2023-2024學(xué)年山東省濱州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年山東省濱州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知等比數(shù)列｛q,｝的前”項和為5”，首項為《，公比為4,則*=（）

a\

A.2B.<7C.2qD.1+q

【正確答案】D

【分析】根據(jù)邑=&出區(qū)=1+4求解即可.

4%

【詳解】因為｛4｝等比數(shù)列，6*0,

所以巨=5=山1=I

故選：D

2.下列關(guān)于拋物線_y=x2的圖象描述正確的是（）

A.開口向上，焦點為（0,；）B.開口向右，焦點為

C.開口向上，焦點為（0,g1D.開口向右，焦點為（g,o]

【正確答案】A

【分析】把夕=/化成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程V=y,依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)看開口方向，求其焦點

坐標(biāo)即可解決.

【詳解】y=x2,即/=夕.則2p=l,即p=；

故此拋物線開口向上，焦點為（0,：）

故選：A

3.若直線x+ay+2=0與直線x-2y-3=0平行，貝ija=（）

A.—2B.—C.!D.2

22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)給定條件列式計算，再進(jìn)行驗證即可作答.

【詳解】因直線x+砂+2=0與直線x-2y-3=0平行，則lx（-2）-axl=0,解得”=一2,

當(dāng)a=-2時，直線x-2y+2=0與直線x-2y-3=0平行，

所以a=-2.

故選：A

4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點43,0,4),5(-1,4,2),則線段48的中點坐標(biāo)與向量力0的

模長分別是()

A.。,2,3)；5B.。,2,3)；6

C.(-2,2,-1)；5D.(―2,2,—1)；6

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件利用中點坐標(biāo)公式及空間向量模長的坐標(biāo)表示計算作答.

【詳解】因點小3,0,4),8(-1,4,2),所以線段的中點坐標(biāo)為(1,2,3),

▼▼八._______________________

|AB|=7(-1-3)2+(4-0)2+(2-4)2=6.

故選：B

5.己知公差為d的等差數(shù)列｛q｝滿足％+為+…+。2。=0,貝I()

A.<7=0B.a,0=0C.2q+19d=0D.a5+a15=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和，即可得到答案.

【詳解】???數(shù)列｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，

.“20x19」八

a]+a2-｛-----Fa2。=20qH----——d=0,

/.2%+19d=0.

故選：C

6.驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦著名的建筑事務(wù)所s能叩s也力。完成的，建筑師

的設(shè)計靈感源于想法：“你永無止境的愛是多么的珍貴，人們在你雄偉的翅膀下庇護(hù)”.若將

2

如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線/一二=1(加>0)下支的一部

m

分，且此雙曲線的一條漸近線方程為2x一肛=0,則此雙曲線的離心率為()

A.李B.亞

C.2D.百

【正確答案】B

21

【分析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到一=丁，從而得到。=1,6=2,c=亞,再

myjm

求離心率即可.

2

【詳解】雙曲線/一二=1（m>0）,"=1,b=G，

m

因為雙曲線的一條漸近線方程為2x-即=0,即y=47x,

m

21

所以一=-T=,解得"?=4,

所以a=l,b=2,c=#）,e---y［5.

a

故選：B

7.已知直線y=x+f（f>0）與圓O:/+/=4相交于48兩點，當(dāng)水陽的面積最大時，，的

值是（）

A.1B.72C.2D.2A/2

【正確答案】C

【分析】利用點到直線的距離公式和弦長公式可以求出ZO3的面積是關(guān)于f的一個式子,

即可求出答案.

［詳解】圓心（0,0）到直線y=x+t（t>0）的距離d雙弦長為2.4-

當(dāng)*=4,即f=2時，Sep取得最大值.

故選：C.

8.已知/（可］扃：；0若函數(shù)g（x）=/（x）+。有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

A.a>1B.a<-\C.〃<-1或a=0D.a>\

【正確答案】B

【分析】依題意畫出函數(shù)/（X）的圖象，將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)丁=/（可與，=-。的交點,

數(shù)形結(jié)合即可得到不等式，從而解得;

e，xW0

【詳解】解：因為f(x)=h'J\畫出函數(shù)圖象如下所示：

|lnx|,x>0,

函數(shù)g(x)=/(x)+a有兩個零點，即函數(shù)、=/匕)與歹=-。有兩個交點,

所以-a>1

所以ac-I

故選：B

二、多選題

9.下列直線方程中斜率/中1的有()

A.x+y=\B.x-y=\

C.y=tanl-xD.y=—x

4

【正確答案】ACD

【分析】把所給直線方程化成斜截式直線方程，直接讀取斜率左，與1進(jìn)行比較即可.

