綏化市2021年中考數(shù)學試題及答案(解析版)

2021年黑龍江省綏化市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（每題3分，總分值33分）

1.（3分）（2021?綏化）-2021的相反數(shù)2021

考點：相反數(shù).

分析：根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

解答：解：?；-2021的相反數(shù)是2021,

故答案為：2021.

點評：此題考查了相反數(shù)，在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù).

2.（3分）（2021?綏化）使二次根式4前有意義的x的取值范圍是X2-3

考點：二次根式有意義的條件.

分析：二次根式有意義，被開方數(shù)為非負數(shù)，列不等式求解.

解答:解:根據(jù)二次根式的意義，得x+320,

解得x>-3.

點評：用到的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

3.（3分）（2021?綏化）如圖，AC、BD相交于點0,ZA=ZD,請補充一個條件，使4AOB號△DOC,

你補充的條件是AB=CD（填出一個即可）.

考點：全等三角形的判定.

專題：開放型.

分析：添加條件是AB=CD,根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可.

解答：解:AB=CD,

理由是：在4AOB和^DOC中

'/AC?二ND0C

-ZA=ZD

,AB=CD

...△AOB空△DOC,

故答案為：AB=CD.

點評：此題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,

SSS,題目是一道開放型的題目，答案不唯一.

4.(3分)(2021?綏化)布袋中裝有3個紅球和6個白球，它們除顏色外其他都相同，如果從布袋

里隨機摸出一個球，那么所摸到的球恰好為紅球的概率是工.

考點：概率公式.

分析：根據(jù)概率公式，求摸到紅球的概率，即用紅球除以小球總個數(shù)即可得出得到紅球的概率.

解答：解：???一個布袋里裝有3個紅球和6個白球，

摸出一個球摸到紅球的概率為：_L.=1.

3+63

故答案為工

3

點評：此題主要考查了概率公式的應用，由求出小球總個數(shù)再利用概率公式求出是解決問題的關鍵.

5.(3分)(2021?綏化)化簡—的結(jié)果是.

2-

a-1a-1------a+l

考點：分式的加減法.

專題：計算題.

分析：原式通分并利用同分母分式的減法法那么計算即可得到結(jié)果.

解答：解：原式’,一號一寸-<一嗎―-v

(a+1)(a-1)(a+1)(a-1)

一a-]

(□+1)(a-1)

1.

a+1

故答案為：

a+1

點評：此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法那么是解此題的關鍵.

6.(3分)(2021?綏化)如圖，直線a、b被直線c所截，allb,。1+N2的度數(shù)是180。.

c

考點：平行線的性質(zhì).

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N1=/3,求出N2+N3=180。，代入求出即可.

解答:

1

解:

allb,

zl=z3,

?/Z2+Z3=180°,

Z1+Z2=180°,

故答案為：180。.

點評：此題考查了平行線的性質(zhì)的應用，注意：兩直線平行，同位角相等.

7.（3分）（2021?綏化）服裝店銷售某款服裝，一件服裝的標價為300元，假設按標價的八折銷售,

仍可獲利60元，那么這款服裝每件的標價比進價多120元.

考點：一元一次方程的應用.

分析：設這款服裝每件的進價為x元，根據(jù)利潤=售價-進價建立方程求出x的值就可以求出結(jié)論.

解答：解：設這款服裝每件的進價為x元，由題意，得

300x0.8-x=60,

解得:x=180.

標價比進價多300-180=120元.

故答案為：120.

點評：此題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，銷售問題的數(shù)量關系利潤=售價-進價的運

用，解答時根據(jù)銷售問題的數(shù)量關系建立方程是關鍵.

8.（3分）（2021?綏化）一個扇形的圓心角為120。，半徑為3,那么這個扇形的面積為3n（結(jié)果

保存n）

考點：扇形面積的計算.

專題：計算題；壓軸題.

分析：根據(jù)扇形公式S*=口兀氏-，代入數(shù)據(jù)運算即可得出答案.

