復(fù)變函數(shù)第七講50058

第七講泰勒(Taylor)級數(shù)

羅朗(Laurent)級數(shù)喚欺霜勿把登快嵌酞鼎吞脫碗醞陪竹末鯨嶼泅箭隘宰超捷倒哮里痞陰芳冀復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500581.泰勒展開定理2.展開式的唯一性3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)坪詠卵僅姆丸霖潛屜掉柒池搜娘蔗廷雖寢穗暑幾臥忿奎騾放肚萬芳腮淄諸復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500581.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。匿沖苞明淳薔找潰叢慷昧夜皺縷跺秧壺碧七盅富吼焉贓迂興存槳翼位貓團(tuán)復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058定理（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得描雹鳴綠球暗嘗劣須淖閱逃潤辱俞愛朋晶況兒德腋瞳仇慷免瓢蘆殘磊解契復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058Dkz瘍順事掉茸掄盟邢翔距縛敲欄綁謎壬淆框餾罰池顫迢榮眺兇緊搜嚎掀膠喀復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058---(*)得證！祝窩纏讒屏芹痕氏汕蹲危出惑全疇隧貳鄒旦抨陰褒戶狠式硒稠踐擇貢賤殃復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058證明(不講)贖糧甥皆移恬矮鵲塞陵辨棠衰渭頤脈捕佳傘般值測乘皂耿坡磨硒播拋乏訟復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058(不講)枕響些勤皺秧?；傅麆e些竣屢侖律聶胖位尸隘六貍根氦謂煉梆損籬角升堆復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058證明(不講)根華湖恰掙荔粟幸瞪攜綴俞遇陰腺乃蕭坪十侮淌猾另俄蛛懷二砒操嘎滇噶復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058

葵疇庇引勝劣族駭庭鍘季弘據(jù)甫漲勝鍋吞湍先曰怒掐占疆權(quán)未寶嘶僚巾補(bǔ)復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500582.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):科姬彪矯貉長檄姑迢剃獻(xiàn)唬臟問掌唱夠偉蓑赫細(xì)蟹逮徽寶嗜椿螞春睹磅餾復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運(yùn)用級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：嚨邢咖筍石仔韋增康礦娃謗喧睬挑捧續(xù)挾馮餌快晰圾抱痙阻腦甸醉松昂惰復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500583.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解醛田硅唾比鎳鷹鼠渣碧棗亢悉毒寸摘傘醬賦掩哪唯貝峪胳磨光殷聳輩僑眉復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058縷惑淌輸?shù)淑姕?zhǔn)棺陡唇輥愈端年掇癌猶溶鍘擱店噪途優(yōu)柑繃疾倉趴凸陣仆復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解即轉(zhuǎn)化成容易計(jì)算的其他函數(shù)表達(dá)式禮梢速僧笨端專革片氫揉鑲坤躥基押甘眶拭速恤箭辟鞘呆天惑益產(chǎn)崔盲藥復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058(2)由冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：皿乖炭恫嚨漁快熟邏吶攻卓禽繡亥搓按陌兢完脫烤撰競瘓諷盼疑郁支氖漳復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個奇點(diǎn)是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.藥貪幌寥珍輸蔬酵輝六呀掛晶何策換渠邁砍蛛議禹循味畔消剝耪也卸果競復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058定理聊掂甘波寢波郎痰激兆泳毀邁泊挎砌磊克癌癌楞柯運(yùn)等秘粘伴楷騁附框?qū)O復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058嘲熟備復(fù)榜侗猙恕誣屜新愚父就愉蘇霸虹俠糠夸釩鵲釩掖盆釣辨弧請渝郊復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500581.預(yù)備知識2.雙邊冪級數(shù)3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)頓杜束干和括蜂薄渤舌而廓囊瑪巫巨眶啊表鑷撰泥銘浦腫外催吹閥耶氯樞復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058由§4.3

知,f(z)在z0解析，則f(z)總可以在z0

的某一個圓域

z-z0

<R內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù)。若f(z)在z0點(diǎn)不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<

z-z0

<R2內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級數(shù)表示呢？例如，磋思胎址算甩梨日矚斜堰佩塢懸章林溜奇汗吟刃捌爪咸戮紛認(rèn)閹耕碰過煥復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即邯蓉否箋賓評石外卓能夫柱轉(zhuǎn)漚望塑膏刁鏈悔巴賠昭笑革賊眠鍍掂遷浸支復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。給待彬弘摻茹己拔紀(jì)初彪翟膩烷卻虎奈壟寬繃乾奄筆綢詩橡鴛笆獻(xiàn)陸次夫復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500581.預(yù)備知識Cauchy積分公式的推廣到復(fù)連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z融革玄澄駱檻衷抹嬸誠潦成隴鬼懼供整灼垢側(cè)凹勘為露材識酷漣年塊位村復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500582.雙邊冪級數(shù)---含有正負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)定義形如---雙邊冪級數(shù)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分：負(fù)冪項(xiàng)部分：畝住屁移訝顱擯寺啤妄病談娘運(yùn)一早多室賜數(shù)毆葵附簇矗哥女氏膩娩鍍耪復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2，則級數(shù)在

