2015屆高三數(shù)學(xué)黃金考點(diǎn)匯編14解三角形理（含解析）

考點(diǎn)14解三角形（理）

【考點(diǎn)分類】

熱點(diǎn)一、利用正余弦定理在三角形中求三角函數(shù)值、求角、求邊長(zhǎng)

1.12014高考廣東卷理第12題】在AABC中，角A、8、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,

已知。cosC+ccosB=2b,則@=_____.

h

【答案】（-in22）

【解析】

試題分析：設(shè)切點(diǎn)尸（&切，則由轡—=-2,e"a=2.a=-ln2.d=e's=2）所以

點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（-In2,2）.

2.【2014全國(guó)2高考理第4題】鈍角三角形ABC的面積是J,AB=1,BC=V2,則AC=（）

A.5B.V?C.2D.1

【答案】B

【解析】由面積公式得：：xJIsin8=W，解得sinB=W=，所以8=45=或8=135：,當(dāng)5=45：時(shí)，

由余弦定理得；HC：=1+2-2J5COS45、1,所以又因?yàn)锳B=LBC=JL所以此時(shí)為

等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以5二E由全工定理得：HC'=l+2-20cosl35：=S,

所以=故選3.

【考點(diǎn)】本小題主要考查余弦定理及三角形幼面積公式，考查解二角形的基礎(chǔ)知識(shí).

3.12014四川高考理第13題】如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別

為67°,30°,此時(shí)氣球的高是46加，則河流的寬度BC約等于加.（用四舍五入法將

結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：sin67°?0.92,cos67°?0.39,sin37°?0.60,cos37"?0.80,

6=1.73)

【答案】60

【解析】

7s

3而八▲亡46BCnc-<1-8sin37小

試題分析：AC=92,-IS=------9----7=-----=--------------：-、60.

cos6-.an30'sin37*sin30"

【考點(diǎn)】解三角形.，

4.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）】在A48C中，a=3"=5,sinA=L

3

則sin6=()

(A)-(B)—(D)1

593

【答案】B

ACIMA々5

【解析】由正弦定理，得$畝5=±吧2=-3-=-,選B.

a39

5.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試天津卷】在△[a'中，NABC=X,AB=0,BC=35IJ

4

./n\/A\Vio，口\Vio/\3\ZTOz\V5

sinZBAC=()(A)(B)(RC)(nD)——

105105

【答案】C

【解析】因?yàn)橐?30=}-4B=g.3(?=3,所以由余'處理得：JC:=2+9-2X3><72-COS45S

=5,即HC=JL由正弦定理得：W7T-一：-----審用sinz3_4C=雪，故選C.

sin4^sinz5JC10

6.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(遼寧卷)】在AA5C,內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊長(zhǎng)

分別為a,Z?,c.asin8cosc+csinBcosA=；"且a〉b,則/B=()

■冗門萬(wàn)廠24n5萬(wàn)

A.—B.—C.---D.—

6336

【答案】A

【解析】由正弦定理可得:

a=2Rsin_1c=2,RsinC;b=2Rsin二由asinS，.'resin3cosH=三,可得：

sinAcosC-sinCcosA=:§P：sin（.Jcj=sin5=—.又a>瓦故-5=在，故選A.

7.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）】在銳角中AABC,角4,8所對(duì)的邊

長(zhǎng)分別為a,0.若2asin8=麻,則角A等于（）

71,兀八7、兀

A.—B.—C.—D.—

12643

【答案】D

【解析】因?yàn)?asin8=?,所以吧巨=2,所以sinA=①，所以A=工.

ba23

8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試福建卷】如圖，在AABC中，已知點(diǎn)。在BC邊

上，ADVAC,sinZBAC=^^,AB=3V2,AD=3,則8。的長(zhǎng)為.

3

［答案］出

［解析］設(shè)ABAD=6則sinZBAC=sin?+90：）=co<F,二cos9==,在AABD中應(yīng)用余

3

i3d3：-BD：「

弦定理得：cos8=*=---------------欲BD=5

32*372*'

9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）】已知AABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊

分別為a、b、c,若3a2+2ab+3從-3ci23=0,則角C的大小是（結(jié)果用反

三角函數(shù)值表示）.