【詳解】選項A：x+y=l可化為y=-x+l,斜率％=7,則有判斷正確；

選項B：x-y=l可化為y=x-l,斜率左=1.判斷錯誤；

TT

選項C：^=tanl-x,斜率％=tanl>tan—=1,則有1HL判斷正確;

4

選項D：y=斜率％=￡<1,則有Awl.判斷正確.

44

故選：ACD

10.已知曲線￡■的方程為/+/=國+3，則()

A.曲線E關(guān)于直線丁=》對稱

B.曲線E圍成的圖形面積為萬+2

C.若點(%,打)在曲線E上，則啦

D.若圓/+/=/(,.>0)能覆蓋曲線后，則「的最小值為11正

2

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件逐一分析每一個選項，推理、計算判斷作答.

【詳解】對于A,曲線E上任意點(xj)有：x2+/=|x|+H，該點關(guān)于直線V=x的對稱點

(v,x)有/+/=切+同，

即曲線E上任意點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點仍在曲線E上，A正確；

對于B,因點(x,y)在曲線E上，點(TJ),(x,-y)也都在曲線E上，則曲線E關(guān)于x軸，y

軸對稱，

當(dāng)xW0,yZ0時，曲線后的方程為(x-：)2+a-』)2=:，表示以點(工,工)為圓心，變?yōu)榘?/p>

222222

徑的圓在直線x+y=l上方的半圓(含端點)，

因此，曲線E是四個頂點為(-1,0),(0,-1),(1,0),(0,1)的正方形各邊為直徑向正方形外所作半

所以曲線E圍成的圖形面積是:x2x2+4xg%x(￥)2=%+2,B正確；

對于C,點際典)在曲線E上，則片+亦=闖+|為|=(|』|-；)2+(|%4)2=^,

則有(X|-g)24g,即|與區(qū)檸但，解得-與紇書^^,而

竽］c正確；

對于D,曲線E上的點到原點距離最大值為J(；>+(y2+去=￡,圓/+/=產(chǎn)(/>0)能

覆蓋曲線E,則％n=&，D不正確.

故選：ABC

11.已知函數(shù)/(》)=&-3加+6,其中實數(shù)。>0,beR,點A(2,a),則下列結(jié)論正確的

是()

A./(x)必有兩個極值點

B.當(dāng)6=2。時，點(1,0)是曲線y=/(x)的對稱中心

C.當(dāng)6=3〃時，過點A可以作曲線y=/'(x)的2條切線

D.當(dāng)5a<b<6a時，過點A可以作曲線y=/(x)的3條切線

【正確答案】ABD

【分析】對/G)求導(dǎo)，得到/(x)的單調(diào)性，判斷/(x)的極值點個數(shù)可判斷A；當(dāng)方=2〃時,

計算/(x)+/(2-x)=0可判斷B；當(dāng)b=3a時，設(shè)切點為8卜。,3嘰2-6%),求出過點A的

切線方程，通過求△可判斷C；設(shè)切點為C(x°,ax；_3a%2+6),求出過點A的切線方程，令

g(x)=2ax3-9o/+12or+4j=b所以過點A可以作曲線y=/(x)的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為

V=g(x)與V=b圖象的交點個數(shù)即可判斷D.

【詳解】對于A,f'(x)=3ax2-6ax-3ax(x-2'),

令/"'(x)=0,解得：x=0或x=2,

因為a>0,所以令/，(x)>0,得x<0或x>2,

令/。)<0,得0<x<2,

所以/(x)在(-*0),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值.

所以A正確；

對于B,當(dāng)6=2a時，f(x)=ax3-3ax2+2a,

/(2-x)=a(2-x)''-3a(2-x)-+2a=-ax3+3ax2-2a,

/(x)+/(2-x)=0,所以點(1,0)是曲線夕=/(x)的對稱中心，所以B正確;

