等差、等比的性質(zhì)應(yīng)用十六大題型（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考）

重難點專題26等差、等比的性質(zhì)應(yīng)用十六大題型匯總

lOnii

題型1等差中項..................................................................1

題型2等比中項..................................................................5

題型3下角標(biāo)和性質(zhì).............................................................9

題型4單調(diào)性問題...............................................................12

題型5最大項與最小項問題.......................................................17

題型6等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)1..............................................................................................21

題型7等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)2..............................................................................................27

題型8等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)3..............................................................................................29

題型9等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)4..............................................................................................32

題型10等差數(shù)列前n項和最值問題................................................37

題型11等差數(shù)列S?>0,S?<0問題..................................................41

題型12等比數(shù)列中S?,S2?,SM的考察...............................................44

題型13等差等比奇偶項問題......................................................48

題型14最值問題................................................................53

題型15取值范圍問題............................................................59

題型16數(shù)列不等式能成立恒成立問題.............................................63

Smii

題型1等差中項

一我t點

等差中項的基本運(yùn)用：

a+b

⑴若。,A,6成等差數(shù)列，貝ll/=??；

a+b

⑵若A=—,^a,A,b成等差數(shù)列.

a+h

綜上/是：a,6的等差中項=4=--2~.

【例題11(2023秋?新疆巴音郭楞?高三?？奸_學(xué)考試)記Sn為等比數(shù)列｛即｝(%>0)的前n

項和，且ag=16,2S］、衿、S3成等差數(shù)列，則56=()

A.256B.254C.128D.126

【答案】D

【分析】根據(jù)2S1、衿、S3成等差數(shù)列求出數(shù)列5｝的公比，利用等比中項的性質(zhì)可求得a?

的值，進(jìn)而可求得由的值，利用等比求和公式可求得56的值.

【詳解】因為2SI、|S2、S3成等差數(shù)列，即3s2=2sl+S3即S3-S2=2(S2-SJ即。3=2a2，

所以，等比數(shù)列｛斯｝的公比為q=也=2,

a2

因為｛即｝是每項均為正數(shù)的等比數(shù)列，由等比中項的性質(zhì)可得a?=何可=4，則的=子=

2,

因此，s6=岑滬=與券=126.

故選：D.

【變式1-1]1.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列5｝

是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且%+也，。3+/，+!為成等差數(shù)列，則臂=()

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】c

【分析】依題意可得/，也為常數(shù)數(shù)歹U,即可求出q2,再根據(jù)等比中項的性質(zhì)計算

可得.

2

【詳解】因為｛%｝是等比數(shù)歹11,所以比bs=bl,所以?b]).QbJ=&壇),

所以[瓦，於3，卷公成等比數(shù)歹U,

因為｛即｝是等差數(shù)列，所以％,a3,as成等差數(shù)列，

又由+/，+/3，。5+/成等差數(shù)列,

所以3瓦，,9b5是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，

所以河，河，也是常數(shù)列，

Z4o

即)4=我=於5,所以q2=2,因此號=暮=q2=2.

￡oO-jO7

故選：c

【變式1-1]2.(2018?北京?高三強(qiáng)基計劃)已知實數(shù)a,b,c成公差非0的等差數(shù)列，

在平面直角坐標(biāo)系中點P的坐標(biāo)為(-3,2)點N的坐標(biāo)為(2,3)過點P作直線ax+by+c=

0的垂線，垂足為點M,則M,N間的距離的最大值與最小值的乘積是()

A.10B.6V2

C.472D.前三個答案都不對

【答案】A

【分析】由題設(shè)可得點M的軌跡是以PQ為直徑的圓，故可求MN的最值，故可求它們的乘

積.

【詳解】直線ax+by+c=0中a,b,C成等差數(shù)列即直線ax+by+c=0恒過點Q(L-2),

又PM1QM.于是點M的軌跡是以PQ為直徑的圓，如圖.

該圓的圓心為C(—1,0),半徑為2&，因此C:(x+1)2+y2=8,

故|CN|=3V2,于是所求最大值與最小值之積為5魚xV2=10.

故選：A.

