2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（蘇州卷）（全解全析）

年中考第一次模擬考試（蘇州卷）數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．的絕對(duì)值是（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，熟知正數(shù)和0的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：的絕對(duì)值是2，即．故選：A．2．若分式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】B【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式的分母不能為0是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的分母不能為0求解即可得．【詳解】解：∵分式有意義，，解得，故選：B．3．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方及同底數(shù)冪的除法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方及同底數(shù)冪的除法可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】A．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故不符合題意；B．，原計(jì)算正確，故符合題意；C．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故不符合題意；D．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故不符合題意；故選：B．4．某輪滑隊(duì)所有隊(duì)員的年齡只有，，，，（歲）五種情況，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，若隊(duì)員年齡的唯一的眾數(shù)與中位數(shù)相等，則這個(gè)輪滑隊(duì)隊(duì)員人數(shù)最少是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，眾數(shù)，熟悉條形統(tǒng)計(jì)圖，掌握中位數(shù)，眾數(shù)的相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題目，利用眾數(shù)和中位數(shù)的定義，得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：，眾數(shù)是，由此得到答案．【詳解】解：由題圖中數(shù)據(jù)可知：小于的人有人，大于的人也有人，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：，隊(duì)員年齡的唯一的眾數(shù)與中位數(shù)相等，眾數(shù)是，即年齡為的人最多，歲的隊(duì)員最少有人，故選：．5．如圖，在中，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，，則（）A．85° B．75° C．60° D．55°【答案】D【分析】本題考查作圖-基本作圖、平行線的性質(zhì)，?練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由題意可得為的角平分線，，則可得根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，平角性質(zhì)可得再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可列出方程，進(jìn)而可得出答案．【詳解】由題意可得為的角平分線，，，，，