對于C,當(dāng)b=3a時,f(x)=ax3-3ax2+3a,4"f'(x)=g(x)=3ax2-6ax,

g'(x)=6ax-6a,設(shè)切點為5(%,3/2-6a%),

所以在8點處的切線方程為：y-(3%/-6ax°)=(6ax0-6a)(x-x0),

2

又因為切線過點)(2,a),(3ax0-6ax0)=(6ax0-6a)(2-x0),

22

化簡得：3XO-12XO+I3=O,A=(12)-4X3X13<0,

所以過點A不可以作曲線y=/'(x)的切線，所以C不正確；

對于D,f'(x)=3ax2-6ax,設(shè)切點為C(x(”ar；7亦。?+b),

322

所以在C點處的切線方程為：y-(ax?-3ax?+b)=(3ax?-6ax?)(x-x0),

又因為切線過點力(2,a),所以4-(也3-3%2+b)=(3ax02-6axo)(2-x。)，

3232

解得：2ax0-9ax?+12ax?+a-b,^g(x)=2crx-9ax+I2ax+a,y=b

所以過點A可以作曲線y=/(x)的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為歹=g(x)與y=6圖象的交點個數(shù).

g'(x)=6ax2-18ax+l2a=6a(x?-3x+2)=6a(x-l)(x-2),

則g(x)在(T?,1),(2,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

g(l)=6a,g(2)=5a,如下圖所示,

當(dāng)5a<6<6。時,過點A可以作曲線1y=/(x)的3條切線.

故D正確.

故選：ABD.

12.如圖所示，已知片，月分別為雙曲線》2-片=1的左、右焦點，過心的直線與雙曲線的

3

右支交于48兩點，記鳥的內(nèi)切圓Q的面積為S1,片乙的內(nèi)切圓。2的面積為昆，

則()

A.圓。1和圓。2外切B.圓心。?一定不在直線ZO上

2D.S；+。的取值范圍是[2肛3句

C.St-S2=7T

【正確答案】ABC

【分析】由雙曲線定義及圓的切線長定理，數(shù)形結(jié)合可以順利求得。|的橫坐標(biāo)，同樣由數(shù)

形結(jié)合可得到直線48的傾斜角取值范圍為接下來再去求值、證明即可解決.

【詳解】雙曲線--：=1的0=1,b=&c=2,漸近線方程為y=瓜、y=Yx,

兩漸近線傾斜角分別為。和等，設(shè)圓Q與x軸切點為G

過用的直線與雙曲線的右支交于48兩點，可知直線18的傾斜角取值范圍為

由雙曲線定義和圓的切線長定理可知、。2的橫坐標(biāo)均為。，即。1。2與x軸垂直.

故圓a和圓Q均與X軸相切于G(1,O),圓。和圓兩圓外切.選項A判斷正確；

由雙曲線定義知，△^耳居中，則40只能是△/丹馬的中線，不能成為

AFX>AF2,

的角平分線，則圓心。一?定不在直線/0上.選項B判斷正確；

在△002巴中，/01外。2=90"，

OXO21F2G,

2

則由直角三角形的射影定理可知F2G=OQQG,即(c-a)?=4?4

則4"=1,故S]§=町2?町/=%2.選項C判斷正確;

由直線力8的傾斜角取值范圍為,可知乙1名耳的取值范圍為

則入片的取值范圍為

故q=F?G?tan/QB片=tanZO]F2Fle.

則9+邑=%(片+片)=開行

^/(x)=x+pxeK3L則/(x)在單調(diào)遞減，在(1,3)單調(diào)遞增.

/(1)=2,/(1)=y,/(3)=y,/(x)=x+$xe停3)值域為24

，百的值域為2萬,4萬).選項口判斷錯誤.

故￥+S?=乃(彳+—),4G

耳7

故選：ABC

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直

觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用

了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：

(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；

(2)函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；

(3)曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；

(4)以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；

(5)所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。

三、填空題

13.已知車輪旋轉(zhuǎn)的角度0(單位：rad)與時間，(單位：s)之間的關(guān)系為。")=竽/，

O

則車輪轉(zhuǎn)動開始后第3.2s時的瞬時角速度為rad/s.

【正確答案】20萬

【分析】求導(dǎo)，然后將3.2代入導(dǎo)函數(shù)計算即可求出結(jié)果.

【詳解】因為?(f)=字*,則夕⑺=學(xué)匕則夕(3,2)=字x3.2=20%,

844

故答案為.20%

14.已知數(shù)列｛《,｝滿足q=l,=2%+1,則I。=.

【正確答案】1023

【分析】由數(shù)列遞推公式求特定項，依次求下去即可解決.

