2021年福建省中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合要求的。

1.（4分）在實(shí)數(shù)如，.1,0,-1中，最小的數(shù)是（）

2

A.-1B.0C.AD.V2

2

2.（4分）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

3.（4分）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠8之間的距離，在學(xué)校附近

選一點(diǎn)C,利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得N4=60°ZC=90°,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與

工廠之間的距離A8等于（）

A.2kmB.3kmC.D.4km

4.（4分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2。-=2B.（67-1）2=a2-1

C.+=D.（202=4/

5.（4分）某校為推薦一項(xiàng)作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對(duì)甲、乙、丙、丁四項(xiàng)候選作品進(jìn)

行量化評(píng)分，具體成績(jī)（百分制）如表:

項(xiàng)目甲乙丙丁

作品

創(chuàng)新性90959090

實(shí)用性90909585

如果按照創(chuàng)新性占60%,實(shí)用性占40%計(jì)算總成績(jī)，并根據(jù)總成績(jī)擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推

薦的作品是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.（4分）某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)

展理念，該市大力開展植樹造林活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林

覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x,那么，符合題意的方程是（）

A.0.63（1+x）=0.68B.0.63（1+x）2=0.68

C.0.63（l+2x）=0.68D.0.63（l+2x）2-=0.68

7.（4分）如圖，點(diǎn)F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，AABF為等邊三角形，則ZAFC等于（）

C.126°D.132°

8.（4分）如圖，一次函數(shù)、=自+分a>0）的圖象過點(diǎn)（-1,0）,則不等式&（x-l）+b

A.x>-2B.x>-1C.x>0D.x>l

9.（4分）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)P在A5的延長(zhǎng)線上，PC,尸。與0。相切，切點(diǎn)分

別為C,D.若A3=6,PC=4,則sinNCA。等于（）

5345

10.（4分）二次函數(shù)了=蘇-2ax+c（a>0）的圖象過A（-3,yi）,B（-1,”），C（2,

”），D（4,泗）四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（）

A.若yi”>0,則y3y4>0B.若yiy4>0,貝Uy2y3>0

C.若"）4<0,貝Uyiy3VoD.若*y4V0,貝Uyiy2Vo

二、填空題:本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.（4分）若反比例函數(shù)y=K的圖象過點(diǎn)（1,1）,則左的值等于.

x

12.（4分）寫出一個(gè)無(wú)理數(shù)x,使得1cxV4,則x可以是（只要寫出一

個(gè)滿足條件的x即可）

13.（4分）某校共有1000名學(xué)生.為了解學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)分布情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)

生的中長(zhǎng)跑成績(jī)，畫出條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖.根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可估計(jì)該校中長(zhǎng)跑成績(jī)

.若/B=90°,BD=M，則點(diǎn)。到AC的距

離是

BD

15.（4分）已知非零實(shí)數(shù)x,y滿足y=3,則x~+3xy的值等于____.

x+1xy

16.（4分）如圖，在矩形ABC。中，A8=4,AD=5,點(diǎn)E,尸分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)E不與A,B重合，且EF=AB,G是五邊形AEFC7）內(nèi)滿足GE=GF且/EGP=90°

的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①NGEB與NGFB一定互補(bǔ)；

②點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等；

③點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等；

④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2M.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（8分）計(jì)算：V12+IV3-3I-4）-1-

18.（8分）如圖，在△ABC中，。是邊BC上的點(diǎn)，DELAC,DFVAB,垂足分別為E,F,

且DE=QF,CE=BF,求證：NB=NC.

B

D

x>3-2x①

19.（8分）解不等式組：，x-1x-3

<10,

26

20.（8分）某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品

的利潤(rùn)是40元.

（1）已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元，問：該公司當(dāng)月零售、

批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？

（2）經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000

箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是

多少？

21.（8分）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°.線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F

在邊BC上，△EFZ）是以Ek為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)。恰好在4c的延長(zhǎng)線上.

（1）求證：NADE=NDFC；

（2）求證：CD=BF.

D

22.（10分）如圖，已知線段AR±AK,垂足為A.

（1）求作四邊形48CZ）,使得點(diǎn)8,。分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a,ZABC

=60°,CO〃A&（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,。分別為（1）中四邊形4BC力的邊AB,C。的中點(diǎn)，求證：直線AD,BC,

PQ相交于同一點(diǎn).

