江蘇省常州市前黃高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一強基班上學(xué)期階段檢測數(shù)學(xué)試題

江蘇省前黃高級中學(xué)2025屆高一強基班階段檢測

（數(shù)學(xué)卷）

一、單選題

1.已知直線4的斜率為石，直線4的傾斜角是直線4的傾斜角的2倍，則直線、的斜率為（）

A.YB.—C.--D.A/3

33

2.已知數(shù)列｛q｝滿足為=sin2.（“eN*）,則｛為｝的前10項的和為（）

1311

A.—B.6C.5D.—

22

3.已知數(shù)列｛6,｝是等比數(shù)列，且。2=2，a3-a5=16,則a；+a；+…+a；=（）

A.2"-2B.2,,+1-2C.2n-lD.2,,+1-l

4.已知函數(shù)/（x）=x3—4D.lnx+3,則曲線y=/（x）在（ej（e））處的切線斜率為（）

5.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，首項為q,公比為q,則—1）<0是“數(shù)列｛4｝遞減”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知點P（2,3）和圓C：（x+3y+（y—10）2=25,一束光線從點P出發(fā)，經(jīng)過直線y=%反射后到達圓C

上一點的最短路程是（）

A.4B.5C.6D.7

7.已知。=?。。2,b=1.012,c=In2.59,貝!J（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

8.已知實數(shù)X1,x2,y｝,當(dāng)滿足不；+才=4,x；+y；=4,X1X2+^y2=0,則,+y—4|+上+%一4

的最大值是（）

A.3&B.6C.672D.12

二、多選題

9.過點P（l,3）的直線與x軸，y軸正半軸分別交于點A,B,貝“。4|+|O@的可能值是（）

A.7B.7.4C.4+26D.8

10.設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為g,其前〃項和為S”，前〃項積為雹，且滿足條件4>1,。2022/2023>1，

（%022-1）.（4023一1）<。，則下列選項正確的是（）

A.｛%｝為遞減數(shù)列B.S2022+1<S2O23

C.（022是數(shù)列｛1,｝中的最大項D.小5<1

11.下列四個命題表述正確的是（）

A.橫縱截距相等的直線斜率為一1

B.圓d+,2=4上有且僅有3個點到直線/：x—y+0=O的距離等于1

C.曲線G：V+y2+2尤=。與曲線g：x2+y2—4x-8y+m=0恰有三條公切線，則加=4

D.已知圓C：/+9=4,點p為直線二+）=1上一動點，過點p向圓C引兩條切線以，PB,A,B為切

44

點，則弦AB長度的最小值為2及

12.對于函數(shù)/（力=2/+3/+次+4,c,deR,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點（—gJ二2d］中心對稱

B.函數(shù)“X）有極值的充要條件是c<1

C.若函數(shù)/（X）有兩個極值點X1,x2,則

D.若c=d=-12,則過點（3,0）做曲線y=/（x）的切線有且僅有2條

三、填空題

13.已知點4（2,2）,5（8,4）,直線/：〃a—y+6—4〃?=0,若直線/與線段AB有交點，則實數(shù)機的取值

范圍為.

14.已知等差數(shù)列｛4｝滿足為+%+43>0，4。+/<0，記S“表示數(shù)列｛??｝的前n項和，則當(dāng)S,S“+1<0

時，〃的取值為.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（m,0）,B（m+4,0）.若圓C：x?+（^一3根『上存在點p,使

得ZAPB=45°,則實數(shù)m的取值范圍是.

16.已知不等式e*—21nx>G：2_x+ina對任意的%?0,田）都成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題

17.圓O：/+3/2=9內(nèi)有一點玲（_1,2）,過外的直線交圓于A、8兩點.

(1)當(dāng)弦AB被玲平分時，求直線AB的方程；

(2)若AAOB為直角三角形，求直線A8的方程.

18.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，己知△ABC的頂點B(T,2),BC邊上中線AO所在直線方程為5x-3y-3=0,

AB邊上的高CH所在直線方程為2x+y—9=0,求：

(1)頂點A的坐標(biāo)；

(2)AABC外接圓的一般方程.