【答案】^-arccos-

3

211

【解析】3a2+2ab+3b~-3cL—.Q=a~+b~H—cib,故cosC=—、C=冗一arccos—.

333

10.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)浙江】AABC中，NC=90°,M是BC的

中點(diǎn)，若sin/BAM=」，則sin/8AC=

3

【答案】趙

【解析】此題畫出圖形，結(jié)合已知條件利用正余弦定理叼銳角的二電函數(shù)

的定義構(gòu)造出方程然后求解.如圖5所示，設(shè)

CM-MB-x.AC=yAM=Jx*+y*.AB="x，+]',由已知

,-----；-------入尸

得到cosNAL/=VI-sin2N&L"=+t二RB中,

3

由余弦定理得到:

11.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)】

設(shè)AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,(a+b+c)(a-h+c)-ac.

(I)求B；

J3-I

(II)若sinAsinC=-------,求C.

4

t答案】(I)因?yàn)?a+5+c)(a-b+c)=ac,所以d+c：=-ac.

由余弦定理得cos5=上±士=-1,因之8=1"二

lac2

(II)由(I)知H+C=60',巴以g：」-C)=cosHcosC+sinXsinC

=cosAcosC-sinsinC+2sin-d：z?=cos(-4+LJ4-2sin-4sinC

JT-1Js,.

=±+2x匕」=以，故d—C=30?或H-C=-30L因此C=15、或C=45，.

242

12.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)】

在AABC中，斫3,b=2瓜,/斤2/4

(I)求cos力的值,

(II)求c的值.

[答案]⑴由正弦定理，，一=」一,因?yàn)閗3,瓜,/斤24,

sinAsin8

E、I32A/62A/6〃〃汨.V6

sinAsin2A2sinAcosA3

⑵由⑴知,cos.^=9所以sin」=Jl-a=.

又因?yàn)镹后2N4所以cos3=2co『M-1=

------------9/T

所以sin3=Jl—sin-3二=二.

在aiBC中，sinC=sinIH*3I=sinJcosB4-cosJsin5=

9

asinC

所以c=

sinA

13.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）】在A45C中，角A,民。的對(duì)邊分別

A_B

為a,b,c,且2cos2---cosB-sin(A-8)sinB+cos(A+C)

=_3

一丁

(I)求cosA的值；

(H)若a=40,6=5,求向量而在前方向上的投影.

3

解：(I)S2cos'^—-B^cosPsin(-4-5；sin5+cos(-4+C)=-,得

—一

c

[cos(-4-5)4-1]cos5-sin^4-5)sin5-cos8=-。，

即cos(X—B)cos3—sinQd-3北沁￡二一二

5

rr

貝ijcos(--l-5+5)=——,cosA=-J...............................5分

55

3,4

(II)山cosA=——，0<A<TT,得sinA=一,

55

,—j由十a(chǎn)b「匚”._hsinA6

由正弦TE理，有二---=-----，所以sin8=---------=—,

sinAsin8a2

jr

由題知a>6，則A〉B,故5=—.

4

根據(jù)余弦定理，有(40)2=5?+c2—2x5cx(—|),

解得c=l或c=-7(舍去).

—■——一

故向量3A在3。方向上的投影為|BA|cos8=J

14.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)試題】如圖，旅客從某旅游區(qū)的景點(diǎn)4處下山至C

處有兩種

路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.

現(xiàn)有甲、

乙兩位游客從4處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min,在甲出發(fā)2min后，乙從A

乘纜車到B,

在5處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,

山路AC長(zhǎng)

123

1260m,經(jīng))則量，cosA=—,cosC——.^^^********^^

135

(1)求索道45的長(zhǎng)；/

(2)問(wèn)乙出發(fā)后多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？c//

(3)為使兩位游客在。處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

解：(1)在中，=cos4==cosC--,sii-1=—,cosC=—,

13>135

從而sin5=sin[；T-(-J+C)]=sin(J-C)=sinicosC+=

由正弦定理*-=」匕，得xsinj=Wx二=1040,所以索道一T8的長(zhǎng)為1040(m).

sinCsin5sin563*

fT?