扇形360

解答：解：由題意得,n=120°,R=3,

故S一n兀R2」20兀X323n.

扇形360360

故答案為：3Tl.

點評：此題考查了扇形的面積計算，屬于根底題，解答此題的關鍵是熟練掌握扇形的面積公式，另

外要明白扇形公式中，每個字母所代表的含義.

9.（3分）（2021?綏化）分解因式：a3-4a2+4a=a（a-2）2.

考點：提公因式法與公式法的綜合運用.

分析：觀察原式a3-4a2+4a,找到公因式a,提出公因式后發(fā)現(xiàn)a2-4a+4是完全平方公式，利用完

全平方公式繼續(xù)分解可得.

解答：解：a3-4a2+4a,

=a(a2-4a+4),

=a(a-2)2.

點評：考查了對一個多項式因式分解的能力.一般地，因式分解有兩種方法，提公因式法，公式法,

能提公因式先提公因式，然后再考慮公式法〔完全平方公式).要求靈活運用各種方法進行因

式分解.

10.(3分)(2021?綏化)如圖，在平面直角坐標系中，點A(1,1〕，B(-1,1),C(-1,-2),

D(1,-2),把一根長為2021個單位長度且沒有彈性的細線1線的粗細忽略不計)的一端固定在A

處，并按A玲B玲C玲D玲A...的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上，那么細線的另一端所在位置的點的

坐標是(-1,-1).

考點：規(guī)律型：點的坐標.

分析：根據(jù)點的坐標求出四邊形ABCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，

從而確定答案.

解答：解：:A[1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D[1,-2),

AB=1-(-1)=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-I)=2,DA=1-(-2)=3,

繞四邊形ABCD一周的細線長度為2+3+2+3=10,

20214-10=201...4,

細線另一端在繞四邊形第202圈的第4個單位長度的位置，

即線段BC的中間位置，點的坐標為(-1,-1).

故答案為：1-1,-1).

點評：此題主要考查了點的變化規(guī)律，根據(jù)點的坐標求出四邊形ABCD一周的長度，從而確定2021

個單位長度的細線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關鍵.

11.(3分)(2021?綏化)矩形紙片ABCD中，AD=8,AB=6,E是邊BC上的點，以AE為折痕折

疊紙片，使點B落在點F處，連接FC,當4EFC為直角三角形時，BE的長為3或6.

考點：翻折變換1折疊問題).

專題：分類討論.

分析：分①NEFC=90。時，先判斷出點F在對角線AC上，利用勾股定理列式求出AC,設BE=x,

表示出CE,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AF=AB,EF=BE,然后在RsCEF中，利用勾股定理

列出方程求解即可；②NCEF=90。時，判斷出四邊形ABEF是正方形，根據(jù)正方形的四條邊

都相等可得BE=AB.

解答：解：①NEFC=90。時，如圖1,

ZAFE=NB=90°,ZEFC=90°,

.?.點A、F、C共線，

矩形ABCD的邊AD=8,

BC=AD=8,

在RtAABC中，AC%前2+B02刃62+8-1。，

設BE=x,那么CE=BC-BE=8-x,

由翻折的性質(zhì)得，AF=AB=6,EF=BE=x,

CF=AC-AF=10-6=4,

在RSCEF中，EP+CF2=CE2,

即x2+42=（8-X）2,

解得X=3,

即BE=3；

②NCEF=90。時，如圖2,

由翻折的性質(zhì)得，ZAEB=ZAEF=lx90°=45°,

2

四邊形ABEF是正方形，

BE=AB=6,

綜上所述，BE的長為3或6.

故答案為：3或6.

點評：此題考查了翻折變化的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，此類題目，利用勾股定理列

出方程求解是常用的方法，此題難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀.

