2.3 等腰三角形的性質(zhì)定理（解析版）

2.3等腰三角形的性質(zhì)定理了解等腰三角形和等邊三角形的概念掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理掌握有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)1.性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”).數(shù)學(xué)語(yǔ)言:如圖所示,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.拓展：由“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”,可以得到以下推論:等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°2.性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”)數(shù)學(xué)語(yǔ)言:如圖所示,在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC;∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.知識(shí)點(diǎn)二等腰三角形的其他性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等(2)等腰三角形兩底角的平分線相等(3)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高(4)當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形,它的兩條直角邊相等,兩個(gè)銳角都是45°注意：(1)應(yīng)用“三線合一”性質(zhì)的前提是在等腰三角形中,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角平分線.等腰三角形一腰上的高與中線不一定重合.(2)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形頂角平分線(或底邊上的高,或底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸即學(xué)即練1（2021春·福建漳州·八年級(jí)福建省詔安縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等腰三角形的一個(gè)角為40°，求它另外兩個(gè)角的度數(shù)．【答案】另外兩個(gè)角的度數(shù)是70°，70°或40°，100°【分析】由等腰三角形的一個(gè)角是40度，可以分為若40°的角是頂角與若40°的角是底角去分析求解．【詳解】解：若40°的角是頂角，則底角為：12（180°-40°）=70°∴此時(shí)另外兩個(gè)角的度數(shù)是70°，70°；若40°的角是底角，則另一底角為40°，∴頂角為：180°-40°-40°=100°，∴此時(shí)另外兩個(gè)角的度數(shù)是100°，40°．∴另外兩個(gè)角的度數(shù)是：70°，70°或40°，100°．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想的應(yīng)用，注意別漏解．即學(xué)即練2（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)角100°，它的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為．【答案】40°，40°【分析】先判斷出100°的角是頂角，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等解答．【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)角100°∴100°的角是頂角∴另兩個(gè)角是1即40°，40°故答案是：40°，40°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．即學(xué)即練3（2022春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．（請(qǐng)寫(xiě)出已知，求證，證明過(guò)程，并畫(huà)出圖形）【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD=CE，證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分線，∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型一根據(jù)等邊對(duì)等角求角度例1（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州市公益中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BD至E，使DE=AD，則∠E的度數(shù)為（）

A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】在BC上截取BF=AB，連DF，可得△ABD≌△FBD，得出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而又得出△DCE≌△DCF，即可求解．【詳解】解：在BC上截取BF=AB，連DF，

∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠FBD，∵在△ABD和△FBD中，AB=FB∠ABD=∠FBDBD=BD∴△ABD≌△FBDSAS∴DF=DA=DE，∠BAC=∠DFB，又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=40°，∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=100°，∴∠DFC=180°-∠DFB=180°-∠BAC=80°，∴∠FDC=180°-∠ACB-∠DFC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠BAC=180°-20°-100°=60°，∴∠FDC=∠EDC，

在△DCE和△DCF中，DE=DF∠EDC=∠FDC∴△DCE≌△DCFSAS∴∠E=∠DFC=80°，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，題中兩次運(yùn)用了全等，借助全等得到對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的相等，利用角度之間的轉(zhuǎn)換得出答案．舉一反三1（2023秋·浙江·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DM交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線EN交BC于點(diǎn)E．

(1)已知△ADE的周長(zhǎng)7cm，求BC(2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求【答案】(1)7cm(2)40°【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，EA=EC，然后利用等量代換可得△ADE的周長(zhǎng)=BC，即可解答；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠DAB=30°，∠C=∠EAC=40°，然后再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：∵DM是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∵EN是AC的垂直平分線，∴EA=EC，∵△ADE的周長(zhǎng)7cm，∴AD+DE+AE=7cm，∴BD+DE+EC=7cm，∴BC=7cm，∴BC的長(zhǎng)為7cm；（2）解：∵DA=DB，∴∠B=∠DAB=30°，∵EA=EC，∴∠C=∠EAC=40°，∴∠DAE=180°-∠B-∠BAD-∠C-∠EAC=40°，∴∠DAE的度數(shù)為40°．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AC，