19.己知數(shù)列｛4｝的前n項和為S?，滿足3s“=2(?！薄?)，也｝是以q為首項且公差不為0的等差數(shù)列，打，

b3,打成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛為｝,｛a｝的通項公式;

(2)令%=a力”,求數(shù)列｛%｝的前〃項和Tn.

20.已知函數(shù)=.

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

(2)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)xe[2,3]時，如果曲線y=/(x)恒在x軸上方，求a的取值范圍.

21.已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,4川=3。“+2”7,〃eN”.

(1)求｛%｝的通項公式和前n項和Sn；

⑵設(shè)d=Iogg(a,,+2"T)+l,若不等式151+411+]1+,卜JlOn+15,對于任意〃eN*

都成立，求正數(shù)k的最大值.

22.已知awR,函數(shù)〃x)=e*+辦2,g@)是“力的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)a>0時，求證：存在唯一的[-],0)使得g($)=0；

(2)若存在實數(shù)a,b,使得恒成立，求。一。的最小值.

參考答案

1.A【詳解】直線4的斜率為G，即tana=G，所以傾斜角為a=60°,

所以直線，2的傾斜角為2a=120°,斜率&=tan120。=—JL故選：A.

117r11JI24

2-D【詳解】由題可知一〃又"二己n,HEN的周期7=—=4,

4=55<-5,3571

I

且4=g,〃2=1'。3=；，%=0，

故該列數(shù)列的前項的和為

102x("+a2+q+%)+4+a2=2x2+g+l=T故選：D.

3.B【詳解】???｛&｝為等比數(shù)列，故｛a；卜也為等比數(shù)列,

2

由生9=d=16,又；4=2，的公比滿足/=勺=4,則d=2,

而的=qq=2,平方得=4,a；=2,

20-2")

.??｛屋｝是以。；=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，其前〃項和a；+a；++a；

1-2

故選：B.

4.C【詳解】依題意，/(X)=3X2_?1,令無=1,

故r⑴=3-Zill,解得(，⑴=2,故/'(x)=3f一L故r(e)=3e2—L故選:C.

2xe

a,>0

5.B【詳解】由已知4(q—l)<0,解得<1或Jq<o,a“=%q

q>i

此時數(shù)列｛%｝不一定是遞減數(shù)列，所以4色一1)<0是“數(shù)列｛%｝遞減”的非充分條件;

4>0v0~/、

若數(shù)列｛a,,｝為遞減數(shù)列，可得，或?I,所以4(q_l)v0,

0<q<\

所以q(q—1)<0是“數(shù)列｛a,,｝遞減”的必要條件.

所以“q(q-1)<0”是“數(shù)列｛a“｝為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.

6.B【詳解】解：設(shè)點P(2,3)關(guān)于直線y=x的對稱點為P'(a,8)，

二一i

a=3

則《/—Ic，解得._,所以點P(2,3)關(guān)于直線y=x的對稱點為P(3,2),

b+2。+32

22

由題可知圓C：(x+3f+(y—10)2=25的圓心為c(—3,10),半徑r=5,

最短路程即為|PC|—r=J(3+3)2+(2—10『一5=10—5=5.故選：B.

7.C【詳解】解：因為0=lnl<ln2.59<lne=l,即0<c<l,

(1V/iniA2

因為a=e°m=el()0>1,^=1.012=—>1,

IJIWOJ

要比較a、6的大小關(guān)系只需比較e擊與Wl=l+二一的大小關(guān)系，

100100

4,/(x)=ex—x—LXG(0,1),則[(x)=e'-1>0,

所以在（0,1）上單調(diào)遞增，所以/（力＞/（0）=0,即e”＞x+l,當(dāng)x一時，e1^>—>1,

100100

<_1_\2

又y=f在（o,+8）上單調(diào)遞增，所以e而即。＞人＞1,所以Q〉b＞C.故選：C.

