專題4.7平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題八下浙教）-【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【浙教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題4.7平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2021春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，連接AE，CF．求證：AE=CF．【答案】見解析【分析】連接AF，CE，利用平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO，BO=DO，再結(jié)合E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，得到四邊形AFCE是平行四邊形，即可求證．【詳解】證明：連接AF，CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，又∵E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，∴FO=12OD∴FO=EO，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE=CF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平四邊形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平四邊形的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E,F對(duì)角線AC上，且AE=CF，連接DE、求證：（1）ΔADE?ΔCBF；（2）四邊形DEBF是平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）四邊形DEBF是平行四邊形，見解析.【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法SAS，判斷出△ADE≌△CBF．（2）首先判斷出DE∥BF；然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，推得四邊形DEBF是平行四邊形即可．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//CB,AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在ΔADE和ΔCBF中，AD=CB∴ΔADE?ΔCBF(SAS)；（2）由（1）可得ΔADE?ΔCBF，∴DE=BF，∴∠AED=∠CFB，∴∠DEF=∠BFE，∴DE//BF，又∵DE=BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形.【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．3．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在6×6的方格紙中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，A，B兩點(diǎn)均在格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求在圖①，圖②中畫圖：(1)在圖①中，畫等腰△ABC，點(diǎn)C在格點(diǎn)上；(2)在圖②中，畫以A、B、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形，使其面積為5，且C、D兩點(diǎn)均在格點(diǎn)上.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作腰為5的等腰三角形即可；（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得．（1）解：如圖所示，（2）解：如圖所示，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．4．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C，D，E是五個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谒o的網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形．(1)從所給的五個(gè)格點(diǎn)中選出其中四個(gè)作為頂點(diǎn)畫一個(gè)平行四邊形．(2)直接寫出這個(gè)平行四邊形的面積為【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）直接根據(jù)點(diǎn)的位置和平行四邊形的判定解答即可；（2）將平行四邊形分成兩個(gè)三角形來(lái)求面積即可．（1）如圖，四邊形ABDE是平行四邊形．∵AB=DE=22+∴四邊形ABDE是平行四邊形．（2）如圖，連接BE，平行四邊形的面積=S故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和勾股定理，掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，三角形ABC和四邊形ABCD的所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．請(qǐng)你僅用一把無(wú)刻度的直尺按要求作圖，并保留作圖痕跡．(1)在圖1中找一個(gè)格點(diǎn)D，使四邊形ABCD是平行四邊形．(2)在圖2中作一個(gè)平行四邊形，使其面積是四邊形ABCD面積的2倍，且頂點(diǎn)A，B，C，D落在平行四邊形的邊或頂點(diǎn)上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義畫出圖形．（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，畫出面積為18的平行四邊形即可．（1）如圖，點(diǎn)D即為所求．（2）連接BD，過(guò)點(diǎn)A、C作BD的平行線，如圖，平行四邊形AMNG即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)．6．（2021春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知在?ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE=DF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長(zhǎng)線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF【答案】證明見解析【分析】由條件可證明△BEG≌△DFH，可得到GE=HF,∠BEG=∠DFH，可證得GE∥HF，可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD,AB∥∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴AG+AB=CD+CH，即BG=DH，在△BEG與△DFH中，BG=DH∠GBD=∠HDF∴△BEG≌△DFH（SAS），∴GE=HF,∠BEG=∠DFH，∴GE∥HF．