二、單項選擇題（每題3分，總分值21分）

12.（3分）（2021?綏化）以下運算正確的選項是（）

A.（a3）2=a6B.3a+3b=6abC.a64-a3=a2D.a3-a=a2

考點：同底數(shù)暴的除法；合并同類項；募的乘方與積的乘方.

分析：根據(jù)幕的乘方，可判斷A,根據(jù)合并同類項，可判斷B,根據(jù)同底數(shù)幕的除法，可判斷C、D.

解答：解：A、底數(shù)不變指數(shù)相乘，故A正確；

B、不是同類項不能合并，故B錯誤；

C、底數(shù)不變指數(shù)相減，故C錯誤；

D、不是同底數(shù)昂的除法，指數(shù)不能相減，故D錯誤；

應選:A.

點評：此題考查了累的運算，根據(jù)法那么計算是解題關鍵.

13.（3分）（2021?綏化）以下圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

A.角B.等邊三角形C.平行四邊形D.圓

考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形.

專題：常規(guī)題型.

分析：根據(jù)軸對稱及中心對稱的定義，結(jié)合選項所給圖形的特點即可作出判斷.

解答：解：A、角是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、平行四邊形不軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故本選項正確；

應選D.

點評：此題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩局

部折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩局部重合.

14.（3分）（2021?綏化）分式方程生二?一-的解是（）

x-22-x

A.x=-2B.x=2C.x=lD.x=l或x=2

考點：解分式方程.

專題：方程思想.

分析：觀察可得最簡公分母是（x-2）,方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求

解.

解答：解：方程的兩邊同乘（x-2）,得

2x-5=-3,

解得x=l.

檢驗：當x=l時，（x-2）=-1*0.

.,?原方程的解為：x=l.

應選C.

點評：考查了解分式方程，注意：

（1）解分式方程的根本思想是"轉(zhuǎn)化思想"，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.

（2）解分式方程一定注意要驗根.

15.（3分）（2021?綏化）如圖是一個由多個相同小正方體搭成的幾何體的俯視圖，圖中所標數(shù)字為

該位置小正方體的個數(shù)，那么這個幾何體的左視圖是（）

考點：由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖.

分析：俯視圖中的每個數(shù)字是該位置小立方體的個數(shù)，分析其中的數(shù)字，得主視圖右3歹U，從左到

右分別是1，3,2個正方形.

解答：解：由俯視圖中的數(shù)字可得：主視圖右3歹U，從左到右分別是1,3,2個正方形.

應選c.

點評：此題考查了學生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力.

16.（3分）（2021?綏化）如圖，過點O作直線與雙曲線y』（kx0）交于A、B兩點，過點B作BC±x

軸于點C,作BD_Ly軸于點D.在x軸上分別取點E、F,使點A、E、F在同一條直線上，且AE=AF.設

圖中矩形ODBC的面積為S1,AEOF的面積為S2,那么S「S2的數(shù)量關系是（）

A.S)=S2B.2S]=S2C.3S]=S2D.4S|=S2

考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

分析：根據(jù)題意，易得AB兩點關與原點對稱，可設A點坐標為（m,n）,那么B的坐標為（-m,

-n）；在RSEOF中，由AE=AF,可得A為EF中點，分析計算可得S2,矩形OCBD中，

易得S1,比擬可得答案.

解答：解：設A點坐標為（m,n）,

過點0的直線與雙曲線y』交于A、B兩點，那么A、B兩點關與原點對稱，那么B的坐標

為（-m,-n）；

矩形OCBD中，易得OD=-n,OC=m；那么S]=-mn；

在RtAEOF中，AE=AF,故A為EF中點，

由中位線的性質(zhì)可得OF=-2n,OE=2m；

那么S2=OFXOE=-4mn；

故2S1=S2.

應選B.

點評：此題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，

與坐標軸圍成的矩形面積就等于Iki.本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注.