，故選：D．6．一個(gè)圓錐的底面半徑為3，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求圓錐側(cè)面積；利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)底面周長(zhǎng)，可求得圓錐的底面周長(zhǎng)以及圓錐母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面積底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)．【詳解】解：底面半徑為3，則底面周長(zhǎng)，側(cè)面展開圖是半圓，則母線長(zhǎng)，圓錐的側(cè)面積是故選：B．7．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，、相交于點(diǎn)E，證明，據(jù)此求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，、相交于點(diǎn)E．∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是，故選：B．8．如圖，四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)沿射線的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也立刻停止運(yùn)動(dòng)，連接．的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則能大致反映與之間的函數(shù)關(guān)系的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查函數(shù)的圖象與解析之間的聯(lián)系，解決問題的關(guān)鍵在于弄清圖形的變化情況，結(jié)合勾股定理，給出面積的表達(dá)式，即可解題．【詳解】解：①當(dāng)在上時(shí)，作，如圖所示：由題知，，，，，則，解得，故，②當(dāng)在上時(shí)，即時(shí)，，③當(dāng)在上不與重合，且Q在上時(shí)，作，如圖所示：，，，，則，④當(dāng)Q在延長(zhǎng)線上時(shí)，．故選：B．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）9．稀土是制造國(guó)防、軍工等工業(yè)品不可或缺的原料．據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)表明，我國(guó)已探明稀土儲(chǔ)量約萬(wàn)噸，居世界第一位，將數(shù)萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法可表示為．【答案】【分析】本題考查了絕對(duì)值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定的值．根據(jù)絕對(duì)值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，的值為整數(shù)位數(shù)少1．【詳解】解：萬(wàn)即大于1，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，，∴萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為，故答案為：．10．比較大小：（填“”“”或“”）【答案】【分析】此題主要考查了有理數(shù)大小，有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：，，，．故答案為：．11．分解因式．【答案】【分析】題目主要考查因式分解，熟練掌握提取公因式及完全平方公式分解因式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：故答案為：．12．如圖，一次函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于x的方程的解是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，根據(jù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象得：方程的解是，故答案為：．13．中國(guó)郵政集團(tuán)公司曾發(fā)行《二十四節(jié)氣》特殊版式小全張（圖1），其中的24枚郵票大小相同，上面繪制了代表二十四節(jié)氣風(fēng)貌的圖案，這24枚郵票組成了一個(gè)圓環(huán)，傳達(dá)了四季周而復(fù)始、氣韻流動(dòng)的理念和中國(guó)傳統(tǒng)文化中圓滿、圓融的概念，以“大雪”節(jié)氣單枚郵票為例（圖2），該郵票的“上圓弧”的長(zhǎng)為，“直邊長(zhǎng)”為，“下圓弧”的長(zhǎng)為，則（用含，的式子表示）．【答案】【分析】本題考查弧長(zhǎng)公式，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，利用弧長(zhǎng)公式表示出，，找到兩者之間的關(guān)系即可得到答案，熟記弧長(zhǎng)公式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示：，；，，故答案為：．14．如圖，已知，，與的面積和為10，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)K．證明，推出，設(shè)，，構(gòu)建方程組求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)K．，，，，，，，，，又，，，設(shè)，與的面積和為10，即，，在中，,即，則有，，．故答案為：．15．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了求余弦，連接，根據(jù)勾股定理和勾股定理逆定理，推出，再證明四邊形是平行四邊形，則，即可求解．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，故答案為：．16．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為該圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，交軸于點(diǎn)．若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著拋物線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為．【答案】【分析】根據(jù)題意，可以先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以得到直線的解析式，再根據(jù)，點(diǎn)在拋物線上，可以寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的直線的解析式，再根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值，從而可以得到點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，，即直線的函數(shù)解析式為，∵，點(diǎn)在拋物線上且在第一象限，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，，解得，∴直線的解析式為，令且，解得，此時(shí)直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)最大值是，∴點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為：，故答案為：．三、解答題（本大題共11個(gè)小題，共82分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）（4分）17．計(jì)算：．【詳解】原式（4分）18．解方程：．【詳解】解：，去分母，化為整式方程得：，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．（8分）19．解方程組和不等式組，并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：(1)(2)解不等式組【詳解】（1）解：，得：③，得：，解得：，把代入②得：，解得：，∴原方程組的解為：；（2）解：解不等式①，得，解不等式②，得把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：所以原不等式組解集為．（8分）20．某校為了解本校七年級(jí)學(xué)生對(duì)自己視力保護(hù)的重視程度，隨機(jī)在校內(nèi)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常重視”“重視”“比較重視”“不重視”四類，并將結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)此次調(diào)查中樣本容量為_______；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“非常重視”所占的圓心角的度數(shù)為_______；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)該校七年級(jí)共有學(xué)生400人，請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生對(duì)視力保護(hù)“比較重視”的學(xué)生人數(shù)．【詳解】（1）解：由題知，（人），，故答案為：80，．（2）解：（人），（3）解：（人），答：七年級(jí)學(xué)生對(duì)視力保護(hù)“比較重視”的學(xué)生人數(shù)約為180人．（8分）21．北京時(shí)間2023年12月27日14時(shí)50分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用快舟一號(hào)甲運(yùn)載火箭，成功將天目一號(hào)氣象星座19-22星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．小明和小亮對(duì)航天知識(shí)都非常感興趣，他們?cè)谥袊?guó)載人航天網(wǎng)站上了解到，航天知識(shí)分為“夢(mèng)圓天路”“飛天英雄”“探秘太空”“巡天飛船”等模塊．他們決定從“夢(mèng)圓天路”“飛天英雄”“探秘太空”“巡天飛船”四個(gè)模塊中各自隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行學(xué)習(xí)，設(shè)這四個(gè)模塊依次為、、、．(1)小明選擇學(xué)習(xí)“夢(mèng)圓天路”模塊的概率為_____；(2)請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小亮選擇不同模塊的概率．【詳解】（1）解：小明選擇學(xué)習(xí)“夢(mèng)圓天路”模塊的概率為，故答案為：；（2）樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮選擇不同模塊的結(jié)果有12種，小明和小亮選擇不同模塊的概率．（8分）22．如圖，矩形的頂點(diǎn)，分別在菱形的邊，上，頂點(diǎn)，在菱形的對(duì)角線上．(1)求證：；(2)若為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【詳解】（1）四邊形是矩形，，，．，，．四邊形是菱形，，，，；（2）連接，四邊形是菱形，，．為中點(diǎn)，．，，，四邊形是平行四邊形，．四邊形是矩形，，，．（8分）23．如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，，一次函數(shù)圖象與y軸的交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，寫出x的取值范圍；(3)點(diǎn)P是第三象限內(nèi)反比例圖象上的一點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足S△BDP＝S△ODA，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，﹣2；∴A，B；把A、B的坐標(biāo)代入得；解得；∴一次函數(shù)的解析式為．（2）∵；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，．（3）∵一次函數(shù)為；∴D；∵A，∴；∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，；∴，；當(dāng)P在直線下方時(shí)，如圖1，則；；解得；∴點(diǎn)P．當(dāng)P在直線AB的上方時(shí)，如圖2，則；；解得；∴點(diǎn)P；綜上可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．（8分）24．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)在外，連接，若；(1)求證：是的切線；(2)已知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若的半徑為10，，求的長(zhǎng).【詳解】（）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)與相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，如圖所示：∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，由可設(shè)，根據(jù)勾股定理可知，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（8分）25．杭州亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日舉行，作為今年我國(guó)舉辦的最為盛大的賽事，是向世界展示中國(guó)形象、傳播中國(guó)文化的重要窗口．寧夏枸杞作為幾千年來(lái)備受推崇、藥食同源的滋補(bǔ)上品，小小的紅果凝聚和傳承著寧夏這片土地上，珍貴的歷史記憶和寶貴的精神財(cái)富，已然成為寧夏獨(dú)特的地域符號(hào)、主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)和文化象征，不但為寧夏社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展作出了積極貢獻(xiàn)，也為助力“健康中國(guó)”跑出了“加速度”．在寧夏一特產(chǎn)專賣店銷售某種枸杞，其進(jìn)價(jià)為每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低元，則平均每天的銷售可增加千克，若該專賣店銷售這種枸杞要想平均每天獲利元，請(qǐng)回答：(1)為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，每千克枸杞應(yīng)降價(jià)多少元？(2)根據(jù)市場(chǎng)需求，該店將售價(jià)定為多少出售，每天可獲取最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【詳解】（1）解：設(shè)每千克枸杞應(yīng)降價(jià)元，根據(jù)題意，得，化簡(jiǎn)，得

，解得．為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，，答：每千克枸杞應(yīng)降價(jià)元；（2）設(shè)每千克枸杞應(yīng)降價(jià)元，每天獲得利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得：，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)售價(jià)為元，該店將售價(jià)定為元出售，每天可獲取最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是元．（8分）26．已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)在線段下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作的平行線交線段于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．①如果兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的正切值；②如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)則當(dāng)；∴∴解得；（2）解：①如圖：∵，且兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，則∵∴軸則∵過(guò)點(diǎn)作的平行線交線段于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．∴則∵軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），∴∴，∴∵則的正切值等于；②設(shè)，的解析式為∴把代入得解得∵過(guò)點(diǎn)作的平行線交線段于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)∴設(shè)的解析式為把代入得∴令，即當(dāng)解得則把代入得∴∵過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，∴∴∵∴∵，，∴，∴解得∵點(diǎn)在線段下方的拋物線上，∴（舍去）∴．把代入∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)（10分）27．【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，，為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)