∴四邊形GEHF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D、E、F分別足△ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)G．使得DE=EG，連接AE，F(xiàn)G．(1)求證：四邊形AEGF是平行四邊形．(2)若∠BAC=90°，AD=AC=3，求FG的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)結(jié)合已知條件，可得EG∥（2）根據(jù)勾股定理，求得BC的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得AE的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)∴DE=12∵DE=EG，∴EG=12AC∵F為AC的中點(diǎn)，∴AF=12∴EG∥∴四邊形AEGF是平行四邊形．（2）∵D是AB中點(diǎn)，∴AB=2AD=6，∵∠BAC=90°，∴BC=A∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE=12由（1）得四邊形AEGF是平行四邊形∴FG=AE=3【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AE=CF，DF=BE，DF∥BE．求證：(1)△AFD?△CEB；(2)四邊形ABCD是平行四邊形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易證明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易證明AD＝BC且AD∥BC，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來(lái)判定．（1）證明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，DF＝EB∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·浙江嘉興·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過(guò)A、C兩點(diǎn)分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形．(2)若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四邊形AFCE的面積．【答案】(1)證明見解析(2)S四邊形AFCE＝132cm2【分析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，證明△AED≌△CFB（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE＝BF，進(jìn)而可得OE＝OF，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AE＝CF＝12cm，根據(jù)勾股定理求得BE，BF，進(jìn)而求得EF，即可求解．（1）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB，在△AED和△CFB中∠AED=∠CFB∴△AED≌△CFB（AAS），∴DE＝BF，∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）∵四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝CF＝12cm，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴BF＝BC2-CF2＝5cm，BE∴EF＝BE﹣BF＝11cm，∴S四邊形AFCE＝2×12×AE×EF=11×12＝【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AD∥BC，AO＝(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，連接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)45°【分析】（1）證明△AOD≌△COB（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AD=BC，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，得出∠CBD=∠BDE=15°，求出∠ABD=30°，則可得出答案．（1）證明：∵AD∥∴∠ADO=∠CBO，又∵∠AOD=∠BOC，OB=OD，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵OB=OD，OE⊥BD，∴BE=ED，∴∠CBD=∠BDE=15°，∵∠CDE=15°，∴∠BDC=30°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∴∠ABD=∠BDC=30°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E為邊AC上，點(diǎn)F在邊AD上，AF=CE，EF與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)O．(1)求證：O是BD的中點(diǎn)，(2)若EF⊥BD，?ABCD的周長(zhǎng)為24，連結(jié)BF，則△ABF的周長(zhǎng)為【答案】(1)證明見詳解；(2)12．【分析】（1）由已知條件容易證得四邊形FBED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，EF與BD互相平分，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)．（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，可知FB=FD，推出△ABF的周長(zhǎng)=AB+AD即可解決問(wèn)題；（1）證明：連接FB、DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB=DC，AD=BC，AD//BC，∴FD∥BE．又∵AD=BC，AF=CE，∴FD=BE．∴四邊形FBED是平行四邊形．∴BO=OD．即O是BD的中點(diǎn)．（2）∵OB=OD，OF⊥BD，∴FB=FD，△ABF的周長(zhǎng)=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=12×24=12故答案為12．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．12．（2022春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，等邊△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝12BC，連接DE，CD，EF(1)求證：四邊形DCFE是平行四邊形．(2)若AB=6，求四邊形DCFE的周長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)6+6【分析】（1）只要證明DE∥CF，DE=CF即可解決問(wèn)題；（2）由四邊形DCFE是平行四邊形，可得EF=DC，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CD的長(zhǎng)，即可得出答案．