［詳解］數(shù)列｛。"｝中％=1,??+|=2a?+1

則出=2q+1=2x1+1=3,生=24+1=2x3+1=7,a4=2a3+1=2x7+1=15

a5=2a4+1=2x15+1=31,a6=2a5+1=2x31+1=63,

a[=2a6+1=2x63+1=127,as=2a7+1=2x127+1=255

a9=2a8+1=2x255+1=511,a10=2a9+1=2x511+1=1023

故1023

15.過拋物線/=2px(p>0)的焦點尸作直線交拋物線于48兩點，O為坐標(biāo)原點，記直線

OA,OB的斜率分別為kt,k2,則4?k2=.

【正確答案】-4

【分析】過焦點尸作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進(jìn)行分類討論.

【詳解】拋物線/=2px(p>0)的焦點尸§,0)

當(dāng)過焦點廠的直線斜率不存在時，直線方程可設(shè)為、=勺不妨令｛《,p),8(個-P)

k=P-=7k

則應(yīng)=故如&=2x(-2)=-4

22

當(dāng)過焦點廠的直線斜率存在時，直線方程可設(shè)為蚱％(x-介令心,兇),駐，％)

由_v=k(x--)整理得4左2/_4M公+2)x+左2P2=0

./=2Px

則X+x—M〃+2)亡

火qX|?x?—k]，—4，

2

=公(西一9(&-^)=kx]x2-^-(xl+x2)+^―

匕.2'三=頊3J4=尸—2——kL---------4_=4

X]x2xtx2x,x2p

T

綜上，勺?&=Y

故-4

16.已知圓G：(x-2cosey+(y_2sin?)2=1與圓GV+必=1，在下列說法中:

①對于任意的。，圓G與圓G始終相切；

②對于任意的9,圓￡與圓G始終有四條公切線；

③時，圓G被直線/：瓜-y-l=o截得的弦長為百；

6

④尸，。分別為圓G與圓G上的動點，則1尸0的最大值為4

其中正確命題的序號為.

【正確答案】①③④

【分析】對于①，兩個圓相切等價于兩個圓的圓心距剛好等于兩個圓的半徑之和或差，由此

可解；

對于②，兩圓外切時，只有三條公切線，故可判斷；

對于③，代入。=9求得圓G，再利用弦長公式即可求得所截弦長；

對于④，由兩圓外切可知I尸。I的最大值就是兩圓的直徑之和，由此得解.

【詳解】對于①，由題意得，圓G的圓心為a（2cos9,2sin。），半徑為4=1：圓Q的圓心為

G（o,o）,半徑為4=1,

所以兩圓的圓心距CGI=J（2cos6>-0）2+（2sin6?-0）2=74cos26?+4sin2（9=2，

又｛+々=1+1=2,即|CC|=4+R，即兩圓外切，

所以對于任意。，圓c和圓G始終相切，故①正確：

對于②，由①知兩圓相切，所以兩圓只有三條公切線，故②錯誤；

對于③，當(dāng)。=”寸，圓G的方程為（x-6『+（y-l）2=1,故圓心為G（石』），

1^/3x-s/3-1-11]

又直線/:-y-1=0,故圓心到直線/的距離為d=I,L、2=L=5，

設(shè)其被/所截弦為43,故由弦長公式得|48|=2后方=2/^=正，故③正確；

對于④，由①知兩圓相切，所以兩圓上的點的最大距離就是兩圓的直徑之和，所以

忸0|2=24+2々=2+2=4,故④正確.

故①③④.

本題通過命題的形式考查了直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系離不開圓心距

與半徑的和、差的關(guān)系，本題中利用兩點間的距離公式和三角函數(shù)知識即可得到圓心距為定

值2,恰好等于半徑的和，得到兩個圓為外切關(guān)系，公切線有3條；關(guān)于圓的弦長通常求出

弦心距利用勾股定理即可求得弦長；兩動點間的距離根據(jù)圖形轉(zhuǎn)化為兩定點間的距離來解決

就容易多了.

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=Y+6x2+cx+"的圖像過點尸(0,2),且在點處的切線方

程為6x-y+7=0.

(1)求/(x)的解析式：

(2)求函數(shù)g(x)=/(x)-6x的極大值.

32

【正確答案】(1)/(X)=X-3X-3X+2;(2)7.

【分析】(1)由圖象過點尸(0,2)求出d的值，再代入求出導(dǎo)數(shù)，再由切線方程求出了(-I)、

/'(-I),分別代入求出b和。的值；

(2)由(1)知，g(A-)=x3-3x2-9x+2,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令g'(x)=0,求出x,即

可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極大值；

【詳解】解：(1)/(x)的圖象經(jīng)過尸(0,2),."=2,

/(x)=x3+bx2+cx+2,~3x2+2bx+c.