17.（3分）（2021?綏化）如圖是二次函數(shù)丫=2*2+6*+（:圖象的一局部，且過點A（3,0）,二次函數(shù)

圖象的對稱軸是x=l,以下結(jié)論正確的選項是（）

A.b2>4acB.ac>0C.a-b+c>0D.4a+2b+c<0

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點有b2-4ac>0可對A進行判斷；由拋物線開口向下得a<0,

由拋物線與y軸的交點在x軸上方得c>0,那么可對B進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性得到

拋物線與x軸的另一個交點為(-1,0),所以a-b+c=0,那么可C選項進行判斷；由于x=2

時，函數(shù)值小于0,那么有4a+2b+c>0,于是可對D選項進行判斷.

解答：解：?.,拋物線與x軸有兩個交點，

b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A選項正確；

拋物線開口向下，

a<0,

???拋物線與y軸的交點在x軸上方，

c>0,

ac<0,所以B選項錯誤；

.?,拋物線過點A(3,0),二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=l,

???拋物線與x軸的另一個交點為(-1,0),

a-b+c=0,所以C選項錯誤；

.當x=2時，y>0,

4a+2b+c>0,所以D選項錯誤.

應選A.

點評：此題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)丫=2*2+6*+。(a#0)的圖象為拋物線，當

a>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線x=--N；拋物線與y軸的交點坐標為(0,c)；當b2

2a

-4ac>0,拋物線與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0,拋物線與x軸有一個交點；當b2-4ac

<0,拋物線與x軸沒有交點.

18.(3分)(2021?綏化)如圖，在矩形ABCD中，AD=a/^AB,NBAD的平分線交BC于點E,DH±AE

于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交BF于點O,以下結(jié)論：

①NAED=NCED；②OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF,

其中正確的有()

C.4個D.5個

考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

分析：根據(jù)角平分線的定義可得NBAE=NDAE=45。，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=x巧AB,從而得到AE=AD,然后利用“角角邊"證明△ABE

和AAHD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求

出NADE=NAED=67.5。，根據(jù)平角等于180。求出NCED=67.5。，從而判斷出①正確；

再求出NAHB=67.5。，ZDOH=ZODH=22.5°,然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OD=OH,判斷

出②正確；

再求出NEBH=NOHD=22.5。，NAEB=NHDF=45。，然后利用"角邊角"證明△BEH和△HDF

全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；根據(jù)全等三角形對應邊相

等可得DF=HE,然后根據(jù)DH=DC-CF整理得到&BC-2CF=2HE,判斷出④錯誤；

判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得至IJABHBH,即ABHHF,得到⑤錯誤.

解答：解：,在矩形ABCD中，AE平分NBAD,

ZBAE=NDAE=45°,

△ABE是等腰直角三角形，

AE=<y^AB,

AD=^AB,

AE=AD,

在^ABE^HAAHD中，

'ZBAE=ZDAE

-ZABE=ZAHD=90°，

,AE=AD

AABE2△AHD(AAS),

BE=DH,

AB=BE=AH=HD,

ZADE=ZAED=_1(180°-45°)=67.5°,

2

ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

NAED=NCED,故①正確；

?1,ZAHB=1(180。-45。)=67.5°,ZOHE=ZAHB(對頂角相等)，

2

ZOHE=NAED,

OE=OH,

ZDOH=90°-67.5°=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,

ZDOH=ZODH,

OH=OD,

OE=OD=OH,故②正確；

???ZEBH=90°-67.5°=22.5°,

ZEBH=ZOHD,

在4BEH和^HDF中，

，ZEBH=ZQHD=22.5°

"BE=DH，

AEB=NHDF=45°

△BEH復△HDF(ASA),

BH=HF,HE=DF,故③正確；

；DF=DC-CF=V2BC-CF,

2

?BC-2CF=2DF,

.?.厲BC-2CF=2HE,故④錯誤;

AB=AH,ZBAE=45°,

△ABH不是等邊三角形，

ABHBH,

?1.即ABwHF,故⑤錯誤；

綜上所述，結(jié)論正確的選項是①②③共3個.