（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC∵CF=12BC∴DE=CF，又∵DE∥CF，∴四邊形DCFE是平行四邊形．（2）解：由（1）得：四邊形DCFE是平行四邊形，∴EF=DC．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=6，∵D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，在Rt△BCD中，BC=6，∴CD=B∴EF=DC=33∴四邊形DCFE的周長(zhǎng)=23+3【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)．13．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥AB，E，F(xiàn)分別在線段OD，OB上，且OE=OF，連結(jié)CE，AF(1)求證：CE=AF；(2)若∠DBA=45°，AB=1，求直線AD與BC之間的距離．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，AO＝CO，又有∠COE＝∠AOF，OE＝OF，可得△CEO≌△AFO，可得CE＝AF；（2）由AC⊥AB，∠DBA＝45°，可得AB＝AO＝1，求出BC＝5，再利用等面積法可求得△ABC斜邊BC上的高，從而解決此題．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，∵∠COE＝∠AOF，OE＝OF，∴△CEO≌△AFO（SAS），∴CE＝AF；（2）解：∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∵∠DBA=45°，∴∠AOB=45°，∴OA=AB=1，∴AC=2OA=2，∴BC=12設(shè)AD、BC之間的距離為h，則h=1×25【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解決此題的關(guān)鍵．14．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，點(diǎn)M、N分別是AD、BC上的兩點(diǎn)，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且DM＝BN時(shí)，DF＝BE，求證：四邊形MENF是平行四邊形．【答案】見詳解．【分析】根據(jù)SAS可以證明△DMF≌△BNE．從而得到MF=NE，∠DFM=∠BEN．根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，可以證明∠FEN=∠EFM，則EN//FM．根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．在△BNE和△DMF中，BN=DM∴△BNE≌△DMF（SAS）,∴MF=NE，∠DFM=∠BEN,∴∠EFM=∠FEN,∴EN//FM．∴四邊形MENF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和判定．能夠根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)全等三角形．15．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)?？计谥校┳鲌D題：如圖，在方格紙中，請(qǐng)按要求畫出以AB為邊的格點(diǎn)四邊形．(1)在圖1中畫出一個(gè)?ABCD，使得格點(diǎn)P為?ABCD的對(duì)稱中心；(2)在圖2中畫出一個(gè)?ABCD，使得?ABCD的周長(zhǎng)為整數(shù)且鄰邊不垂直．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）連接BP并延長(zhǎng)，取BP=PD，連接AP并延長(zhǎng)，取AP=PC，依次連接AD，DC，CB即可求解．（2）根據(jù)題意BC=32+(1)解：連接BP并延長(zhǎng)，取BP=PD，連接AP并延長(zhǎng)，取AP=PC，依次連接AD，DC，CB，如圖所示：∵CD=BA，AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故邊形ABCD即為所求．(2)如圖所示：BC=32+∵BC=AD，CD=BA，∴四邊形ABCD為平行四邊形，且周長(zhǎng)=2×5+2×3=16，且鄰邊不垂直，故四邊形ABCD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—中心對(duì)稱圖形及平行四邊形的判定及性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，連接AE，AF，CE，CF．(1)若BE＝DF，則圖中共有多少對(duì)全等三角形，請(qǐng)分別寫出來(lái)．(2)若∠BAF＝∠DCE，求證：四邊形AECF是平行四邊形．【答案】(1)圖中有5對(duì)全等三角形，分別是△ABE≌△CDF，△BCE≌△DAF，△AEF≌△CFE，△ABF≌△CDE，△ADE≌△CBF；(2)見詳解【分析】（1）由題意易得AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，則有∠ABE=∠CDF，∠ADF=∠CBE，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的判定定理可進(jìn)行求解；（2）由題意易證△ABF≌△CDE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，∴∠ABE=∠CDF，∠ADF=∠CBE，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），△BCE≌△DAF（SAS），∴AF=CE，AE=CF，∵EF=FE，∴△AEF≌△CFE（SSS），∵BE＝DF，∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE，∵AB=CD，AF=CE，∴△ABF≌△CDE（SSS），同理可證△ADE≌△CBF，∴圖中共有5對(duì)全等三角形；(2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠BAF＝∠DCE，∴△ABF≌△CDE（ASA），∴∠AFB＝∠CED，AF＝CE，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)E、F分別是平行四邊形ABCD的邊BC、AD的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)若BC=12，∠BAC=90°，求平行四邊形AECF的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)24【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD=BC，再證AF=CE，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到AE=CE=12BC=6，再證平行四邊形【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵點(diǎn)E、F分別是平行四邊形ABCD的邊BC、AD的中點(diǎn)，∴AF=12AD，CE=12∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵BC=12，∠BAC=90°，E是BC的中點(diǎn)．