C'.

(2)假設(shè)乙出發(fā)，分鐘后，甲、乙兩游客距,;工，此時(shí)，田U走了(100+50r)m,乙距離H處130fm,

1、

由余弦定理得尸=(100+50。'+(130尸'-txlBQjaOO+SdjxW：200(37--70r+50),

V0<?<—,即0WY8,故當(dāng)y,Mun)時(shí)，田、乙兩游客距離最短.

13037

(3)由正弦定理，—BCAC,得5。-±4C乂良^:1=P斗60乂二<=50(m),乙從8出發(fā)時(shí)，甲走了

sinAsin5sin^。，13

65

50x(2+8+1)=550(m),還需要走71J(m)才能到達(dá)C,

設(shè)乙步行的速度為vm/min,由題意，a-3M<d00i7;'-C<3,解得］上”0二￡丫6,”上，

5u4314

為使兩游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在［親,號(hào)6”］(單位：m/min)

范圍內(nèi).

15.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)】

7

設(shè)A46C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S.a+c-6,h-2,cosB

(I)求a,c的值；

(H)求sin(A-B)的值.

解：3)因?yàn)閏os5=a-+「-”=一,

2ac9

所以—w

lac

分別代入a+c=6：5=2得=9：解得&=c=3.

.....D7/B.,472

(II)由cosB=—得sin3=-----

99

因?yàn)椤?工：所以Siuzl=士在eCOSJ=-s

sinJsinB33

所以siniJ-Bl=sinAcos5-cosHsin5=義—H'=1。".

393927

16.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)】

在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-JJsinA)cos8=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=l,求。的取值范圍.

解：(1)

,/-cosQ+3)+(cosH-/sina)cosB-0..'.sin1sin5-^3sinJcos5=0:

/.sinJ(sinB-抬cos5)=0,sin5-拒cos5=。即2sin(B-y)=0,.',B==.

此類求三角形的內(nèi)角的問(wèn)題在解法上既可以直接化簡(jiǎn)求值」可以運(yùn)用正余弦定理化邊為角，或化角為邊,

注意角的取值范圍.

(2)在三角形ABC中有余弦定理得

zz:

b=a+c-2accos[=(a+c)：-3ac>(a+c2,)'=(.二52bva+c=W5VL

用余弦定理和均值不等式是解決該類間三點(diǎn)用的解汰，但是不能忽略題設(shè)條件下邊長(zhǎng)b固有的范圍.

17.【2013年全國(guó)高考新課標(biāo)(I)]

如圖，在AABC中，NABC=90°,AB=^3,BC=1,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，NBPC=90°.

(1)若PB=1,求PA；

⑵若NAPB=150°,求tan/PBA.

解：(1)因?yàn)槭?=工，所以NC5尸=60：,所以4也.：1:三0：,由余弦定理得：

_______________F

PA=NPB-B-Y-2PB*BA?COS「='~；

(2)設(shè)乙尸8H=a,由已知得產(chǎn)8=sinr，，:二弦定理得-它「=—”一，化簡(jiǎn)得

sin150'sin(30°-cz)

廠忑

yj3cosa=4sina,故tana=—.

【方法規(guī)律】(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即

可.

(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，

這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意.

(3)已知三邊，解三角形，利用余弦定理；

(4)已知兩邊與夾角解三角形，利用余弦定理；

【解題技巧】在處理解三角形過(guò)程中，要注意“整體思想”的運(yùn)用，可起到事半功倍的效果。

如：在aABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程/一2A/JX+2=0的兩個(gè)根，且2cos(4+8)=1。

求：（D角C的度數(shù)；（2）AB的長(zhǎng)度。

【解析｝（1）cosCcos[zr（/I+—cos（A+C—120°

fa+h=2y[3

（2）由題設(shè)：|ah=2

：.AB2^AC2+BC2-2AC?BCcosC-a2+b2-2aZ?cosl20°

=/+/+ab=(a+b)2_帥=(2⑸-2=10

AB=麗

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討

論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意.

