2023-2024學年深圳市實驗高二數(shù)學（下）4月考試卷附答案解析

-2024學年深圳市實驗高二數(shù)學（下）4月考試卷時間：120分鐘滿分：150分2024.04一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)復數(shù)，則的虛部為（

）A．4 B．-4 C．4i D．-4i2．下列說法正確的是（

）A．向量就是有向線段 B．單位向量都是相等向量C．若，則 D．零向量與任意向量平行3．已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A．B．C． D．5．已知和是兩個不共線的向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．6．在矩形中，已知分別是上的點，且滿足．若點在線段上運動，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在中，，，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非等邊）三角形8．已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．若復數(shù)為的共軛復數(shù)，則以下正確的是（

）A．在復平面對應的點位于第二象限 B．C． D．為純虛數(shù)10．在中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則（

）A．的面積為2 B．外接圓的半徑為C． D．11．已知點在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數(shù).13．如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點，則的最大值為.14．已知△ABC中，，若點P為四邊形AEDF內(nèi)一點(不含邊界)且，則實數(shù)x的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知平面向量，，．(1)若，求x的值；(2)若，求的值．16．在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足.(1)求角；(2)若為邊上一點，且，求.17．在ΔABC中，P為AB的中點，O在邊AC上，BO交CP于R，且，設(shè)AB=，AC=(1)試用，表示；(2)若，求∠ARB的余弦值．18．某小區(qū)擬對一扇形區(qū)域進行改造，如圖所示，平行四邊形為休閑區(qū)域，陰影部分為綠化區(qū)，點在弧上，點，分別在，上，且米，，設(shè).

(1)請求出顧客的休息區(qū)域的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當為何值時，取得最大值，最大值為多少平方米？(2)設(shè)，求的取值范圍.19．定義非零向量若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．(1)已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知點滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時取得最大值，當點運動時，求的取值范圍；(3)已知向量的“伴生函數(shù)”在時的取值為．若在三角形中，，，若點為該三角形的外心，求的最大值.1．B【分析】由復數(shù)虛部的概念即可得解.【詳解】由題意復數(shù)，則的虛部為-4.故選：B.2．D【分析】根據(jù)向量的有關(guān)概念確定正確選項.【詳解】向量不是有向線段，故A錯誤；單位向量長度都為1，但方向不確定，故B錯誤；向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小，故C錯誤；規(guī)定：零向量與任意向量平行，故D正確.故選：D3．A【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，進而利用投影向量的定義求解即可.【詳解】因為是的外接圓圓心，，所以由平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，因為，所以為等邊三角形，，所以向量在向量上的投影向量為，故選：A4．A【分析】由單位向量的定義、向量坐標的線性運算以及向量模的坐標公式即可求解.【詳解】由題意，所以，從而與向量同方向的單位向量為.故選：A.5．B【分析】根據(jù)三點共線可得，列出方程組即可得解.【詳解】因為，且，，三點共線，所以存在實數(shù)，使得，即，則，解得.故選：B6．B【分析】建立基底，，則，然后將設(shè)，最終表示為，然后得到，進而求出范圍．【詳解】矩形中，已知分別是上的點，且滿足，

設(shè)，則，，聯(lián)立，可解得，因為點在線段上運動，則可設(shè)，，又，所以，，因為，所以．故選：B．7．D【分析】結(jié)合條件利用數(shù)量積的運算律得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求得，即可判斷三角形的形狀.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以為等腰非等邊三角形.故選：D8．C【分析】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到，結(jié)合為銳角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.【詳解】因為，得．由余弦定理得，所以，即．由正弦定理得，因為，則，所以，即．因為是銳角三角形，所以，，所以．又在上單調(diào)遞增，所以，則．因為是銳角三角形，所以，，，所以，由正弦定理得，令，因為，所以．在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，故故選：C．【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.9．BD【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，乘除法運算，共軛復數(shù)，復數(shù)模的運算公式，可判斷各個選項.【詳解】對A，，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第象限，故A錯誤；對B，根據(jù)復數(shù)模的公式，，故B正確；對C，，而，故C錯誤；對D，，，故D正確.故選：BD.10．ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理，結(jié)合三角形面積公式逐項分析計算即可得解.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理，得，解得，B正確；的面積，A正確；由，得，C錯誤；由，得，即，由，得，因此，所以，D正確．故選：ABD【點睛】策略點睛：求三角形面積是解三角形的一種常見類型，經(jīng)常利用正弦定理，進行邊角轉(zhuǎn)化求解.11．ACD【分析】A利用三角形相似及數(shù)量積的幾何意義判斷：B構(gòu)建直角坐標系，由向量數(shù)量積的坐標表示列式求最值；C由已知得，進而可知與中點共線，結(jié)合外心的性質(zhì)有垂直平分即可判斷；D將等式兩側(cè)同時點乘并化簡得，即可判斷.【詳解】A：如下圖，，則為垂心，易知：，