∴AE=CE=12BC=6∵四邊形AECF是平行四邊形，∴平行四邊形AECF是菱形，∴平行四邊形AECF的周長(zhǎng)=4×6=24．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答該題的關(guān)鍵．18．（2022春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H在對(duì)角線BD上，且BG=DH．(1)求證：四邊形EHFG是平行四邊形．(2)如圖2，連AC交BD于點(diǎn)O，若AC=6，HG=2BH，求HF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)HF=【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證明△DEH≌△BFGSAS，可得EH=FG，∠EHD=∠FGB，再證明EH（2）證明HF是△OBC的中位線，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥∴∠EDH=∠FBG，∵E、F分別為?ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，∴DE=BF，在△DEH與△BFG中，DE=BF∠EDH=∠FBG∴△DEH≌△BFGSAS∴EH=FG，∠EHD=∠FGB，∴∠EHG=∠FGH，∴EH∥∴四邊形EHFG是平行四邊形．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=6，∴OA=OC=3，OB=OD，∵BG=DH，∴BG-GH=DH-GH，即BH=DG，∴OB-BH=OD-DG，即OH=OG，∵HG=2BH，∴BH=OH，∵F為BC的中點(diǎn)，∴HF是△OBC的中位線，∴HF=1【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的定義與性質(zhì)，熟練的利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明是解本題的關(guān)鍵．19．（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，AB=3，AC=2，BD=4(1)求證：AB⊥AC；(2)求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析；(2)AE=2【分析】（1）由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形；（2）先利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再求出平行四邊形ABCD的面積，即可求出AE的長(zhǎng)．（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC=2，BD=4，∴OA=12AC=1，OB=12BD又∵AB=3，∴OA2+AB2=OB2，∴△BAO為直角三角形，且∠BAO=90°，∴AB⊥AC；（2）解：∵△BAC為直角三角形，且∠BAC=90°，∴BC∵AB=3，AC=2∴BC=AB2∴S?∴AE=2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，能得出△BAC是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．20．（2021春·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，過(guò)點(diǎn)A作AD//BC，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2cm，連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)①AP=_______，CE=________；(用含t的式子表示)②若PE⊥BC，求BQ的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)問(wèn)是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①t，2t-2；②16(2)存在，t=4秒或12秒【分析】（1）①由運(yùn)動(dòng)知AP=t，CQ=2t，即可得出結(jié)論；②作AM⊥BC于M，由已知條件得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BM=CM，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AM=12BC=5，證出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2（2）分兩種情況，由平行四邊形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可．（1）解：①由運(yùn)動(dòng)知，AP=t，CQ=2t，∵在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2cm，∴CE=CQ-EQ=2t-2，故答案為t，2t-2；②作AM⊥BC于M，如圖所示，∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM＝12BC＝5cm∵AD∥BC，∴∠PAC=∠C=45°，∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，∵CE=CQ-QE=2t-2，∴5-t=2t-2，∴t=73∴BQ=BC-CQ=10-2×73=16（2）存在，t=4或12s；理由如下：當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段BC上時(shí)，若以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則AP=BE，∴t=10-2t+2，解得：t=4，當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則AP=BE，t=2t-2-10，解得：t=12，∴存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，t=4秒或12秒．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．21．（江蘇省無(wú)錫市宜興市和橋鎮(zhèn)第二中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知，如圖在?ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OD，BO上，且OE＝OF，連接AE，CF．(1)如圖1，求證：AE＝CF；(2)如圖2，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)H．求證：AH＝CG．【答案】(1)證明見解析．