2021-2022學(xué)年安徽省十五校九年級（上）第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2022學(xué)年安徽省十五校九年級第一學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.將拋物線＞=（X+1）2-2向上平移3個單位，向左平移4個單位后所得到的新拋物線V

的對稱軸是直線（）

A.x=1B.x=-2C.x=-5D.x=4

2.如圖，直線h//h//h,直線AC和。/被/i,h,/3所截，AB=5,BC=6,EF=4,則

3.如圖，在□ABC。中，AB=10,AD=15,NA4。的平分線交8C于點E,交。C的延長

線于點F,8GLAE于點G,若8G=8,則△CEP的周長為（）

A.16B.17C.24D.25

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的頂點A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，點

D（-2,3）,AD=5,若反比例函數(shù)y=K（k＞0,尤＞0）的圖象經(jīng)過點B,則k的值

33

5.在RtZvlBC中，AC=8,BC=6,則cosA的值等于（）

A.—B.近C.生或近D.2或義;反

545457

6.二次函數(shù)y=ov2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=l,下列結(jié)論中不

正確的是（）

A.abc<0B.4ac-b2<0C.a-b+c<QD.3a+c>0

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，以原點。為圓心的圓過點A（10,0）,直線y=h+8

與交于B、C兩點，則弦8c長的最小值（）

A.8B.10C.12D.16

8.如圖，正方形A3C。內(nèi)接于OO,線段在對角線3。上運動，若。。的面積為2m

MN=1,則周長的最小值是（）

9.如圖，矩形A8CD中，AD=3,A8=2,點E為A8的中點，點尸在邊BC上，且8尸=

2FC,AF分別與。及BD相交于點M、N,則的長為（）

c-￥

10.如圖，在正方形ABC。中，點尸是AB上一動點（不與A、8重合），對角線AC、BD

相交于點。，過點尸分別作AC、8。的垂線，分別交AC、BD于點、E、F,交AD、BC

于點M、N.下列結(jié)論:

@AAPE^AAM￡；

②PM+PN=AC；

③PK+PUPO2；

④△POFsABNF；

⑤點。在M、N兩點的連線上.

其中正確的是（）

Dc

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11.若sinA=2，則tanA=.

2---------

12.如圖，尸為平行四邊形ABC。邊8C上一點，E、/分另!］為尸4、尸。上的點，且PA=3PE,

PD=3PF,APEF、4PDC、APAB的面積分別記為S、Si,S2.若S=2,則Si+S2=

13.如圖，在RtaAOB中，。2=2如，NA=30°,。。的半徑為1,點P是AB邊上的動

點，過點尸作。。的一條切線PQ（其中點。為切點）,則線段PQ長度的最小值為

A

14.知識拓展：將函數(shù)y=x2+2x-3的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方后，所

得的即是新函數(shù)y=|x2+2x-3］的圖象.請解決以下問題：

（1）寫出翻折部分的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若該新函數(shù)圖象與直線＞=-有兩個交點，則b的取值范圍是.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.計算：sin245°+J^tan30°-3tan60℃os30°.

16.如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點,已知毀士，E為A。的中點，延長BE交AC

DC3

于E求鐵的值.

AC

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后,

△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標(biāo)為（4,-1）.

（1）畫出△ABC關(guān)于原點0的中心對稱圖形△ALBICI.

（2）將△AiSCi繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4&C2,畫出△A1B2C2,并直接寫出點

。2的坐標(biāo).

18.如圖，在△ABC中，點。，E分別是邊AC,8C的中點.連接AE,BD交于點F.

(1)求證：BF=2DF；

(2)點G是A8的中點，連接EG交8。于點H,求之竺曳的值.

五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)

19.如圖，PA是。。的切線，切點為A,AC是。。的直徑，過A點作A3LP。于點。，交

。0于8,連接BC,PB.

(1)求證：PB是。0的切線；

(2)若cosNE4B=U,BC=2,求P。的長.