,a________,

RMN

23.（10分）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王

有上、中、下三匹馬Ai,Bi,Ci,田忌也有上、中、下三匹馬A2,C2,且這六匹馬

在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：AI>A2>8I>82>CI>C2(注：A>8表示A馬與

B馬比賽，A馬獲勝).一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三

局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”

順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、

中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣(C2A1,AIB\,B2C1)獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以

弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)

比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

(2)如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說

明理由；若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

24.(12分)如圖，在正方形ABC。中，E,尸為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于OE

的對(duì)稱點(diǎn)為A',A4'的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G.

(1)求證：DE//A'F；

(2)求NGA'8的大??；

(3)求證：A'C=24'B.

25.(14分)已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)若拋物線過點(diǎn)P(0,1),求的最小值；

(2)已知點(diǎn)Pi(-2,1),P2(2,-1),尸3(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：y=fcv+l與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線y=-1上，且NAMN=90°,

過點(diǎn)4且與x軸垂直的直線分別交拋物線和/于點(diǎn)8,C.求證：△M4B與的面

枳相等.

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合要求的。

1.（4分）在實(shí)數(shù)加，工，0,-1中，最小的數(shù)是（）

2

A.-1B.0C.AD.J2

2

【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,即可比較出大小，從而得到最小的數(shù).

【解答】解：：-1＜0＜工＜五,

2

最小的是-1,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的比較大小，知道負(fù)數(shù)小于0是解題的關(guān)鍵.

2.（4分）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

主視方向

【解答】解：從上邊看，是一個(gè)正六邊形，六邊形內(nèi)部是一個(gè)圓，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，俯視圖是從上面看的到的圖形，注意看到的

線畫實(shí)線，看不到的線畫虛線.

3.（4分）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠8之間的距離，在學(xué)校附近

選一點(diǎn)C,利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得/A=60°,NC=90°,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與

工廠之間的距離A8等于（）

A.2kmB.3kmC.2A/3^/MD.4km

【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對(duì)直

角邊是斜邊的一半，即可得出答案.

【解答】解：?.,乙4=60°,ZC=90°,AC=2W",

/.ZB=30°,

：.AB=2AC=4（.km）.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

4.（4分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2a-a=2B.（a-1）2=a2-1

C.^-T-a3—a2D.（2a3）2=4a6

【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式，同底數(shù)幕的除法法則以及積的乘方

運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【解答】解：A.2a-a=a,故本選項(xiàng)不合題意；

B.（a-1）2—（T-2a+l,故本選項(xiàng)不合題意；

C.a6^a3^a3,故本選項(xiàng)不合題意；

D.（2a3）2=4〃6,故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)，完全平方公式，同底數(shù)幕的乘法以及辱的乘方，掌握

相關(guān)公式與運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

5.（4分）某校為推薦一項(xiàng)作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對(duì)甲、乙、丙、丁四項(xiàng)候選作品進(jìn)

行量化評(píng)分，具體成績(jī)（百分制）如表：

項(xiàng)目甲乙丙T

作品

創(chuàng)新性90959090

實(shí)用性90909585

如果按照創(chuàng)新性占60%,實(shí)用性占40%計(jì)算總成績(jī)，并根據(jù)總成績(jī)擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推

薦的作品是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】首先根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的含義和求法，分別求出四人的平均成績(jī)各是多少；然后

比較大小，判斷出誰(shuí)的平均成績(jī)最高，即可判斷出應(yīng)推薦誰(shuí).

【解答】解：甲的平均成績(jī)=90義60%+90義40%=90（分），

乙的平均成績(jī)=95X60%+90X40%=93（分），

丙的平均成績(jī)=90X60%+95X40%=92（分），

丁的平均成績(jī)=90X60%+85X40%=88（分），

；93>92>90>88,

...乙的平均成績(jī)最高，

二應(yīng)推薦乙.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了加權(quán)平均數(shù)的含義和求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要

明確：數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”，要突出某個(gè)數(shù)據(jù)，只需要給它較大的

“權(quán)”，權(quán)的差異對(duì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生直接的影響.

