高等數(shù)學(xué) 課件 7.1微分方程的基本概念7.2可分離變量方程

第七章微分方程7.1微分方程的基本概念7.2可分離變量的微分方程目錄二、可分離變量的微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念例1.

一曲線通過點(diǎn),且在該曲線上任意點(diǎn)處的解:設(shè)所求曲線方程為，由題意得①(為任意常數(shù))由②得,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為,求該曲線的方程.

一、微分方程的基本概念微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實(shí)質(zhì):

聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.一、微分方程的基本概念分類1:

常微分方程:未知函數(shù)為一元函數(shù)偏微分方程:未知函數(shù)為二元及以上函數(shù)分類2:一階微分方程:階為一高階微分方程:階為二及以上微分方程的階:

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).一、微分方程的基本概念一般地,n

階常微分方程的形式是形如的微分方程稱為n階線性微分方程．否則，就稱為n階非線性微分方程.例如，是三階線性微分方程．是一階非線性微分方程．是二階非線性微分方程.分類3:

線性與非線性微分方程.一、微分方程的基本概念微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).微分方程的解的分類：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.例如，一、微分方程的基本概念(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.初始條件:

用來確定任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):引例

通解:特解:或二、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程轉(zhuǎn)化解可分離變量的微分方程二、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程的解假定方程①中的f(x),g(y)是連續(xù)的,且設(shè)y＝

(x)是方程①的解,

兩邊積分,得

①則有恒等式

②設(shè)函數(shù)G(y)和F(x)依次為和f(x)的原函數(shù),

則有這說明方程①的解滿足等式②二、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程的解法總結(jié)如下：分離變量：兩邊積分：①②二、可分離變量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分離變量，得兩邊積分，得即(C

為任意常數(shù))說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)或二、可分離變量的微分方程例2.求微分方程解:分離變量，得兩邊積分，得即由初值條件得C=1,(C

為任意常數(shù))

故所求特解為滿足初值條件的特解.二、可分離變量的微分方程例3：求微分方程滿足初值條件的特解．兩邊積分故方程的通解為代入初值條件，得故所求特解為即解：分離變量，得，得

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