【變式1-U3.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛6｝中,?2=

2,當(dāng)nN3時,an_x,|an,與一?成等差數(shù)列.若CI2022=卜，那么+…+。2()21=()

A.kB.k—1C.2kD.k—2

【答案】D

【分析】依題意可得數(shù)列｛即｝的遞推關(guān)系冊=an-i+冊-2，再——代入即可求解.

【詳解】當(dāng)n>3時，an_i,^an,與一?成等差數(shù)列，則與=an-i+斯-2，

由于=2，則&3+a$+…+a2021=（a2+a3+a5+…+a202i）12=a2022—2=k—2,

故選：D.

【變式1-U4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛即｝的首項與公差d均為正數(shù),

且lg%,lga3,電。6成等差數(shù)列，則31,lgct3，館。6的公差為（）

A.IgdB.lg|C.lg|D.1g3d

【答案】C

【分析】根據(jù)lg%,lga3,36成等差數(shù)列直接列式，求出的和d的關(guān)系，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】因為｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，所以。3=%+2d,a6=ai+5d,

因為Ig%,電。3,電。6成等差數(shù)列,所以2%=*+lg?6=館（由。6），

所以退=，即（%+2d尸=%（%+5d）,所以a/=4d2,

又因為d>0,所以a】=4d,

則驚。3—Iga1=lg（6d）-lg（4d）=lg|,

故選：C.

【變式1-1】5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,若a,b,c成等差數(shù)列，則cosB的最小值為.

【答案】"5

【分析】根據(jù)等差中項得到2b=a+c,由余弦定理得到cosB=乎-1,根據(jù)2b=a+c結(jié)

合基本不等式求出cos8的最小值.

【詳解】由題意得2。=a+c,

由余弦定理得COSB=貯==He丁…2=)_1,

2ac2ac2ac

因為2b=a+c,由基本不等式可得/=—=貯±四些>空出上=加，

444

當(dāng)且僅當(dāng)Q=C時，等號成立，

故cosB=所以cos8的最小值為小

2ac2ac2/2

故答案為：I

題型2等比中項

小劃重點

等比中項：

(/)由等比中項的定義可知B/=G2=agG=±^,所以只有a,b同號時，a4的等

比中項有兩個，異號時，沒有等比中項；

(2)在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項侑窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后

一項的等比中項；

(3)a,G,b成等比數(shù)歹U等價于G2=ab(ab>0)。

【例題2](2023秋?江西南昌?高三南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知正項等差數(shù)列{冊}

和正I頁等比數(shù)歹！]{%},%=坊=1，4是。2，。6的等差中項,是以,演的等比中項，貝!I下歹！J

關(guān)系肯定成立的是()

A.a?<b?B.a[()24=bnC.ct^>b&D.cz2oo=bio

【答案】B

【分析】根據(jù)條件建立方程組，求解基本量公差、公比，再根據(jù)通項公式依次判斷選項即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d(d>0),等比數(shù)列公比為q(q>0),且％=瓦=1,

由63是。2,。6的等差中項I得。2+。6=2b3I

則有1+d+1+5d=2q2,化簡得1+3d=q2①，

2

由。8是名，樂的等比中項，得a&2=b3b5=b4,

又已知正項等差數(shù)列｛斯｝和正項等比數(shù)列｛%｝，

所以。8=b4，則有1+7d=q3②,

聯(lián)立①②解方程組得，匕二,（舍去），或憶;，或憶：.

故斯=n,bn=2"T或即=Z>?=1.

當(dāng)即=3=1時，可知AC錯誤，BD成立；

n

當(dāng)％=n,bn=2t時,

a】oo=100,bIQ=2。=512,QJOO豐瓦0>故D錯誤.

又由。24=1024,瓦1=210=1024,B也成立，

故選：B.

【變式2-1】1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知｛即｝是公差為3的等差數(shù)列，其前幾項的

和為Sn,設(shè)甲:5｝的首項為零；乙：S2+3是S]+3和S3+3的等比中項，則（）

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和等比中項的性質(zhì)求出％,再由充分條件和必要條件的定義即可

得出答案.

【詳解】由｛斯｝是公差為3的等差數(shù)列，可知工+3=%+3,S2+3=2%+6,S3+3=

3。1+12.