5

BC

20.如圖，平行四邊形0ABe的頂點。在原點上，頂點A,C分別在反比例函數(shù)y=-區(qū)(笈

X

WO,x〉0),-—(x<0)的圖象上，對角線AC_Ly軸于。，已知點。的坐標(biāo)為。

(0,5).

（1）求點C的坐標(biāo)；

（2）若平行四邊形OA8C的面積是55,求發(fā)的值.

六、（本題滿分12分）

21.筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利

物，輪乃曲成”.如圖，半徑為3相的筒車。。按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)?圈，筒車與水面

6

分別交于點A、B,筒車的軸心。距離水面的高度OC長為2.2加，筒車上均勻分布著若

干個盛水筒.若以某個盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間.

（1）經(jīng)過多長時間，盛水筒尸首次到達(dá)最高點？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？

（3）若接水槽所在直線是。。的切線，且與直線交于點M,MO=8m.求盛水

筒尸從最高點開始，至少經(jīng)過多長時間恰好在直線上.

（參考數(shù)據(jù)：cos43°=sin470sinl6°=cos74°七衛(wèi)sin22°=cos68°^―）

15408

七、（本題滿分12分）

22.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的

售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）.設(shè)每件商品的售價

上漲X元（X為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元.

（1）求y與尤的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你

直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

八、（本題滿分14分）

23.如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-1,0）,B（4,0）,C（0,2）三點，點。與點C關(guān)

于x軸對稱，點尸是線段上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為Cm,0）,過點尸作x軸

的垂線I交拋物線于點Q,交直線BD于點M.

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在點尸運動過程中，是否存在點。，使得ABOM是直角三角形？若存在，求出點

。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）連接AC,將△AOC繞平面內(nèi)某點H順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△40iG,點A、。、

C的對應(yīng)點分別是點4、5、G、若△4O1G的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們

就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數(shù)和點4的橫坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.將拋物線＞=（無+1）2-2向上平移3個單位，向左平移4個單位后所得到的新拋物線V

的對稱軸是直線（）

A.x=lB.x=-2C.x=-5D.x=4

【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律寫出新拋物線的表達(dá)式，即可求得新拋物

線的對稱軸.

解：將拋物線y=（x+1）2-2向上平移3個單位，向左平移4個單位后所得到的新拋物

線y'=（x+1+4）2-2+3,即y'=（x+5）2+1.

...新拋物線y的對稱軸是直線了=-5.

故選c.

2.如圖，直線h//h//h,直線AC和。/被/1,h,/3所截，AB=5,BC=6,EF=4,則

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

解：?.?直線/1〃/2〃/3,

.AB=DE

"BC-EF，

：AB=5,BC=6,EF=4,

.5DE

??，

64

.“10

..DE=——，

3

故選：D.

3.如圖，在□ABC。中，42=10,AD^15,NBA。的平分線交BC于點E,交。C的延長

線于點凡BGLAE于點G,若8G=8,則△CEF的周長為（）

D

G

BC

F

A.16B.17C.24D.25

【分析】先計算出石的周長，然后根據(jù)相似比的知識進行解答即可.

解：???在口人88中，CD=AB=10,BC=AD=15,NA40的平分線交于點E,

：.AB//DCfZBAF=ZDAF,

：.ZBAF=ZF,

：.ZDAF=NF,

：.DF=AD=15,

同理3E=AB=10,

ACF=DF-CD=15-10=5；

?,?在△?15G中,BG.LAE,AB=10,BG=8,

在Rt^ABG中，AG=JAB2-BG2rle|2_82=6,

：.AE=2AG=12,

??.△ABE的周長等于10+10+12=32,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AB//CF,

:.△CEFSXBEA,相似比為5：10=1：2,

???△CEF的周長為16.

