2024年高考數(shù)學高頻考點題型總結(jié)一輪復習講義 第32講 空間點、直線、平面間的位置關(guān)系

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第32講空間點、直線、平面間的位置關(guān)系（精講）

題型目錄一覽

①共面、共線'共點問題的證明

②異面直線

③平面的基本性質(zhì)

④等角定理

、知識點梳理

一、四個公理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

二、直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7之

符號ab=Pa//ba\a=A,b(^a,A^b

公共點個數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一

個平面內(nèi)

三'直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

符號lua1a=P1//a

公共點個數(shù)無數(shù)個10

四、平面與耳R面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

三~a

二

符號a//(3a(3=1a工B、a?。=1

公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都在無數(shù)個公共點且都在

唯一的一條直線上唯一的一條直線上

【常用結(jié)論】

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

二、題型分類精講

題型二共面、共線「共點問題的證明

畬策略方法共面、共線、共點問題的證明

①先確定一個平面，然后再證其余的線

(或點)在這個平面內(nèi)；②證兩平面重合

①先由兩點確定一條直線，再證其他各點

都在這條直線上;②直接證明這些點都在

同一條特定直線上

先證其中兩條直線交于一點，再證其他直

線經(jīng)過該點

【典例1］如圖，在長方體ABC。-44C山中，E、歹分別是BG和CQ的中點.

⑵對角線AC與平面BOG交于點。，AG8。交于點"，求證：點G，O,M共線；

(3)證明：BE、DF、CG三線共點.

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析；

(3)證明見解析.

【分析】(1)證明班//3。，即可說明E、F、D、5四點共面.

(2)先證明點Oe面MCC和Oe面BDG，即點。在面與面BOG的交線上在證明面例￡C面

=GM,即點OeQM,即可得到答案.

(3)延長DEBE交于G面于面OCG面3CG=CG，則G在交線CG上.

【詳解】(1)連接所,82月。

AF

在長方體-A4GR中

!BD

E、尸分別是8c和的中點

,.EF/【BQ、

■.EF//BD

-E、F>D、B四點共面

(2)AV/CG

AA,C,C1確定一個平面44.CC

OeAC,A。u面AA,C|C

.?.Oe面A41cle

對角線4c與平面BD&交于點0

r.Oe面BOQ

。在面AAGC與面BOG的交線上

,ACcBD=M

.,.Me面AAiCtC且Afe面BDC}

..面A41GC面BOG

.-.OeCXM

即點G，O,M共線.

（3）延長交于G

DGu面。CG

GeDG

Ge面DCG

BEu面BCG

GeBE

Ge面BCG

面DCG面BCG=CQ

GeCq

???BE、DF、C￡三線共點.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）已知空間四個點，貝『'這四個點中有三點在同一直線上''是"這四個點在同一平面內(nèi)”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】一條直線和直線外一點確定一個平面，由此可驗證充分性成立；“這四個點在同一平面內(nèi)”時，可能有“兩

點分別在兩條相交或平行直線上”，從而必要性不成立.

【詳解】“這四個點中有三點在同一直線上”，則第四點不在共線三點所在的直線上，

因為一條直線和直線外一點確定一個平面，一定能推出“這四點在同一個平面內(nèi)”，從而充分性成立；

“這四個點在同一平面內(nèi)”時，可能有“兩點分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點在同一直線上，從而必要

性不成立，

所以“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習）正方體ABCD-AI/。。/中，E,尸分別是線段8C,CQ的中點，則直線42與直線

EF的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.垂直

【答案】A

【分析】連接BQ,CA，CR與QD交于點F,易得ABCj是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線A超與

直線所的位置關(guān)系.

【詳解】如圖所示，連接與CQ交于點F,

由題意，易得四邊形ABCR是平行四邊形，

在平行四邊形中，E,F分別是線段BCCQ的中點，

；.EF//BDlt又且4，民瓦尸共面，則直線與直線E尸相交.

故選：A.

3.（2023?高三課時練習）在空間四邊形ABC。的各邊A8、BC、CD、D4上分別取E、F、G、”四點，若EFCGH

=P,則點尸（）

A.一定在直線8。上B.一定在直線AC上

C.既在直線AC上也在直線3。上D.既不在直線AC上也不在直線8。上

【答案】B

【分析】由題意可得PG平面ABC,PG平面ACD,又平面ABCCI平面ACD=AC,貝?。軵GAC,可得答案.