6.（4分）某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)

展理念，該市大力開展植樹造林活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林

覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x,那么，符合題意的方程是（）

A.0.63（1+x）=0.68B.0.63（1+x）2=0.68

C.0.63（l+2r）=0.68D.0.63（l+2x）2=0.68

【分析】設(shè)從2018年起全市森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2018年及2020年的

全市森林覆蓋率，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)從2018年起全市森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)題意得：0.63（1+x）2=0.68.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

7.（4分）如圖，點(diǎn)F在正五邊形488￡：的內(nèi)部，A4B/為等邊三角形，則乙4%t等于（）

A.108°B.120°C.126°D.132°

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AF=8F,NAFB=NABF=60°,由正五邊形的性

質(zhì)得到AB=BC,NABC=108°,等量代換得到BF=BC,/尸8c=48°,根據(jù)三角形

的內(nèi)角和求出NBFC=66°,根據(jù)NAFC=/Aq+NBFC即可得到結(jié)論.

【解答】解：???△4BF是等邊三角形，

：.AF=BF,ZAFB=ZABF=60Q,

在正五邊形A8CDE中，AB=BC,NABC=108°,

：.BF=BC,ZFBC^ZABC-ZABF=4Sa,

.,.NBFC=18°°_/FBC=66。,

2

ZAFC=NAFB+NBFC=126°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記

正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵.

8.（4分）如圖，一次函數(shù)、=依+6（A>0）的圖象過點(diǎn)（-1,0）,則不等式表（x-1）+b

>0的解集是（)

yt

J\.■

/l1v

A.x>-2B.x>-1C.x>0D.x>\

【分析】先把(-1，0)代入了=丘+匕得匕=七則k(x-1)+6>0化為k(x-1)+女>0,

然后解關(guān)于x的不等式即可.

【解答】解：把(-1,0)代入尸區(qū)+b得-好b=0,解匕=鼠

則上(x-1)+b>0化為k(x-\)+k>0,

而k>0,

所以x-1+1>0,

解得x>0.

故選：C.

方法二：

一次函數(shù)〉=仃+人(左>0)的圖象向右平移1個(gè)單位得y=k(X-1)+b,

?.,一次函數(shù)y=fcc+b(k>0)的圖象過點(diǎn)(-1,0),

二一次函數(shù)y=&(x-1)+b(jt>0)的圖象過點(diǎn)(0,0),,

由圖象可知，當(dāng)x>0時(shí)，k(x-1)+b>0,

不等式k(x-1)+Z?>0的解集是x>0,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，把點(diǎn)(-1,0)代入解析式求得上與6

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.(4分)如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)尸在AB的延長(zhǎng)線上，PC,P￡>與。0相切，切點(diǎn)分

別為C,D.若AB=6,PC=4,則sin/。。等于()

A.3B.2c.3D.A

5345

【分析】連接OC、OD、CD,C￡＞交融于E,如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到

OC1CP,PC=PD,OP平分NCPO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OPLCD,則/C08

=NDOB,根據(jù)圓周角定理得到NCAQ=』NC。。，所以NCOB=/CA。，然后求出sin

2

NCOP即可.

【解答】解：連接OC、OD、CD,CD交抬于E,如圖，

；PC,尸。與。O相切，切點(diǎn)分別為C,D,

：.OCLCP,PC=PD,OP平分NCPD,

...OPLCD,

.??CB=DB?

：.ZCOB=ZDOB,

"：ZCAD^l,ZCOD,

2

J.ZCOB^ZCAD,

在Rt4°CP中，吁依2+pcj2+42=5,

sinZCOP=^-=—,

OP5

sinZCAD=—.

5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定

理和解直角三角形.

10.（4分）二次函數(shù)y=o?-25+c（4>0）的圖象過4（-3,yi）,B（-1,⑶，C（2,

”），D（4,以）四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（）

A.若yiy2>0,貝!]y3y4>0B.若yiy4>0,則”y3>0

C.若*y4V0,則yiy3VoD.若y3y4V0,則yiy2<0

【分析】觀察圖像可知，yi>），4>y2>”，再結(jié)合題目一一判斷即可.

觀察圖像可知，yi>），4>”>），3,

若yi”>0,則**>0或y3y4<0,選項(xiàng)A不符合題意，

若若yiy4>0,則y2y3>0或y2y3<0,選項(xiàng)B不符合題意，

若y2y4<0,則yiy3<0,選項(xiàng)C符合題意，

若）知4<0,則yiy2Vo或yiy2>0,選項(xiàng)。不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決

問題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.（4分）若反比例函數(shù)y=K的圖象過點(diǎn)（1,1）,則%的值等于1.

X

【分析】把點(diǎn)（1,1）代反比例函數(shù)y=K,即可求出k的值.

