèi)，

而點(diǎn)A不在平面8片R。內(nèi)，

所以直線AO與平面8月〃。相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，

所以點(diǎn)M不在平面內(nèi)，

即B,Bt,O,M四點(diǎn)不共面，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

BC2A，且BC=AA，

所以為平行四邊形，

所以ca，2。共面，

所以四點(diǎn)共面，

故選項(xiàng)D正確.

故選：C.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下面幾個(gè)命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)

有無數(shù)個(gè)；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊

形是平行四邊形.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.I個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題.

【詳解】命題①：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無法確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；

命題②：如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，若兩平面重合，則公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，

若兩平面不重合，則有且僅有一條過該公共點(diǎn)的公共直線，則公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故②正確；

命題③：不妨設(shè)cTa=A,cb=B,則“、6唯一確定一個(gè)平面a,

所以Aea,Bea,所以AButz,又Awe,B&c,所以cua,

故一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面，即③正確；

命題④：空間四邊形A3CD中，連接AC,3?？傻靡粋€(gè)三棱錐，

將四個(gè)中點(diǎn)連接，得到四邊形￡打汨，由中位線的性質(zhì)知，EH//FG,EF//HG,

...四邊形EFGH是平行四邊形，

故順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，即④正確.

故選：B

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在正方體中，E、F、G、H分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中E、F、G、

【答案】B

【分析】對于B,證明EH//FG即可;而對于BCD,首先通過輔助線找到其中三點(diǎn)所在的平面，然后說明另外一

點(diǎn)不在該平面中即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A,如下圖，點(diǎn)E、F、H、”確定一個(gè)平面，該平面與底面交于FN,而點(diǎn)G不在平面

對于選項(xiàng)B,連結(jié)底面對角線AC,由中位線定理得尸G〃AC,又E/7//AC,則EH〃FG,故E、F、G、H四點(diǎn)

//所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)G不在該平面內(nèi)，故E、F、G、H四點(diǎn)不共

面;

對于選項(xiàng)D,如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個(gè)正六邊形，即點(diǎn)E、G、H確定的平面,該平面與正方體

正面的交線為PQ,而點(diǎn)尸不在直線PQ上，故E、F、G、//四點(diǎn)不共面.

故選：B

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABC。中，點(diǎn)E,X分別是邊AB,的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，G分

別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且其=冬=弓，則下列說法正確的是（）

CnCD3

①E,F,G,H四點(diǎn)共面；②所與GH異面；

③EF與G”的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；

④EF與GH的交點(diǎn)〃一定在直線AC上.

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面基本事實(shí)推理，再逐一判斷各個(gè)命題作答.

【詳解】在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn)，則EH//BD,且EH=^BD,

點(diǎn)F,G分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且要=黑=3,則bG//BD,且尸G=]sD,

CnCD33

因此PG〃即，點(diǎn)E,F,G,H四點(diǎn)共面，①正確，②錯(cuò)誤；

因FGI/EH,FG>EH,即四邊形EFG打是梯形，則EF與GH必相交，令交點(diǎn)為M,

點(diǎn)M在EF上，而EF在平面ACB上，則點(diǎn)M在平面ACB上，同理點(diǎn)M在平面ACD上，則點(diǎn)M是平面ACB

與平面ACD的公共點(diǎn)，

而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，④正確，③錯(cuò)誤，

所以說法正確的命題序號是①④.

故選：B

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知A、B、C、D、E、尸分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線政

相交的是（）.

C.直線。D,直線D4.

【答案】A

【分析】通過空間想象直接可得.

【詳解】如圖，易知A尸HG,HGBE,所以”〃6石，S.AF=-BE,

2

所以AB所為梯形，故4B與EF相交，A正確；

因?yàn)?cMH,MHNL,NL,EF,所以3c〃班，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)槠矫鍯DH平面EFNL,CDu平面CDH,Ebu平面EFNL,

所以直線CD與直線EF無公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)锳Du平面ADF,即I平面4）尸=尸，故AD與EF異面，D錯(cuò)誤.