若Sz+3是$+3和S3+3的等比中項，則(2%+6)2=(%+3)(3%+12),

解得％=0或%=-3(舍去，因為此時$+3=S2+3=0),

故S2+3是a+3和S3+3的等比中項能推出｛an｝的首項為零，

若｛即｝的首項為零，即臼=0,由｛即｝是公差為3的等差數(shù)列，

則即=3(n-1)=3n-3,Sn="。丁),

2

所以Sz+3=6,&+3=3,S3+3=12,所以(SZ+3)=⑸+3)(S3+3),

故｛七｝的首項為零可推出S2+3是a+3和S3+3的等比中項，

可見"%=0"是0+3是S1+3和S3+3的等比中項"的充要條件.

故選：C.

【變式2-1]2.(2018?北京?高三強(qiáng)基計劃)設(shè)三個實數(shù)a,b,c組成等比數(shù)列，c>0且

a<2b+3c,則實數(shù)4的取值范圍是()

a

A?(一8塌B.(-00,i]

C.(-83]D.前三個答案都不對

【答案】B

【分析】設(shè)￡=t，貝哈=尸，則可根據(jù)二次函數(shù)求目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍.

【詳解】設(shè)3=t,則?=產(chǎn)，則彳=t-2t2,

由題設(shè)有2t+3t2>1,故tg(—00,-1]u*,+8),

因比t-2t2的取值范圍是(-8,三.

故選：B.

【變式2-1J3.(2023?北京??？寄M預(yù)測)已知公差不為零的等差數(shù)列5｝滿足％+a8=

20,且與是。2與與4的等比中項股數(shù)列也｝滿足垢=>一(neN*),則數(shù)列也｝的前n項和

anan+l

5”為()

n

2n+l

c1-=D1+n

-K^r）^h-K2n-l

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比中項的性質(zhì)列方程得到｛*二;，然后^用裂項求

和的方法求治即可.

【詳解】根靡意可得償+霽2°廁Q+4日%露色+13d），喇號，

所以an=2n-l,醺=（2…;3+］）=:島-奈

1/11111\

S"=2l1_3+3_4+"-+2^I-I^nJ

=4-上）

2\2n+1/

2n+l

故選：A.

【變式2-1]4,(2023秋?廣東東莞?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知等差數(shù)列5｝的公差不為0,

%=1且。2，。4，。8成等比數(shù)列，則()

A.a=4045B.幺〈生C.且生=—D.”均=2

20u23

a3a4n+12a4+a6

【答案】D

【分析】先求出通項公式即=n,再利用通項公式和前n項和公式對四個選項——計算，

進(jìn)行判斷.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的公差為d(d,0).

因為%=1且。2，。4，。8成等比數(shù)列,所以(1+3d)2=(1+d)(l+7d).

解得：d=1,所以即=%+(n—l)d=1+(n—1)X1=n.

對于A：a2023=2023,故A錯誤；

對于B:因為幺一色=；"白＞0,所以幺＞色，故B錯誤；

Q3a43412a3a4

對于C：因為Sn+1=(ai+a「)S+l)=+1)

所以鷲=喘等2=要h等，故C錯誤；

對于D：因為幺等=整=2,故D正確.

4+6

故選：D

題型3下角標(biāo)和性質(zhì)

上#

中恂重點

等差:觀察等差數(shù)列中項的序號,若滿足m+〃=p+q=2r(m,n,p,q,rEN*),則am+an

=Up+Uq=2df.

等比：若左+/="?+"(/,/,m,〃GN*),則

【例題3](2023春?河南開封?高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列｛七｝為

遞增數(shù)列，Sn為其前幾項和，。3+=34,a…6=280,則S[1=()

A.516B.440C.258D.220

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出。4，。6，再利用前n項和公式求解作答.

【詳解】等差數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列，則＜a6，由+。7=34，得+。6=34,而?。6=

280,

解得&4=14,a6=20,所以S"=u竽112=11?6=220.

故選：D

【變式3-1]1.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí))

在等差數(shù)列｛即｝中，其前兀項和為工，若。5，。7是方程產(chǎn)+10x-16=0的兩個根，那么Si】的

值為()

A.88B.-88C.110D.-55

【答案】D

【分析】由根與系數(shù)關(guān)系得as+a7=-10,再根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式、下標(biāo)和性質(zhì)求

Su.

【詳解】由題設(shè)+&7=-10,而S】]=丹歸12=小詈2=-55.

