2024年廣西部分市高三數(shù)學(xué)第二次模擬聯(lián)考試卷附答案解析

年廣西部分市高三數(shù)學(xué)第二次模擬聯(lián)考試卷（考試用時(shí)120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若，則（

）A．1 B． C． D．52．已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B．4 C． D．3．設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）A．2 B． C．3 D．4．從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)地取出3個(gè)數(shù)，則該3個(gè)數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．0 C．1 D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，則曲線的曲率．若函數(shù)為，則其曲率的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)P為雙曲線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線C漸近線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則的面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．10．在銳角中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則（

）A．的外接圓半徑為5B．若，則的面積為C．D．的取值范圍為11．已知函數(shù)的定義域與值域均為，且，則（

）A． B．函數(shù)的周期為4C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)．13．設(shè)實(shí)數(shù)x，，滿足1，3，4，x，y，的平均數(shù)與50%分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)x，y，的方差為．14．在三棱錐中，，，，的面積分別3，4，12，13，且，則其內(nèi)切球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間與極值．16．在正四棱柱中，已知，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在棱，，，上，且，．(1)證明：F，E，H，G四點(diǎn)共面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．某高科技企業(yè)為提高研發(fā)成果的保密等級(jí)，設(shè)置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密碼保存相關(guān)資料，每周使用其中的一套密碼，且每周使用的密碼都是從上周未使用的三套密碼中等可能地隨機(jī)選用一種．已知第1周選擇使用甲密碼．(1)分別求第3周和第4周使用甲密碼的概率；(2)記前n周中使用了乙密碼的次數(shù)為Y，求．18．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．19．設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為取整函數(shù)，取整函數(shù)是法國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最先使用，也稱高斯函數(shù)．該函數(shù)具有以下性質(zhì)：①的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆；②任意實(shí)數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即，其中為x的整數(shù)部分，為x的小數(shù)部分；③；④若整數(shù)a，b滿足，則.(1)解方程；(2)已知實(shí)數(shù)r滿足，求的值；(3)證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有．1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，則.故選：C.2．A【分析】利用橢圓的離心率列出關(guān)系式，求解即可求得結(jié)果．【詳解】，，所以，，，解得，.故選：A.3．D【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，故，即，解得，故.故選：D4．B【分析】根據(jù)題意，得到基本事件的總數(shù)為種，再利用列舉法取得所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)地取出3個(gè)數(shù)，共有種不同的取法；其中這3個(gè)數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的有：，有4種取法，所以該3個(gè)數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的概率為.故選：B.5．A【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，求得，得到，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，可得，可得，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為.故選：A.6．D【分析】先由題意求得的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，從而得解.【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故選：D.7．C【分析】根據(jù)定義求解和，由曲率的定義求出曲率，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，所以曲線的曲率，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，曲率取得最大值.故選：C.8．B【分析】設(shè)點(diǎn)，計(jì)算的乘積以及，可求出的面積.【詳解】設(shè)點(diǎn)，滿足，即，又兩條漸近線方程分別為，即，故有，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，，故選：B9．AD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知條件可逐項(xiàng)分析得到答案.【詳解】且，則，，則，A正確；因?yàn)?，，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)由可得，不符合，所以不成立，故，即，D正確.故選：AD10．BCD【分析】根據(jù)已知條件求得，，對(duì)A，由正弦定理運(yùn)算可判斷；對(duì)B，由可得，求得，利用三角形面積公式求解；對(duì)C，由正弦定理可得，，可得，代入運(yùn)算可判斷；對(duì)D，由余弦定理和數(shù)量積運(yùn)算法則求出，換元后利用三角恒等變換得到，求出答案.