X

【解答】解：?.?反比例函數(shù)y=K的圖象過點(diǎn)（1,1）,

X

**?k=1X1=1,

故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解

題的關(guān)鍵.

12.（4分）寫出一個(gè)無(wú)理數(shù)x,使得l<x<4,則x可以是（只要寫出一個(gè)滿足條

件的x即可）

【分析】根據(jù)1<圾<4即可得解.

【解答】解：Vl<2<16,

???、門是無(wú)理數(shù)，

故答案為：V2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備

的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.

13.（4分）某校共有1000名學(xué)生.為了解學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)分布情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)

生的中長(zhǎng)跑成績(jī)，畫出條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖.根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可估計(jì)該校中長(zhǎng)跑成績(jī)

【分析】用總?cè)藬?shù)乘以長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)所占的百分比即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

1000X_2L=270（人），

100

故答案為：270.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問

題的關(guān)鍵.

14.（4分）如圖，是aABC的角平分線.若N2=90°,BD=M，則點(diǎn)。到AC的距

離是

B~~DC

【分析】由角平分線的性質(zhì)可求OE=B￡>=?,即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作。ELAC于E,

B~~DC

?.,A。是△ABC的角平分線.ZB=90",DELAC,

:.DE=BD=M，

.?.點(diǎn)。到AC的距離為

故答案為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題

的關(guān)鍵.

15.（4分）已知非零實(shí)數(shù)X,y滿足y=上，則X-y+3xy的值等于4.

x+1xy

【分析】由），=」-得：工-丁=肛，整體代入到代數(shù)式中求值即可.

x+1

【解答】解：由y=/4導(dǎo)：xy+y=x,

X+1

=

Ax-yxyf

/JM^=xy+3xy

xy

=4xy

xy

=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的值，對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到x-y=孫，把x-y看作整體，代

入到代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵.

16.（4分）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,點(diǎn)E,尸分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)E不與A,8重合，KEF=AB,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且/EGF=90°

的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①NGEB與NGFB一定互補(bǔ)；

②點(diǎn)G到邊AB,8c的距離一定相等；

③點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等；

④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2M.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NB=90°,又NEGF=90°,有三角形內(nèi)角和為360°可

判斷①；

過G作GMLAB,GN1BC,分別交AB于M,交BC于N,根據(jù)GE=GF且/EGF=90°,

NGEF=NGFE=45°,可以求出/GEM=NGFM然后證明△GEA/g/\GFN,可以判

斷②；

由AB=4,AO=5和②的結(jié)論可以判斷③；

當(dāng)四邊形E8FG是正方形時(shí)，點(diǎn)G到的距離最大，從而可以判斷④.

【解答】解：；四邊形ABC。是矩形，

；.NB=90°,

又,.?/EGF=90°,四邊形內(nèi)角和是360°,

.,.ZGEB+ZGFB=180°,

故①正確；

過G作GM_LA8,GN1BC,分別交AB于M,交8c于M

：GE=GF且NEGF=90°,

:.NGEF=/GFE=45°,

又.../3=90°,

；.NBEF+NEFB=90°,BPZBEF=90°-NEFB,

VZGEM=180°-ZBEF-ZG￡F=180°-45°-(90°-ZEFB)=45°+ZEFB,

ZGFN=ZEFB+ZGFE=ZEFB+45°,

"GEM=ZGFN,

在△GE/W和△GFN中，

，ZGME=ZGNF=90°

,ZGEM=ZGFN，

GE=GF

:./XGEMm叢GFN(A4S),

:.GM=GN,

故②正確；

"：AB=4,AD=5,并由②知，

點(diǎn)G到邊AO,DC的距離不相等，

故③錯(cuò)誤：

當(dāng)四邊形EBFG是正方形時(shí)，點(diǎn)G到A8的距離最大，

"：EF=AB=4,

，GE=EB=BF=FG=4X返=2圾，

故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是

對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用.

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(8分)計(jì)算：V12+IV3-3I-4)-1-

【分析】直接利用算術(shù)平方根以及絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答

案.

【解答】解：原式=2&+3-3

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了算術(shù)平方根以及絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)，正確化

簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.（8分）如圖，在△A8C中，。是邊8c上的點(diǎn)，DELAC,DFLAB,垂足分別為E,F,

且DE=O尸，CE=BF.求證：NB=NC.

【分析1由垂直的定義，DE=DF,CE=BF證明△BDF-CDE,得出對(duì)應(yīng)角相等即可.