故選：D

【變式3-1]2,(2023?全國?高三專題練習(xí)舊知等差數(shù)列｛oj中g(shù)++7雙I。=19,

則數(shù)列｛ancosrm｝的前2024項的和為()

A.1010B.1012

C.2023D.2024

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項公式，再利用并項求和作答.

【詳解】在等差數(shù)列S｝中，2。4=+7,解得=7,公差d=誓？=等=2,

n1U-4o

于是冊=a4+(n-4)d=2n-1，而當(dāng)n為奇數(shù)時1cosnTT=-1，當(dāng)n為偶數(shù)時,cosnn=1,

n

因此令bn=ancosnn=(-l)-(2n-1),則當(dāng)n€N*時,b2n+b2n=-(4n-3)+(4n-

1)=2,

b

所以數(shù)列｛ancosnn｝的前2024項的和為(瓦+b2)+所+久)+■1?+(/23+2024)=2x

1012=2024.

故選：D

【變式3-1]3.(2023秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末)對于正數(shù)的＞。2,03,…，/它的幾何平

均數(shù)定義為：^aia2a3-an.已知一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,它的前11項的幾何

平均數(shù)為25,從這11項中抽去一項后所剩10項的幾何平均數(shù)仍是2$,那么抽去的一項是

)

A.第6項B.第7項

C.第9項D.第11項

【答案】A

【分析】根據(jù)幾何平均數(shù)定義及等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

【詳解】由題意▼瓦b2b3…bn=2$,又｛%｝是等比數(shù)列，所以為瓦1=b2b10=…=05b7=bl,

所以'阿=25,即公=25,

s1

設(shè)抽去的是年，則巧瓦無仇_1\+1…bn=2,即a62&_1仇+1…bn=星°，但瓦與bn=bl

所以瓦=b6,

故選：A.

【變式3-1］4.(2022秋?陜西榆林?高三?？茧A段練習(xí))已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列5｝

中，2a3=5,a4a5a6=5^2,則即。%］。］2=()

A.25B.20C.10V2D.10

【答案】C

【分析】由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得q9=V2,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)公比為q(q>0),

因為數(shù)列｛an｝為正項等比數(shù)列，

a斤以2a3==5,a4a5a6=ag=5^2^,

所以償)'=*=&，所以勺?=N/2,

3

9393

所以=ah=(a2q)=竭x(q)=5x(V2)=10^2,

故選：C

【變式3-1】5(2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%J中對。7+

2a4a§+a2a8=16,則a4a5的最大值為（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

2

【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得a4+as=4,再根據(jù)基本不等式a4asS（歲）,即

可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，W，a2a8=磷,

a2

所以a1+2Q4a54-af=16,BP（a4+s）=16,得%,+a5=4,

且斯>0,所以a4as<（號?=4,當(dāng)且僅當(dāng)a,=。5時，等號成立，

所以a4a5的最大值為4.

故選：C

題型4單調(diào)性問題

、，*

*E劃重點

/.等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列他，的公差為d,貝U：

⑴小00他“）為遞增數(shù)列；

⑵亦為遞減數(shù)歹U；為常數(shù)列.

2.等比數(shù)列的單調(diào)性基本方法：

（l）a1>0時,

①公比q>l,單調(diào)遞增;②q=l無單調(diào)性;③0<q<l,單調(diào)遞減;④q<0,無單調(diào)性.

（2）ai<0時,

①公比q>I,單調(diào)遞減;②q=l無單調(diào)性③0<q<l,單調(diào)遞增;④q<0,無單調(diào)性.

【例題4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知{即}是無窮等差數(shù)列，其前項和為上，則"{a"}

為遞增數(shù)列"是"存在neN*使得S”>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：因為S"是無窮等差數(shù)列，若｛即｝為遞增數(shù)列，

所以公差d>o,

令%=nar+-d>0,解得">1—答,

[1-等]表示取整函數(shù)，

所以存在正整數(shù)劭=1+[1-等],有S”。>0,故充分；

設(shè)數(shù)列｛斯｝為5,3,1,-1，…，滿足S?=8>0,但d=-2<0,

則數(shù)列｛6｝是遞減數(shù)列，故不必要，

故選：A

【變式4-111.(2023?四川自貢?統(tǒng)考三模)等比數(shù)列｛an｝公比為q(q*1),若％=

2a3-?n(nGN*),則"數(shù)列｛及｝為遞增數(shù)列"是4>0且q>1"的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列及已知，要｛及｝為遞增數(shù)列只需由qnT>1在幾>2上恒成立討論q<0、

0<q<1、q>l,結(jié)合%的符號,再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.