故選：A.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A3CD的頂點A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，點

。（-2,3）,AD=5,若反比例函數(shù)y='（無>0,x>0）的圖象經(jīng)過點B,則k的值

為（)

33

【分析】過。作。軸于E,過8作軸，軸，得到/BHC=90。，根據(jù)

勾股定理得到AE=dhD2_D后2=4,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO=8C,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得到8?=4￡=4,求得AP=2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：過。作。軸于E,過B作軸，軸，

；.NBHC=90°,

:點D(-2,3),AD=5,

.\Z)E=3,

AA￡=VAD2-DE2=4>

???四邊形A3CD是矩形，

：.AD=BCf

：.ZBCD=ZADC=90°,

：.NDCP+/BCH=NBCH+/CBH=90°,

：.ZCBH=ZDCH,

\?ZDCP+ZCPD=ZAPO+ZDAE=90°,

ZCPD=ZAPO,

：.ZDCP=ZDAEf

：.ZCBH=ZDAE,

VZAED=ZBHC=90°,

:.AADE咨ABCH(A4S),

：.BH=AE=4,

'：0E=2,

04=2,

：.AF=2,

VZAPO+ZPAO=ZBAF+ZPAO=90°,

，ZAPO=NBAF,

：.AAPO^ABAF,

.OP_QA

??版釬

,,VBF，

3

'-B(4,,

.,32

5.在Rt^ABC中，AC=8,BC=6,則cosA的值等于（）

A.—B.近C.當(dāng)或近D.a或Z;反

545457

【分析】因為原題沒有說明哪個角是直角，所以要分情況討論：①為斜邊，②AC為

斜邊，根據(jù)勾股定理求得的值，然后根據(jù)余弦的定義即可求解.

解：當(dāng)△ABC為直角三角形時，存在兩種情況:

①當(dāng)A3為斜邊，ZC=90°,

：AC=8,BC=6,

-'?AB=VAC2+BC2=V82+62=1°-

..AC84

..cosA==----=—；

AB105

②當(dāng)AC為斜邊，ZB=90°,

由勾股定理得：AB=7AC2-BC2=V82-62=2V7-

AB=2V7_=V7

cosA=AC=8~T

綜上所述，cosA的值等于看或近.

54

故選：C.

6.二次函數(shù)y=ov2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=l,下列結(jié)論中不

正確的是()

A.abc<0B.4ac-b2<QC.a-b+c<QD.3a+c>0

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與。的

關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

解：由拋物線的開口向下知。<0,與y軸的交點為在y軸的正半軸上，

.'.c>0,對稱軸為直線x=--^-=1,得2a=-b,

2a

b異號，即6>0,即abc<0,故A選項結(jié)論正確；

:拋物線與x軸有兩個交點，

.'.b2-4ac>0,即4ac-按<0,故B選項結(jié)論正確；

由二次函數(shù)y="2+bx+c圖象可知，當(dāng)彳=-1時，><0,

.,.a-b+c<0,故C選項結(jié)論正確；

:.b=-2a,

"."a-b+c<0,

.,.3a+c<0,故。選項結(jié)論不正確；

故選：D.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點。為圓心的圓過點A(10,0),直線y=fcv+8

與O。交于3、C兩點，則弦BC長的最小值()

A.8B.10C.12D.16

【分析】根據(jù)直線＞=入+8必過點。(0,8),求出最短的弦是過點。(0,8)且與

該圓直徑垂直的弦，利用勾股定理求出BD,再利用垂徑定理即可得出答案.

解：如圖，：y=fcv+8必過點。(0,8),

...最短的弦CB是過點。且與該圓直徑垂直的弦，

???點。的坐標(biāo)是(0,8),

/.。。=8,

:以原點。為圓心的圓過點A(10,0),

圓的半徑為10,

：.BD=6,

.,.BC=2BD=12,

：.BC的長的最小值為12；

8.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于O。，線段在對角線3。上運動，若。。的面積為2m

MN=1,則周長的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

【分析】由正方形的性質(zhì)，知點C是點A關(guān)于2。的對稱點，過點C作CA'//BD,且

使CA'=1,連接44'交BD于點、N,取M0=1,連接AM、CM,則點M、N為所求點，

進而求解.