(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC，又因?yàn)椤螦OE=∠COF，OE=OF，進(jìn)而可證明△AOE≌（2）由（1）得△AOE≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EAO=∠FCO，進(jìn)而可得AG∥CF；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，進(jìn)而可證四邊形（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC又∵∠AOE=∠COF，OE=OF∴△AOE≌∴AE=CF．（2）證明：由（1）得△AOE≌∴∠EAO=∠FCO∴AG∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB即AH∥∴四邊形AHCG是平行四邊形∴AH=CG．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握性質(zhì)與判定定理是解決本題的關(guān)鍵．22．（江蘇省無(wú)錫市江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，用無(wú)刻度的直尺按下列要求作圖．(1)在圖1中，作邊AD上的中點(diǎn)F；(2)在圖2中，作邊AB上的中點(diǎn)G．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可在圖1中，作邊AD上的中點(diǎn)F；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)在圖2中，作兩次平行四邊形即可作邊AB上的中點(diǎn)G．（1）解：在圖1中，點(diǎn)F即為邊AD上的中點(diǎn)；（2）在圖2中，點(diǎn)G即為邊AB上的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫圖．23．（江蘇省常州市溧陽(yáng)市2020-2021學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接AE．（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；（2）求△AFE的面積．【答案】（1）見解析；（2）90【分析】（1）證明AB∥CE，AB＝CE即可；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，過(guò)點(diǎn)A作AJ⊥EF于J．證明AJCK＝AFFC，求出CT，△【詳解】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上，∴AC＝CE＝AB，∠ACB＝∠DCE，CB＝CD，∴∠B＝∠CDB，∴∠CDB＝∠DCE，∴AB∥CE，∴四邊形ABCE是平行四邊形．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，過(guò)點(diǎn)A作AJ⊥EF于J．∵CB＝CD＝5，CT⊥BD，∴BT＝DT，設(shè)BT＝x，∵CT∴52∴x=25∴BD=2x=257∴AD=∵S△ADE∴AJCT∵SΔAEF∵∠CDB∴CT＝∴AFFC＝AJCT＝∴AF＝2473AC∴S△AEF＝2473S△AEC＝2473×12×7×15【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的證明以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的證明方法以及勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．24．（江蘇省南通市海安市曲塘中學(xué)2018-2019學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于對(duì)角線AC，垂足是E，連接BE．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE的面積等于23，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）利用兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行證明；（2）設(shè)CD的長(zhǎng)為a，則CE＝12a，，DE＝32a，S△CED＝38a2，由面積關(guān)系可得38a2+38a2＝23【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠DAB+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠DAB＝∠BCD，且∠ABC＝∠ADC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE＝CD，∠BAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，在Rt△CDE中，設(shè)CD的長(zhǎng)為a，則CE＝12a，DE＝32a，S△CED＝38因?yàn)椤鰿ED與△CEB是同底等高的三角形，∴S△CED＝S△CEB，又∵S四邊形BCDE＝S△CED+S△CEB＝23，∴38a2+38a2＝2∴a＝22，∴CE＝12a＝2【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，同底等高三角形面積的關(guān)系，題中證明S△CED＝S△CEB是解題的關(guān)鍵，由此將不規(guī)則四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，且是直角三角形，降低了解題的難度.25．（【新東方】初中數(shù)學(xué)1002【2020年】【初二下】）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，（1）當(dāng)0<t<10.5時(shí)，若四邊形PQDC是平行四邊形，求出滿足要求的t的值；（2）當(dāng)0<t<10.5時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，求相應(yīng)的t（3）當(dāng)10.5≤t<16時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，求相應(yīng)的t【答案】（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出DQ=CP，當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動(dòng)，由題意得出方程，解方程即可；（2）當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動(dòng)，由梯形面積公式得出方程，解方程即可；（3）當(dāng)10.5≤t＜16時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)返回，由梯形面積公式得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵四邊形PQDC是平行四邊形，∴DQ=CP，當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動(dòng)，如圖1所示：∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t∴16-t=21-2t解得：t=5；即當(dāng)t=5秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；（2）當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動(dòng)，如圖1所示：CP=21-2t，DQ=16-t，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，則12（DQ+CP）×AB=60即12（16-t+21-2t）×12=60解得：t=9；即當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，t的值為9秒；（3）當(dāng)10.5≤t＜16時(shí)，如圖2所示，點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)返回，CP=2t-21，DQ=16-t，則同（2）得：12（DQ+CP）×AB=60即12（16-t+2t-21）×12=60解得：t=15．