2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)綜合運用

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)綜合運用CONTENTS目錄1導(dǎo)數(shù)的運算2利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

一．導(dǎo)數(shù)的運算

所以方程f(x)-x=0只有一個實數(shù)根；(8分)(III)不妨設(shè)x2＜x3，因為f'(x)＞0，所以f(x)為增函數(shù)，所以f(x2)＜f(x3)，又因為f'(x)-1＜0，所以函數(shù)f(x)-x為減函數(shù)，所以f(x2)-x2＞f(x3)-x3，所以0＜f(x3)-f(x2)＜x3-x2，即|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|，所以|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2(13分)

二．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

【解析】解：(Ⅰ)當(dāng)x＞1時，f(x)=2x∈(2，+∞)，f(x)在(1，+∞)上封閉，g(x)=log2x∈(0，+∞)，g(x)在(1，+∞)上不封閉；(Ⅱ)證明：設(shè)f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))(n∈N*，n≥2)，先證：fn(x)在D上封閉的充分條件是f1(x)在D上封閉，任取x∈D，∵f1(x)在D上封閉，∴f2(x)=f(f1(x))∈D，…，fn(x)=f(fn-1(x)))∈D，∴fn(x)在D上封閉的充分條件是f1(x)在D上封閉；再證：fn(x)在D上封閉的必要條件是f1(x)在D上封閉．考慮運用反證法，假設(shè)f1(x)在D上不封閉，即存在x0∈D，使得f(x0)?D，那么f2(x0)=f(f1(x0))無意義，這與fn(x)(n∈N*)的定義域均為D矛盾，故假設(shè)不成立，

三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性4.如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b]，使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，那么稱f(x)為“倍增函數(shù)”．(Ⅰ)判斷f(x)=x2是否為“倍增函數(shù)”，并說明理由；(Ⅱ)證明：函數(shù)f(x)=ex+x2-x-1是“倍增函數(shù)”；(Ⅲ)若函數(shù)f(x)=ln(ex+m)是“倍增函數(shù)”，寫出實數(shù)m的取值范圍．(只需寫出結(jié)論)【解析】解：(I)f(x)=x2是“倍增函數(shù)”，理由如下：f(x)=x2的定義域是R，且在[0，+∞)上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)∈[0，4]，所以，f(x)=x2是“倍增函數(shù)”．(II)f(x)=ex+x2-x-1的定義域是R．當(dāng)x＞0時，f'(x)=ex+2x-1＞0，所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增．設(shè)g(x)=f(x)-2x=ex+x2-3x-1，g'(x)=ex+2x-3．設(shè)h(x)=g'(x)=ex+2x-3，h'(x)=ex+2＞0，所以，h(x)在區(qū)間(-∞，+∞)上單調(diào)遞增．又h(0)=-2＜0，h(1)=e-1＞0，所以，存在唯一的x0∈(0，1)，使得h(x0)=g'(x0)=0，所以，當(dāng)x變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下表：x(-∞，x0)x0(x0，+∞)g'(x)-0+g(x)↘↗

6.對于一般的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定義：設(shè)f''(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的導(dǎo)數(shù)．若f''(x)=0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”，現(xiàn)已知：g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，請解答下列問題：(Ⅰ)．若y=g(x)是R上的增函數(shù)，求證a=b=c；(Ⅱ)在(Ⅰ)．的條件下，求函數(shù)y=g(x)的“拐點”A的坐標(biāo)，并證明函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于“拐點”A成中心對稱．【解析】解：(I)∵g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，∴g'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac,∵y=g(x)是R上的增函數(shù)，∴g'(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立即4(a+b+c)2-12(ab+bc+ac)≤0則2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ac)≤0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0∴a=b=c；(II)由(I)得y=g(x)=(x-a)3g'(x)=3(x-a)2，g''(x)=6(x-a)=0解得x=a∴函數(shù)y=g(x)的“拐點”A的坐標(biāo)為(a,0)設(shè)函數(shù)y=g(x)圖象上任意一點(x,y)則關(guān)于(a,0)的對稱點為(2a-x,-y)根據(jù)g(2a-x)=(a-x)3=-g(x)可知點(2a-x,-y)也在函數(shù)y=g(x)圖象上∴函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于“拐點”A(a,0)成中心對稱．

．(2)由題設(shè)知：g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=h(x)(x2-2x+1)，其中函數(shù)h(x)＞0對于任意的x∈(1，+∞)都成立，所以，當(dāng)x＞1時，g′(x)=h(x)(x-1)2＞0，從而g(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增．①當(dāng)m∈(0，1)時，有α=mx1+(1-m)x2＞mx1+(1-m)x1=x1，α＜mx2+(1-m)x2=x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的單調(diào)性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，從而有|g(α)-g(β)|＜|g(x1)-g(x2)|，符合題設(shè)；②當(dāng)m≤0時，α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2，β=mx2+(1-m)x1≤mx1+(1-m)x1=x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的單調(diào)性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|，與題設(shè)不符．③當(dāng)m≥1時，同理可得α≤x1，β≥x2，進(jìn)而得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|，與題設(shè)不符因此，綜合①、②、③得所求的m的取值范圍為(0，1)．

【解析】解：(1)令F(x)=f(x)+g(x)=x2+x(x+2)(x-4)=x3-x2-8x,則F'(x)=3x2-2x-8=(3x+4)(x-2)．F(x)，F(xiàn)'(x)隨x的值的變化情況如下表

并且有相同的單調(diào)區(qū)間．四．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值10.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，若存在常數(shù)T，A(T＞0，A＞0)，使得對任意x∈R，都有f(x+T)=Af(x)成立，則稱函數(shù)f(x)是“＜T，A＞函數(shù)”．(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=x是否是“＜T，A＞函數(shù)”，并說明理由；(Ⅱ)若函數(shù)f(x)是“＜π，2＞函數(shù)”，當(dāng)x∈(-π，0]時，f(x)=sinx,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上的最小值；(Ⅲ)若函數(shù)f(x)=cosmx是“＜T，T＞函數(shù)”，求m的取值范圍．【解析】解：(Ⅰ)∵若f(x)=x是“＜T，A＞函數(shù)，則存在常數(shù)T，A(T＞0，A＞0)，使得對任意x∈R，都有f(x+T)=Af(x)成立，∴對任意x∈R，都有x+T=Ax成立，

13.已知函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不斷，定義：f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b])，f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b])．其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”．(1)若f(x