解：。。的面積為2m則圓的半徑為a，則8￡>=2&=AC,

由正方形的性質(zhì)，知點C是點A關(guān)于BD的對稱點，

過點C作CA'//BD,且使CA'=1,

連接A4'交2。于點N,取M0=1,連接AM、CM,則點M、N為所求點，

理由：C//MN,且A'C=MN,則四邊形MCA'N為平行四邊形，

則A'N=CM=AM,

故的周長=AM+AN+MN=A4'+1為最小，

則A，A=?(2^產(chǎn)+]2=3,

則△AMN的周長的最小值為3+1=4,

故選：B.

9.如圖，矩形ABC。中，AO=3,AB=2,點E為AB的中點，點廠在邊BC上，且2尸=

2FC,A尸分別與。￡、8。相交于點M、N,則的長為()

A-B-妙c.MD-f/2

【分析】過點/作于H,交ED于O,得FH=AB=2,由勾股定理得AP=2&,

根據(jù)平行線分線段成比例得。反=看皿凸由相似三角形的性質(zhì)得罌黑舊，求得

33rMF05

AM,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AN=VAF，即可得出結(jié)果.

5

解：如圖，過點尸作尸于〃，交ED于0,

貝（JFH=AB=2,

?:BF=2FC,

:.BF=AH=2,FC=HD=T,

?1?AF=VFH2+AH2=2V2>

OH//AE,

.HODH_1

"AE"AD

15

OF=FH-OH=2--,

33

'：AE//FO,

：.AAMEs^FMO,

.AM_AE_3

■"FM"FO"5'

.?.AM=3研反,

8刈4

,:AD〃BF,

：.△ANDsAFNB,

.ANAD.3

,"FN=BF"2，

???楸=春四具2,

bb

；.MN=AN-

5420

故選：B.

10.如圖，在正方形ABC。中，點尸是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD

相交于點O,過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC,BD于點E、F,交AD,BC

于點M、N.下列結(jié)論：

①AAPE咨AAME；

②PM+PN=AC；

③尸序+尸產(chǎn)=2。2；

④△POFSABNF；

⑤點。在M、N兩點的連線上.

其中正確的是（）

DC

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△?1而和△8PN以

及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOB是矩形，從而作出判斷.

解：：四邊形A3。是正方形

：.ZBAC=ZDAC=45°.

'：在△APE和中，

，ZPAE=ZMAE

<AE=AE，

ZAEP=ZAEM

AAPE^AAME（ASA）,故①正確；

：.PE^EM=—PM,

2

同理，F(xiàn)P=FN==NP.

2

正方形ABCD中ACLBD,

又；PE_LAC,PFLBD,

:./PEO=/EOF=/PFO=90°,且中AE=PE

四邊形PEOb是矩形.

:.PF=OE,

：.PE+PF=OA,

y.'：PE=EM=—PM,FP=FN=—NP,OA=-AC,

222

：.PM+PN^AC,故②正確；

:四邊形PE。歹是矩形，

：.PE=OF,

在直角△。尸尸中，。尸+2產(chǎn)=2。2,

：.PE2+PF2=PO2,故③正確.

???△2NF是等腰直角三角形，而△尸。尸不一定是等腰直角三角形，故④錯誤;

連接OM,ON,

,：OA垂直平分線段PM.OB垂直平分線段PN,

：.OM^OP,ON=OP,

：.OM=OP=ON,

點O是APMN的外接圓的圓心，

,:NMPN=90°,

是直徑，

：.M,O,N共線，故⑤正確.

故選：B.

Dr

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11.若siaA=』，則tanA=亞^.

2—3―

【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出NA的度數(shù)，然后求出tanA的值.

解：VsinA=—

2

AZA=30°,

則tanA=&3.