【詳解】如圖，

?rEFu平面ABC,GHu平面ACD,EFAGH=P,

.?.PC平面ABC,pe平面ACD,

又平面ABCn平面ACD=AC,

APeAC,即點P一定在直線AC上.

故選：B.

4.（2023?吉林?長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）在長方體ABCD-AgGR中，直線與平面A耳，的交點

為V。為線段8a的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AM,O三點共線B.M,0，A，8四點異不共面

C.民環(huán)四點共面D.B,R,C,M四點共面

【答案】C

【分析】由長方體性質(zhì)易知A，A，C，C四點共面且片是異面直線，再根據(jù)M與AC、面ACGA、面

的位置關(guān)系知M在面ACQA,與面AB,Dt的交線上，同理判斷O、*A,即可判斷各選項的正誤.

【詳解】

因為AA.//CQ,

則A，4，G，C四點共面.

因為MeAC,

則Me平面ACGA,

又Me平面

則點M在平面ACGA與平面的交線上，

同理，O、A也在平面ACGA與平面ABR的交線上,

所以4"。三點共線；

從而M,O,^A四點共面，都在平面ACC,A內(nèi)，

而點B不在平面ACQA內(nèi)，

所以M,。,4,8四點不共面，故選項B正確；

8,耳,。,三點均在平面8BQ。內(nèi)，

而點A不在平面8片R。內(nèi)，

所以直線AO與平面8月〃。相交且點O是交點，

所以點M不在平面內(nèi)，

即B,Bt,O,M四點不共面，

故選項C錯誤；

BC2A，且BC=AA，

所以為平行四邊形，

所以ca，2。共面，

所以四點共面，

故選項D正確.

故選：C.

5.（2023?全國?高三專題練習）下面幾個命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個平面有公共點，則公共點

有無數(shù)個；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點所得的四邊

形是平行四邊形.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.I個

【答案】B

【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題.

【詳解】命題①：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點，則無法確定一個平面，故①錯誤；

命題②：如果兩個平面有公共點，若兩平面重合，則公共點有無數(shù)個，

若兩平面不重合，則有且僅有一條過該公共點的公共直線，則公共點有無數(shù)個，故②正確；

命題③：不妨設cTa=A,cb=B,則“、6唯一確定一個平面a,

所以Aea,Bea,所以AButz,又Awe,B&c,所以cua,

故一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面，即③正確；

命題④：空間四邊形A3CD中，連接AC,3?？傻靡粋€三棱錐，

將四個中點連接，得到四邊形￡打汨，由中位線的性質(zhì)知，EH//FG,EF//HG,

...四邊形EFGH是平行四邊形，

故順次連接空間四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，即④正確.

故選：B

6.（2023?全國?高三專題練習）在正方體中，E、F、G、H分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中E、F、G、

【答案】B

【分析】對于B,證明EH//FG即可;而對于BCD,首先通過輔助線找到其中三點所在的平面，然后說明另外一

點不在該平面中即可.

【詳解】對于選項A,如下圖，點E、F、H、”確定一個平面，該平面與底面交于FN,而點G不在平面

對于選項B,連結(jié)底面對角線AC,由中位線定理得尸G〃AC,又E/7//AC,則EH〃FG,故E、F、G、H四點

//所確定的平面為正方體的底面，而點G不在該平面內(nèi)，故E、F、G、H四點不共

面;

對于選項D,如圖，取部分棱的中點，順次連接，得一個正六邊形，即點E、G、H確定的平面,該平面與正方體

正面的交線為PQ,而點尸不在直線PQ上，故E、F、G、//四點不共面.

故選：B

7.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，在空間四邊形ABC。中，點E,X分別是邊AB,的中點，點尸，G分

別是邊BC,CD上的點，且其=冬=弓，則下列說法正確的是（）

CnCD3

①E,F,G,H四點共面；②所與GH異面；

③EF與G”的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；

④EF與GH的交點〃一定在直線AC上.

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面基本事實推理，再逐一判斷各個命題作答.