如：在△ABC中，a=2石，b=2jl,B=45°,則A等于（）

A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150°

【解析】由正弦定理，可得2叵=心竺，解得sinA=3;

sinAsin4502

?.?a=2百>/?=2&,.?.4>8=工，所以A=60°或120°,故選C.

--------------------------------4

熱點(diǎn)二、利用正余弦定理判斷三角形形狀

1.12014全國(guó)1高考理第16題】已知”,6,c分別為A4BC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a=2,

且（2+b\smA—sinB）=（c-6）sinC,則\ABC面積的最大值為.

【答案】下

【解析】

試題分析?由々=3且12+bQna-s&i8)=(c-6)sinC,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,又根

據(jù)正弦定理，得(@+1?)(々-6)=9-埃，代商得，b:+'a,=be,故cosA=^~~—=^,所以

2be-

A=60：,

又b：+c’-6c=42be,故S3n=：bcsinA.

【考點(diǎn)】1、正弦定理和余弦定理；2、三用形的面積公式.

2.12014高考安徽卷第16題】(本小題滿分12分)設(shè)48c的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別

是，且b=3,c=1,A=IB.

(1)求。的值；

TT

(2)求sin(A+—)的值.

【答案】(Da=:/；(2)

6

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)H=25,則有sina-sin2B-1:sin?-os3,再由正、余弦定理

a=2b“一_1一,二,可以求得f=12..=25/3.(：公求弦定理可以求出

lac

b2^c2-a29+1-121rc元,所以einH=-71-cos:A=Jl-g=

cosA=----------=----------=一一.n(j0v一"

2bc63

穴^2y/2.Jl［、正"0

故sin(J+—)=sinAcos—+cosJsin—=----x--------Fi——)X-------=---------------.

44432326

試題解析：(1)因?yàn)橐籘=25,所以sina=sin25=2sm3cos6,由正、余弦定理得

1?j

a=2ba+L------.因?yàn)榉?3.c=1,所以〃=12.t?=2>/3.

lac

(2)由余弦定理得(:。5*=匕±二：上=0^=-！.由于0<4<刀，所以

考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.三角函數(shù)恒等變形.

JT

3.12014高考北京理第15題】如圖，在AA8C中，48=：,48=8,點(diǎn)。在8C邊上，且

CD-2,cos/.ADC--.

7

(1)求sin/BAO；

(2)求BD,AC的長(zhǎng).

B/)C

【答案】(1)—(2)7.

14；

t解析】

試題分析：(1)由條件，根據(jù)sin-a+cos，a.aiAADC,吃由兩個(gè)角的差的正弦公式求sin乙3

(2)根據(jù)正弦定理求出應(yīng))，再由余弦定理求HC.

14、冷

試題解析：(1)在AJDC中，因?yàn)閏osNHZ)C==,所以sin乙〃)C=三,

//

所以sin^BAD-sin(z-TDC-zP)=sinZ'DCcosNE-cos乙TDCsin33

3-#

（2）在AJM中，由正弦定理窘3。=老"一二2S1T

?,.二aDB4、6

在AJ3C中由余弦定理得HC?=AB-+F^--1ABSCcosB

、1

.丁+5?-2x8x5x=49,

■>

所以XC=7.

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)角的差的正弦公式，正弦定理與余弦定理.

4.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（陜西卷）】設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分

別為a,b,c,若。cosC+ccos3=〃sinA,則AABC的形狀為（）

【2014高考湖南理第18題】如圖5,在平面四邊形A8CO中，AD=1,CD=2,AC=5.

⑴求cosNCAO的值；

⑵若cosABAD=,sinZCBA=—,求BC的長(zhǎng).

146

【答案】⑴cosNGID=或(2)3

【解析】

試題分析:□題目已知三角形ACD的三條?,2利用3余弦定理即可得到該角的余弦值.