故選：A

二、多選題

9.（2023春?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在正方體qGR中，。為D8的中點(diǎn)，直線交

平面G8O于點(diǎn)"，則下列結(jié)論正確的是（）

A.C1；M,。三點(diǎn)共線B.q,M,O,C四點(diǎn)共面

C.C1,o,A,M四點(diǎn)共面D.Q,D,O,〃四點(diǎn)共面

【答案】ABC

【分析】根據(jù)點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與面的位置關(guān)系判斷即可；

【詳解】解：在正方體ABCD-ABC。中，。為D8的中點(diǎn)，直線4C交平面于點(diǎn)

在選項(xiàng)A中，直線4。交平面GB。于點(diǎn)加，

,加€平面和8。，Me直線4C,又ACu平面ACGA，平面ACG4，

。為￡>8的中點(diǎn)，BDu平面G8。，底面ABCD為正方形，所以。為AC的中點(diǎn),

??.Oe平面CH。，且Oe平面ACGA，

又&e平面QBD,且Ge平面ACQA,

,M,。三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)A正確；

在選項(xiàng)8中，G，M,。三點(diǎn)共線，..C”M,O,C四點(diǎn)共面，故8正確；

在選項(xiàng)C中，C{,M,。三點(diǎn)共線，，G，M,O,A四點(diǎn)共面，故C正確；

在選項(xiàng)。中，直線OW'〕CG=G,DD\I/CC\,

D,,D,0,M四點(diǎn)不共面，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.(2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測)在正方體ASCD-AB'C'D中，E,F,G分別為棱BB'，DD',CC

上的一點(diǎn)，且三二=gf=/=4，H是的中點(diǎn)，/是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，貝U()

DL)DDCC

A.當(dāng)2時(shí)，Ge平面AEV

B.當(dāng)彳=,時(shí)，AC'u平面4￡尸

2

c.當(dāng)0<a<1時(shí)，存在點(diǎn)/,使Afa/四點(diǎn)共面

D.當(dāng)0<2<l時(shí)，存在點(diǎn)/,使F7,EH,CC'三條直線交于同一點(diǎn)

【答案】BCD

【分析】利用圖形，根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系逐一對各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對于A,當(dāng)2=g時(shí)，如圖1,在CC取點(diǎn)使取CD中點(diǎn)N,易知GV//MD〃￡A,GNE

平面A跖，故G任平面AEb，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

圖1

對于B,如圖2,當(dāng)2時(shí)，瓦EG分別為BQ,DD',CC'的中點(diǎn)，連接BG,FC,EC,GF,易知四邊形

BGC'E與ABGF均為平行四邊形，則3G//AF,BG//EC,所以AF//EC',則A,F,E,C四點(diǎn)共面，ACu平

面A跖，所以選項(xiàng)B正確;

圖2

對于C,如圖3,延長AF與4D的延長線交于點(diǎn)M,連接與C'D的交點(diǎn)即為點(diǎn)L則A,F,H,I四點(diǎn)共面,

所以選項(xiàng)C正確；

圖3

對于D,如圖4,連接并延長與CC的延長線交于點(diǎn)N,連接月V與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)L則存在點(diǎn)I,使F7,

EH,CC三條直線交于同一點(diǎn)N,所以選項(xiàng)D正確.

圖4

故選：BCD.

三、填空題

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正方體AC1中，。是8。中點(diǎn)，與截面BOG交于P，那么G、P、。三

點(diǎn)共線，其理由是

【答案】G、P、o是平面AACG和平面BOG的公共點(diǎn)，所以它們共平面AAC&與平面5DG的交線

【分析】確定C|、P、Oe平面AACG，G、P、Oe平面BDG，得到結(jié)論.

【詳解】O是3。中點(diǎn)，則O是AC中點(diǎn)，故Oe平面AACG，

4C與截面BDG交于P，故尸eAC,故Pc平面AACG，又Ge平面AACG，

故C|、p、。€平面44<7（71，又G、P、。€平面2。6，

故G、尸、。在平面A&CG和平面BDG的交線上.

故答案為：G、P、O是平面AACG和平面8DG的公共點(diǎn)，所以它們共平面AACG與平面的交線.

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，A、B、C、。分別是頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則A、B、C、。四

點(diǎn)共面的圖形（填上所有正確答案的序號）.

