專題2-2 平移齊次化解決圓錐曲線中斜率和積問題與定點(diǎn)問題（原卷版）

專題2-2圓錐曲線中斜率和積為定值問題與定點(diǎn)問題（平移齊次化）【例題】已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)． 【手電筒模型·1定+2動(dòng)】直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，為橢圓上異于AB的任意一點(diǎn)，若定值或定值(不為0)，則直線AB會(huì)過定點(diǎn)．(因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型)． 補(bǔ)充：若過定點(diǎn)，則定值，定值.【坐標(biāo)平移+齊次化處理】（左加右減，上減下加為曲線平移）Step1：平移點(diǎn)P到原點(diǎn)，寫出平移后的橢圓方程，設(shè)出直線方程，并齊次化處理Step2：根據(jù)斜率之積或斜率之和與韋達(dá)定理的關(guān)系得到等式，求得m，n之間的關(guān)系，Step3：得出定點(diǎn)，此時(shí)別忘了，還要平移回去!【補(bǔ)充】橢圓是橢圓上一點(diǎn)，A，B為隨圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與PB的斜率分別為k1，k2.(1)，證明AB斜率為定值≠0)；(2)，證明AB過定點(diǎn)：；(3)，證明AB的斜率為定值；(4)，證明AB過定點(diǎn)：.以上稱為手電筒模型，注意點(diǎn)P不在橢圓上時(shí)，上式并不適用，常數(shù)也需要齊次化乘“12”2020·新高考1卷·22已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．

重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一已知定點(diǎn)求定值已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．如圖，橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)，證明:直線AP與AQ的斜率之和為2．已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足直線AE與直線AF關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值； 如圖，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與橢圓相交于?兩點(diǎn)(在的上方)，設(shè)點(diǎn)?是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由.橢圓，，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．已知橢圓：，過作斜率為的動(dòng)直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，若為橢圓的左頂點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求證：為定值，并求出定值.題型二已知定值求定點(diǎn)（2017·全國(guó)卷理）已知橢圓，設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn)．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點(diǎn)．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到其焦點(diǎn)的距離為2．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程；（2）若點(diǎn)M、N在拋物線C上，且kPM?kPN＝，證明：直線MN過定點(diǎn). 已知橢圓，，若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且直線PA與PB的斜率之積為，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．已知橢圓：的離心率為，橢圓的短軸長(zhǎng)等于4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，過且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于