2023-2024學年內蒙古自治區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年內蒙古自治區(qū)高一上冊期末數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.命題“玉21,X2>1?的否定是()

A.Vx<1,x2<1B.3x>1,%2<1

C.Vx>l,x2<1D.3x<l,x2>1

【正確答案】C

【分析】根據(jù)特稱命題和全稱命題是互為否定，即可得到結果.

【詳解】由題意可知，命題“大21,-N1”的否定是“VxNl,x2<1".

故選：C.

2.已知全集"=卜€(wěn)兇》<4},集合4={1,2},5={2,4}，則(a4)=()

A.{1}B.(1,3)C.{1,2,3}D.{0,2,3,4}

【正確答案】D

【分析】利用補集與并集的定義計算即可.

【詳解】因為U={xwN|x<4},所以。={0,1,2,3,4},

集合4={1,2},8={2,4},由補集的定義,可知44={0,3,4},

根據(jù)并集的定義，可得電/)={2,4}u{0,3,4}={0,2,3,4}.

故選:D.

商.a2b2

3.化簡1L/一\4(a,b為正數(shù))的結果是()

A.與B.C.a2b2D.ah

a2b2

【正確答案】C

【分析】由分數(shù)指數(shù)塞的概念和指數(shù)基的運算律計算.

^a2b2_(加)%方」了

=a2b2

［詳解］I—,.、4

故選：c.

127

4.已知a^R則“cosa=——"是“a=2后萬+——，后wZ”的()

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

27r

【分析】由題意可知a=2左4士一MwZ,再根據(jù)充分必要條件的概念，即可得到結果.

3

12萬

【詳解】因為cosa=-一,解得a=24萬士一,AGZ,

23

127r

/.44cosa=——"是“a=2k兀+——,kwZ”的必要不充分條件.

23

故選：B.

5.已知事函數(shù)/&)=(。2+。一1卜42"-3(46火)在((),+；功上單調遞減，則。的取值范圍是

()

A.1或一2B.-2C.1D.(-2,1)

【正確答案】C

【分析】

利用塞函數(shù)定義得1+a—l=l，解得：。=1或。=-2,再分別代入檢驗函數(shù)的單調性，即可得

解.

【詳解】由幕函數(shù)定義得/+a—l=l，解得:a=1或a=-2.

當。=1時,f(x)=x~4,利用幕函數(shù)性質知:/(x)在(0,+8)上單調遞減；

當。=-2時，/(x)=X5,利用幕函數(shù)性質知：/⑶在(0,+8)上單調遞增，不符題意舍去.

故選：C.

12

6.已知正數(shù)加，〃滿足2'"X4"=2,則一+一的最小值為()

mn

A.3B.5C.8D.9

【正確答案】D

【分析】由指數(shù)幕的運算律得加+2〃=1,再由基本不等式求最值.

【詳解】由正數(shù)機，"滿足2'"x4"=2，即2"'X2?"=2"+2"=2，所以加+2"=1,

所以丄+2=(加+2〃)[丄+芍=5+2+網25+2、國至=9,

mn\mn)mnn

nmi

當且僅當一二一,即加=〃二一時，取得等號

mn3?

故選：D.

7.已知a=0.8°7,6=ln],c=1.2°$,貝ija,h,c的大小關系是()

2

A.c>a>bB.a>b>c

C.a>c>bD.c>b>a

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)單調性和中間值比大小.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性可知，1=0.8°>0.8°7>0,

即1.2°-8>1.2°=b即。>1,由對數(shù)函數(shù)的單調性可知In丄<0,

2

即6<0,所以

故選：A

8.已知函數(shù)/(x)=/，的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是()

\nx-2a,x>1

A.y,-4]B,(-4,1)C.[-4,1)D.(0,1)

【正確答案】C

【分析】分段函數(shù)值域為R,在x=l左側值域和右側值域并集為R.