A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】A【分析】證明△BDF≌△CED，得出∠EDC=∠BFD，根據(jù)∠CDF=∠EDC+∠EDF=∠B+∠BFD，得出∠B=∠EDF=65°，求出∠A=180°-∠B-∠C=50°．【詳解】解：∵BF=CD，∠B=∠C，BD=CE，∴△BDF≌△CED，∴∠EDC=∠BFD，∵∠CDF=∠EDC+∠EDF=∠B+∠BFD，∴∠B=∠EDF=65°，∴∠B=∠C=65°，∴∠A=180°-∠B-∠C=50°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明△BDF≌△CED．題型二根據(jù)等邊對(duì)等角證明例2（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且∠BDP=

(1)求證：△BDP≌△CEP．(2)若PD⊥AB，∠A=110°，求∠【答案】(1)見(jiàn)解析(2)70°【分析】（1）根據(jù)AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，得出∠B=∠C,BP=CP，即可求證△BDP≌△CEPAAS（2）根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C=35°，則∠DPB=55°，結(jié)合全等的性質(zhì)得出∠DPB=∠EPC=55°，即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，∴∠B=∠C,BP=CP，在△BDP和△CEP中，∠BDP=∠CEP∠B=∠C∴△BDP≌△CEPAAS（2）解：∵∠A=110°，AB=AC，∴∠B=∠C=1∵PD⊥AB，∴∠DPB=90°-35°=55°，∵△BDP≌△CEP，∴∠DPB=∠EPC=55°，∴∠EPD=180°-55°×2=70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形等邊對(duì)等角，直角三角形兩直角邊互余，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，使得∠PBC=30°，∠PBA=6°，且∠PAB=∠PAC=24°，求∠APC的度數(shù)是．

【答案】144°【分析】作輔助線，在AC的延長(zhǎng)線上截取AF=AB，連BF，PF，延長(zhǎng)AP交BC于D，交BF于E，則可證得△APB≌△APF，則AP為BF的垂直平分線，結(jié)合∠PBA=8°可得∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF，可得BC平分PF，進(jìn)一步可求出∠APC的度數(shù)．【詳解】解：在AC的延長(zhǎng)線上截取AF=AB，連BF，PF，延長(zhǎng)AP交BC于D，交BF于E，

∴∠BPE=∠BAP+∠ABP=24°+6°=30°=∠PBC，在△ABP和△AFP中，AB=AF∠PAB=∠PAC則△APB≌△APFSAS∴AP垂直平分BF，∠AFP=∠ABP=6°，∴∠FPE=∠BPE=30°，∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF，∴BC垂直平分PF，∴∠CPF=∠CFP=6°，∴∠DPC=36°，∴∠APC=180°-36°=144°．故答案為：144°【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．舉一反三2（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAF=∠DAE．求證：

(1)△ABE≌(2)∠AEF=∠AFE．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）首先證明∠BAE=∠DAF，由“角邊角”證明△ABE≌△ADF即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AE=AF，由“等邊對(duì)等角”即可獲得答案．【詳解】（1）證明：∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，即∠BAE=∠DAF，在△ABE與△ADF中，∠B=∠D=90°AB=AD∴△ABE≌△ADF(ASA)；（2）證明：由（1）得：△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角的性質(zhì)等知識(shí)，正確證明△ABE≌△ADF是解題關(guān)鍵．題型三根據(jù)三線合一求解例3（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}是真命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角B．一個(gè)角的補(bǔ)角是鈍角C．如果ab=0，那么a+b=0D．等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角平分線、底邊的高線、底邊的中線所在的直線【答案】D【分析】根據(jù)命題，對(duì)頂角、補(bǔ)角、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：相等的角不一定是對(duì)頂角，故A不符合題意；鈍角的補(bǔ)角是銳角，故B不符合題意；當(dāng)a=0，b=1，則ab=0，那么a+b=1，故等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角平分線、底邊的高線、底邊的中線所在的直線，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，對(duì)頂角、補(bǔ)角、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．舉一反三1（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分線與AD交于點(diǎn)P，連接PC．若BD=2CD，△ABC的面積為2，則△DPC的面積為（）