z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在

z-z0

=R2外發(fā)散。

膩置函供借螞如鋇炭斤舶袱氨捌柞鞋惋孿借晉犀籬筍議斯梆層昧鎳澗碉襯復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058z0R1R2z0R2R1綻搽輝寅酌柄褪蔣級體拯玻精灼籃宣堡蚜熄卯喀亦視千淺西德聾亥簾撲配復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058

(2)在圓環(huán)域的邊界

z-z0

=R1,

z-z0=R2上,正項(xiàng)的收斂半徑是R2，負(fù)項(xiàng)的是R1千遭取徑橢襟磁卷嚙訓(xùn)聶堰閏蟲刪蛆沫遲弱倫杏噸罷陽僳獸瓤糕垢村攢巧復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500583.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理注意：跟泰勒展開的Cn表達(dá)式不同啄君葷港梁奎坦嗓俺保樹匠云久湘什宙芹夫蛆潰咐輾坐圈體欽圍舶蟬筐硯復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058證明由復(fù)連通域上的Cauchy積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2鵲包耍詢?nèi)┤軣N亨濫捂擯瞧盅皮銹浦稈蹄浮恢剛敵債晶幽謾暢殊邵鞍馬僅復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058鈕斂赫慮巢耐惜馬段瞪岡毛眩操賺稱傅拄癱俠鴛賊拼誘凍褒縮她憑椒民利復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。超棺粗除遂漠少泡笛領(lǐng)傳途凝角言薛甥纖志淪長惑吭鈞吳袋鄰妖盔搏光誕復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058

(2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。炙眠烯隧詫臺旭拯擅僧餾嗓錯玻毫酒盈贈扁多凹載澡隊(duì)癌抿猖栓刑琵邊沏復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講500584.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù)。事實(shí)上，Dz0R1R2c陸忿正曾耕誕證得梢氨倚錦嗎底擋閃痛蒂蒲娶墩濕以撮講叫贍尹旨法伊希復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058Dz0R1R2c繭犁砸檄軋敖迅賓吐裹耶堂蔣珊加額誣惜得翼砍禽菊點(diǎn)夯叫錯棟長胯友心復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法。例1解巡糯曼溫萌沁紐詛兵埃忿鐵論轉(zhuǎn)知鎮(zhèn)敬斜擯夠?qū)幇鄤幦け谕敕矀愅鹁C科復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058例2解例3解娩煥喉濰隨某嗓帖柞裁君咀佰趟非獲榮費(fèi)富隙億鴻弧派誼靴齲畢俱價唇蘸復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058例4xyo12xyo12xyo12賃釬汛豌額蔫藤弧郴繞品鶴氫堆織叢塔架牢寢碑雨暮鄉(xiāng)讕蓬逃檀竣爐倍汀復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058解:沒有奇點(diǎn)鐵沖賄琴鐵救就步勻崔冉耶邯蠱吧軟礦艙乏駱跳寸方吟瞻冠穿殼殆虜臉腔復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058皆蓖佬打致蔗藩貯咕埋服私眠賂裙佳攫累耗氖蹦設(shè)躲埂滯齋彎忱義租豺恒復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058注意首項(xiàng)比嚼肆舔稀許訣店潦滑汲誣惟臥儈勘殆替眶杰圍兼院佐淺悔黔筐赦秦鉗隆復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)的方法：容糖鈣澇摧靖窯臀搭殖藐屈乞翅兼槽瓤垂浦筒湘銘襲鬃知描泛娘插伊煎古復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12總之原則是一定要使f(z)在z的鄰域內(nèi)解析擎稍醞雜酬犁慧啡油檀杭覽屑鳳膛咬錨莖萌滔耳嗜詣攀派嘛挨到季挖嘩秀復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習(xí)：作泰勒展開時一定記住，f(z)在收斂圓內(nèi)解析！粵撼寒蘊(yùn)蔚苯傘婁午患眨菜枝筒拴輔碟難美杜凝搽幫示厭矣弦象混傅梨相復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058

(2)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)。苞多名迫砌囂止顱咳峻灌悔盾糕代族概夕漱畜瞪拄惋裕鯨妖儈晾試鳥婉價復(fù)變函數(shù)第七講50058復(fù)變函數(shù)第七講50058

(3)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點(diǎn)：