①②③④

【答案】①③④

【分析】四點(diǎn)共面主要通過證明兩線平行說明，本題利用中位線、平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性進(jìn)行說明,

證明平行時(shí)絕不能憑直觀感覺或無理論依據(jù).

圖①：證明AB〃EF,CD〃EF,可得AB〃CD；

圖③：證明BD〃EF,AC/7EF,可得BD〃AC；

圖④：證明GH〃EF,AC〃EF,BD/7GH,可得BD〃AC.

【詳解】圖①：取GD的中點(diǎn)F,連結(jié)BF、EF,

VB>F均為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，貝!J：BF//HG

又?龍〃AE,則B尸〃AE即ABFE為平行四邊形

.?.AB/7EF

同理：CD〃EF

貝!|AB〃CD即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖①正確;

圖②：顯然AB與CD異面，圖②不正確；

圖③：連結(jié)AC,BD,EF,

VBE/7DF即BDFE為平行四邊形

.,.BD/7EF

又,：A、C分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則AC〃EF

；.BD〃AC即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖③正確;

圖④：連結(jié)AC,BD,EF,GH,

VGE/7HF即GEFH為平行四邊形，則GH〃EF

又；A、C分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則AC〃EF

同理：BD/7GH

，BD〃AC即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖④正確.

③

故答案為：①③④.

13.（2023春?河南許昌?高三鄢陵一中校考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐，-ABCD的底面ABC。為平行四邊形，M

是棱。。上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，N是82的中點(diǎn)，平面交CQ于點(diǎn)貝U,煞=.

D1

2

【答案】j

【分析】將四棱錐補(bǔ)為三棱柱ADR-8CE,由D{MHCEH求解.

【詳解】解：如圖所示：

補(bǔ)全四棱錐為三棱柱，作2E//AB,且RE=AB,

因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以AB〃CD,

則DXEHABIICD,且DtE=AB=CD,

所以四邊形ABE?和四邊形D.DCE都是平行四邊形,

因?yàn)镹為中點(diǎn)，則延長AN必過點(diǎn)E,

所以A,N,E,H,M在同一平面內(nèi),

因?yàn)椤?〃CE,所以D,MH,CEH,

又因?yàn)镸是棱DR上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn),

所以翳”則黑小

故答案為：!2

14.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在直四棱柱ABC。-4月中，CD〃鈿，AB=AAi=3,CD=2,

P為棱耳B上一點(diǎn)，且=2尸四（2為常數(shù)），直線2。與平面PAG相交于點(diǎn)。.則線段D?的長為

【分析】根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)平行關(guān)系可得GE=E，取2Q=GE,根據(jù)平行關(guān)系可得GQ//AP,進(jìn)而可知

點(diǎn)。即為直線。Q與平面PAG的交點(diǎn)，即可得結(jié)果.

【詳解】?:BP=",BB\=3,所以8尸=二，

2+1

分別過G，。作綜垂足分別為EE,分別過瓦尸作垂足分別為N,M,

可得CREF,MNEF均為平行四邊形，則CR=EF=MN=3,

過點(diǎn)歹作尸?！ˋP,交直線4。于點(diǎn)Q,則△EEG,

可得11=ABx7

PBFE2+124,

~FEGN=----------=------------=-------

AB32+1

02

在上取點(diǎn)。，使得DQ=GE=」

z+1

VEN//AAltAAt//DDlt則EN〃DR,

可知：D,Q//EG,DtQ=EG,即2QGE為平行四邊形,

：.GQHDXE,GQ=RE,

又?.?G，所為平行四邊形，則C/〃RE,QF=D.E,

可得GQ〃C7,GQ=C,F,

故C?G尸為平行四邊形，則G0〃GP,

XVFQ//AP,則GQ〃加

即AP，G，0四點(diǎn)共面，故點(diǎn)。即為直線與平面PAG的交點(diǎn),

22

：.DQ=—.

X2+1

故答案為：等7

2+1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理截面問題時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系問題，根據(jù)線、面平行關(guān)系的判定定理以及性質(zhì)定理

分析判斷.

題型二異面直線

畬策略方法1.平移法求異面直線所成角的一般步驟

碰一俑罩需落莪7羲布了由麻杏藤董商茶....