亡，利用工間得到的的余弦結(jié)合正余曠之..力關(guān)系即可聲尢該角的正弦值，再利用正余弦之間的關(guān)系

即可得到而4CAD與^BAD之差即為則利用正在的和差角公式即可得至!(角Z-BAC的正

弦值,再利用三角形.括。的正弦定理即可求的3C邊長(zhǎng).

試題解析」1)由ADAC關(guān)于^CAD的余弦定理可得

八門,4D:+JC:-Z)C:1+7-4"心、八八1卡

cosz.CL1D=----------------=------==--.所以e.Z.C.1D=----

2AD-AC2uxV"77

心因?yàn)?Sal)為四邊形內(nèi)角，所以sin/1")>0巳>inNC.J>0貝J由正余弦的關(guān)系可得

sin乙BAD=也-cos：乙BAD=吏巨21sinACAD=乒corTcW=—,再由正弦的和差角公式

147

可得sinz_5JC=sinI-^LCADI=sinZr.osNC1D-sinzlGWcos^BAD

35/212ypV：1手3出書V3--,日

，--2_I=、-，一=工.習(xí)由A4zlF"的正弦定理可得

1477!14!7142

:7

4C3—0=上xm=3

sinzCSJsin^_BAC012

~6~

【考點(diǎn)定位】三角形正余弦定理正余弦之間的關(guān)系與和差角公式

【方法規(guī)律】依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法:

1.利用正、余弦定理把己知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,

從而判斷三角形的形狀；

2.利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形,

得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用4+6+C=n這個(gè)結(jié)論.

【解題技巧】熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中

的運(yùn)用

如：在A48c中，已知。2=/+,2+/^,則角A為()

71、兀八2萬(wàn)萬(wàn)a2萬(wàn)

A.—B.—C.—I).—或——

36333

【解析｝考慮余弦定理的公式特點(diǎn)，貝小-：a2=b2+c2+bc,:.b2+c2-a2=-bc,

bc

cosAJ+J-—，又0<A<7，/.A=—，故選C.

2bc2bc23

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形狀時(shí)，在化筒過(guò)程中，耍保證等價(jià)

變形，一定不要漏解。如:

(1)新課標(biāo)A版第10頁(yè)，第B2題(例題)在AA8C中，如果有性質(zhì)acosA=/?cos6,試

問(wèn)這個(gè)三角形的形狀具有什么特點(diǎn).

【解析】法一：利用正弦定理及QCOSA=bcosB,得sinAcosA=sinjBcosB,即

sin2A=sin2B;

TT

2A=2B或2A+28=%,即A=B或4+B=~,所以三角形是等腰三角

---------------------------------------2

形或白:角三角形.

/72+c2—a2a2+c2—b2

法二：利用余弦定理及acosA=Acos8,得a?幺匯-匕=。.幺二_化簡(jiǎn)得

2bc2ac

(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0,則。=、或Y+/=/,即三角形是等腰三角形或直角三

角形.

熱點(diǎn)三、利用正余弦定理求三角形面積

1.【2014高考福建卷第12題】在A48c中，A=60。,AC=4,BC=,則A4BC的面積

等于.

【答案】2G

【解析】

試題分析：由正弦定理可得$；"d=1..'.B-.所以X-i.BC的面積等于2^3.

考點(diǎn)：1.正弦定理.2.三角形的面.

2.12014江西高考理第4題】在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,8c,,若

2=(0-⑦2+6,。=*則兒48。的面積()

r3百

A.3C.-------D.3百

2

【答案】c

t解析】

zzz

試題分析：因?yàn)閏：=(a-W：+6,C=I所以由余弦聲N3：C=a+b-labcos^,即

-2ab+6=-ab;ab=6,因此、18c的H為士a5sinC=3><立=衛(wèi).選C.

