安徽省合肥市2024屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡和試卷上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C．1 D．23．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則的一個(gè)充分條件是（）A． B．C． D．與相交4．甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束）．已知每局比賽甲獲勝的概率均為，則甲以4比2獲勝的概率為（）A． B． C． D．5．常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為．開(kāi)始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則滿足的關(guān)系式為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B．C． D．7．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．則面積的最大值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線左支上，線段交軸于點(diǎn)，且．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足：，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知圓，圓，則（）A．兩圓的圓心距的最小值為1B．若圓與圓相切，則C．若圓與圓恰有兩條公切線，則D．若圓與圓相交，則公共弦長(zhǎng)的最大值為210．已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則（）A．B．對(duì)任意成等比數(shù)列C．對(duì)任意，都存在，使得成等差數(shù)列D．若，則數(shù)列遞增的充要條件是11．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)為奇函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)D．設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)________．13．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則_________．14．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是側(cè)棱的中點(diǎn)，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面．（1）求三棱錐的體積；（2）求與平面所成角的正弦值．16．（15分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）與交于兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．17．（15分）樹(shù)人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：性別參加考試人數(shù)平均成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差男3010016女209019在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．（1）證明：；（2）求該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；（3）假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，以該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值．如果按照的比例將考試成績(jī)從高分到低分依次劃分為四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到1）．附：．18．（17分）已知曲線在點(diǎn)處的切線為．（1）求直線的方程；（2）證明：除點(diǎn)外，曲線在直線的下方；（3）設(shè)，求證：．19．（17分）在數(shù)學(xué)中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對(duì)平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)和，記，稱為點(diǎn)與點(diǎn)之間的“-距離”，其中表示中較大者．（1）計(jì)算點(diǎn)和點(diǎn)之間的“距離”；（2）設(shè)是平面中一定點(diǎn)，．我們把平面上到點(diǎn)的“距離”為的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做以點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”．求以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”的面積；（3）證明：對(duì)任意點(diǎn)．2024年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．A2．B3．C4．C5．B6．D7．A8．D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9．AD10．ACD11．BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．1513．14．四、解答題：本題共5小題，共77分．15．解析：（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭钦切危裕忠驗(yàn)槠矫娴酌嫫矫?，所以平面，且．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，到平面的距離為，．所以三棱錐的體積為．（2）連接，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以．設(shè)與平面所成角為，則．即與平面所成角的正弦值為．注：其他解法酌情賦分．16．解析：（1）因?yàn)椋?，再將點(diǎn)代入得，解得，故粗圓的方程為；（2）由題意可設(shè)，由可得，所以，又因?yàn)椋灾本€的方程為，令，則，故，同理，從而，故．注：其他解法酌情賦分．17．解析：（1）,同理．所以（2）將該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)記為，方差記為，則，所以又，所以．即該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差約為18分．（3）由（2）知，所以全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，所以．．故可將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．注：其他解法酌情賦分．18．解析：（1）因?yàn)椋?，所以直線的方程為：（2）令，則，令，則，由，解得，由，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方．（3）由，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，則，不妨令．因?yàn)榍€在點(diǎn)的切線方程為，設(shè)點(diǎn)在切線上，有，由（1）知時(shí)，，則，即，要證：，只要證：，只要證：，又，只要證：，令，則，易證在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減