【詳解】由，可得，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，可得，.對(duì)于A，由正弦定理，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，所以.故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，，，又，，故C正確；對(duì)于D，由余弦定理得，即，又，所以，設(shè)，則，由正弦定理，其中銳角滿足，由銳角三角形可得，所以，又，所以，，又，所以，從而，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以的取值范圍.故D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，巧妙利用賦值法解決.【詳解】令得，即①，令，得②，聯(lián)立①②，故A正確；令，得③，由①，，，將它們代入③整理可得，所以由，故D對(duì)；由可知為一元二次函數(shù)，設(shè)，則有，整理得，又由，所以，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)要求，故B錯(cuò)C對(duì)，故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)變量的抽象函數(shù)解析式要巧妙用賦值法.12．【分析】根據(jù)子集關(guān)系求出可能解，再利用集合中元素的互異性求出不能取的值即可得出m的值.【詳解】因?yàn)?，所以或，或，又由集合中元素的互異性可知且且，且，綜上.故答案為：.13．##【分析】利用平均數(shù)與分位數(shù)相等，得，代入數(shù)據(jù)中得方差.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，∴，即，代入數(shù)據(jù)，即為，此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，∴數(shù)據(jù)的方差為.故答案：14．##【分析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)特征：，再類比勾股定理，由面推及至空間幾何體可知三棱錐是一個(gè)墻角模型，所以，設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，則可由題中所給面積數(shù)據(jù)求出側(cè)棱長(zhǎng)，再依據(jù)內(nèi)切球公式計(jì)算相關(guān)量即可求出內(nèi)切球.【詳解】因?yàn)椋灶惐裙垂啥ɡ碛擅嫱萍暗娇臻g幾何體可知三棱錐是一個(gè)墻角模型，所以，設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC長(zhǎng)分別為PA=x，PB=y，PC=z，則由題意有①，所以有，，所以代入①式，所以，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，所以，，所以內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.15．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，極小值為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷正負(fù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而判斷出函數(shù)極值點(diǎn)，求得極值.【詳解】（1）由，可知，所以，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），的定義域?yàn)?，由，得，或，?dāng)或時(shí)，，在上均單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.16．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)表示及運(yùn)算可得共面，即可推理得解.（2）由（1）中坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)而求出平面與平面所成角的余弦.【詳解】（1）在正四棱柱中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因此，即共面，又有公共點(diǎn)，所以F，E，H，G四點(diǎn)共面.（2）由（1）知，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而平面的法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)第3周和第4周使用甲密碼的概率分別為和(2)【分析】（1）根據(jù)題干分析第四周使用甲密碼的情況，用全概率公式即可求解；（2）根據(jù)第周與第k使用甲密碼的概率的關(guān)系，利用遞推關(guān)系，結(jié)合數(shù)列知識(shí)，得到第k使用甲密碼的概率，從而得到前n周中使用了甲密碼的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再由四套密碼地位相同得到前n周中使用了乙密碼的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)第k周使用甲密碼的概率為，因?yàn)椋?，所以，，所以?周和第4周使用甲密碼的概率分別為和．（2）因?yàn)榈趉周使用甲密碼的概率為，則第周使用甲密碼的概率為，整理得，因?yàn)椋裕詳?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，即．設(shè)第k周使用甲密碼的次數(shù)為，則服從分布，所以．所以前n周中使用甲密碼次數(shù)的均值，又因?yàn)橐摇⒈?、丁地位相同，所以?8．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出，，求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，由與都和拋物線相切，得到兩條切線的方程聯(lián)立證明即可；（2）要證．即證，求出向量的坐標(biāo)證明即可.【詳解】（1）證明：設(shè)，，則，直線的方程為，即，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得或，又因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，所以直線的方程為，即，同理直線的方程為，由，解得，即，故點(diǎn)P在直線上．（2）證明：∵，，注意到兩角都在內(nèi)，可知要證．即證.而，，所以，又，所以，同理，即有，故．19．(1)或(2)743(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）令，則方程可化為，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，即可求解得答案；（2）設(shè)，則可判斷中n以及的個(gè)數(shù)，從而可得，結(jié)合高斯函數(shù)定義，即可求得答案；（3）由所要證明不等式的形式，可構(gòu)造不等式，當(dāng)時(shí)，有成立；設(shè)，推出，從而得到，再結(jié)合當(dāng)，2時(shí)，不等式成立，即可證明結(jié)論.【詳解】（