2">"

考點(diǎn)：余弦定理

3.【2014重慶高考理第10題】

已知A48c的內(nèi)角A,B,C滿足sin24+sin(A-8+C)=sin(C—A—3)+；,面積S滿足

1<S<2,記a,仇c分別為A,8,C所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是()

A.bc(b+c)>8B.ac(a+b)>16^2C.6<abc<12D.12<abc<24

【答案】A

【解析】

試題分析：由題設(shè)得：sin2J-sin17T-IB)=sin(2C-;TI-=>sin2J*sin2B*sin2C=—

nsinI2z-\2B+2CIj-sin2B-sin2C=」=sin2BsinIC-sin1254-2CI=—

\\2\

、，、1,1

=sin2511-cos2Cl+sin2CIl-cos2B):二^>4sin5sir:Isin5cosC+cos5sinCl=—

\\2\、

sin-4sin5sinC=—.......................…(1)

8

由三角形面積公式及正芯定理得：.=—

s=sinC*>)AnAsin5sinC

所以&=4s,乂因?yàn)閘〈sK2,所以4<R2<8,

b+c/7+「

所以/?<?(/?+c)=ahcx------=8/?3sinAsinBsinCx------->~恒成立，所以bc(b+c)>8

aa

故選A.

考點(diǎn)：1、兩角和與差的三角函數(shù)；2、正弦定理；3、三角形的面積公式.

4.12014天津高考理第12題】在DA6C中，內(nèi)角4,6,C所對(duì)的邊分別是〃力,c,已知

b-c=—a2sinB=3sinC,貝UcosA的值為_(kāi)______.

4f

t答案】-L.

4

【解析】因?yàn)椋?sin3=3sinC..,,2^,=3c.「.3=三仁代入6—c=」a得a=2c,由余弦定理得

24

,d:-c:-a:1

cosA=----------=——.

2bc4

【考點(diǎn)】1.正弦定理；2.余弦定理LJ推論.

5.【2014高考上海理科第21題】如圖，某公司要在4、8兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告

牌C。，其中。為頂端，4C長(zhǎng)35米，長(zhǎng)80米，設(shè)4、8在同一水平面上，從A和B

看。的仰角分別為a和4.

（1）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求a22/3，問(wèn)CD的長(zhǎng)至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？

（2）施工完成后.CO與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測(cè)得a=38.12°,￡=18.45°,求CZ）的長(zhǎng)

（結(jié)果精確到0.01米）？

【答案】⑴|CD|*28.28米；（2）|3）卜26.93米.

【解析】

試題分析：這屬于解三角形問(wèn)題，條件a22與可轉(zhuǎn)化為tar.，2tan2與，SPtana>-,而

1-tan-/5

tan&tan尸可用8的長(zhǎng)表示出來(lái)，從而得?弋；仁必的不等工解之可得所求結(jié)論，⑵根據(jù)已知條件,

要求CD的長(zhǎng)，可在7CD或ABCD中耳信，由此巴求得.⑷<3D的長(zhǎng)，然后利用余弦定理，求得CD,

而一切或兩邊要JU3Z）中，可用正弦定理求得.

試題解析:⑴由題得，；a22尸，且0<2?4a<三,二tanaNtan2?

毆

§p!—>>—立「，解得，\cu\<20V^.|CD|-8.28米

35|CP|*

6400

(2)由題得，ZJP3=180；".i2；18Jc=：23.43,,

35+80_國(guó)|

..?㈤，卜43.61米

sinl23.43=sin18.45,

/|CD|：=35:+|.J￡>f-2-35|.4P；cos38J1,|3；v26.93米

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的應(yīng)用，解三角形.

6.【2014高考浙江理第18題】在A4BC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

a手b<=#>，cos271-cos2B=sinAcosA-V3sinBcosB.

（I）求角C的大小；

4—

（II）若sinA=—,求AABC的面積.

5

【答案】（I）c=~；（IDs=

325

【解析】

試題分析：（I）求角C的大小，由已知LJUH-CT8=#jinAcosA-sinBcosB,，可利用降幕公

式進(jìn)行降幕，及倍角公式變形得比亞:一1+1一$=丈sin2A-立sin23，移項(xiàng)整理，

—sin2J--cos2A=—sin2B--cos2"J；%相和與差的三角函數(shù)關(guān)系，得

sinQa-=）=sin（28-1）,可得H+3=4,從而可得（H）求AJBC的面積，由已知,=道，

66JJ

4丁§1

sinJ=-,且。=二，可由正弦定理零工a=-.可由S=??acsin3求面積，故求出sinB即可，由

5352

47T

sinA=-,C=二，故由sin3=sin（T+Cj即可求出sin8,從而得面積.