【詳解】由題設(shè)4=an=且兀>2,要｛7J為遞增數(shù)列，只需砧X>1在九>2±

^n-1

恒成立，

當(dāng)q<0,不論％取何值，總存在?qX<0,不滿足要求；

當(dāng)0<q<1,

<0,則%qn-i<o,不滿足要求；

%>0,總存在0<%qnT<1,不滿足要求；

當(dāng)q>1,

<0,則Chqn-1<0,不滿足；

0<ax<1,若%=]q=2,顯然&q<1,即心</，不滿足；

>1,則<hq"T>1在ri>2上恒成立,滿足.

所以｛〃｝為遞增數(shù)列有%>1且q>1.

所以，"數(shù)列｛7J為遞增數(shù)列"是"%>0且q>1"的充分不必要條件.

故選：B.

【變式4-1]2.（2023秋?北京海淀?高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)無窮等

比數(shù)列｛5｝的前。項和為治,若一出<a?<%,則（）

A.｛S"為遞減數(shù)列B.｛S"為遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛Sn｝有最大項D.數(shù)列｛S"有最小項

【答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,分析可知的>0,取-1<q<0,可判斷AB選項；

分-1<q<0、0<q<1兩種情況討論，利用數(shù)列｛S.｝的單調(diào)性可判斷CD選項.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛冊｝的公比為q,由已知-的<%,則%>0,

由—由<a2<%可得-1<q<1且q豐0,

對于AB選項，若-1<q<0,an=,

na

當(dāng)n為奇數(shù)時，冊+1=arq<0,此時Sn+i-Sn=n+lV0,則%+1<sn,

n

當(dāng)n為偶數(shù)時，?n+i=aAq>0,此時又+i-Sn=an+1>0,則上+1>Sn,

此時數(shù)列｛Sn｝不單調(diào)，AB都錯；

對于CD選項，S"=幺產(chǎn)，

當(dāng)0<q<1時，此時數(shù)列好工單調(diào)遞增，則｛Sn｝有最小項，無最大項；

當(dāng)-1<q<0時，若葭為正奇數(shù)時，嚴(yán)<0,貝!IS”=當(dāng)山>盧,

1—Q1—Q

此時入單調(diào)遞減,則%4Si=%；

當(dāng)n為正偶數(shù)時,qn>0,則又=當(dāng)滬<言，此時又單調(diào)遞增，則Sn2s2=%(1+q)=

含(17,

故當(dāng)-1<q<0時，｛S"的最大值為舟,最小值為S?.

綜上所述，｛S"有最小項.

故選：D.

【變式4-1】3.(2022秋?黑龍江佳木斯?高三?？茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列｛an｝的前幾項和

為Sn，若。3=2,且S'=57,則下列說法中正確的是()

A.｛5｝為遞增數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)n=5時，S”有最大值

C.不等式S”>0的解集為｛neW|n<10]D.不等式即>0的解集為無限集

【答案】C

【分析】利用S4=S7可求得=0,結(jié)合等差數(shù)列通項公式可得由,d；由此可求得時,S”；

根據(jù)％的二次函數(shù)性和即的一次函數(shù)性依次判斷各個選項即可.

【詳解】由S4=S?得：&+@6+07=S7-54=0；*,*3(^6=0I即。6=。；

(_10

設(shè)等差數(shù)列｛說的公差為d,則停二煞竇〉解得：[二:’

對于A,d<0,｛6｝為遞減數(shù)列，A錯誤；

10n(n-l)(2\172,11

對于B,Sn=Tn+^T-^x^--J=--n+-n,

???neN*,.?.當(dāng)n=5或n=6時，％取得最大值，B錯誤；

對于C,fi-1n2+yn>。得：0<n<11,：n€N*,*nW10,C正確；

對于D,「an=g-|（n-1）=_|n+4,+由an>0得：n<6,

則不等式即>。的解集為｛123,4,5｝,為有限集，D錯誤.