A．1 B．12 C．13 D【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出AP=PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出S△BPC=12S【詳解】解：∵BD=BA，BP是∠ABC的角平分線，∴AP=PD，∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，∴S△ABP=S∵S△ABC=S∴S△BPC∵BD=2CD，∴S△DPC∴S△DPC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的面積，利用等底等高的三角形的面積相等求出△BPC的面積與△ABC的面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·浙江金華·八年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，D為△ABC外一點(diǎn)，BD⊥AD，BD平分△ABC的一個(gè)外角，∠C=∠CAD．若AB=10，BC=2，則BD的長(zhǎng)為．

【答案】8【分析】設(shè)CB與AD延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得AE=CE，根據(jù)ASA證明△ABD≌△EBD，可得AB=BE=5，從而可求AE、AD的長(zhǎng)度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)CB與AD延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)．∵∠C=∠CAD，∴AE=CE．又∵BD平分∠ABE，BD⊥AD，∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBDASA∴AB=BE=10，AD=ED∴CE=AE=BC+BE=2+10=12，∴AD=DE=1∴在Rt△ABD中，由勾股定理得到BD=A故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，添加合適的輔助線、構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．題型四根據(jù)三線合一證明例4（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校考期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB．∠EDF=60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：△ABD是等邊三角形；(2)求證：BE=AF．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD=∠DAC=12×120°=60°（2）由△ABD是等邊三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，證出∠BDE=∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=1∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=1∵AD=AB，∴△ABD是等邊三角形；（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，∵∠EDF=60°，∴∠ABD=∠EDF，∴∠ABD-∠ADE=∠EDF-∠ADE，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE與△ADF中，∠DBE=∠DAF=60∴△BDE≌△ADFASA∴BE=AF．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，B，D，E，C在同一直線上，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．【答案】見(jiàn)解析【分析】作過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得BF=CF，DF=EF，即可．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF，又∵AD=AE，∴DF=EF，∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的頂角平分線，底邊中線和高線互相重合是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)D，(1)若∠AED=155°，求∠ABC的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，證明∠EBC=∠CED．【答案】(1)50°(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義和三角形外角的性質(zhì)求出∠C=65°，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠A=65°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)即可；（2）根據(jù)三線合一定理證明BE⊥AC，即∠BEC=90°，即可利用同角的余角相等進(jìn)行證明．【詳解】（1）解：∵DE⊥BC，∴∠EDC=90°，∵∠AED=155°，∴∠C=∠AED-∠EDC=65°，∵AB=BC，∴∠A=∠C=65°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=50°；（2）證明：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BE⊥AC，即∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，又∵∠CED+∠C=90°，∴∠EBC=∠CED．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．單選題1．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB=AD，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E恰好落在CD上，若∠BAD=a0°<a<180°，則∠ACB的度數(shù)為（

A．45° B．a(chǎn)-45° C．90°-12a【答案】C【分析】連接BE，過(guò)A作AF⊥CD于F，依據(jù)∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF＝12∠BAD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°?12【詳解】解：如圖，連接BE，過(guò)A作AF⊥CD于F，∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E恰好落在CD上，∴AC垂直平分BE，∴AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，∵AB＝AD，∴AD＝AE，又∵AF⊥CD，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠CAF＝12∠BAD＝12又∵∠AFE＝90°，∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°?12a∴∠ACB＝∠ACE＝90°?12a故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，解題時(shí)注意：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．2．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD是等腰△ABC底邊BC邊上的中線，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，AC＝12，DE＝3，則△ABE的面積是（）A．16 B．18 C．32 D．36【答案】B【分析】作EH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出EH，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：作EH⊥AB于H，∵AB＝AC＝12，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EH⊥AB，∴EH＝ED＝3，∴△ABE的面積＝12×AB×EH＝18故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．D是BC中點(diǎn) B．AD平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C【答案】C【詳解】∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴D是BC中點(diǎn)，∠B=∠C，(故A、D正確)∠BAD=∠CAD(故B正確)無(wú)法得到AB=2BD，(故C不正確).故選C.4．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D鋼架中，∠A=α，焊上等長(zhǎng)的鋼條P1P2，P2P3，P3P4

A．25° B．20° C．15° D．30°【答案】A【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P【詳解】解：∵P1A=P1P∴∠A=∠P1P2A∵∠A=α，∴∠P則∠P∴∠P則∠P∴∠P則∠P∠P∵恰好用了3根鋼條，故∠P3P即180°-3α≥90°4α<90°解得：22.5°<α≤30°；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AB=AC+CD，若∠BAC=n°，則∠ABC的大小為（）

