定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法

定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法摘要:定積分是微積分學(xué)中的一個重要組成部分,其計(jì)算方法和技巧非常豐富。本文主要給出定積分的定義及討論定積分的性質(zhì)和計(jì)算方法,并通過一些很有代表性的例題說明了其計(jì)算方法在簡化定積分計(jì)算中的強(qiáng)大功能。關(guān)鍵詞:定積分性質(zhì)計(jì)算方法定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個子區(qū)間[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各區(qū)間的長度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1。在每個子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點(diǎn)（1,2,...,n），作和式。設(shè)λ=max{△x1,△x2,…,△xn}（即λ是最大的區(qū)間長度），則當(dāng)λ→0時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的定積分，記為:。其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，∫叫做積分號。對于定積分，有這樣一個重要問題：函數(shù)在[a,b]上滿足怎樣的條件，在[a,b]上一定可積？下面給出兩個充分條件：定理1：設(shè)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上可積。定理2：設(shè)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則在[a,b]上可積。例：利用定義計(jì)算定積分.解：因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)間[0,1]上連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)是可積的，所以積分與區(qū)間[0,1]的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)。因此，為了便于計(jì)算，不妨把區(qū)間[0,1]分成n等份，分點(diǎn)為，;這樣，每個小區(qū)間的長度取，。于是，得合式當(dāng)即時，取上式右端的極限.由定積分的定義，即得所要計(jì)算的積分為

定積分的性質(zhì)1、2、,3、常數(shù)可以提到積分號前.4、代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和.5、定積分的可加性：如果積分區(qū)間[a,b]被c分為兩個子區(qū)間[a,c]與[c,b]則有又由于性質(zhì)2，若f(x)在區(qū)間D上可積，區(qū)間D中任意c（可以不在區(qū)間[a,b]上）滿足條件.6、如果在區(qū)間[a,b]上，則即=0.四、分部積分法設(shè)u=u(x),均在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式例：計(jì)算.解：結(jié)論計(jì)算的關(guān)鍵是迅速找到滿足的函數(shù)；求導(dǎo)數(shù)時有現(xiàn)成的計(jì)算公式可用，求定積分是也可用其性質(zhì)使計(jì)算簡單