【詳解】在空間四邊形ABCD中，點E,H分別是邊AB,AD的中點，則EH//BD,且EH=^BD,

點F,G分別是邊BC,CD上的點，且要=黑=3,則bG//BD,且尸G=]sD,

CnCD33

因此PG〃即，點E,F,G,H四點共面，①正確，②錯誤；

因FGI/EH,FG>EH,即四邊形EFG打是梯形，則EF與GH必相交，令交點為M,

點M在EF上，而EF在平面ACB上，則點M在平面ACB上，同理點M在平面ACD上，則點M是平面ACB

與平面ACD的公共點，

而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點M一定在直線AC上，④正確，③錯誤，

所以說法正確的命題序號是①④.

故選：B

8.（2023?全國?高三專題練習）如圖，已知A、B、C、D、E、尸分別是正方體所在棱的中點，則下列直線中與直線政

相交的是（）.

C.直線。D,直線D4.

【答案】A

【分析】通過空間想象直接可得.

【詳解】如圖，易知A尸HG,HGBE,所以”〃6石，S.AF=-BE,

2

所以AB所為梯形，故4B與EF相交，A正確；

因為3cMH,MHNL,NL,EF,所以3c〃班，故B錯誤；

因為平面CDH平面EFNL,CDu平面CDH,Ebu平面EFNL,

所以直線CD與直線EF無公共點，故C錯誤；

因為ADu平面ADF,即I平面4）尸=尸，故AD與EF異面，D錯誤.

故選：A

二、多選題

9.（2023春?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在正方體qGR中，。為D8的中點，直線交

平面G8O于點"，則下列結(jié)論正確的是（）

A.C1；M,。三點共線B.q,M,O,C四點共面

C.C1,o,A,M四點共面D.Q,D,O,〃四點共面

【答案】ABC

【分析】根據(jù)點與線、點與面、線與面的位置關(guān)系判斷即可；

【詳解】解：在正方體ABCD-ABC。中，。為D8的中點，直線4C交平面于點

在選項A中，直線4。交平面GB。于點加，

,加€平面和8。，Me直線4C,又ACu平面ACGA，平面ACG4，

。為￡>8的中點，BDu平面G8。，底面ABCD為正方形，所以。為AC的中點,

??.Oe平面CH。，且Oe平面ACGA，

又&e平面QBD,且Ge平面ACQA,

,M,。三點共線，故選項A正確；

在選項8中，G，M,。三點共線，..C”M,O,C四點共面，故8正確；

在選項C中，C{,M,。三點共線，，G，M,O,A四點共面，故C正確；

在選項。中，直線OW'〕CG=G,DD\I/CC\,

D,,D,0,M四點不共面，故。錯誤.

故選：ABC.

10.(2023?遼寧沈陽?東北育才學校校考模擬預測)在正方體ASCD-AB'C'D中，E,F,G分別為棱BB'，DD',CC

上的一點，且三二=gf=/=4，H是的中點，/是棱CD上的動點，貝U()

DL)DDCC

A.當2時，Ge平面AEV

B.當彳=,時，AC'u平面4￡尸

2

c.當0<a<1時，存在點/,使Afa/四點共面

D.當0<2<l時，存在點/,使F7,EH,CC'三條直線交于同一點

【答案】BCD

【分析】利用圖形，根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系逐一對各項進行判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對于A,當2=g時，如圖1,在CC取點使取CD中點N,易知GV//MD〃￡A,GNE

平面A跖，故G任平面AEb，所以選項A錯誤；

圖1

對于B,如圖2,當2時，瓦EG分別為BQ,DD',CC'的中點，連接BG,FC,EC,GF,易知四邊形

BGC'E與ABGF均為平行四邊形，則3G//AF,BG//EC,所以AF//EC',則A,F,E,C四點共面，ACu平

面A跖，所以選項B正確;

圖2

對于C,如圖3,延長AF與4D的延長線交于點M,連接與C'D的交點即為點L則A,F,H,I四點共面,

所以選項C正確；

圖3

對于D,如圖4,連接并延長與CC的延長線交于點N,連接月V與CD的交點即為點L則存在點I,使F7,

EH,CC三條直線交于同一點N,所以選項D正確.

圖4

故選：BCD.

三、填空題

11.（2023?全國?高三專題練習）如圖，正方體AC1中，。是8。中點，與截面BOG交于P，那么G、P、。三

點共線，其理由是

【答案】G、P、o是平面AACG和平面BOG的公共點，所以它們共平面AAC&與平面5DG的交線

【分析】確定C|、P、Oe平面AACG，G、P、Oe平面BDG，得到結(jié)論.