工U磅瓦為裹二不三篇形面丙鬲;通可群三甭

形，求出角的大小

2.坐標(biāo)法求異面直線所成的角

當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法.

注：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的

角.

【典例1］如圖所示，在正方體ABC。-4耳￡。中，E,b分別是AB,AO的中點(diǎn)，則異面直線3（與E尸所成

的角的大小為（）

DiG

AEB

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.

【詳解】如圖，連接DB,\B,則qC//A。，

、、一

AEB

E,歹分別是AB,AD的中點(diǎn)，

:.DB//EF,

是異面直線4c與研所成的角，且AQ8是等邊三角形，

A\DB=60°.

故選：C.

【典例2】在直三棱柱ABC-4與G中，AC=3,BC=3,AB=3A/2，M=4-則異面直線入。與所成角的余弦值

為（）

16r9-16r4

A.-----B.—C.—D.一

2525255

【答案】A

【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定義，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線A。與BG的方

向向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量夾角與線線角的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)锳C=3,BC=3,A8=3也

所以AC,+BC?=48、

所以AC13C,

又因?yàn)閭?cè)棱與底面垂直，

所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z,如圖所示

易得C(0,0,0),c(o,0,4),A(3,0,4),8(0,3,0),

所以AC=(-3,0,-4)M=(0,-3,4),

設(shè)異面直線4C與BG所成角為巴則

BC

??ACi|-4X4|16

cos0=cosAC,BCA=-------

1Ancg5x5-25

所以異面直線AC與BC,所成角的余弦值為￡.

故選：A.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?黑龍江?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谌忮FA-BCD中，AS,AC,A。兩兩垂直，

AB=2,AC=AD=3,BE=ED,CF=2FD,則異面直線AE與防所成角的余弦值為（）

AV3r22V13n2屈

331339

【答案】D

【分析】將三棱錐A-BCD放在一個(gè)長方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量代入夾角公式即可求解.

【詳解】依題意，把三棱錐放在長方體中，如圖所示：

因?yàn)锳B=2,AC=AD=3,BE=ED,CF=2FD,

以A為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，AB,AC,AD分別為x,%z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，則有：

4(0,0,0),3(2,0,0),—0,1,2),

所以AE=[l,0,￡|,BF=(-2,1,2),

故選：D.

2.（2023春?河南?高三階段練習(xí)）如圖，在四棱臺ABCO-中，正方形A3CD和4月GR的中心分別為°】和

。2,0021.平面43。5,。02=3,48=5,44=4,則直線與直線例所成角的正切值為（）

A.—B.—C.BD.逅

3666

【答案】B

【分析】作出直線。02與直線AA所成角，解直角三角形求得其正切值.

【詳解】連接A。*。?，作AELAQ,

垂足為E.ZAAtE即直線O,O2與直線AA,所成的角.

變

叵

6

3.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AAl=AC=AB=2,BC=2枝,。為A片的中點(diǎn),

E為AQ的中點(diǎn)，/為的中點(diǎn)，則異面直線BE與AF所成角的余弦值為()

D-f

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】在直三棱柱ABC-A耳G中A41=AC=AB=2,BC=2也,

所以AC'+AB?=BC2,即AC_LAB,

又胡，平面ABC,AB,ACu平面A3C,所以懼LAC,AA.LAB,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),以2,0,0),C40,2,2),2(1,0,2),石心,0,11,—1,1,1),

所以衣=(1,1,1),說唱0,一1),

/_e\AFEB屈

Gff以cos(AF,EB1)="；----j—j----r-------

所以\\AF[\EB\39，

即異面直線BE與AF所成角的余弦值為償.

4.（2023?河南洛陽?洛寧縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為正方形，且各棱長

均相等，E是尸8的中點(diǎn)，則異面直線AE與尸C所成角的余弦值為（）

A.在B.漁C.-D.1

6332

【答案】A

【分析】連接AC與8。交于點(diǎn)。，連接P。，以。點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量AE和PC的坐

標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.

