第三章 模型1公切線模型 （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模型1

公切線模型【問題背景】曲線的切線問題是近年來新高考的熱點(diǎn)問題，而其中公切線問題由于涉及曲線、參數(shù)數(shù)量較多，求解難度大，考生往往無法把握解題的關(guān)鍵．此類問題，核心都是設(shè)未知數(shù)，表示出切線方程并求解，常常與函數(shù)、不等式、三角等知識(shí)結(jié)合在一起考查．【解決方法】【典例1】（2024江蘇南通8月期初檢測(cè)）已知函數(shù)，則曲線與的公切線方程為______．【套用模型】第一步：設(shè)切點(diǎn)，分別表示出兩條曲線的切線方程．因?yàn)?，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相同，則切線方程為，即，整理得．又切線方程也可表示為，即，整理得．第二步：得出關(guān)于切線方程系數(shù)的方程．所以消去，整理得．【點(diǎn)技巧】合理消元，若消去，則會(huì)產(chǎn)生對(duì)數(shù)，求解復(fù)雜，應(yīng)該消去，由，得第三步：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解切點(diǎn)坐標(biāo)．令，則．令，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因此函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于的方程只有一個(gè)解．【破瓶頸】此方程無法直接求解，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求得零點(diǎn)第四步：求得公切線方程．由得切線方程為，所以公切線方程為．【典例2】（雙空題

2024江蘇基地大聯(lián)考第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知直線與曲線和都相切，請(qǐng)寫出符合條件的兩條直線的方程：______，______．【套用模型】第一步：設(shè)切點(diǎn)，分別表示出曲線和的切線方程．設(shè)直線與曲線和分別切于點(diǎn)，由可得切線方程分別為，即．第二步：得出關(guān)于切線方程系數(shù)的方程．因此，則，又，所以．【指點(diǎn)迷津】根據(jù)曲線和的公切線斜率相等，可得，根據(jù)兩個(gè)切線方程的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程，化簡整理求解第三步：化簡求切點(diǎn)橫坐標(biāo)．化簡得，解得或．第四步：求得兩條切線方程．當(dāng)時(shí)，，切線方程為；當(dāng)時(shí)，，切線方程為．【典例3】（2024安徽合肥一中9月模擬）曲線與的兩條公共切線的斜率分別為，設(shè)兩切線的夾角為，則______．【套用模型】第一步：設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，分別表示出曲線與的兩條公共切線的方程．設(shè)兩條公切線與曲線相切的兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，與曲線相切的兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，其中，則且．由，可得．斜率為的切線方程為，也可以表示為；斜率為的切線方程為，也可以表示為．第二步：得出關(guān)于切線方程系數(shù)的方程．所以整理得，同理得．【會(huì)類比】與的“地位”一樣，得到的關(guān)系式，可同理得到的關(guān)系式第三步：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式．因此是方程的根，又，所以若是方程的根，則也是方程的根．設(shè)，易知，則在上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等根，則，即．【掃清障礙】函數(shù)無法求出零點(diǎn)，但可分析得到，進(jìn)而可得第四步：求代數(shù)式的值．令斜率為的切線傾斜角分別為，則，，所以．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）1．已知函數(shù)，，若直線與曲線及均相切，且切點(diǎn)相同，求公切線的方程為．（2024·山東青島·高三山東省青島第一中學(xué)?？计谥校?．若曲線和曲線存在有公共切點(diǎn)的公切線，則該公切線的方程為.（2024·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）3．已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）4．已知直線與曲線和都相切，請(qǐng)寫出符合條件的兩條直線的方程：，．（2024·高三上·江蘇泰州·期中）5．若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則的最小值為．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）6．曲線過點(diǎn)的切線也是曲線的切線，則；若此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍是.（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）7．曲線與的公共切線的條數(shù)為．（2024·廣東深圳·深圳外國語學(xué)校二模）8．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．D．（2024·河南安陽·校聯(lián)考一模）9．已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)試判斷曲線與是否存在公共點(diǎn)并且在公共點(diǎn)處有公切線.若存在，求出公切線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）10．如果有且僅有兩條不同的直線與函數(shù)的圖象均相切，那么稱這兩個(gè)函數(shù)為“函數(shù)組”．(1)判斷函數(shù)與是否為“函數(shù)組”，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，并說明理由；(2)已知函數(shù)與為“函數(shù)組”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．．【分析】由條件可知，求得切點(diǎn)后，再求切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得解得，，故切線方程為，即．故答案為：2．【分析】先分別求出和的導(dǎo)數(shù)，然后設(shè)公共切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，根據(jù)題意有，，代入相應(yīng)表達(dá)式列出方程組，解出與的值，計(jì)算出切線斜率和公切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到切線的方程．【詳解】，，則有，．設(shè)公共切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，，，．根據(jù)題意，有，解得．公切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為2．公切線的方程為，即．故答案為：3．##0.5【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，和切線相同即可判斷.【詳解】，假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)處相切，則，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，所以，則，此時(shí)兩曲線在處相切，根據(jù)曲線的變化趨勢(shì)，若，則兩曲線相交于兩點(diǎn)，不存在公切線，如圖，