【詳解】O是3。中點，則O是AC中點，故Oe平面AACG，

4C與截面BDG交于P，故尸eAC,故Pc平面AACG，又Ge平面AACG，

故C|、p、。€平面44<7（71，又G、P、。€平面2。6，

故G、尸、。在平面A&CG和平面BDG的交線上.

故答案為：G、P、O是平面AACG和平面8DG的公共點，所以它們共平面AACG與平面的交線.

12.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在正方體中，A、B、C、。分別是頂點或所在棱的中點，則A、B、C、。四

點共面的圖形（填上所有正確答案的序號）.

①②③④

【答案】①③④

【分析】四點共面主要通過證明兩線平行說明，本題利用中位線、平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性進行說明,

證明平行時絕不能憑直觀感覺或無理論依據(jù).

圖①：證明AB〃EF,CD〃EF,可得AB〃CD；

圖③：證明BD〃EF,AC/7EF,可得BD〃AC；

圖④：證明GH〃EF,AC〃EF,BD/7GH,可得BD〃AC.

【詳解】圖①：取GD的中點F,連結(jié)BF、EF,

VB>F均為相應邊的中點，貝!J：BF//HG

又?龍〃AE,則B尸〃AE即ABFE為平行四邊形

.?.AB/7EF

同理：CD〃EF

貝!|AB〃CD即A、B、C、D四點共面，圖①正確;

圖②：顯然AB與CD異面，圖②不正確；

圖③：連結(jié)AC,BD,EF,

VBE/7DF即BDFE為平行四邊形

.,.BD/7EF

又,：A、C分別為相應邊的中點，則AC〃EF

；.BD〃AC即A、B、C、D四點共面，圖③正確;

圖④：連結(jié)AC,BD,EF,GH,

VGE/7HF即GEFH為平行四邊形，則GH〃EF

又；A、C分別為相應邊的中點，則AC〃EF

同理：BD/7GH

，BD〃AC即A、B、C、D四點共面，圖④正確.

③

故答案為：①③④.

13.（2023春?河南許昌?高三鄢陵一中?？茧A段練習）如圖，已知四棱錐，-ABCD的底面ABC。為平行四邊形，M

是棱。。上靠近點。的三等分點，N是82的中點，平面交CQ于點貝U,煞=.

D1

2

【答案】j

【分析】將四棱錐補為三棱柱ADR-8CE,由D{MHCEH求解.

【詳解】解：如圖所示：

補全四棱錐為三棱柱，作2E//AB,且RE=AB,

因為ABCD為平行四邊形，所以AB〃CD,

則DXEHABIICD,且DtE=AB=CD,

所以四邊形ABE?和四邊形D.DCE都是平行四邊形,

因為N為中點，則延長AN必過點E,

所以A,N,E,H,M在同一平面內(nèi),

因為。2〃CE,所以D,MH,CEH,

又因為M是棱DR上靠近點D的三等分點,

所以翳”則黑小

故答案為：!2

14.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，在直四棱柱ABC。-4月中，CD〃鈿，AB=AAi=3,CD=2,

P為棱耳B上一點，且=2尸四（2為常數(shù)），直線2。與平面PAG相交于點。.則線段D?的長為

【分析】根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)平行關(guān)系可得GE=E，取2Q=GE,根據(jù)平行關(guān)系可得GQ//AP,進而可知

點。即為直線。Q與平面PAG的交點，即可得結(jié)果.

【詳解】?:BP=",BB\=3,所以8尸=二，

2+1

分別過G，。作綜垂足分別為EE,分別過瓦尸作垂足分別為N,M,

可得CREF,MNEF均為平行四邊形，則CR=EF=MN=3,

過點歹作尸?！ˋP,交直線4。于點Q,則△EEG,

可得11=ABx7

PBFE2+124,

~FEGN=----------=------------=-------

AB32+1

02

在上取點。，使得DQ=GE=」

z+1

VEN//AAltAAt//DDlt則EN〃DR,

可知：D,Q//EG,DtQ=EG,即2QGE為平行四邊形,

：.GQHDXE,GQ=RE,

又?.?G，所為平行四邊形，則C/〃RE,QF=D.E,

可得GQ〃C7,GQ=C,F,

故C?G尸為平行四邊形，則G0〃GP,

XVFQ//AP,則GQ〃加

即AP，G，0四點共面，故點。即為直線與平面PAG的交點,

22

：.DQ=—.