應選B.

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與

性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全

等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵，也此題的難點.

三、解答題〔總分值66分)

19.(5分)(2021?綏化)計算：J五-2cos30°+(-1)°-(―)L

3

考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)哥；負整數(shù)指數(shù)事；特殊角的三角函數(shù)值.

分析：分別進行二次根式的化簡、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)累、負整數(shù)指數(shù)暴等運算，然后按

照實數(shù)的運算法那么計算即可.

解答：解：原式=26-2怎+1-8=73~7.

2

點評：此題考查了實數(shù)的運算，涉及了二次根式的化簡、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)'得、負整數(shù)

指數(shù)幕等知識，屬于根底題.

20.(6分)(2021?綏化)某校240名學生參加植樹活動，要求每人植樹4?7棵，活動結(jié)束后抽查

了20名學生每人的植樹量，并分為四類：A類4棵、B類5棵、C類6棵、D類7棵，將各類的人

數(shù)繪制成如下圖不完整的條形統(tǒng)計圖，答復以下問題：

(1)補全條形圖；

(2)寫出這20名學生每人植樹量的眾數(shù)和中位數(shù)：

(3)估計這240名學生共植樹多少棵？

川本

ABCD類型

考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；中位數(shù)；眾數(shù).

專題：圖表型.

分析：(1)求出D類的人數(shù)，然后補全統(tǒng)計圖即可；

(2)根據(jù)眾數(shù)的定義解答，根據(jù)中位數(shù)的定義，找出第10人和第11人植樹的棵樹，然后解

答即可；

(3)求出20人植樹的平均棵樹，然后乘以總?cè)藬?shù)240計算即可得解.

解答：解：⑴D類的人數(shù)為：20-4-8-6=20-18=2人，

補全統(tǒng)計圖如下圖；

(2)由圖可知，植樹5棵的人數(shù)最多，是8人，

所以，眾數(shù)為5,

按照植樹的棵樹從少到多排列，第10人與第11人都是植5棵數(shù)，

所以，中位數(shù)是5；

⑶3爺楝,

點評：此題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題

的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個工程的數(shù)據(jù).

21.16分)(2021?綏化)：△ABC在直角坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A(0,3)、B(3,4)、

C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).

(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的AAiBiC],點C,的坐標是(2,-2)；

(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A?B2c2，使△A2B2c2與△ABC位似，且位似比為2：1,

點C2的坐標是(1,0):

(3)的面積是10平方單位.

考點：作圖-位似變換；作圖-平移變換.

分析：(1)利用平移的性質(zhì)得出平移后圖象進而得出答案;

(2)利用位似圖形的性質(zhì)得出對應點位置即可；

(3)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△A2B2c2的面積.

解答：解：⑴如下圖:C][2,-2)；

故答案為：[2,-2)；

(2)如下圖：C2(1,0)；

故答案為：11,0)；

2

(3)YA2c22=20,B2C2=20,A2B2=40,

?&A?B2c2是等腰直角三角形，

?AA?B2c2的面積是：另x20=10平方單位.

點評：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)和三角形面積求法等知識，得出對應點坐標

是解題關鍵.

22.(6分)(2021?綏化)如圖，AB是0O的直徑，弦CD±AB于點E,點P在OO上，N1=ZBCD.

(1)求證：CBIIPD；

(2)假設BC=3,sinNBPD二，求的直徑.

5

考點：圓周角定理；垂徑定理；解直角三角形.

分析：(1)根據(jù)圓周角定理和求出ND=NBCD,根據(jù)平行線的判定推出即可；

(2)根據(jù)垂徑定理求出弧BC=MBD,推出NA=NP,解直角三角形求出即可.

解答：⑴證明：；ND=N1,Z1=ZBCD,

ZD=ZBCD,

/.CBIIPD；

(2)解：連接AC,

AB是OO的直徑，

?,.ZACB=90°,

CD±AB,

?,?弧BD=MBC,

ZBPD=ZCAB,

sinZCAB=sinZBPD=_?,

5

即因旦

AB5

BC=3,

AB=5>

即。O的直徑是5.