A．90°-n°3 B．180°-n°3 C．180°-n°2【答案】B【分析】在AB上取一點(diǎn)C'，使得AC'=AC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得C'D=CD，∠AC'D=∠C【詳解】解：在AB上取一點(diǎn)C'，使得A

在△ACD和△ACAC∴△ACD≌△AC∴C'D=CD，∴AB=AC又∵AB=AC+CD，AC∴BC∵BC∴∠B=∠C又∵∠AC∴∠C=∠AC又∵∠BAC=n°，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-n°，即3∠B=180°-n°∴∠B=180°-n故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．作出輔助線，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．填空題1．（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是．【答案】65°或25°/25°或65°【分析】在等腰ΔABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=40°，討論：當(dāng)BD在ΔABC內(nèi)部時(shí)，如圖1，先計(jì)算出∠BAD=50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠ACB；當(dāng)BD在ΔABC外部時(shí)，如圖2，先計(jì)算出∠BAD=50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠ACB．【詳解】解：在等腰ΔABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=40°，當(dāng)BD在ΔABC內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵BD為高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1當(dāng)BD在ΔABC外部時(shí)，如圖2，∵BD為高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，而∠BAD=∠ABC+∠ACB，∴∠ACB=1綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為65°或25°．故答案為：65°或25°．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．2．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是21，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】10【分析】連接AD，△BDM的周長(zhǎng)為BD+BM+DM，DB為定值，要使△BDM的周長(zhǎng)最小，則BM+DM的值最小，AB的垂直平分線為EF，得到A,B關(guān)于EF對(duì)稱，得到BM+DM=AM+DM≥AD，當(dāng)A,M,D三點(diǎn)共線時(shí)，BM+DM=AD，最小，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵△BDM的周長(zhǎng)為BD+BM+DM，DB為定值，∴當(dāng)BM+DM的值最小時(shí)，△BDM的周長(zhǎng)最小，連接AD，∵AB的垂直平分線為EF，∴A,B關(guān)于EF對(duì)稱，∴BM+DM=AM+DM≥AD，∴當(dāng)A,M,D三點(diǎn)共線時(shí)，BM+DM=AD，∵等腰△ABC，點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=1∴S△ABC∴AD=7，∴△BDM的周長(zhǎng)的最小值為BD+BM+DM=BD+AD=3+7=10；故答案為：10．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱解決線段和最小問(wèn)題．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）等腰三角形的周長(zhǎng)為13，其中一邊長(zhǎng)為5，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為．【答案】3或5【分析】分當(dāng)腰長(zhǎng)為5時(shí)，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為5時(shí)，兩種情況根據(jù)等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為5時(shí)，則底邊長(zhǎng)為13-5-5=3，∵3+5>5，∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意；當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為5時(shí)，則腰長(zhǎng)為13-52∵4+4>5，∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意；綜上所述，該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為3或5，故答案為：3或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．三、解答題1．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，請(qǐng)你利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．

(1)作△ABC的中線AD．(2)作出以BC為底邊，∠C為底角的等腰三角形△EBC．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）作BC的垂直平分線找到與BC交點(diǎn)D，連接AD即可得到答案；（2）作BC的垂直平分線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接EB即可得到答案；【詳解】（1）解：△ABC的中線AD，如圖所示，

（2）解：△EBC如圖所示，【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的定義及垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的作法．2．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：在△ABC中，點(diǎn)E在直線AC上，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，且BA=BD,∠BAE=∠D．

(1)如圖1，若BF平分∠ABC，求證：∠AEB+∠BCE=180°．(2)如圖2，若BE平分△ABC的外角∠ABF，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，問(wèn)：∠AEB和∠BCE的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變了嗎？若改變，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論，并證明，若不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，在（2）的條件下，若AB⊥BC,CD=1，求EC的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)結(jié)論改變了，∠AEB=∠BCE，理由見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）由“ASA”可證△ABE≌△DBC，可得BE=BC，由平角的性質(zhì)可求解；（2）由“ASA”可證△ABE≌△DBC，可得∠AE