【詳解】當x?l,/(x)=lnx-2a,

.,.當時，f(x)>-2a,

?."(x)的值域為R，...當x<l時，/(x)=(l—a)x+3值域需包含(-oo,—2a),

1—Q〉0

???上。，解得一

l-a+3>-2a

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

/、x2+x,x>0“、

9.已知/(x)T,且/(x)是奇函數(shù)，則下列結論正確的有()

S(X丿，x<u

A/(-1)=-2B.g(x)=-x2-x

C./[/(1)]=6D.g(x)=-x2+x

【正確答案】ACD

【分析】利用奇函數(shù)性質求g(x)，再代入自變量求A、C對應的函數(shù)值，即可判斷正誤.

【詳解】由X<0,則-X>0,故/(-X)=(-x)2-X=X?一X=-/(x),

所以/(x)=g(x)=x—F,B錯誤，D正確；

故/(一1)=—1一/=—2,A正確；

/(1)=-/(-1)=2,而/(2)=4+2=6,故/[/(1)]=6,C正確.

故選：ACD

10.下列結論正確的是()

5兀

A.7是第三象限角

6

TT

B.若圓心角為一的扇形的弧長為兀，則該扇形的面積為兀

2

3

C.若角a的終邊上有一點。(一3團,4優(yōu))(加。0),則cosa=—1

D.若角。為銳角，則角2a為鈍角

【正確答案】AB

【分析】由象限角的概念，扇形面積公式，及三角函數(shù)的概念判斷選項正誤.

57r5冗

【詳解】選項A中，-式的終邊在第三象限，-二是第三象限角，A正確；

66

IT17r

選項B中，設半徑為八則一?尸=無，所以廠=2,扇形面積S=-x—x22=兀，B正確；

222

選項C中，P到原點的距離為"(—3m)2+(4〃?y=5|同,當根〉0時，cos<z=-g,當m<0時,

3

cos?=-,C錯誤；

選項D中，a=30°是銳角，但2a=60°不是鈍角，D錯誤.

故選：AB.

11.如圖，某河塘浮萍面積y（m2）與時間f（月）的關系式為y=版，，則下列說法正確的是（）

A.浮萍每月增加的面積都相等

B.第4個月時，浮萍面積會超過25m2

C.浮萍面積蔓延到lOOn?只需6個月

D.若浮萍面積蔓延到1On?,20m2,40m?所需時間分別為人，々，厶，則6+/3=2,2

【正確答案】BCD

【分析】

根據(jù)圖象求得的值，由此對選項進行判斷.

【詳解】根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象過點（1』）,（2,3）,

所以12?解得。=3,攵=一，所以夕=+X3'=3'T.

對于A選項，有y=3'T可知，函數(shù)為指數(shù)增長，所以A選項錯誤.

當，=4時，丁=3"|=27>25,所以B選項正確.

/=5時，丁=3"|=81；f=6時，jv=36-1=243>100,所以C選項正確.

依題意3'1=10,3,2-'=20,3,5-1=40，

所以％-1=log310,/2-1=log320,4-1=log340,

所以4=l+log310,%=1+log320,Z3=l+log340,

2

八+t3=2+log310+log340=2+log3400=2+log320=2+2log320=2t2,所以D選項正

確.

故選：BCD

本小題主要考查指數(shù)增長，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查對數(shù)運算.

12.設xeR,［可表示不超過x的最大整數(shù)，例如：［-3.5］=-4,［2.1］=2,已知函數(shù)

e*1

——一則下列敘述中正確的是()

、丿1+e12

A.［/(切是偶函數(shù)B.1(x)是奇函數(shù)

C./(X)在R上是增函數(shù)D.［/(x)］的值域是{一1,0,1}

【正確答案】BC

【分析】利用特殊值法可判斷A選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項；利用函數(shù)單調性的

性質可判斷C選項；求出函數(shù)/'(x)的值域，利用題中定義可判斷D選項.