X2+1

故答案為：等7

2+1

【點睛】方法點睛：在處理截面問題時，常常轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系問題，根據(jù)線、面平行關(guān)系的判定定理以及性質(zhì)定理

分析判斷.

題型二異面直線

畬策略方法1.平移法求異面直線所成角的一般步驟

碰一俑罩需落莪7羲布了由麻杏藤董商茶....

工U磅瓦為裹二不三篇形面丙鬲;通可群三甭

形，求出角的大小

2.坐標法求異面直線所成的角

當題設中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標系時，常采用坐標法.

注：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的

角.

【典例1］如圖所示，在正方體ABC。-4耳￡。中，E,b分別是AB,AO的中點，則異面直線3（與E尸所成

的角的大小為（）

DiG

AEB

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.

【詳解】如圖，連接DB,\B,則qC//A。，

、、一

AEB

E,歹分別是AB,AD的中點，

:.DB//EF,

是異面直線4c與研所成的角，且AQ8是等邊三角形，

A\DB=60°.

故選：C.

【典例2】在直三棱柱ABC-4與G中，AC=3,BC=3,AB=3A/2，M=4-則異面直線入。與所成角的余弦值

為（）

16r9-16r4

A.-----B.—C.—D.一

2525255

【答案】A

【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定義，建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標及直線A。與BG的方

向向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量夾角與線線角的關(guān)系即可求解.

【詳解】因為AC=3,BC=3,A8=3也

所以AC,+BC?=48、

所以AC13C,

又因為側(cè)棱與底面垂直，

所以以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-孫z,如圖所示

易得C(0,0,0),c(o,0,4),A(3,0,4),8(0,3,0),

所以AC=(-3,0,-4)M=(0,-3,4),

設異面直線4C與BG所成角為巴則

BC

??ACi|-4X4|16

cos0=cosAC,BCA=-------

1Ancg5x5-25

所以異面直線AC與BC,所成角的余弦值為￡.

故選：A.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?黑龍江?黑龍江實驗中學校考二模）在三棱錐A-BCD中，AS,AC,A。兩兩垂直，

AB=2,AC=AD=3,BE=ED,CF=2FD,則異面直線AE與防所成角的余弦值為（）

AV3r22V13n2屈

331339

【答案】D

【分析】將三棱錐A-BCD放在一個長方體中，建立空間直角坐標系，求出向量代入夾角公式即可求解.

【詳解】依題意，把三棱錐放在長方體中，如圖所示：

因為AB=2,AC=AD=3,BE=ED,CF=2FD,

以A為空間直角坐標系原點，AB,AC,AD分別為x,%z軸,

建立空間直角坐標系，則有：

4(0,0,0),3(2,0,0),—0,1,2),

所以AE=[l,0,￡|,BF=(-2,1,2),

故選：D.

2.（2023春?河南?高三階段練習）如圖，在四棱臺ABCO-中，正方形A3CD和4月GR的中心分別為°】和

。2,0021.平面43。5,。02=3,48=5,44=4,則直線與直線例所成角的正切值為（）

A.—B.—C.BD.逅

3666

【答案】B

【分析】作出直線。02與直線AA所成角，解直角三角形求得其正切值.

【詳解】連接A。*。?，作AELAQ,

垂足為E.ZAAtE即直線O,O2與直線AA,所成的角.

變

叵

6

3.(2023?全國?模擬預測)如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AAl=AC=AB=2,BC=2枝,。為A片的中點,

E為AQ的中點，/為的中點，則異面直線BE與AF所成角的余弦值為()

D-f

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】在直三棱柱ABC-A耳G中A41=AC=AB=2,BC=2也,

所以AC'+AB?=BC2,即AC_LAB,

又胡，平面ABC,AB,ACu平面A3C,所以懼LAC,AA.LAB,

如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0),以2,0,0),C40,2,2),2(1,0,2),石心,0,11,—1,1,1),

所以衣=(1,1,1),說唱0,一1),

/_e\AFEB屈

Gff以cos(AF,EB1)="；----j—j----r-------

所以\\AF[\EB\39，

即異面直線BE與AF所成角的余弦值為償.