點處的切線方程為6x-y+7=0,

.?./'(_l)=3_2b+c=6①，

還可以得到，〃T)=1，即點”(-J)滿足/(x)方程，

得至!)-1+6-c+2=l②，

由①、②聯(lián)立得b=c=-3,

故所求的解析式是/(力=1-3/-3》+2.

(2)由(1)知，g(x)=x，—3x""—3x+2—6x=X，—3x~—9x+2,

g，(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+l)(x-3),

令g'(x)=0,得x=-l或x=3,

當(dāng)xe(-oo,-l)時，g'(x)>0,

當(dāng)xe(-l,3)時，g,(x)<0,

當(dāng)xw(3,+oc)時，g'(x)>0,

即函數(shù)g(x)在(7,-1)和(3,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)的極大值為g(-l)=7.

本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點坐標(biāo)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性和極值等，屬于中檔

題.

18.一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為24km的圓形區(qū)域

內(nèi)(圓形區(qū)域的邊界上無暗礁)，已知小島中心位于輪船正西〃km(a>0)處，港口位于小島

中心正北6kms>0)處

(1)若。=40,輪船直線返港，沒有觸礁危險，求6的取值范圍？

(2)若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向300km處補水，求方的最小值.

【正確答案】(1)6230

(2)120

【分析】(1)建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得;

(2)先求補水點的坐標(biāo)，根據(jù)直線過該點，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.

【詳解】(1)根據(jù)題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，

當(dāng)』。時，則輪船返港的直線為齊3。),

40b

因為沒有觸礁危險，所以原點(0,0)至lJ6x+40y-40b=0的距離d=224,

J/+4()2

解得6230.

(2)根據(jù)題意可得，OC=3O0，點C在直線N=x上，故點C(3O,3O),

設(shè)輪船返港的直線是±+斗=1(。>0,b>0),貝IJ型+半=1,

abab

所以a+b=(a+6)(現(xiàn)+￥)=30(l+g+2+l)N120.當(dāng)且僅當(dāng)a=6=60時取到最小值.

abba

19.如圖，在四棱錐P—43c。中，P4_L底面48cPA=AB,/是尸。的中點,

ZACD=-

3

（1）證明：PBLAF；

（2）求直線PB與平面AFD所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵平

O

【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量和/日；證明加二日10即可；

（2）先求出尸片和平面4陽的法向量；，然后利用公式卜酬（葭J卜焉*求出

|c0S（Pfi,/7）|,則直線PB與平面AFD所成角的正弦值即為辰（尸8,“.

TT

【詳解】（1）證明：vBC=CD,ZACB=^ACD=~,:△ACB以ACD,：.AB=AD,

設(shè)NC=2BC=2CD=4a,

在△/CD中，由余弦定理得AD?=4a2+16〃2-8a2=12/,即4。=2月a,

則/O2+CO2=4C2,即ADLDC,

連接8。交ZC于點。，分別以04,08為x軸、＞軸，過。作z軸//尸/,建立如圖空間直

角坐標(biāo)系，則。（0,0,0）,"（3a,0,0）,8（0,鬲0）,C（-a,0,0）,。（0,-缶,0）,尸（3Q,0,2品）,

尸。的中點尸（a,

p

z

則PB=(-3a,y/3a,-2->j3a),AF=(-2a,0,Via),

VPBAF=6cr+0-6a2=0-?*-PB1AF.

(2)由(1)可知，/r>=(-3a,-VLz,0),AF=(-2a,0,y/3a),P8=(-3a,Wa,-2&),

設(shè)平面AFD的法向量為工(x,y,z),

nJ口疝[-3ax-y/3ay=0

則甘，即〈r-

[nLAF[-2ax+j34z=0

令x=6，則N=-3,z=2,即/?=(JJ,-3,2),

W￡文卜3百5^2

網(wǎng).]〃「2癡x4-8

記直線PB與平面47）所成角為。，sin?=

20.已知數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項和分別是5“,7；,滿足q=l,2sL且紋=7；+2.

⑴求數(shù)列｛叫,也｝的通項公式；

（2）若數(shù)列｛c“｝對任意〃€“都有++，=”恒成立，求J+C2+J++%.

【正確答案】（1）。“=",b?=2"

(2)(/?-1)-2"+2

【分析】（1）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義

即可求解；

(2)根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，求出小，最后利用錯

[n-2(n>2)

位相減法即可得答案.