3

故答案為：返.

3

12.如圖，尸為平行四邊形ABC。邊8C上一點，E、尸分別為24、尸。上的點，且尸A=3PE,

PD=3PF,APEF、APDC、APAB的面積分別記為S、Si、S2.若S=2,則Si+S2^18.

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出△PAD的面積即可解決問題.

解：'：PA=3PE,PD=3PF,

.PEPF1

一正=一麗一=§，

：.EF//AD,

.?.△PEps△尸A。，

.S2kPEF,1,2

SAPAD3

?：SSEF=2,

??S/^PAD=18,

四邊形ABCD是平行四邊形，

S^PAD--^S平行四邊形ABC。,

51+S2=SAPA￡>=18,

故答案為18.

13.如圖，在Rt^AOB中，08=2y，ZA=30°,。。的半徑為1,點P是AB邊上的動

點，過點P作OO的一條切線PQ（其中點。為切點），則線段PQ長度的最小值為

A

【分析】連接。尸、OQ,作OP，于P,根據(jù)切線的性質(zhì)得到。。，尸。，根據(jù)勾

股定理得到PQ=1op2_i，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)0PLA8時，。尸最小，根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可.

解：連接。P、OQ,作OP'_LA8于P,

是O。的切線，

C.OQLPQ,

-,-pQ=VOP2-OQ2=VoP2-l，

當(dāng)OP最小時，線段PQ的長度最小,

當(dāng)0PLA8時，0P最小，

在RtzXAOB中，NA=30°,

.0B4

..nOA=--------=6,

tanA

在RtZXAOP中，ZA=30°,

/.OP'=—OA=3,

2

???線段PQ長度的最小值=丘嗎=2板,

故答案為：2

14.知識拓展：將函數(shù)y=x2+2x-3的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方后，所

得的即是新函數(shù)＞=彥+2尤-3］的圖象.請解決以下問題：

(1)寫出翻折部分的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-(x+1)2+4；

(2)若該新函數(shù)圖象與直線＞=-有兩個交點，則b的取值范圍是一

或6＞黑.

-------16-

【分析】(1)求出函數(shù)頂點坐標(biāo)，根據(jù)翻折后頂點坐標(biāo)及開口方向變化求解.

(2)作出y=|N+2x-3］的圖象，根據(jù)b值的變化直線上線平移，結(jié)合圖象求解.

解：(1)Vy=x2+2x-3=(x+1)2-4,

拋物線頂點坐標(biāo)為(-1,-4),開口向上，

...翻折后拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為(-1,4),

；.y=-(無+1)2+4,

故答案為：y=-(無+1)2+4.

(2)令x2+2x-3=0,

解得的=-3,%2=1,

???函數(shù)圖象與1軸交點坐標(biāo)為(-3,0),(1,0),

如圖，直線y=-人經(jīng)過(-3,0),

將(-3,0)代入y--+1+人得0=^Q+6,

解得b--宗

匕增大，直線向上移動，當(dāng)直線經(jīng)過（1,0）時，如圖,

解得b=±，

-滿足題意.

22

直線向上移動，當(dāng)直線與拋物線y=-（X+1）2+4有1個交點時，如圖,

1Q

令-±v+/?=-(x+1)2+4,整理得N+±x+b-3=0,

22

△=(—)2-4(/?-3)=0,

2

解得b年,

16

b增大滿足題意，

....b.5>-7-,

16

綜上所述，整<匕<4或磐，

2216

故答案為：-￡■<0<\*或

2216

三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

15.計算：sin245°+^/^tan30°-3tan60℃os30°.

【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值.

解：原式=(1)2+J^x1-3百X返

232

_1.9

——十1----

22

=-3.

16.如圖，在△ABC中，。為邊BC上一點，已知毀=9,E為的中點，延長3E交AC

DC3

于尸,求怨的值.