所以的最大值為.故答案為：.4．【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用切點(diǎn)求解切線方程，聯(lián)立方程即可求解切點(diǎn)處的值，代入即可求解切線方程【詳解】，，設(shè)直線與曲線和相切于點(diǎn)，則所以切線方程分別為，因此則，又，將代入可得或，解得或，將其代入中，因此當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為，故答案為：,5．【分析】由兩條曲線的公切線斜率分別等于各曲線上切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，以及各曲線上切點(diǎn)分別滿足切線方程來列方程組，得到與滿足的關(guān)系式，將原式中的替換，再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】曲線在點(diǎn)A處的切線可寫作設(shè)該切線在曲線上的切點(diǎn)為，則有，消去t得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得該最小值.故答案為：.6．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出；將此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，轉(zhuǎn)化為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得解.【詳解】由得，設(shè)曲線過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程為，由于該切線過點(diǎn)，所以，設(shè)該切線與曲線切于，因?yàn)?，所以，所以該切線的斜率為，所以切線方程為，將代入得，得，所以，所以，所以，所以.由以上可知該公切線方程為，即，若此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，則，即恒成立，令，則，令，得，得，令，得，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)闀r(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解第二個(gè)空時(shí)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題關(guān)鍵.7．2【分析】設(shè)公切線關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)為，則公切線方程為：，則，則公切線條數(shù)為零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)公切線關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)為，則公切線方程為：，則，注意到，，則由，可得.則公切線條數(shù)為方程的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).，令，則，得在上單調(diào)遞增.因，則，使得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又注意到，，則，使得，得有2個(gè)零點(diǎn)，即公共切線的條數(shù)為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及研究兩函數(shù)公切線條數(shù)，難度較大.本題關(guān)鍵為將求公切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，又由題有范圍，故選擇消掉，構(gòu)造與有關(guān)的方程與函數(shù).8．BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷A，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可說明B，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，即可得到方程組，從而判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)的極大值為，極小值為，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以，則在上存在零點(diǎn)，因此函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故A不正確；對(duì)于B：，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，由，因此曲線相切方程為：，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，所以，因此，故C正確；對(duì)于D：由上可知：，因此有，故D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及公切線問題，一般是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，根據(jù)兩切線相同得到方程組，從而整理得到.9．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)存在，【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)曲線與存在公共點(diǎn)且在公共點(diǎn)處有公切線，且切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即可得到，則有，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可知方程在上有唯一實(shí)數(shù)根，即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，令，解?當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解：由定義域?yàn)椋僭O(shè)曲線與存在公共點(diǎn)且在公共點(diǎn)處有公切線，且切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，即，其中即，記，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故方程在上有唯一實(shí)數(shù)根，經(jīng)驗(yàn)證也滿足，于是，，所以曲線與的公切線的方程為，即.10．(1)它們?yōu)椤昂瘮?shù)組”，理由見解析(2)【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)，得到兩函數(shù)的切線方程，根據(jù)斜率相等得到，代入兩切線方程，對(duì)照系數(shù)得到，解得或，求出兩條切線方程，得到答案；（2）設(shè)出切點(diǎn)，得到兩切線方程，求出，再聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)正數(shù)根，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，極值最值情況，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】（1）函數(shù)和是“函數(shù)組”，理由如下：設(shè)直線與曲線和相切于點(diǎn)，，，則切線方程分別為．因此，則．故，，由于兩切線為同一直線，故，即，又，故，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為，因此切線方程為或．因?yàn)橛星覂H有兩條不同的直線與函數(shù)和的圖象均相切，所以它們?yōu)椤昂瘮?shù)組”．（2）因?yàn)楹瘮?shù)與為“函數(shù)組”，所以它們的圖象有且僅有兩條公切線．