【詳解】⑴解:因為4=1,2sH…所以，=2,

2sz=%，??(?22),得a?an+i.~=2S?-2sl=2a?na?+l-%=2(〃>2),

所以｛%“｝是以2為首項2為公差的等差數(shù)列，｛劭-｝是以1為首項2為公差的等差數(shù)列，

所以。2,=2+("-1)2=2”,a2?_,=l+(n-l)2=2n-l,

所以;

因為22=7；+2,所以紇=北+2=>4=2,

又由2如=%+2(〃>2)得2bn-又t=7；-a=b?n￡=又t("22),

所以也“｝是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，

所以”,=2".

(2)解：當(dāng)”=1時，9*=a=2nC|=2,

q

當(dāng)〃22時,—+—+—++邑■=6“T(〃22),得與=b“_b“_]=2"T,即%=人2=("*2),

電a…an

GQ

記R”=++q++=2+2?+3?2“+4?2'，++〃,2"9

則24=2.2+2,22+3?23+4.24++(〃-1).2"+〃.2〃，

]23

Rtt-2Rtt=2+2-^2++2"T-〃.2"=(1-〃).2〃-2,

則R〃=q+。2+。3++c.=(〃一1),2"+2.

21.如圖，已知橢圓C:J+￡=l(“>b>0)的左頂點4-2,0),過右焦點尸的直線/與橢圓C

相交于兩點，當(dāng)直線軸時，|加時=3.

(1)求橢圓。的方程；

⑵記AMF,42的面積分別為B.Sz,求'的取值范圍;

Q

(3)若的重心在圓/+/=再上，求直線/的斜率.

22

【正確答案】(1)工+匕=1

43

⑵4,3)

⑶士1

【分析】(1)根據(jù)已知條件得到。=2,—=3,即可得到橢圓C的方程.

a

(2)首先設(shè)直線/為x="9+1,與橢圓聯(lián)立得到(3/+4)_/+6叩_9=0,根據(jù)

(“+力'="+2+乂J，,o］得到"的范圍，從而得到率=嚴(yán)?=」的

力必3*+413J%S?斗尸|舊外

范圍.

(3)設(shè)重心G(x。,%),根據(jù)重心性質(zhì)得到％==，x0=21，再代入/+/=5

3m2+43m+449

求解即可.

【詳解】(1)因為左頂點/(-2,0),所以。=2,

G人222

根據(jù)a3,可得攵1=3,解得〃=3,所以三+匕=1；

a43

(2)設(shè)直線/為x=〃?y+l,

則+4’12n（3機(jī)2+4）0+6即一9=0,

[x=my+l

—6m

乂+%=5^

則△>（）,

（-6mY

那么（%+%）2=乂+2+213"441=T*3/

必力力必二93病+4，3）

3m2+4

根據(jù)及+2+&>-：解得一3〈與<一：,

y2必3力3

S張尸乂

所以5=7-------

S?J叫聞

（3）設(shè)重心G（x。,盟），貝IJ：%="竽9=云、

33"+4

_$+x,-2_m（y+、2）+2-2_-2nr

]=

'產(chǎn)~'r-=^^WT4）

4m8

所以￥+y；=

（3加2+4了49,

所以m2=1，即所求直線的斜率為±1.

22.設(shè)函數(shù)/（x）=f—（〃一2）x—〃Inx.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)/（x）有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)。的值；

⑶若方程/&）=《€火），有兩個不相等的實數(shù)根不雙，比較/'（土產(chǎn)）與0的大小.

【正確答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為弓,+8）,單調(diào)減區(qū)間為（0,9.（2）。=3,⑶詳見解析

【詳解】試題分析:（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點-1,。，根據(jù)定義域舍去-1,對。進(jìn)行討

論，°40時，/'（x）>0,單調(diào)增區(qū)間為（0,+8）.“>0時，有增有減;（2）函數(shù)/（x）有兩個零

點，所以函數(shù)必不單調(diào)，且最小值小于零，轉(zhuǎn)化研究最小值為負(fù)的條件:a+41nm-4>0,由于

此函數(shù)單調(diào)遞增，所以只需利用零點存在定理探求即可，即取兩個相鄰整數(shù)點代入研究即可得

。的取值范圍，進(jìn)而確定整數(shù)值，（3）根據(jù)/'（^|=0,所以只需判定土產(chǎn)與