點評：此題考查了圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，平行線的判定的應用，主要考查學生的

推理能力.

23.(8分)(2021?綏化)在一條筆直的公路旁依次有A、B、C三個村莊，甲、乙兩人同時分別從A、

B兩村出發(fā)，甲騎摩托車，乙騎電動車沿公路勻速駛向C村，最終到達C村.設甲、乙兩人到C村

的距離力，丫2(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)關系如下圖，請答復以下問題：

(1)A、C兩村間的距離為120km,a=2；

(2)求出圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；

(3)乙在行駛過程中，何時距甲10km?

考點：一次函數(shù)的應用.

分析：(1)由圖可知與y軸交點的坐標表示A、C兩村間的距離為120km,再由0.5小時距離C村

90kM,形式120-90=30km,速度為60km/h,求得a=2；

(2)求得y「丫2兩個函數(shù)解析式，建立方程求得點P坐標，表示在什么時間相遇以及距離C

村的距離；

(3)由(2)中的函數(shù)解析式根據(jù)距甲10km建立方程；探討得出答案即可.

解答：解：(1)A、C兩村間的距離120km,

a=120+[(120-90)+0.5]=2；

(2)設yi=&x+120,

代入(2,0)解得yi=-60x+120,

y2=k2x+90>

代入(3,0)解得y1=-30x+90,

由-60x+12O-30x+90

解得x=l>那么丫]=丫2=60,

所以P(1,60)表示經(jīng)過1小時甲與乙相遇且距C村60km.

(3)當-丫2=10,

即-60X+120-(-30x+90)=10

解得X』，

3

當丫2-丫1=10，

即-30X+90-(-60X+120)=10

解得

3

當甲走到C地，而乙距離C地10km時，

-30x+90=10

解得X”；

3

綜上所知當xjh,或x=Si,或x=^h乙距甲10km.

333

點評：此題考查一次函數(shù)的運用，一次函數(shù)與二元一次方程組的運用，解答時認真分析圖象求出解

析式是關鍵，注意分類思想的滲透.

24.(8分)(2021?綏化)某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和

售價如下表：

AB

進價(元/件)12001000

售價(元/件)13801200

(1)該商場購進A、B兩種商品各多少件；

(2)商場第二次以原進價購進A、B兩種商品.購進B種商品的件數(shù)不變，而購進A種商品的件

數(shù)是第一次的2倍，A種商品按原售價出售，而B種商品打折銷售.假設兩種商品銷售完畢，要使

第二次經(jīng)營活動獲利不少于81600元，B種商品最低售價為每件多少元？

考點：一元一次不等式組的應用.

專題：應用題；壓軸題.

分析：(1)設購進A種商品x件，B種商品y件，列出不等式方程組可求解.

(2)由(1)得A商品購進數(shù)量，再求出B商品的售價.

解答：解：(D設購進A種商品x件，B種商品y件,

1200x+1000y=360000

根據(jù)題意得

(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000

"6x+5y=18Q0x=200

化簡得,解之得.

,9x+10y=3000y=120

答：該商場購進A、B兩種商品分別為200件和120件.

(2)由于A商品購進400件，獲利為

(1380-1200)x400=72000(元)

從而B商品售完獲利應不少于81600-72000=9600(元)

設B商品每件售價為z元，那么

120(z-1000)>9600

解之得於1080

所以B種商品最低售價為每件1080元.

點評：此題考查一元一次不等式組的應用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學思想聯(lián)系起來，讀懂題列出

不等式關系式即可求解.準確的解不等式組是需要掌握的根本能力.

25.(8分)(2021?綏化)如圖，拋物線y=-x2+3x+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點，點

D在拋物線上且橫坐標為3.