4.（2023?河南洛陽?洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）如圖四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為正方形，且各棱長

均相等，E是尸8的中點，則異面直線AE與尸C所成角的余弦值為（）

A.在B.漁C.-D.1

6332

【答案】A

【分析】連接AC與8。交于點。，連接P。，以。點為原點，建立空間直角坐標系，分別求得向量AE和PC的坐

標，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.

【詳解】連接AC與8。交于點。，連接PO,

由題意得，AC1BD,且PO1平面ABCD,

以。點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系,

設四棱錐尸一ABCD各棱長均為2,則AO=3O=OO=正，尸0=血,

、

可得A（0,0,0）,E0,應V2,C（-V2,0,0）,P（0,0,V2）,

7

貝！JAE={-41,^~，孝］PCH_0,0,一夜）,

設異面直線AE與PC所成角為e,

..\AE-PC（-亞）x（-亞）+與義（一亞）

貝！Icos0-cos（AE,PC）=\---------=-------1：------------------

1?網(wǎng)n附6n?萬曲

故選：A.

5.（2023?全國?高三專題練習）已知三棱錐尸—ABC中，上4,平面ABC,AB=4,AC=4,BC=40,PA=6,D

為PB的中點，則異面直線AO與PC所成角的余弦值為（）

A.也B.拽C.2D.2

15121413

【答案】D

【分析】取BC的中點E,則DE//PC,—ADE或其補角即為異面直線AD與PC所成的角，求出所需邊長，利用

余弦定理求cosZADE即可.

【詳解】如圖所示，取BC的中點E,連接AE,DE,

則DEHPC，/ADE或其補角即為異面直線AD與PC所成的角.

由AB=4,AC=4,BC=4&,則有AB?+AC?=8€72,所以AB1AC,

E為BC的中點，則AE=20,

PAJL平面ABC,RtZXPAC中，pc=JRV+3=J36+16=2岳，:?DE=；PC=A

中，PB=y/p^+AB2=V36+16=2A/^3>:?DA=A，

在NADE中，根據(jù)余弦定理可得cosZADE=3+加一、=13+138=_9..

2ADxDE2x1313

所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為己9.

故選：D

6.（2023秋?湖北?高三校聯(lián)考開學考試）在直三棱柱ABC-48?中，A8，BC,AB=8C=朋,。1分別為AC,3c

的中點，則異面直線與與E所成角的余弦值為（）

-?----------D.

1010

【答案】D

【分析】設鉆=2,取A4的中點/，連接后，則可得/G。尸為異面直線與5避所成的角或補角,

然后在CQb中求解即可.

【詳解】設AB=2,取4A的中點r，連接GRDRDE,則用尸=；A耳

因為。E分別為AC,8C的中點，所以DE〃A2,DE=；AB,

因為A4〃A3,A5I=AB,所以DE〃BF,BF=DE,

所以四邊形DEB7為平行四邊形，所以DF〃B]E,

所以NCQF為異面直線CXD與4E所成的角或補角.

因為42，BC,AB=BC=A4,=2,￡>,E分別為AC,3C的中點,

所以。尸=4E=Vl2+22=?C\F=A/12+22=?CQ=，可+2?=瓜,

所以3/4/年=29

2730.

DF忑10

7.（2023?陜西漢中?統(tǒng)考二模）如圖，在棱長為2的正方體A8CD-ABC中，瓦尸,G分別為。2，加，叫的中點,

則斯與CG所成的角的余弦值為（）

G

「A/15y/io

15IT

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，分別求得族=（LLT）,CG=（2,0,1）,再利用向量的夾角公式求解.

【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標系：

則D（0,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,B1（2,2,2）,JQ（0,0,2）,E（0,0,l）,F（l,l,0）,G（2,2,l）,

EF=（1,1,-1）,CG=（2,0,1）EFCG=1,網(wǎng)=?CG卜氐

EFCG1715

cos（EF,CG）=

MR布一IT，

故選：c

3

8.（2023?江蘇?高三專題練習）在長方體ABC。-44GA中，AB=2,BC=2,DD,=-,則AC與8。所成角的

余弦值是（）

ACR3770「2A/70回

r\.UD?--------L?-------n\-J?-----

707070

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標系，求得AC和8烏，利用空間向量法求解即可.

【詳解】以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

x

則由題意可得2（0,0,￡|,3（220）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

所以AC=（一2,2,0）,BJ=12,一2,?,

所以cos（AC,5A）=—~~=0,

'/叫n叫

所以AC與BQ所成角的余弦值為。,

故選：A

9.（2023?貴州畢節(jié)??？寄M預測）鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報時的建筑.