AC

【分析】過。作。G〃AC,可得AAEF2ADEG,即。G=AF,再由平行線的性質(zhì)可得

對應(yīng)線段成比例，進而即可求解AF與AC的比值.

解：過。作。G〃AC交8產(chǎn)于G,

是AD的中點，

/.△AE&ADEG,

：.DG=AF,

\'DG//AC,BD：DC=5：3,

：.DG：C尸=5：8,

：.AF：CF=5：8,

：.AF：AC=5：13.

四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

17.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后,

△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標(biāo)為(4,-1).

(1)畫出△ABC關(guān)于原點。的中心對稱圖形△4SC1.

(2)將△AiBiCi繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4&C2,畫出△A1&C2,并直接寫出點

。2的坐標(biāo).

X

【分析】(1)先利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征寫出A、B、C的對應(yīng)點4、81、C1

的坐標(biāo)，然后描點即可；

(2)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)畫出修、G的對應(yīng)點歷、C2,從而得到△A1&C2.

解：(1)如圖，△AbBiG為所作；

(2)如圖，△4&C2為所作，點C2的坐標(biāo)分別為(2,1).

x

18.如圖，在△ABC中，點。，E分別是邊AC,BC的中點.連接AE,BD交于點F.

(1)求證：BF=2DF；

(2)點G是A3的中點，連接EG交30于點"，求:AEFH的值.

SAABC

BE

【分析】（1）連接。E,根據(jù)三角形的中位線定理得OE〃AB,DE=^AB,再根據(jù)平行

線分線段成比例定理的推論得結(jié)論便可；

（2）由三角形中位線定理得EG〃AC,得冬卷，進而用等高的兩個三角形的面積比等

于底邊之比，通過一步推理得△ABC的面積與△￡以/的面積的關(guān)系便可.

【解答】（1）證明：連接DE,

,:點D,石分別是邊AC,BC的中點.

J.DE//AB,DE=^-AB,

.DFDE.1

??麗京巧

:.BF=2DF；

（2）解：仿（1）的方法同理可得

■:E、G分別是BC、AB的中點，

J.EG//AC,

.HF_EF_1

,而需方

S^DEF=2SAEFH,

?SAADE=3SADEFJ

S^ADE=6SAEFH,

???。是AC的中點，

S^ACE=2S/^ADE=12S^EFH,

YE是的中點，

*'?S^ABC=2SAACE=24SAEFH,

.SAEFH1

,△ABC24

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.如圖，PA是。。的切線，切點為A,AC是。。的直徑，過A點作AB_LPO于點。，交

O。于8,連接BC,PB.

（1）求證：PB是。。的切線；

（2）若cos/PAB=匹，BC=2,求PO的長.

5

BC

【分析】（1）連接0B,根據(jù)圓周角定理得到NABC=90°,證明得

到/O8P=/OAP,根據(jù)切線的判定定理證明；

（2）根據(jù)余弦的定義求出。4證明△PAOSAABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例

式，計算即可.

解：（1）連接。8,

：AC為。。的直徑，

AZABC=90°,

"."AB1PO,

C.PO//BC

：.ZAOP=ZC,ZPOB=ZOBC,

：OB=OC,

：.ZOBC=ZC,

：.ZAOP^ZPOB,

在△AOP和△80尸中，

fOA=OB

ZAOP=ZPOB-

PO=PO

:.AAOP沿ABOP(SAS),

：.ZOBP=ZOAP,

???/M為OO的切線，

：.ZOAP=90°,

；?/OBP=90°,

???尸5是。。的切線；

(2)VZPAB+ZBAC=ZBAC+ZC=90°,

：.ZPAB=ZC,

cosNPAB=cosNC=,

AC5

,:BC=2,

；?AO=^"^,

9

：ZPAO=ZABC=90°,ZPOA=ZCf

AAPAO^AABC,

.P0=A0p口PO=病

，,AC-BC，可囚/T，

解得尸0=5.