53

、-…l/八,皿?口1+cos2Al+cos2BJ3.八，J3.…

試就解析：（I）由就總侍，---------------------=—sin2A------sin2B,即IIU

2222

—sin2A—cos24——sin2B—cos2B?

2222

jrjr

sin(2A--)=sin(2B--),由。*沙得，A^B,又4+6e(0,萬(wàn))，得

66

2A—工+28-工=萬(wàn)，即4+8=二，所以。=工；

6633

(II)由c="x/§',sin.1=—,—--=---得4=§，由av，，得H<C,從而cosH=±,故

5sinAsi.C55

4+'

sin8=sin修+Cj=sinJcosC+cosHFC=---「所以AX3C的面積為

10

<1._S>/3+18

S=—acsinB=-------.

225

試題點(diǎn)評(píng)：本題主要考查誘導(dǎo)公式，兩角和W差的三伊衛(wèi)數(shù)公式?二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三

角形面積公式，等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

7.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)II數(shù)學(xué)卷】

△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

(I)求B；

(II)若b=2,求aABC面積的最大值.

解：(I)因?yàn)閍=bcosC+csinB>所以由正弦定理得：sinA=s5"[cosC+sinCsinB,所以

丁

sin(B-HZ)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsi*'3,因?yàn)椤浮ā旯?,所以tan8=1,解得B二二；

4

(0)由余弦定理得；bz=az+cz-laccos即4=rJ-c：-J5ac,由不等式得：a：+c：22ac,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào)，所以42(2-解得所以△ABC的面積為

:acsin：Wx(4+2W)=J5"+L所以aAi?面積的最大值為W+l.

8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】

在△48C中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c.已知cos2A-3cos(8+C)=1.

(I)求角4的大小；

(H)若△ABC的面積S=56,b=5,求sinBsinC的值.

解：(I)由cos2A—3cos(8+C)=l,得2cos?A+3cosA—2=0,

即(2cosA-l)(cosA+2)=0,解得cosA=；或cosA=-2(舍去.

因?yàn)?<4<兀，所以人=工.

3

（II）由S=^bcsinA=?走=走。c=5造，得6c=20.乂b=5,知c=4.

2224

由余弦定理得/=/+,2-2&ccosA=25+16-20=21,故。=①.

又由正弦定理得sin8sinC=—sin4-—sinA=^1-sin2A=—x—=—.

aaa22147

【方法規(guī)律】常用三角形的面積公式

①S=-ah

2

②S=-absinC=—besmA=—acsinB

~222

,A-L-c

③S=y]pp—ap—bp—c=p，，（夕是周長(zhǎng)的一半,即P=1------，r為內(nèi)切

圓半徑）；

④5=爺（"為外接圓半徑）.

【解題技巧】在解三角形問(wèn)題時(shí).，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的綜合使用.

如：【浙江省“六市六?！甭?lián)盟2014屆高考模擬考試】在A48c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別

為a,b,c,K2acosA=/?cosC+ccos8.

（1）求角A的大??；

（2）若”=6,b+c=8,求AABC的面積.

解析：（1）日2a8s月=6cosC-ccosF二宗反定二二女正員工.名可緝cosM....4分

所以X……6分

?Q

（2）由余弦定理樂(lè)=4+二一2必Ub-+c--\、：.又計(jì)尸S,所以加=,……10分

由三角形面積公式$=聶加』得△x5Ct三伙為羋....1

考點(diǎn)：1、正弦定理；2、兩角和的三戶口數(shù)；3、代正定理.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用面積公式解三角形時(shí).，要注意不要漏解.如：

已知AABC的面積為之，且b=2,c=JJ,則/A等于（）

2

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

11qA7

【解析】由三角形的面積公式S=—AsinA,得一x2xJisinA=—,解得：sinA=—；