中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ?如圖，在某市一建筑物樓頂有

一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個大鐘對稱分布在四棱柱的四個側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面

中心上），在整點時刻（在0點至12點中取整數(shù)點，含0點，不含12點），己知在3點時和9點時，相鄰兩鐘面上

的時針所在的兩條直線相互垂直，則在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線所成的角的余弦值為

C.*D.亨

【答案】B

【分析】在正四棱柱ABCD-AqCQ中，以。為原點，以DADC,即的方向分別為軸建立空間直角坐標系,

利用空間向量的夾角公式可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，在正四棱柱ABCD-48CQ中，瓦尸分別為側(cè)面A叫A和側(cè)面BCC4的中心，

G為8月的中點，EN為2點鐘時針，戶N為8點鐘時針，

則切VEG=30,DM尸G=30，

設正四棱柱的底面邊長為。，側(cè)棱長為6,

以D為原點，以。的方向分別為x，V，z軸建立空間直角坐標系，

則E（a，5，］）,N（a,a,^+

EN=（0；也a）,FAf=（-,0,-

262

1,2

所以卜05（硒,引0，|EN-FM|1

\EN\-\FM\4,

所以在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線所成的角的余弦值為;.

故選：B

10.（2023?河南?洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）在正三棱柱ABC-AqG中，AB=A\,。為人蜴的中點,

E為AG的中點，則異面直線A。與BE所成角的余弦值為（）

「底屈

AA/6RA/35n

610147

【答案】C

【分析】延長CB至F,使得可得四邊形BEDF是平行四邊形，DF//EB,則NA/加為異面直線AD

與BE所成的角或補角，設AB=A4,=2,取AC的中點求出￡）/、AD.AF,利用余弦定理求得NAZ*,可

得答案.

【詳解】D為A內(nèi)的中點，E為4G的中點，所以DE=gc￡,DEUCE，

如圖，延長CB至F,使得BF=gcB,連接DE,DF,AF,CB=C,B,,

因為2尸=5。14，所以DE=BF,DEHBF,

所以四邊形BEDF是平行四邊形，DF//EB,

則NA￡*為異面直線AD與BE所成的角或補角.設=41t=2,

取AC的中點"，連接EM、BM,

則口1_1_4。，EM=2,BM=拒,4。=1,

DF=EB=y/EM2+BM2={2?+（國=嶼,

AD=7M2+A02=^22+12=75,

由余弦定理得AF=7AB2+BF--2ABxBFcos120=幣，

方/“clAD1+DF--AF1y/51底

由余弦定理得cosZADF=---------------=—x-==—

2ADxDF2V714

所以直線AD與BE所成角的余弦值為更

11.（2023秋?全國?高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在直三棱柱ABC-4內(nèi)￡中，AB=BC=AC=AA1,則異面直線4片

與BG所成角的余弦值等于（）

BlG

1

c-ID.-

【答案】D

【分析】將該幾何體補成一個直四棱柱ABCD-ABG。，連接DC弁。，貝IJNBCQ（或其補角）是異面直線M與

BC所成的角，然后在BCQ中利用余弦定理求解即可.

【詳解】如圖，將該幾何體補成一個直四棱柱ABC。-A百GR,由題易得底面A3CD為菱形，且ABC為等邊三

角形.

連接。G，BZ）,易得A與〃DG，所以NBCQ（或其補角）是異面直線A片與所成的角.

設AB=L則5G=OG=0，5。=2=有，

（應了+（應）2一（百）2￡

所以cos-ZBCjD=

2x（一打4

故選：D.

二、填空題

12.（2023?全國?高三專題練習）在正方體ABCD-AgGR中，AC與交于點。，則直線8a與直線。，的夾角

為.

【答案】30

【分析】通過平移，轉(zhuǎn)化所求線線角為NAR。，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接AA，OQ,CR,又因為BCJ/AR,

所以直線與直線。Q的夾角即為NADQ,又A2c為等邊三角形，O為AC中點，

所以OQ平分角ZADtO,所以NARO=30.

故答案為：30.

13.（2023?寧夏銀川?銀川一中?？寄M預測）在正四棱柱ABCO-AqGR中，底面邊長為1,高為3,則異面直線

Bl與AD所