【詳解】根據(jù)題意知，/'(%)=———丄=-1一丄=丄一

'''1+e*2l+ex221+e”

［/⑴卜=。，［/(T)］=看-；=f

所以，［/(l)］H卜(T)］且⑴］T/(T)］，

所以，函數(shù)［/(x)］既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，A錯；

???/卜)=￡-丄-丄、丄丄丄一/⑴

''l+e-r2ev(l+e-x)21+e*2'八

所以，函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，B對；

因為函數(shù)y=1+e'為R上的增函數(shù)，則函數(shù)丁=」一為R上的減函數(shù)，

1+e

故函數(shù)/'(')=丄-一匚上的增函數(shù)，C對；

21+e

因為e、＞0,則l+e'＞l，所以，故一丄＜/(x)〈丄，

1+e22

所以，函數(shù)［/(X)］的值域為{-1,0},D錯.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

ISVI一

■1*4---------

【正確答案】4

【分析】利用對數(shù)恒等式以及換底公式可求得結果.

ln2

【詳解】解.e+^^=2+log416=2+2=4

1*4

故答案為.4

14.已知函數(shù)/")=喚3%+2*—6的零點為。，則a+eN),則〃=

【正確答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性及零點存在定理即得.

【詳解】；函數(shù)/(x)=log3x+2、-6,函數(shù)在(0,+“)上單調遞增，

25

又/(2)=log,2+2-6=log32-2<0,/(3)=log33+2-6=3>0,

ae(2,3),即〃=2.

故2.

15.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+oo)上是減函數(shù)，—1］=°，則不等

式/(log8x)>0的解集為_.

【正確答案】

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質將原不等式轉換為/(logs"〉/-,再結合對數(shù)函數(shù)的單調性求解

丿

即可

【詳解】V/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+00)上是減函數(shù)./(-1j=o,

???/[；）=/（一;）=0.則不等式/（log8X）＞0等價為不等式/（logs》）＞/1；）即

|logsx|＜|^-1＜log8x＜即不等式的解集為2）.

故加

16.已知不等式被對任意的6],ye[2,3卜恒成立，則實數(shù)“的取值范圍是

【正確答案】

【分析】由題可得。2-仔）+（斗令/=自/3，即a1"在1,3恒成立，再利

用二次函數(shù)的性質求最值即得.

【詳解】???xyWaY+V對任意的工￡口,6],yw[2,3]恒成立，

xy<ax2+y2,即QN-

令”八即在；,3恒成立.

3

Xp

因為。一丄]當公丄時取等號,

I2丿442

故[*）.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

—一L兀，，3

17.已知一＜。＜乃，coscr-——.

25

（1）求sina的值;

sin（a一萬）-2cos|-a|

（2）求,）I2丿的值.

sin（5^+a）+cos（^-?）

4

【正確答案】（I）-

（2）-4

【分析】（1）根據(jù)根據(jù)角度象限與正余弦平方和為1求解即可;

（2）根據(jù)誘導公式化簡，再代入（1）中數(shù)據(jù)計算即可

【小問1詳解】

13/4

因為一<。<乃，cosa=——,所以sina=-cos2a=—

255

【小問2詳解】

34

由（1）得cosa=-1，sincz=—

sin（a-4）-2cos1%-a]..-

所以712丿——sma+2sina_sina_5

sin（54+Q）+COS（九一a）-sina-cosasina+cosa4_3

5-5

18.已知集合4=卜卜og3（4：2+15x）〉2}B-|x||x-777|>1,X€R}.

（1）求集合力；

（2）若p：xw/,q.xeB,且0是q的充分條件，求實數(shù)機的取值范圍.

3

【正確答案】（1）A=\x<x<3>

4

1

（2）-00,——U[4,+oo）

4

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0建立不等式求解即可；

（2）根據(jù)充分條件轉化為集合的包含關系建立不等式求解即可.

【小問1詳解】

A=^x|log3（4?+15x）〉2},

/--4X2+15X>9.