【詳解】連接AC與8。交于點(diǎn)。，連接PO,

由題意得，AC1BD,且PO1平面ABCD,

以。點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)四棱錐尸一ABCD各棱長均為2,則AO=3O=OO=正，尸0=血,

、

可得A（0,0,0）,E0,應(yīng)V2,C（-V2,0,0）,P（0,0,V2）,

7

貝！JAE={-41,^~，孝］PCH_0,0,一夜）,

設(shè)異面直線AE與PC所成角為e,

..\AE-PC（-亞）x（-亞）+與義（一亞）

貝！Icos0-cos（AE,PC）=\---------=-------1：------------------

1?網(wǎng)n附6n?萬曲

故選：A.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知三棱錐尸—ABC中，上4,平面ABC,AB=4,AC=4,BC=40,PA=6,D

為PB的中點(diǎn)，則異面直線AO與PC所成角的余弦值為（）

A.也B.拽C.2D.2

15121413

【答案】D

【分析】取BC的中點(diǎn)E,則DE//PC,—ADE或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角，求出所需邊長，利用

余弦定理求cosZADE即可.

【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,

則DEHPC，/ADE或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角.

由AB=4,AC=4,BC=4&,則有AB?+AC?=8€72,所以AB1AC,

E為BC的中點(diǎn)，則AE=20,

PAJL平面ABC,RtZXPAC中，pc=JRV+3=J36+16=2岳，:?DE=；PC=A

中，PB=y/p^+AB2=V36+16=2A/^3>:?DA=A，

在NADE中，根據(jù)余弦定理可得cosZADE=3+加一、=13+138=_9..

2ADxDE2x1313

所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為己9.

故選：D

6.（2023秋?湖北?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在直三棱柱ABC-48?中，A8，BC,AB=8C=朋,。1分別為AC,3c

的中點(diǎn)，則異面直線與與E所成角的余弦值為（）

-?----------D.

1010

【答案】D

【分析】設(shè)鉆=2,取A4的中點(diǎn)/，連接后，則可得/G。尸為異面直線與5避所成的角或補(bǔ)角,

然后在CQb中求解即可.

【詳解】設(shè)AB=2,取4A的中點(diǎn)r，連接GRDRDE,則用尸=；A耳

因?yàn)椤分別為AC,8C的中點(diǎn)，所以DE〃A2,DE=；AB,

因?yàn)锳4〃A3,A5I=AB,所以DE〃BF,BF=DE,

所以四邊形DEB7為平行四邊形，所以DF〃B]E,

所以NCQF為異面直線CXD與4E所成的角或補(bǔ)角.

因?yàn)?2，BC,AB=BC=A4,=2,￡>,E分別為AC,3C的中點(diǎn),

所以。尸=4E=Vl2+22=?C\F=A/12+22=?CQ=，可+2?=瓜,

所以3/4/年=29

2730.

DF忑10

7.（2023?陜西漢中?統(tǒng)考二模）如圖，在棱長為2的正方體A8CD-ABC中，瓦尸,G分別為。2，加，叫的中點(diǎn),

則斯與CG所成的角的余弦值為（）

G

「A/15y/io

15IT

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得族=（LLT）,CG=（2,0,1）,再利用向量的夾角公式求解.

【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則D（0,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,B1（2,2,2）,JQ（0,0,2）,E（0,0,l）,F（l,l,0）,G（2,2,l）,

EF=（1,1,-1）,CG=（2,0,1）EFCG=1,網(wǎng)=?CG卜氐

EFCG1715

cos（EF,CG）=

MR布一IT，

故選：c

3

8.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）在長方體ABC。-44GA中，AB=2,BC=2,DD,=-,則AC與8。所成角的

余弦值是（）

ACR3770「2A/70回

r\.UD?--------L?-------n\-J?-----

707070

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得AC和8烏，利用空間向量法求解即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

x

則由題意可得2（0,0,￡|,3（220）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

所以AC=（一2,2,0）,BJ=12,一2,?,

所以cos（AC,5A）=—~~=0,

'/叫n叫

所以AC與BQ所成角的余弦值為。,

故選：A

9.（2023?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測）鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報(bào)時(shí)的建筑.