故選：C.

【變式4-1]4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）寫出同時滿足下面兩個條件的數(shù)列｛斯｝的一個

通項公式an=

①｛七｝是遞減數(shù)列；②對任意m,neN*,都有an+n=即,+an.

【答案】-n（答案不唯一）

【分析】先猜想數(shù)列是一個等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)性質(zhì)②得到首項與公差的關(guān)系，然后根據(jù)性

質(zhì)①得到答案.

【詳解】假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

由②可得：+（m+n—l）d=%+（m—l）d+%+（n-l）d,所以的-d,

再根據(jù)①｛即｝是遞減數(shù)列，可知d<0,取d=-1,則的=d=-1,

此時an=%+（n-l）d=-n,滿足題意.

故答案為：一加（答案不唯一）

【變式4-1]5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足：①VnGN*,an+1>an,；

②VneN*,an+i=tan（t為常數(shù)）；③>0,使得即<M恒成立.則滿足條件的一個數(shù)

列｛郁｝的通項公式為斯=

【答案】-擊（答案不唯一）

【分析】首先分析數(shù)列可知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，再結(jié)合有界性給出數(shù)列的通項公式.

【詳解】由①②知，數(shù)列｛即｝是遞增的等比數(shù)列，所以

4>0,的<0,

q>1或(0<(?<1.

由③知，數(shù)列S"｝有上界，不合題意，

故膜工

所以即=-裝滿足題意.

故答案為

【點睛】解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的定義以及數(shù)列的增減性.本題主要考查等比

數(shù)列的定義與性質(zhì)，考查考生的邏輯思維能力、創(chuàng)新能力.試題以組合型的條件為載體，引

導(dǎo)考生聯(lián)系所學(xué)的數(shù)列知識，得到數(shù)列的特征，從而寫出滿足條件的結(jié)果，充分體現(xiàn)對數(shù)學(xué)

探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用學(xué)科素養(yǎng)的考查.

題型5最大項與最小項問題

4E均重點

確定數(shù)列中的最大(小)項方法：

(〃判斷數(shù)列的單調(diào)性，類比函數(shù)的性質(zhì)研究最大值、最小值.

注意：數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集”,2，…，加這一條件.

an-l<an,fan-l>an,

(2)可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項利用不等式組找

an>an+1,[an<an+1,

到數(shù)列的最小項.

【例題5】(2023?全國?高三專題練習(xí))在等差數(shù)列｛斯｝中，的==-3記7；=

的。2…即5=1,2...),則數(shù)列｛〃｝()

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出即，根據(jù)等差數(shù)列｛即｝的各項符號得到數(shù)列｛〃｝的單調(diào)性，由此可求

得結(jié)果.

【詳解】解：依題意可得公差d=等子=千=2,即=%+(n-l)d=+2n-2=

5-14

2n-13,

所以當(dāng)九<6時，Qn<0,當(dāng)n>7時,an>0,

因為A=-11<0,T2=-11x(-9)=99>0,看=-11x(-9)x(-7)=-693<0,

T4=-11x(-9)x(-7)X(-5)=3465>0,T5=3465X(-3)=-10395<0,

T6=-10395x(-1)=10395>0,

又當(dāng)幾N6時，〃=2a3a4@5Q6…@n>0,且乎=型詈=Q九+i=2幾-11N1,即

Tn+1>Tn,所以當(dāng)n>6時，數(shù)列｛〃｝單調(diào)遞增,

所以數(shù)列｛7J無最大項，數(shù)列區(qū)/有最小項G=-10395.

故選：C

【變式5-1]1.(2022秋?陜西漢中?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)等差數(shù)列｛5｝的前n項和為Sn，

且滿足S2019>0,S2020<0,對任意正整數(shù)九，都有|an|>|ak|,則k的值為

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】B

【解析】結(jié)合前n項和公式：S2019=空1出產(chǎn)應(yīng),S2O2O=空”煙M,再利用等差數(shù)列

的性質(zhì)/%+Q2019=2aloio,%+Q2020=Qioio+，得到。1010><。1分析即

得解.

【詳解】由等差數(shù)列｛斯｝，可得$2019=219gL仙9)>0,S2020=2。2。(丁加<。

即：%+。2019>0,%+。2020<0I可得：2Q]OIO>°,%010+^1011<。

???西010>0,a101i<0,可得等差數(shù)列｛Q"為遞減數(shù)列.