\/

設(shè)A(X],yJ,則原題等價于點A,8是圓九2+)1=4上兩點，

UUUlUUU1

并且OA=(x，yJ,08=(%,%)，OA-OB=x]x2+y]y2=0,所以Q4_LOB,

小+%-4|民+%~~4|

1%+*一4|+|%2+%-4|=近+\p2,x

#+6

所以所求最大值就是4,8兩點到直線x+y-4=0的距離之和［4）|+忸目的Q倍，

設(shè)48的中點為M,由上圖可知：|陰+忸同=2附目，就是M點到直線x+y—4=0的距離的2及倍,

由于"BO是直角三角形，［0陷=（|4網(wǎng)=；*2夜=夜，

設(shè)AB的中點為M,所以M在圓必+）心=2上運動，

所以本題等價于求M到直線x+y-4=0的距離20倍的最大值,

顯然，最大值=原點0到直線X+y—4=0的距離與圓爐+y2=2的半徑之和的2及倍

2及x+7212；故選：D.

9.CD【詳解】設(shè)直線方程為2+2=1（4>0,8>0）,由題得工+。=1,

A3ab._

所以|04|+|。耳=.+/?=（4+。）一+一4+—+—>4+2,—--=4+2V3.故選：CD

abba

10.ACD【分析1根據(jù)題意，求得q的范圍，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，對每個選項進行分析，即可判斷和選

擇.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且4>1,生022?。2023>1，故4>0,該數(shù)列為正項等比數(shù)列；

若4=1,顯然不滿足題意，舍去；若q>l,則不滿足（%022一1）.（。2023一1）<0,舍去；

若4e（0,1）,則該數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列，由（叼022—1）.（g023—1）<0，

故可得生022〉1，0<%023<1或°<。2022<1，。2023〉1，

顯然0<a2O22<1,生023〉1不滿足題意，故舍去，則出022>1>0<a2O23<1

對A：因為q>l,ae（O,l）,故數(shù)列｛4｝為單調(diào)減數(shù)列，A正確；

對B：々023<1，即1^2023—^2022<1,即^2022+1〉<52023,故B錯誤；

對C：因為｛。“｝單調(diào)遞減，且“2022〉1，。2023<1，故]的最大值為4）22，C正確；

對D：看M二々1%〃4045=（%023）〈匕故D正確；故選：ACD.

11.BCD【詳解】A.當(dāng)直線過原點時，直線的橫縱截距為0,這時直線的斜率不一定為一1,故A錯誤；

L圍

B.圓f+>2=4的圓心（O,。）到直線％—y+0=O的距離為寧=],而圓的半徑為2,

則平行于/且距離為1的兩條直線分別過圓心以及和圓相切，

所以圓/+y2=4上有且僅有3個點到直線x-y+&=0的距離等于1,故B正確;

C.圓C：/+9+2*=0圓心（一1,0）,半徑4=1,

圓。2：*2+,2一4%-8^+"2=0的圓心（2,4）,半徑弓=J20—,然（4<20）,

依題意兩圓外切，則|GG|=4+G，即1+J20-必=5,解得加=4,故C正確；

對于D,圓C：d+y2=4的圓心(0,0),廠=2,點C到直線x+y=4的距離d=2j5,

則|P小拒不7,由切線長定理知，直線尸C垂直平分線段A8,于是得:

當(dāng)且僅當(dāng)點P是過圓心C向直線x+y=4作垂直的垂足時取“="，即弦A8長度的最小值為20,故D正

確.故選：BCD.