(1)求tanNDBC的值；

(2)點P為拋物線上一點，且NDBP=45。，求點P的坐標.

考點:二次函數(shù)綜合題.

分析:(1)如圖，連接CD,過點D作DEJ_BC于點E.利用拋物線解析式可以求得點A、B、C、

D的坐標，那么易推知CDIIAB,所以NBCD=NABC=45。.利用直角等腰直角三角形的性質(zhì)

和圖中相關線段間的和差關系求得BC=4J2,BE=BC-DE=|V2,由正切三角函數(shù)定義知

tanzDBC-?W

BE5

(2)過點P作PF^x軸于點F.由點B、D的坐標得到BD^x軸，ZPBF=ZDBC,利用⑴

中的結(jié)果得到：tanNPBF4.設P(x,-x2+3x+4),那么利用銳角三角函數(shù)定義推知

5

2

.X尸+43通過解方程求得點p的坐標為(-2,匣).

4-x5525

解答：解：(1)令y=0,那么-x2+3x+4=-(x+1)(x-4)=0,

解得X]=-1,X2=4.

/.A(-1,0),“B(4,0).

當x=3時，y=-32+3x3+4=4,

/.D(3,4).

如圖，連接CD,過點D作DELBC于點E.

?/C(0,4),

CDIIAB,

/.ZBCD=ZABC=45°.

在直角AOBC中，?.OC=OB=4,

/.BC=4^~2.

在直角ACDE中，CD=3.

CE=ED=_?^2f

2

BE=BC-DEW

tanZDBC=DE=J.

BE5

(2)過點P作PF_Lx軸于點F.

ZCBF=ZDBP=45°,

ZPBF=ZDBC,

tanZPBF=.?.

5

2

設P(x,-x2+3x+4),那么-X

4-x5

解得X]=-看X2=4(舍去)，

.-.p(-2西.

525

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合型題目，其中涉及到了坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角

函數(shù)定義以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點.解題時，要注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想

方法.

26.（9分）（2021?綏化）在菱形ABCD和正三角形BGF中，ZABC=60°,P是DF的中點，連接

PG、PC.

（1）如圖1,當點G在BC邊上時，易證：PGf/5PC.（不必證明）

(2)如圖2,當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關系，寫出你的猜測，并給

與證明；

(3)如圖3,當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關系，寫出你的猜測(不

必證明).

考點：四邊形綜合題.

分析：(1)延長GP交DC于點E,利用APED合APGF,得出PE=PG,DE=FG,得至UCE=CG,

CP是EG的中垂線，在RT^CPG中，NPCG=60。，所以PG=/^PC.

(2)延長GP交DA于點E,連接EC,GC,先證明△DP惚△FPG,再證得△CDE合△CBG,

利用在RT^CPG中，ZPCG=60°,所以PG=\/^PC.

(3)延長GP到H,使PH=PG,連接CH、DH,作MEIIDC,先證△GFP合△HDP,再證

得AHDC合AGBC,在在RT^CPG中，NPCG=60。，所以PG=A/5PC.

(1)提示：如圖1：延長GP交DC于點E,

利用APED些APGF,得出PE=PG,DE=FG,

/.CE=CG,

CP是EG的中垂線，

在RTACPG中,ZPCG=60。，

PG=73PC.

%(2_)如圖2=,延長GP交DA于點E,連接EC,GC,

入

A圖26尸

?1,ZABC=60",△BGF正三角形

GFIIBCIIAD,

ZEDP=ZGFP>

在4DPE和△FPG中

"ZEDP=ZGFP

<DP=FP

,ZDPE=ZFPG

△DPE合4FPG(ASA)

PE=PG,DE=FG=BG,

???ZCDE=CBG=60°,CD=CB,

在ACDE和ACBG中，

"CD=CB

,ZCDE=CBG=60°

,CD=CB

4CDE空△CBG(SAS)

CE=CG>ZDCE=ZBCG,

ZECG=ZDCB=120。，