導數(shù)放縮資料

第5頁（共10頁）導數(shù)的放縮的應用1.已知數(shù)列滿足．（Ⅰ）設(shè)，，證明：；（Ⅱ）證明：（為自然對數(shù)底數(shù)）；（Ⅲ）設(shè)，，試比較與與的大小關(guān)系，并說明理由．解：（Ⅰ）即證：，即證：，設(shè)，，∵當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，∴（當且僅當時等號成立），即時，有，∴，∴……………4分（用數(shù)學歸納法給分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當且時，有，即當且時，有，因為，所以，即………8分（Ⅲ），理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：，設(shè)，因為，，所以………………12分解法二：因為，且，所以下面用數(shù)學歸納法證明：時，，即，①當時，左邊，即當時不等式成立；②假設(shè)當時不等式成立，即，則當時，，，，，由(2)知1＜eq\f(c－1,lnc)＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故當0＜x＜1時，g(x)＞0.所以當x∈(0,1)時，1＋(c－1)x＞cx.5、已知函數(shù)，其中a為實數(shù)，若，求函數(shù)的最小值；若方程在上有實數(shù)解，求a的取值范圍；設(shè)均為正數(shù)，且，求證：．【答案】（1）0（2）（3）見解析【解析】（1）f'（x）=ex1，由f'（x）=0得x=0當x＞0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)遞增；當x＜0時，f'（x）＜0，f（x）在（∞，0）內(nèi)遞減；故函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值f（1）=0．（2）f'（x）=exa（0＜x≤2）①當a≤1時，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞增；f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無實數(shù)解；②當a≥e2時，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞減；f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無實數(shù)解；③當1＜a＜e2時，由f'（x）=0，得x=lna，當0＜x＜lna時，f'（x）＜0，f（x）遞減；當lna＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）遞增；又f（0）=0，f（2）=e22a1由f（2）=e22a1≥0得故a的取值范圍為（3）由（1）知，當x（0，+∞）時，ex＞x+1，即ln（x+1）＜x．∵ak，bk＞0，從而有l(wèi)nak＜ak1，得bklnak＜akbkbk（k=1，2，…，n），求和得即，故．3.已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍．（1）由于

故

當時，，．從而恒成立．

在上單調(diào)遞減

當時，令，從而，得．單調(diào)減極小值單調(diào)增綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)減，故在上至多一個零點，不滿足條件．

當時，．

令．

令，則．從而在上單調(diào)增，而．故當時，．當時．當時

若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件．

若，則，故僅有一個實根，不滿足條件．

若，則，注意到．．

故在上有一個實根，而又．

且．

故在上有一個實根．

又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根．

又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根．

綜上，．4.設(shè)實數(shù)，整數(shù)，。（Ⅰ）證明：當且時，；（Ⅱ）數(shù)列滿足，。證明：。（Ⅰ）①當時，，原不等式成立；②假設(shè)時不等式成立，當時，，所以時，原不等式也成立。綜合①②可知，當且時，對一切整數(shù)，不等式均成立。（Ⅱ）證法1：先用數(shù)學歸納法證明。①當時，由題設(shè)知成立。②假設(shè)時，不等式成立。由易知。當時，因為，由得，由（Ⅰ）中的結(jié)論得，因此，即，所以當時，不等式也成立；綜合①②可知對一切正整數(shù)，不等式均成立。再由可得，即；綜上所述，。證法2：設(shè)，，則，并且；由此可知在單調(diào)遞增，當時，。①當時，由，即可知，并且，從而，故當時，不等式成立；②假設(shè)時不等式成立，則當時，，即有，所以當時，原不等式也成立。綜合①②可知對一切正整數(shù)，不等式均成立。5.函數(shù)。（Ⅰ）討論的單調(diào)性。（Ⅱ）設(shè)，，證明：。（Ⅰ）的定義域為，。

（i）當時，若，則，在是增函數(shù)；若，則，在是減函數(shù)；若，則，在是增函數(shù)。（ii）當時，，成立當且僅當，在是增函數(shù)。（iii）當時，若，則，在是增函數(shù)；若，則，是減函數(shù)；若，則，在是增函數(shù)。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在是增函數(shù)。當時，，即（）。又