又由010+a1011V。?e,laioiolla10111

故：對任意正整數(shù)n,都有|%J>|ak|,則k的值為1010.

故選：B

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能

力，屬于中檔題.

【變式5-1]2.(多選I2023?全國?高三專題練習(xí)散列&｝滿足的=-21,a2=-12,an+1+

a“_i=2an-2d22),5?是｛加｝的前n項和，則下列說法正確的是()

A.｛言｝是等差數(shù)列

2

B.an=—n+12n+32

C.是數(shù)列Sn｝的最大項

D.對于兩個正整數(shù)m、n(n>m),Sn-的最大值為10

【答案】ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式，利用累加法及二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合即與治的

關(guān)系即可求解.

【詳解】A選項，由%+1+an_1=2an-2,整理得an+i-即一Sn-%i-i)=-2,

故｛an-a”】｝是公差為-2的等差數(shù)列，首項a2-%=9,

故斯-an_i=13_2n(n>2),

由此可得斯-i一an_2=15-2n,…，-=7,a?-臼=9,

累加得，an=-小+12n—32=(n-8)(4—ri),

由此可得，黑=4-n,

n~o

當(dāng)n=1時，甥=4-1,解得%=-21.此式滿足的,

1-0

故骷一言=4-(n+l)-4+n=T,

??.｛言｝是等差數(shù)列，故A正確；

BC選項,因為a”——1+12n—32—(n—8)(4—n)——(n—6)2+4,

故當(dāng)n=6時，a”=-(n-6)2+4取得最大值，。6是數(shù)列5｝的最大項，故B不正確，C正

確；

D選項,對于兩個正整數(shù)m、n(n>m),Sn-Sm=am+1+am+2+…+an,

由a1<ci2<<a4=0<<ci^>ciy>cig=0>cig>a[。>a1]

故Sn-s7n=3+4+3=10時，Sn-Sm取得最大值，最大值為10,故D正確.

故選：ACD.

【變式5-1]3.(2022秋?北京?高三北師大二附中?？奸_學(xué)考試)在等差數(shù)列｛%｝中，其

前幾項和是S九，若S9>0,Si。<0,則在之，①,?.?,包中最大的是

A.1B.包C.匹D.匹

a1。8

【答案】C

【分析】由題意知。5>0，a6Vo.由此可知1>0,包>。，…，匹>0,也<0,…包<0,

Q]。2。5

所以在也，包，…，名中最大的是匹.

aa

%。295

【詳解】由于59=華等，=9。5>0,a。=/皿=5<0,

所以可得。5>0,a6Vo.

這樣包>0,^->0,,—>0,—<0,...—<0,

aa

Q1。269

Ifl|S]<S?〈…〈S$f>。2><<>>。5>0/i

所以在亙，紅，…，名中最大的是匹.

故選C.

【點睛】本題考查等數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.屬中檔題.

【變式5-1]4.(2022秋?安徽合肥?高三合肥一中?？茧A段練習(xí))設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項

和為％.若S2022>。，$2023<°，則數(shù)列｛|*｝的最小項是()

A.第1011項B.第1012項C.第2022項D.第2023項

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式探討數(shù)列單調(diào)性，確定絕對值

最小的正負(fù)數(shù)項作答.

【詳解】在等差數(shù)列｛廝｝中，52。23=?吧當(dāng)詈2%).=2023aloi2<0,貝必]?！?？<0

52022='-二'；~2°22)=lOllfdjoii+C11012)>。I貝11al,011>-a1012>。i

數(shù)列｛冊｝的公差d=a1012-a1011<0,即數(shù)列｛a“｝是遞減等差數(shù)列，

當(dāng)n<1011時,an>0,數(shù)列｛|a”|｝遞減,當(dāng)n>1012時，即<0,數(shù)列｛|a/遞增,

a1011>-a1012=la1012li

所以數(shù)列｛|a/的最小項是I%oi2l，即第1012I?.

故選：B

【變式5-1]5.(2023?全國?高三專題練習(xí))若數(shù)列｛即｝的前幾項和%=n2-10n(n=

1,2,3,…)，則此數(shù)列的通項公式為；數(shù)列｛naj中數(shù)值最小的項是第

項.