12.ABC【詳解】由題意得r(x)=6d+6x+c,則一一—=J-c+2”,

2x62V2J2

對于A,/(x)+/(-l-x)=l-c+2J,則/(x)的圖象關(guān)于點匕號”)中心對稱，故A正確，

對于B,若/(x)有極值，則A=36-24。>0,得c<；,故B正確，

對于C,若/(X)有兩個極值點X],x2,則%+工2=-1，玉/=￡,

d+無；=卜；+考)2-2小；=(1一￡|暇喊一±+1/(。_6)2_1，

31

而c<2,故x：+￡>—,故C正確，

對于D,c=d=-T2,則/(x)=2d+3x2—12x—12,/'(x)=6%2+6x—12,

/(3)*0,設(shè)過點(3,0)的直線與y=/(x)相切于點，

力3.a產(chǎn)_1。

則/'（，）=6/+6,—12=----=--------------,整理得4/—15/―187+48=0,

令g(x)=4/-15x2-i8x+48,/(X)=12X2-30X-18=6(X-3)(2X+1),

令g'(x)>0,得x<3或%>-；，令g'(x)<0,得一;<x<3,

故g(x)有極大值g(-j>°，極小值g⑶<。，

由三次函數(shù)性質(zhì)得g(1)=0有三個解加?。?，且/'(4)*/'&)吟/?3)，

則過點(3,0)做曲線y=/(x)的切線有3條，故D錯誤，故選：ABC.

13.[2,+oo)【詳解】???〃比―y+6—4m=0,即n?(x-4)-(y—6)=0,

x—4=0|x=4

令《，則《，即直線/過定點尸（4,6）,且斜率％=機,

y-6=0[y=6V1

6-26-4_1

則G2,

4-2一2,

即mN2或/故答案為：f—oo,——、,[2,+oo）.

根據(jù)題意結(jié)合圖形可得Z22或

2

14.23【詳解】4]+。[2+。13=3〃]2>°，故。12>0，4()+卬5=42+43<0，故63<0，故d<0,

%=如+%)>23=23出a

>0,SM~~{\+。24卜24=12(42+/)<0.

SnSn+}<0,故〃=23.故答案為：23.

2+V19°

15.—,2

/2\,

16.0,—【詳解】不等式e“-21nx>G?-x+]na可變形為e'+xAo^+lnor2=0"""+lnox2.

、44

令/(〃)=e"+M,則r(〃)=e"+l>0.所以函數(shù)/(“)在R上單調(diào)遞增.

不等式e'+x〉ehl-+lnox2等價于/(x)>/0nac2),所以尤>lno?,gpe>ax2,

e*,、e*/、，/、e'(x-2)

因為X>0,所以a<-y.設(shè)g(x)=-y(x>o),則g(x)=―一-.

當(dāng)XG(O,2)時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(2,+oo)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(2,+o。)上單調(diào)遞增.

22,2、

所以g(x)min=g(2)=J，又Ina有意義知a>0.所以0<〃<彳.故答案為：0,—.

44I4；

17.(1)x-2y+5=0；(2)冗一y+3=0或尢-7y+15=0.

【詳解】⑴因弓(一1,2)在圓O：》2+y2=9內(nèi)，過外的弦AB被外平分,

則ABLOP0,而直線。4的斜率為kOPo=-2,

因此直線AB斜率為:，方程為y—2=g(x+l),即x—2y+5=0,

所以直線AB的方程為x-2y+5=O.

(2)因直線4B過圓。內(nèi)的點發(fā)(一1,2),則A4OB為等腰三角形，

又AAOB為直角三角形，必有NA08=90°,

而圓。：V+>2=9半徑為3,因此圓心0到直線A3的距離”=孚，顯然直線AB的斜率存在,

設(shè)直線AB的方程為：y—2=左(％+1),即依一y+Z+2=0,由儀生=九2解得左=1或女=',

\lk2+]27

于是得直線A&x—y+3=0或3%-丁+5=0,

所以直線AB的方程為x-y+3=0或x—7y+15=0.

18.(1)A(3,4)；(2)7f+7y—-22x—26y—5=0.

【詳解】(1)因為A8邊上的高CH所在直線方程2x+y-9=0,

所以心《x(—2)=—1,解得：

所以直線AB的方程為y—2=；(x+l),即x—2y+5=0.

5x-3y-3=0八,x=3

解得：,即A(3,4).

x-2y+5=0y=4

ft-\11-2-

因為點在直線上，所以可設(shè)(則中點為

(2)C2x+y-9=0Cf,9—2f),BC2)

把[〒，一^―J代入直線AO：5x-3y-3=0,

有“(F「"I與‘卜3=d解得：t=4,所以。(4,1).