中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常常看見附有鐘樓的建筑.如圖，在某市一建筑物樓頂有

一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個(gè)大鐘對稱分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面

中心上），在整點(diǎn)時(shí)刻（在0點(diǎn)至12點(diǎn)中取整數(shù)點(diǎn)，含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），己知在3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上

的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線相互垂直，則在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為

C.*D.亨

【答案】B

【分析】在正四棱柱ABCD-AqCQ中，以。為原點(diǎn)，以DADC,即的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

利用空間向量的夾角公式可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，在正四棱柱ABCD-48CQ中，瓦尸分別為側(cè)面A叫A和側(cè)面BCC4的中心，

G為8月的中點(diǎn)，EN為2點(diǎn)鐘時(shí)針，戶N為8點(diǎn)鐘時(shí)針，

則切VEG=30,DM尸G=30，

設(shè)正四棱柱的底面邊長為。，側(cè)棱長為6,

以D為原點(diǎn)，以。的方向分別為x，V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則E（a，5，］）,N（a,a,^+

EN=（0；也a）,FAf=（-,0,-

262

1,2

所以卜05（硒,引0，|EN-FM|1

\EN\-\FM\4,

所以在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為;.

故選：B

10.（2023?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正三棱柱ABC-AqG中，AB=A\,。為人蜴的中點(diǎn),

E為AG的中點(diǎn)，則異面直線A。與BE所成角的余弦值為（）

「底屈

AA/6RA/35n

610147

【答案】C

【分析】延長CB至F,使得可得四邊形BEDF是平行四邊形，DF//EB,則NA/加為異面直線AD

與BE所成的角或補(bǔ)角，設(shè)AB=A4,=2,取AC的中點(diǎn)求出￡）/、AD.AF,利用余弦定理求得NAZ*,可

得答案.

【詳解】D為A內(nèi)的中點(diǎn)，E為4G的中點(diǎn)，所以DE=gc￡,DEUCE，

如圖，延長CB至F,使得BF=gcB,連接DE,DF,AF,CB=C,B,,

因?yàn)?尸=5。14，所以DE=BF,DEHBF,

所以四邊形BEDF是平行四邊形，DF//EB,

則NA￡*為異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角.設(shè)=41t=2,

取AC的中點(diǎn)"，連接EM、BM,

則口1_1_4。，EM=2,BM=拒,4。=1,

DF=EB=y/EM2+BM2={2?+（國=嶼,

AD=7M2+A02=^22+12=75,

由余弦定理得AF=7AB2+BF--2ABxBFcos120=幣，

方/“clAD1+DF--AF1y/51底

由余弦定理得cosZADF=---------------=—x-==—

2ADxDF2V714

所以直線AD與BE所成角的余弦值為更

11.（2023秋?全國?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱ABC-4內(nèi)￡中，AB=BC=AC=AA1,則異面直線4片

與BG所成角的余弦值等于（）

BlG

1

c-ID.-

【答案】D

【分析】將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱ABCD-ABG。，連接DC弁。，貝IJNBCQ（或其補(bǔ)角）是異面直線M與

BC所成的角，然后在BCQ中利用余弦定理求解即可.

【詳解】如圖，將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱ABC。-A百GR,由題易得底面A3CD為菱形，且ABC為等邊三

角形.

連接。G，BZ）,易得A與〃DG，所以NBCQ（或其補(bǔ)角）是異面直線A片與所成的角.

設(shè)AB=L則5G=OG=0，5。=2=有，

（應(yīng)了+（應(yīng)）2一（百）2￡

所以cos-ZBCjD=

2x（一打4

故選：D.

二、填空題

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在正方體ABCD-AgGR中，AC與交于點(diǎn)。，則直線8a與直線。，的夾角

為.

【答案】30

【分析】通過平移，轉(zhuǎn)化所求線線角為NAR。，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接AA，OQ,CR,又因?yàn)锽CJ/AR,

所以直線與直線。Q的夾角即為NADQ,又A2c為等邊三角形，O為AC中點(diǎn)，

所以O(shè)Q平分角ZADtO,所以NARO=30.

故答案為：30.

13.（2023?寧夏銀川?銀川一中?？寄M預(yù)測）在正四棱柱ABCO-AqGR中，底面邊長為1,高為3,則異面直線

Bl與AD所