20.如圖，平行四邊形OA8C的頂點。在原點上，頂點A,C分別在反比例函數(shù)y=-區(qū)(&

X

W0,尤>0),y=-—(x<0)的圖象上，對角線ACLy軸于，已知點。的坐標(biāo)為。

(0,5).

(1)求點C的坐標(biāo)；

【分析】(1)由ACLy軸交反比例函數(shù)的圖象與點A、C,與y軸交于。(0,5),因

此點C、A的縱坐標(biāo)都是5,代入可求出C的坐標(biāo)，

(2)根據(jù)平行四邊形被對角線分成的兩個三角形全等，可得三角形AOC的面積，進而

求出AC的長，確定點A的坐標(biāo)，最后求出人的值.

解：（1）當(dāng)y=5時，代入y=-」◎得，x=-2,

：.C（-2,5）,

（2）?.?四邊形OA8C是平行四邊形，

：.OC^AB,OA=BC,

\"AC=AC,

：./\OAC^AABC（SSS）,

.?.SAC=-SOABC=—,

AO22

即：-AC-DO=—,

22

'：D0=5,

:.AC=II,

又,：CD=2,

：.AD=l]-2=9,

.'.A（9,5）代入y=--（GWO,x>0）得：k=-45

x

答：4的值為-45.

六、（本題滿分12分）

21.筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利

物，輪乃曲成”.如圖，半徑為3相的筒車。。按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)■圈，筒車與水面

6

分別交于點A、B,筒車的軸心。距離水面的高度OC長為22”，筒車上均勻分布著若

干個盛水筒.若以某個盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間.

（1）經(jīng)過多長時間，盛水筒P首次到達(dá)最高點？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？

（3）若接水槽所在直線是。。的切線，且與直線交于點M,MO=8m.求盛水

筒尸從最高點開始，至少經(jīng)過多長時間恰好在直線上.

（參考數(shù)據(jù)：cos43°=sin47°心衛(wèi)^,sinl6°=cos74°sin22°=cos68°）

15408

【分析】（1）連接。4,根據(jù)cos/AOC=Ug22母，得NAOC=43。，可得答案;

0A315

（2）根據(jù)題意知，ZAOP=3.4X5°=17°，得/尸。?=/4（%:+/4。尸=43+17°=

60°,過點P作尸OLOC于。，利用三角函數(shù)求出。。的長;

npQ

(3)由題意知OPJ_MN,利用COS/POM=W=3,得/POM=68°,在RtZkCOM中,

0M8

根據(jù)cos/C0M=?^y2義，得/COM=74°,從而得出答案.

0M840

解：（1）如圖，連接。4,

在RtAACO中，

cosZAOC=-=^-=J^,

OA315

：.ZAOC=43°，

吟*7.4（秒）；

盛水筒P首次到達(dá)最高點的時間:

D

???盛水筒P浮出水面3.4秒后，ZAOP=3AX5°=17°,

ZPOC=ZAOC+ZAOP=43+n°=60°,

過點尸作POLOC于。，

在RtZXPOO中，

。。=。尸?cos60°=3X—=1.5（米），

2

盛水筒P距離水面距離為：2.2-1.5=0.7（米）；

（3）如圖，

:點尸在O。上，且MN與。。相切,

...當(dāng)點尸在MV上時，此時點尸是切點，連接。尸，貝IJOPLMN,

C|PQ

在RtZiOPM中，cosZP(9M=—

0M8

.,.ZP(9M=68O，

0C=2.2=11

在RtZkCOM中，cos/COM-0M-8=40

.\ZC0M=74°，

VZP0H=180°-68°-74°=38°,

.,.—=7.6（秒）,

5

...至少經(jīng)過7.6秒恰好在直線MN±.

七、（本題滿分12分）

22.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的

售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）.設(shè)每件商品的售價

上漲尤元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量尤的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你

直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

【分析】（1）根據(jù)題意可知y與無的函數(shù)關(guān)系式.