經(jīng)過A(3,4),B(-l,2),C(4,l)可設(shè)為：x2+y2+Dx+Ey+F^O,

22

D=——

32+42+3D+4￡+F=07

-26

所以＜(—1)?+22—￡＞+2E+E=0,解得：＜E=——

7

42+l2+4D+E+F=0

廣5

F——

7

所以ZV3C外接圓的方程為71+7/―22%—26y—5=0.

,v,,.「8—(3〃一4)(一2)"

19.(1)??=(-2),4=3〃-5；⑵Tn=———J~

【詳解】⑴由3S“=2(%—1),取〃=1可得3sl=2(q—1),又￡=q,

所以3q=2(q—1),則q=-2.

3S,=2(4—1)

當(dāng)〃之2時，由條件可得《"'、，兩式相減可得，a“=—2a,i，乂%=—2,

3s,1=2(%-1)

所以2-=-2,所以數(shù)列｛4｝是首項為-2,公比為一2的等比數(shù)列，故％=

an-\

因為々=q=—2,設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為"，則仇=—2+d,4=—2+2d,，—2+6d，

由打，瓦,打成等比數(shù)列，所以（—2+21）2=（—2+d）（—2+6。），

又d芋0,所以解得4=3,故"=3〃-5.

⑵C”=。也,=(3〃-5)(-2)"，

2?，

Tn=(-2)x(-2)'+1x(-2)+4x(-2)++(3/j-5)x(-2y,

-27；,=(-2)x(-2)2+1x(-2)'+4x(—21++(3/2-8)x(-2)M+(3/2-5)x(-2y

相減得37；=4+3〔(—2)2+(-2丫+(—2)4++(-2)"]-(3n-5)x(-2)n+l,

所以37；=4+34一(；2)-—(3n-5)x(-2)，，+l,所以37；=8-(3〃-4)(一2)"，

1-(-2)

8-(3n-4)(-2)，，+l

所以7；=―----△~.

"3

20.(1)y=-\(2)見解析(3)I-00,—|

【詳解】(I)a=l時，/(x)=lnx—尤，/,(x)=--1=-~

故/(1)=—1,/'(1)=0,故切線方程是：y+l=O,即y=—l；

(2)f'(x\=——a=^~>x>0>

xx

①當(dāng)aWO時，由于x>0,故1-辦>0,二/'(x)>0,

/./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,”)，無單調(diào)減區(qū)間；

②當(dāng)a〉0時，令/'(x)=0,得彳=,，

在區(qū)間(0,5)上，/'(x)>0；在區(qū)間+oo)上，:(力<0；

.??/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(o,J,單調(diào)遞減區(qū)間為(J+00)

綜上，當(dāng)aWO時，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)“>0時，外力的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,單調(diào)遞減區(qū)間為+00)

(3)由題意知/(x)>0在［2,3］上恒成立，即"皿在［2,3］上恒成立,

令/?(尤)=處，XG［2,3］,則〃(司=上坐，

XX

令〃'(x)>0,解得：0<%<e；令〃'(x)<0,解得：x>e；

故〃(x)在［2,e)遞增，在(e,3］遞減，而刈2)=三=ln25<〃(3)=腎=ln33,

.?.在［2,3］上〃(力強=%(2)=(,故4<，，即〃的范圍為18,

3”+11

21.(1)a?=3n-2n~l；S=-----2"——(2)4

"n"22

【詳解】⑴%=2,an+］=3an+2"-',neN\可得。,用+2"=3(。"+2”1，q+2°=2+2°=3,

所以｛a,,+2"。是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列，所以a“+2"T=3",則4=3"-2"。neN*；

S?=3'-2°+32-2+33-22+L+3H-2,,_|

=(3l+32+33+---+3,,)-(2°+2'+22+---+2n-1

nW+I

_3x(l-3)l-r_32?1

一—1^31^2~2,

(2)4=3"-2"T,〃eN*,

石

bn=log^(a“+2"-')+1=log(3"-2"-'+2"T)+1=log63"+1=