即當(dāng)10.5≤t＜16時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，t的值為15秒．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、梯形的面積等知識(shí)，熟練掌握直角梯形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（浙江省杭州市公益中學(xué)2020-2021學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°．（1）求證：AB＝AE；（2）若ABBC＝m（0＜m＜1），AC＝43，連接OE①若m＝12，求平行四邊ABCD②設(shè)S四邊形OECDSΔAOD＝k，試求【答案】（1）見解析；（2）①163；②m+k＝2．【分析】（1）根據(jù)?ABCD中，∠ADC=60°，可得△ABE是等邊三角形，進(jìn)而可以證明結(jié)論；（2）①根據(jù)ABBC=m=12，可得AB=12BC，證明∠BAC=90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得平行四邊ABCD的面積；②根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得S△AOD=S△BOC，S△BOC=12S△BCD，由△ABE是等邊三角形，可得BE=AB=mBC，由△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，設(shè)BC邊上的高為h，BC的長(zhǎng)為b，分別表示出四邊形OECD和三角形【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE；（2）解：①∵ABBC∴AB＝12BC∴AE＝BE＝12BC∴AE＝CE，∵∠ABC＝60°，ABBC∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，當(dāng)AC＝43時(shí)，AB＝4∴平行四邊ABCD的面積＝2S△ABC＝2×12AB?AC＝4×43＝16②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝12S△BCD∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝mBC，∵△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，設(shè)BC邊上的高為h，BC的長(zhǎng)為b，∴S△BCD＝12×bh，S△OBE＝12×h2×mb∴S四邊形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝bh2﹣mbh4＝（12﹣m∵S△AOD＝12×h∴S四邊形∴2﹣m＝k，∴m+k＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì).27．（江蘇省泰州市醫(yī)藥高新區(qū)（高港區(qū)）部分學(xué)校2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期第一次獨(dú)立作業(yè)數(shù)學(xué)試題）問(wèn)題：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長(zhǎng)．(1)答案：EF＝_________．(2)探究：把“問(wèn)題”中的條件“AB＝7”去掉，其余條件不變．①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)．(3)把“問(wèn)題”中的條件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求ADAB【答案】(1)1(2)①8；②4(3)2或13或【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得DE=AD=4，CF=BC=4，可求解；（2）①證∠DEA=∠DAE，得DE=AD=4，同理BC=CF=4，即可求解；②由題意得DE=AD=4，再由CF=BC=4，即可求解；（3）分三種情況，由（l）的結(jié)果結(jié)合點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，分別求解即可．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=7，BC=AD=4，AB∥CD，∴∠DEA=∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DEA=∠DAE，∴.DE=AD=4，同理可得CF=BC=4，∴EF=DE+FC-CD=1，故答案為：1；（2）①如圖1所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，BC=AD=4，AB∥CD，∴∠DEA=∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DEA=∠DAE，∴DE=AD=4，同理：BC=CF=4，∵點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，∴AB=CD=DE+CF=8；②如圖2所示：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴DE=AD=4，∵CF=BC=4，∴點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，∴EF=DC=4；（3）分三種情況①如圖3所示：同（1）得：AD=DE，∵點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，∴AD=DE=EF=CF，∴ADAB=13；②如圖4所示：同（1）得：AD=DE=CF，∵DF=FE=CE，∴ADAB=23；③如圖5所示：同（1）得：AD=DE=CF，∵DF=DC=CE，∴ADAB=2；綜上所述，AD【點(diǎn)睛】本題四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．28．（江蘇省儀征市古井中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期階段性練習(xí)試題）已知，平行四邊形ABCD中，一動(dòng)點(diǎn)P在AD邊上，以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D(1)如圖①，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若CP平分∠BCD，且滿足CD=CP，求∠ABC的度數(shù)．