【答案】2n-ll；3

【詳解】數(shù)列5｝的前n項和匕=n2-10n(n=1,2,3,數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列的

2

通項公式為a”=Sn-Sn,!=2n-11,數(shù)列｛nan｝的通項公式為Ticin=2n-lln,其中數(shù)值

最小的項應(yīng)是最靠近對稱軸幾=個的項，即n=3,第3項是數(shù)列⑺即｝中數(shù)值最小的項.

題型6等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)1

-1■

小卜均重點

等差數(shù)列的前〃項和常用的性質(zhì)：

(I)等差數(shù)列的依次4項之和，Sk,S2k-Sk,S“-S2".組成公差為led的等差數(shù)列；

(2)數(shù)列?是等差數(shù)列os“=a/+hn(a,b為常期Q數(shù)列用為等差數(shù)列；

(3)若S奇表示奇數(shù)項的和，S偶表示偶數(shù)項的和，公差為d；

【例題6】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛&J的前幾項和，

%++&4=3,a。+?18+%9+?20=5，則$20=()

A.10B.15C.20D.40

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到S20-S16，S16-S12，S12-S+S8-S*S4仍成等差數(shù)列，可設(shè)

出58-54=3+x512—Sg=3+2尤516—512=3+3%$2。-S[6=3+4%=5=>x=1,

又因為S20=520—S16+S16—S12+S12-$8+58-$4+54，代入數(shù)值進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，%為數(shù)列｛冊｝的前n項和，

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到：520-S16，S16—S12，S12-Sg,S8-SmS4仍成等差數(shù)列，

aaa=

i己$4=%+&2++。4=3,設(shè)58—S4=?5+6+7+83+X,

S、2~S8=a<)+a10+an+a12=3+2x,S16—S12=?i3+a14+a15+a16=3+3x,

Saaaa

S2o-16=17+18+19+20=3+4x=5=??X=I,

S20=S20—Si6+S16—S12+S12—58+S8-S4+S4=15+lOx,

計算可得到結(jié)果為：20.

故選：C.

【變式6-1]1.(2020?湖北宜昌?統(tǒng)考二模)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：

"今有金堇，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思

是："現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一

端截下1尺重2斤.問依次每一尺各重多少斤？"假定該金杖被截成長度相等的若干段時,

其重量從粗到細(xì)構(gòu)成等差數(shù)列.若將該金杖截成長度相等的20段，則中間兩段的重量和為

()

A.沂B.沂C.沂D.沂

【答案】C

【解析】把每段重量依次用/(i=1,2,…,20)表示，數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列性

質(zhì)可求解.

【詳解】把每段重量依次用四(i=12…,20)表示，數(shù)列｛冊｝是等差數(shù)列，

由題意｛「普:?++a=-2'兩式相加得幻+。2。=*4+2)=|,

017十%8十U19十U2O—L4N

3

aa

--io+n=%+a2o=~?

故選：C.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從實際問題抽象出等差數(shù)列，然后應(yīng)用等差

數(shù)列性質(zhì)解題即可.

【變式6-1]2.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)外是等差數(shù)列｛an｝的前幾項和，S10=16,

Sioo—S90=24,貝！]Si。?！?

【答案】200

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列基本量的計算求出新等差數(shù)列的公差d,

最后根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式計算可得.

【詳解】依題意,Sio,S20-S10,S30-S20，…，Si。。-590依次成等差數(shù)列，

設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又工。=16,S100-S90=24,

因ittSioo一590=24=16+(10-l)d=16+9d,解得d=|,

所以Si。。=10510+等d=10xl6+等xg=200.

故答案為：200

【變式6-1]3.(2022?河南洛陽?統(tǒng)考三模)有下列四個命題：其中真命題的序號

是.

①等差數(shù)列5｝的前兀項和為及，若考=3，則券=|；②函數(shù)/(x)=sin2x+-V(xK/ot,k6

0309Jsinx

Z)的最小值4；③函數(shù)f(x)=Inx在點(1,0)處的切線方程是x-y-l=0；④函數(shù)f(%)=

Inx-:的唯一零點在區(qū)間(1,2)上.

【答案】①③④

【分析】對每一個命題