則（x-3）（4x-3）<0,

3

一<x<3，

4

’3、

4

【小問2詳解】

B-卜卜-同>l,xG7?},

???由卜一加|21

可得x-m21或了一加〈一1,

丄X之機+1或XW"2-1,

/.5=|x|x>w+IgJcx<w-11.

p:xeA,q:xwB,且P是9的充分條件，

3

工加一123或加+1W—,

4

???加24或次W——，

4

,實數(shù)機的取值范圍是（一叫一;^[4,+00）.

19.已知函數(shù)/（x）=2x2+@XKOaeR.

（1）判斷了（x）的奇偶性；

（2）當a=l時，用單調性的定義證明/'（X）在[2,T8）上是增函數(shù).

【正確答案】（1）當a=0時，/（X）是偶函數(shù)；當時，/.（X）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);

（2）證明見解析

【分析】（1）利用性質法判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)。的取值不同，奇偶性不同進行分類討論；

（2）當。=1時，/（x）=2x2+丄，利用定義法證明函數(shù)的單調性.

【小問1詳解】

解:/'(X)的定義域為(-8,0)U(0,+8).

當a=0時，/(x)=2x2,滿足〃T)=/(X),/(x)是偶函數(shù).

當時，f(x)=2x2+—/(l)=2+a,/(—1)=2—a,

則/(l)+/(-1)。0,所以/(x)不是奇函數(shù)；

又/⑴。/(T)，所以/(x)不是偶函數(shù).

綜上可知，當a=0時，/(x)是偶函數(shù)；當。工0時，/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

【小問2詳解】

解：當a=l時，/(x)=2x2+丄，任取e[2,+8),且玉</，

(1>(]、X7

1

則/(》2)—/(%)=2x；+-------2x；+—=2(x2-X,)(x2+Xt)+

\X2J\玉丿XlX2

(x2—X1)[2XIX2(XJ+x2)-l]

x}x2

xx>

因為24玉<%2，所以工2一玉>。，\24，2xjx2(x1+X2)-1>0,

所以「(工2)—/(玉)>0,即/(工2)>/(%).所以/(x)在[2,+00)上是增函數(shù).

20.已知函數(shù)/'(X)、奇函數(shù)g(x)和偶函數(shù)”x)的定義域均為R,且滿足/(x)=g(x)—〃(x),

若函數(shù)/(工)=優(yōu)(a>0,且aHl).

(1)求g(x)的解析式；

(2)求“x)在R上的最大值.

【正確答案】(1)g(x)=2

(2)-1

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性代入即可求解;

（2）根據(jù)指數(shù)的運算和均值不等式即可求解.

【小問1詳解】

由/（x）=g（x）—厶（x）可知/（—x）=g（—x）—/z（—x）,

由g（x）為奇函數(shù),〃（》）為偶函數(shù),可知g（-x）=-g（x）,A（-x）=A（x）,

則/（-x）=-g（x）-〃（x）,

則g（x）J"/（-x）=子.

【小問2詳解】

由⑴得?。?-〃力”―嘰-XI,

'丿22

當a〉0,且時，優(yōu)>0,則優(yōu)+/*=優(yōu)+丄

ax

當且僅當4=1，即x=0時取等號，

故’在R上的最大值為-1.

21.某市財政下?lián)軐？?00百萬元，分別用于植綠護綠和處理污染兩個生態(tài)維護項目，植綠護綠

項目五年內帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金x（單位：百萬元）的函數(shù)y（單位：百萬元）：

27x

乂=而二，處理污染項目五年內帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金x（單位：百萬元）的函數(shù)為

（單位：百萬元）.必=0.3x設分配給植綠護綠項目的資金為x（單位：百萬元），兩個生態(tài)項目

五年內帶來的生態(tài)收益總和為》（單位：百萬元）.

（1）將了表示成關于x的函數(shù)；

（2）為使生態(tài)收益總和V最大，對兩個生態(tài)項目的投資分別為多少？

27x3x

【正確答案】（1）y=-------------+30（0<x<100）