(2)如圖②，在（1）問(wèn)的條件下，連接BP并延長(zhǎng)，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，若AB=8cm，求△APF(3)如圖③，另一動(dòng)點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)(同時(shí)Q點(diǎn)也停止)，若AD=12cm，則t為何值時(shí)，以P，D，Q，【答案】(1)60°(2)16(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4.8秒或8秒或9.6秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．【分析】（1）易證∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，則△PDC是等邊三角形，即可得出結(jié)果；（2）如圖②中，由四邊形ABCD是平行四邊形，推出AB∥CD，BC∥AD，CD=AB=8cm，推出S△PBC=SFAB（3）若以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，則PD=BQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分①當(dāng)0＜t≤3時(shí)；②當(dāng)3＜t≤6時(shí)；③當(dāng)6＜t≤9時(shí)；④當(dāng)9＜t≤12時(shí)，四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC∴∠DPC＝∠PCB

∵CP平分∠BCD，

∴∠PCD＝∠PCB，∴∠DPC＝∠DCP，

∴DP＝DC．∵CD＝CP，

∴PC＝CD＝PD，∴△PDC是等邊三角形

∴∠D＝∠B＝60°；（2）解：如圖②中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，BC∥AD，CD=AB=8cm∴S△PBC∴S∴S∴S△APF∵△PCD為等邊三角形，∴PD=CD=8cm，PD邊上的高為CD2×3∴S△APF（3）解：解：四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴PD∥BC若要使四邊形PDQB是平行四邊形，則PD＝BQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，PD＝12-t，BQ＝12-4t，∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合題意，舍去；②當(dāng)3＜t≤6時(shí)，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；

③當(dāng)6＜t≤9時(shí)，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，∴12-t＝36-4t，解得t＝8；

④當(dāng)9＜t≤12時(shí)，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；

綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4.8秒或8秒或9.6秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，第二個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．29．（北京市上地實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知?ABCD中，AC⊥BC，AC=BC．(1)如圖1，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若BC=4，求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線BE交直線AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE交直線CD于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)M，連接FH．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合）時(shí)，判斷線段BH、AF、FH的數(shù)量關(guān)系，并證明．②當(dāng)點(diǎn)E在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若∠BEC>45°，判斷線段BH、AF、FH之間的數(shù)量關(guān)系，在圖【答案】(1)BD＝4(2)①BH＝AF＋FH，證明見解析；②畫圖見解析；當(dāng)90°<∠BEC<180°時(shí)，有AF＝BH＋FH；當(dāng)45°<∠BEC<90°時(shí)，有FH＝BH＋AF；當(dāng)【分析】（1）先由?ABCD性質(zhì)求出OC=2，在Rt△BCO中，由勾股定理求解即可；（2）①延長(zhǎng)AF和BC交于點(diǎn)G，先證△BCH≌△ACG(ASA)，得BH＝AG，HC＝CG，再證△FCH≌△FCG(SAS)，得HF＝FG，即可得出結(jié)論BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH；②分三種情況：當(dāng)90°<∠BEC<180°時(shí)，有AF＝BH＋FH，畫出圖形；當(dāng)45°<∠BEC<90°時(shí)，有FH＝(1)解：∵?ABCD，∴0C＝12AC，BD=2BO∵AC⊥BC，AC＝BC，BC＝4，∴OC＝12在Rt△BCO中，BO=B∴BD＝45(2)①BH＝AF＋FH，證明：延長(zhǎng)AF和BC交于點(diǎn)G，∵AC⊥BC，AF⊥BE，∴∠HBC＋∠BHC＝∠AHM＋∠HAF＝90°∵∠BHC＝∠AHM，∴∠HBC＝∠HAF，在△BCH和△ACG中，∠HBC=∠CAGBC=AC∴△BCH≌△ACG(ASA)，∴BH＝AG，HC＝CG，在△FCH和△FCG中，HC=CG∠HCF=∠GCF∴△FCH≌△FCG(SAS)，∴HF＝FG，∴BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH，②當(dāng)90°<∠BEC<180°時(shí)，有AF＝理由：延長(zhǎng)FH、BC相交于G，連接AG，設(shè)AF交BC于N，∵AC⊥BC，∴∠HBC+∠BHC=90°，∵AM⊥BH，∴∠HAM+∠BHC=90°，∴∠HBC=∠HAM，即∠HBC=∠CAN，在△BCH和△ACN中，∠HBC=∠CANBC=AC∴△BCH≌△ACN(ASA)，∴CH＝CN，∠BHC=∠ANC，∵AC⊥BC，AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵?ABCD，∴DC∥AB，∴∠FCB=∠ABC=45°，∠FCH=∠BAC=45°，∴∠FCB=∠FCH，在△FCN和△FCH中，在△FCN和△FCH中，CN=CH∠FCN=∠FCH∴△FCN≌△FCH(SAS)，∴∠CFN=∠CFH，∵∠GHC=∠CFG+∠FCH，∠ANC=∠FCN+∠CFN，∵∠BHC=∠ANC，∴∠GHC=∠BHC，在△BCH和△GCH中，∠BHC=∠GHCCH=CH∴△BCH≌△GCH(ASA)，∴GH=BH，BH=CH，∠HBC=∠HGC，∴CH=AC，∠FAH=∠HGC，∴∠CAG=∠CGA，∴∠F