北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊《同步考點(diǎn)解讀-專題訓(xùn)練》專題1.4平方差公式(知識解讀)(原卷版+解析)

專題1.4平方差公式（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平方差公式結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算.4.能用平方差公式的逆運(yùn)算解決問題【知識點(diǎn)梳理】知識1：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識點(diǎn)2：平方差公式的特征抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【典例分析】【考點(diǎn)1：平方差】【典例1】用平方差公式計(jì)算：（1）（1+x）（1﹣x）；（2）（a+3b）（a﹣3b）；（3）（3+2a）（3﹣2a）；（4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．【變式1-1】計(jì)算：（a﹣b）（a+b）．【變式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【變式1-3】下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（3x+5y）（3x﹣5y） B．（1﹣5x）（5x﹣1） C．（﹣x+2y）（x﹣2y） D．（x+y）（y+x）【典例2】若（3b+a）?（）＝a2﹣9b2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣3b B．a(chǎn)+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a【變式2-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的結(jié)果是哪兩個(gè)數(shù)的平方差（）A．a(chǎn)，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y【變式2-2】若M（3a﹣b2）＝b4﹣9a2，那么代數(shù)式M應(yīng)是（）A．﹣3a+b2 B．3a+b2 C．3a﹣b2 D．﹣3a﹣b2【典例3】用簡便方法計(jì)算下列各題：（1）992；（2）1022﹣101×103．【變式3-1】計(jì)算20212﹣2020×2022的結(jié)果是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1【變式3-2】簡便計(jì)算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【考點(diǎn)2：平方差公式的幾何背景】【典例4】【觀察發(fā)現(xiàn)】從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖①），然后將剩余部分剪開并拼成一個(gè)長方形（如圖②）．【歸納結(jié)論】（1）上述操作，能驗(yàn)證的等式是；（直接寫結(jié)果）【問題解決】利用（1）中的結(jié)論，計(jì)算：．【變式4-1】從圖1到圖2的變化過程可以發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2【變式4-2】如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形．（1）通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗(yàn)證的等式是：．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）D．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【變式4-3】如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數(shù)式表示：S1＝，S2＝；（2）以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？請寫出這個(gè)乘法公式；（3）運(yùn)用（2）中得到的公式，計(jì)算：20222﹣2021×2023．專題1.4平方差公式（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平方差公式結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算.4.能用平方差公式的逆運(yùn)算解決問題【知識點(diǎn)梳理】知識1：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識點(diǎn)2：平方差公式的特征抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【典例分析】【考點(diǎn)1：平方差】【典例1】用平方差公式計(jì)算：（1）（1+x）（1﹣x）；（2）（a+3b）（a﹣3b）；（3）（3+2a）（3﹣2a）；（4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．【解答】解：（1）原式＝1﹣x2；（2）原式＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；（3）原式＝32﹣（2a）2＝9﹣4a2；（4）原式＝＝．【變式1-1】計(jì)算：（a﹣b）（a+b）．【解答】解：原式＝a2﹣b2．【變式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【解答】解：（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2．【變式1-3】下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（3x+5y）（3x﹣5y） B．（1﹣5x）（5x﹣1） C．（﹣x+2y）（x﹣2y） D．（x+y）（y+x）【答案】A【解答】解：A．（3x+5y）（3x﹣5y）＝9x2﹣25y2，故選項(xiàng)符合題意；B．（1﹣5x）（5x﹣1）＝﹣（1﹣5x）2＝﹣（1﹣10x+25x2）＝﹣1+10x﹣25x2，故選項(xiàng)不符合題意；C．（﹣x+2y）（x﹣2y）＝﹣（x﹣2y）2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣x2+4xy﹣4y2，故選項(xiàng)不符合題意；D．（x+y）（y+x）＝（x+y）2＝x2+2xy+y2，故選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【典例2】若（3b+a）?（）＝a2﹣9b2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣3b B．a(chǎn)+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a【答案】C【解答】解：∵a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）＝（3b+a）（﹣3b+a），故選：C．【變式2-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的結(jié)果是哪兩個(gè)數(shù)的平方差（）A．a(chǎn)，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y【答案】D【解答】解：（3x+4y）（3x﹣4y）＝（3x）2﹣（4y）2，故選：D．【變式2-2】若M（3a﹣b2）＝b4﹣9a2，那么代數(shù)式M應(yīng)是（）A．﹣3a+b2 B．3a+b2 C．3a﹣b2 D．﹣3a﹣b2【答案】D【解答】解：M＝＝＝﹣b2﹣3a，故選：D．【典例3】用簡便方法計(jì)算下列各題：（1）992；（2）1022﹣101×103．【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2＝1002﹣2×100×1+1＝10000﹣200+1＝9801；（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）＝1022﹣1022+1＝1．【變式3-1】計(jì)算20212﹣2020×2022的結(jié)果是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1【答案】A【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故選：A．【變式3-2】簡便計(jì)算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【解答】（1）20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．（2）1882﹣376×88+882＝1882﹣2×188×88+882＝（188﹣88）2＝1002＝10000．【考點(diǎn)2：平方差公式的幾何背景】【典例4】【觀察發(fā)現(xiàn)】從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖①），然后將剩余部分剪開并拼成一個(gè)長方形（如圖②）．【歸納結(jié)論】（1）上述操作，能驗(yàn)證的等式是；（直接寫結(jié)果）【問題解決】（2）利用（1）中的結(jié)論，計(jì)算：．【解答】解：（1）圖①陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖②是長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．【變式4-1】從圖1到圖2的變化過程可以發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2【答案】A【解答】解：圖1的面積為：（a+b）（a﹣b），圖2的面積為：a2﹣b2．根據(jù)面積相等，可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故選：A．【變式4-2】如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形．（1）通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗(yàn)證的等式是：．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）D．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2是長為a+b．寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a2﹣b2＝21，即（a+b）（a﹣b）＝21，而a﹣b＝3，∴a+b＝7；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．【變式4-3】如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數(shù)式表示：S1＝，S2＝；（2）以