【解答】證明：；OE_LAC,DFLAB,

:.NBFD=NCED=90",

在△B。尸和△€!)￡■中，

'DF=DE

,ZBFD=ZCED>

,BF=CE

:.△BDFQACDE(SAS),

:.NB=ZC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠證明△BQF絲是解決問題的

關(guān)鍵.

'x〉3-2x①

19.（8分）解不等式組：］x-1x-3—.

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式①，得：

解不等式②，得：x<3,

則不等式組的解集為l<x<3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

20.（8分）某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品

的利潤(rùn)是40元.

（1）已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元，問：該公司當(dāng)月零售、

批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？

（2）經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000

箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是

多少？

【分析】（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品x箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（100-x）箱，依

據(jù)該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元，列方程求解即可.

（2）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品機(jī)箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（1000-機(jī)）箱，該公司獲

得利潤(rùn)為y元，進(jìn)而得到y(tǒng)關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品x箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（100-x）箱，

依題意得

70x+40（100-x）=4600,

解得：x=20,

100-20=80（箱），

答：該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品80箱；

（2）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品加箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（1000-,〃）箱，依題意得

，后1000X30%,

解得〃運(yùn)300,

設(shè)該公司獲得利潤(rùn)為y元，依題意得

y=70，”+40（1000-m'）,

即y=30/n+40000,

V30>0,y隨著m的增大而增大，

.?.當(dāng)m=300時(shí)，y取最大值,此時(shí)產(chǎn)30X300+40000=49000（元），

批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為10000-^=700（箱），

答：該公司零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是300箱，700箱時(shí)，獲得最大利潤(rùn)為49000

元.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式，

熟練掌握函數(shù)性質(zhì)根據(jù)自變量取值范圍確定函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵.

21.（8分）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°.線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F

在邊8c上，△￡/￡)是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)O恰好在AC的延長(zhǎng)線上.

(1)求證：NADE=NDFC；

(2)求證：CD=BF.

【分析】(1)由N4CB=90°,得/4。8=/。3尸+/。只?=90°,/\￡7力是以EF為斜

邊的等腰直角三角形，得/E￡>F=90°,NEDF=NADE+NCDF=90°,由等量代換得

NADE=ZDFC；

(2)證明四邊形ABEF是平行四邊形，得NDAE=NFCD,AE=BF,再證

CFD,得AF=C￡>,由等量代換得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：'：ZACB=90°,

ZACB=ZCDF+ZDFC=90°,

'：/\EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，

:.NEDF=90°,DE=FD,

'：NEDF=ZADE+ZCDF=90a,

：.NADE=NDFC；

(2)

連接AE,

?.?線段E尸是由線段AB平移得到的,

J.EF//AB,EF=AB,

.?.四邊形A8EF是平行四邊形，

：.AE//BC,AE=BF,

：.ZDAE=ZBCA=90°,

：.ZDAE=ZFCD,

在△AQE和△（7/￡）中，

rZDAE=ZFCD

?ZADE=ZDFC>

DE=FD

:.AADE經(jīng)4CFD（AAS）,

：.AE=CD,

'：AE=BF,

：.CD=BF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等判定與性質(zhì)、等腰直角三角形和平移的性質(zhì)，熟練掌握

三角形全等判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（10分）如圖，已知線段MN=a,AR±AK,垂足為A.

（1）求作四邊形ABC。，使得點(diǎn)B,。分別在射線4K,AR上，且AB=BC=a,ZABC

=60°,CD//AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)尸，。分別為（1）中四邊形ABCZ）的邊A8,C。的中點(diǎn)，求證：直線A。，BC,

尸。相交于同一點(diǎn).

,°_______,

RMN

【分析】（1）先截取A8=a,再分別以A、B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,然

后過C點(diǎn)作AR的垂線得到CD；

（2）證明：設(shè)PQ交AD于G,BC交4。于G',利用平行線分線段成比例定理得到世

GA

=12,￡1_D=DC=2PQ=DQ,則義上=@1,于是可判斷點(diǎn)G與點(diǎn)G'重合.

APGzAAB2APAPG'AGA

【解答】（1）解：如圖，四邊形ABC。為所作;

RAfN

(2)證明：設(shè)尸。交AZ)于G,2C交AO于G',

'JDQ//AP,

?GD=DQ(

"GAAP'

'：DC//AB,

z

.GD=DC

"GJAAB"

VP,。分別為邊AB,CO的中點(diǎn)，

：.DC=2DQ,AB=2AP,

?G'D=DC=2DQ=DQ.