所以，則，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知：，同理，所以，正確；B：構(gòu)建以中點為原點的直角坐標系，則，若，所以，，由，則，當時的最小值為，錯誤；

C：由題設(shè)，則，所以，若為中點，則，故，故共線，又，即垂直平分，所以，正確；

D：由題設(shè)，，則，所以，若為中點，則，故，所以的軌跡經(jīng)過的外心，正確.

故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：A根據(jù)垂心性質(zhì)，三角形相似關(guān)系、數(shù)量積的幾何意義得到；B構(gòu)建直角坐標系，應用數(shù)量積的坐標表示列式判斷；C、D根據(jù)外心的性質(zhì)，應用數(shù)形結(jié)合化簡題設(shè)向量的線性關(guān)系式判斷.12．【分析】設(shè)，，可得出關(guān)于實數(shù)、的等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，設(shè)，，則，所以，，解得.故答案為：.13．6【分析】由題建立平面直角坐標系，再由平面向量數(shù)量積的坐標運算得到，再求二次函數(shù)的最大值即可．【詳解】以為原點，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標系，則，，，，設(shè)，其中，則，，，當時，有最大值6．故答案為：6.14．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出臨界點的位置，進行適當?shù)耐评砼c運算，即可求出實數(shù)x的取值范圍.【詳解】解：如圖所示，在線段BD上取一點G，使得，設(shè)DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；過點G作GH∥DE，分別交DF?AE于K?H，連接FH，則點K?H為臨界點；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以實數(shù)x的取值范圍是().故答案為：().

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了平面向量的線性運算問題，也考查了推理與運算能力，是難題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出臨界點的位置.15．(1)或3(2)1或【分析】（1）運用兩向量垂直坐標公式計算即可.（2）運用兩向量平行坐標公式計算可求得的值，結(jié)合向量線性運算及模的坐標公式計算即可.【詳解】（1）若，則．整理得，解得或．故的值為或．（2）若，則有，即，解得或．當時，，，∴，∴．當時，，，∴，∴．綜上，的值為1或．16．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可結(jié)合余弦定理求解，（2）根據(jù)正弦定理即可結(jié)合和差角公式求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，化簡得，由余弦定理得，又，所以.（2），.在中，，，由正弦定理可得，即，又，得，即，化簡得，顯然，即.17．(1)(2)【分析】（1）由兩個三點共線設(shè)出來，列出方程組求解即可；（2）由平面向量的數(shù)量積的定義求夾角的余弦值即可.【詳解】（1）因P，R，C共線，則存在使，則，整理得.由共線，則存在使，則，整理得.根據(jù)平面向量基本定理，有，則.（2）由（1），，，則，，.則；18．(1)當時，(2)【分析】（1）由正弦定理、三角形面積公式以及三角恒等變換可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，進一步由三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.（2）由平面向量基本定理首先得，由此結(jié)合三角恒等變換轉(zhuǎn)換為求三角函數(shù)范圍問題即可.【詳解】（1）

由題意，，，，在中，，由正弦定理得，即，即，則顧客的休息區(qū)域面積，即，其中，而，因為，所以，則當，即時，顧客的休息區(qū)域面積取得最大值，且最大值為.（2）由（1），，所以，由題意，所以，所以，因為，所以，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是熟練利用三角恒等變換，從而可得三角函數(shù)性質(zhì)，由此即可順利得解.19．(1)(2)(3)3【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，參變分離后，寫出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可；（2）根據(jù)題中條件求得的值，繼而求得，利用二倍角公式求得的表達式，換元后利用函數(shù)單調(diào)性即可求得取值范圍；（3）根據(jù)條件可先求得，繼而根據(jù)正弦定理可得角形外接圓半徑，則，再根據(jù)向量的運算法則及數(shù)量積的定義化簡所求，進一步分析即可.【詳解】（1）因為向量為函數(shù)的“源向量”，所以，則方程上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，所以在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，令，①當時，②當時，，所