"GZAAB2APAP,

z

?GD=GD.

??G，AGA(

.?.點(diǎn)G與點(diǎn)G'重合，

二直線40,BC,P。相交于同一點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，

結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行線分線

段成比例定理.

23.(10分)“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王

有上、中、下三匹馬Ai,B1,。，田忌也有上、中、下三匹馬A2,B2,C2,且這六匹馬

在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：4>A2>8I>B2>CI>C2(注：4>8表示A馬與

8馬比賽，A馬獲勝).一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三

局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”

順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、

中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣(CMi,A2B1,B2C1)獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以

弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題:

(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)

比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

(2)如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說

明理由；若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

【分析】(1)根據(jù)題意首局齊王出“上馬”，只需將三局的圖表列出，即可得出答案.

(2)根據(jù)題(1)的一種情況，推斷出共有18種對(duì)陣情況，只要41對(duì)C2,B1對(duì)A2,

C1對(duì)B2的情況田忌獲得勝利，即可得出答案.

【解答】解：(1)田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能獲勝,

此時(shí)，比賽所有可能的對(duì)陣為：(A1C2,B1A2,C1B2),(A1C2,CIB2,81A2),(A1C2,

B1B2,C1A2),(A1C2,B1B2,C1A2),共四種，其中獲勝的有兩場(chǎng),

故此田忌獲勝的概率為p=l.

2

(2)不是.

當(dāng)齊王的出馬順序?yàn)锳1,B1,C1時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是:(A1C2,B1A2,C1B2),

當(dāng)齊王的出馬順序?yàn)锳1,C1,B1時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是:(A1C2,C1B2,B1A2),

當(dāng)齊王的出馬順序?yàn)?1,A1,C1時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是:(81A2,A1C2,C1B2),

當(dāng)齊王的出馬順序?yàn)?1,Al時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是:(C1B2,A1C2,31A2),

當(dāng)齊王的出馬順序?yàn)镃l,Al,B\時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是:(C1B2,A1C2,B1A2),

當(dāng)齊王的出馬順序?yàn)镃l,Bl,A1時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是:(C1B2,BM2,A1C2),

綜上所述，田忌獲勝的對(duì)陣有6種，不論齊王的出馬順序如何，也都有相應(yīng)的6種可能

對(duì)陣，所以田忌獲勝的概率為「=&」.

366

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法求概率.列表法適合兩步完成的事件；解題時(shí)要注意此

題賽馬分三局考慮.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

24.(12分)如圖，在正方形A5CQ中，E,F為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于OE

的對(duì)稱點(diǎn)為A',AA'的延長(zhǎng)線交8C于點(diǎn)G.

(1)求證：DE//A'F；

(2)求/GA'B的大小；

(3)求證：A'C=2A'B.

【分析】(1)由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得40=A0,AA,IDE,由三等份點(diǎn)可得AE=EF,由三

角形中位線定理可得DE//A'F；

(2)由“ASA”可證可得AE=BG,可得NGFB=/FGB=45°,通

過證明點(diǎn)F,點(diǎn)8,點(diǎn)G,點(diǎn)A四點(diǎn)共圓，可得/GA3=/GFB=45°；

(3)通過證明△AFBS^A'GC,可得可得結(jié)論.

A'C2

【解答】證明：(1)如圖，設(shè)AG與OE的交點(diǎn)為0,連接GF,

???點(diǎn)A關(guān)于。E的對(duì)稱點(diǎn)為A',

：.A0=A'0,AA'IDE,

■:E,尸為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

:.AE=EF=BF,

：.DE//A'F；

(2)'JAA1.DE,

：./4OE=90°=NDAE=ZASG,

ZADE+ZDEA=90o=ZDEA+ZEAO,

：.ZADE=ZEA0,

在△ADE和△BAG中,

<ZADE=ZEAO

<AD=AB，

ZDAE=ZABG=90"

???△ADE絲△BAG(ASA),

???AE=BG,

：?BF=BG,

:./GFB=NFGB=45°,

VZM'G=ZFBG=90°,

???點(diǎn)尸，點(diǎn)8,點(diǎn)G,點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，

：.ZGA,B=ZGFB=45°；

(3)設(shè)AE=EF=BF=BG=a,

：.AD=BC=3afFG=&”，

:.CG=2a,

在RtAADE