北師大版 2024-2025學年四年級數(shù)學上冊典型例題系列專題05圓錐的體積(原卷版+解析)

2024-2025學年蘇教版數(shù)學六年級寒假學習精講練講義專題05圓錐的體積1.推導出圓錐體積的計算公式。2.會運用圓錐的體積計算公式計算圓錐的體積。3.培養(yǎng)觀察、比較、分析、綜合的能力以及初步的空間觀念。知識點：圓錐體積的計算方法根據(jù)書本上的實驗可以得到結論：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的3倍，或者說圓錐的體積是圓柱的三分之一。用字母表示為V圓柱=3V圓錐或者V圓錐=1/3V圓柱。相關公式：只需要在圓柱的相關公式前面乘以三分之一。①已知半徑和高，V圓錐=1/3πr2h②已知直徑和高，V圓錐=1/3π(d÷2)2h③已知周長和高，V圓錐=1/3π(C÷2π)2h知識點2：圓柱和圓錐的橫截面理解掌握：★圓柱橫截面的分割方法：①按底面的直徑分割，這樣分割的橫截面是長方形或者是正方形，如果橫截面是正方形說明圓柱的底面直徑和高相等。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。圓錐橫截面的分割方法：①按圓錐的高分割，這樣分割的橫截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。知識點01：圓錐的體積【典例講解】（2023?成華區(qū)）如圖，長方形硬紙片長15cm，寬5cm。以長邊所在直線為軸旋轉一周，請你想象旋轉后所形成的圖形，再從下面兩個問題中任選一個問題解答：①旋轉后形成的圖形，它的底面周長是多少？②把旋轉后形成的圖形，削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是多少？【思路點撥】①旋轉后形成的圖形是圓柱，圓柱底面半徑是5cm，高是15cm，底面周長是2×3.14×5＝31.4（5cm），據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：我選擇①題解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周長是31.4cm。【考點評析】本題考查的是圓柱和圓錐的底面周長和體積，熟記公式是解答關鍵?！咀兪接柧?-1】（2023秋?哈爾濱期末）下列說法：①把化成百分數(shù)是1.25%。②比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），比值不變。③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的。④一件商品進價600元，商場先按進價提價10%，然后再降價10%銷售，商場不賠不賺。其中結論正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【變式訓練1-2】（2023?錦州）一個圓錐體和一個圓柱體的底面半徑之比是3：2，高之比是2：3，則它們體積之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【變式訓練1-3】（2023?湘陰縣）麗麗在家中找到一個底面直徑為20厘米的圓柱形玻璃杯，在杯中裝了一部分水，然后在水中放入一個底面直徑為8厘米、高為12厘米的圓錐形鉛錘，之后又將鉛錘從水中取出。她運用學習過的知識算出了取出鉛錘后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米嗎？【變式訓練1-4】（2023?昆明）計算下圖的體積。知識點02：組合圖形的體積【典例講解】（2023春?寧鄉(xiāng)市月考）如圖所示，在密閉的玻璃容器（圓柱部分的高大于10厘米）中裝有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路點撥】因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時，圓柱的高是圓錐高的，據(jù)此可以求出圓錐容器中的水倒入圓柱形容器中的水深，再加上原來圓柱形容器的水深即可?！疽?guī)范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是6厘米。故選：B?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系及應用?！咀兪接柧?-1】（2023春?雁江區(qū)期中）如圖①是一個直立于水平面的幾何體（下底面是圓，單位：cm），將這樣三個相同幾何體拼成圖②所示的新幾何體，則該幾何體體積是cm3？【變式訓練2-2】（2023?棗強縣）求如圖形的體積。【變式訓練2-3】（2023?市南區(qū)）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，圖1是一種木制玩具陀螺，可以看作是一個近似的圓錐和圓柱組合起來的立體圖形。玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，這樣的陀螺轉起來更穩(wěn)定。圖2是這個玩具陀螺的直觀圖，其中B、C分別是上、下底面的圓心，并且AC：AB＝3：1。制作這個陀螺需要多少立方厘米的木料？【變式訓練2-4】（2023?黃州區(qū)）把一個棱長是6分米的正方體木料削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方分米？一．選擇題（共4小題）1．（2023?北票市）一個圓錐的體積是24dm3，它的底面積是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．182．（2023?莆田）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載的圓錐體積計算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一?！币簿褪怯玫酌嬷荛L的平方乘高，再除以36。這種計算方法，圓周率近似值取3。一個圓錐形的沙堆，底面周長30米，高2米。用這種方法算出的沙堆體積是（）立方米。A．50 B．25 C． D．3．（2023?播州區(qū)）一個圓錐和一個圓柱的體積和底面積都相等，圓錐的高是24厘米，那么圓柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．124．（2023?德宏州）圓錐的底面半徑擴大到原來的2倍，它的體積（）A．不變 B．擴大到原來的2倍 C．縮小到原來的一半 D．擴大到原來的4倍二．填空題（共5小題）5．（2023?昆都侖區(qū)）淘氣用一個邊長分別是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如圖這樣快速旋轉，這個三角形掃過的空間是立方厘米。6．（2023?錦州）一個圓柱形橡皮泥，底面積是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同樣底面大小的圓錐，這個圓錐的高是厘米。7．（2023?武進區(qū)）如圖，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉一周，所得立體圖形的體積是立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉一周，那么所得立體圖形的體積是立方厘米。8．（2023?永川區(qū)）有一張長方形硬紙板（如圖），如果將它沿圖中虛線剪開，把其中一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉一周，能夠形成一個立體圖形，這個立體圖形的體積最小是立方厘米。9．（2023?朝陽區(qū)模擬）如圖所示是一個扇形，這個扇形的弧長是18.84厘米；把這個扇形圍成圓錐后，它的體積是31.4立方厘米，圍成的這個圓錐的高是厘米。（π取3.14）三．判斷題（共4小題）10．（2023?遵化市）一個圓錐體高不變，底面半徑擴大原來的2倍，這個圓錐的體積也擴大到原來的2倍．（判斷對錯）11．（2023?開州區(qū)）圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．．（判斷對錯）12．（2023春?瑞金市期中）圓錐的底面半徑擴大到原來的3倍，高不變，體積就擴大到原來的9倍．．（判斷對錯）13．（2023?石河子）一個圓錐底面周長是31.4厘米，高是4厘米，它的體積是314立方厘米。（判斷對錯）四．計算題（共3小題）14．（2023?蕭山區(qū)模擬）計算體積。（單位：米）15．（2023?潼南區(qū)）求出下面組合體的體積。（單位：cm）。16．（2023春?沙河市期中）求如圖所示圖形的體積。（單位：cm）五．應用題（共10小題）17．（2023?洛龍區(qū)）積木是一種常見的兒童玩具，一套積木中通常有不同的顏色和形狀。其中圓錐形積木是在圓柱形積木的基礎上加工制作而成的。將一個底面半徑是3cm、高是6cm的圓柱形積木加工制作成一個等底等高的圓錐形積木，加工制作過程中削去木料的體積是多少？（π取3.14）（2023?孟津縣）一桶16升的溶液，要分裝在開口直徑8厘米、高15厘米的圓錐形杯子里。至少需要幾個這樣的杯子？19．（2023?隨州）一個裝滿稻谷的糧囤，如圖，上面是圓錐，下面是圓柱。已知圓柱的底面周長是6.28米，圓柱的高是3米，圓錐的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么這囤稻谷有多少千克？（π取3.14）20．（2023?洞頭區(qū)）一個圓錐形金屬鑄件的底面半徑2厘米，高3厘米，把它完全浸沒在底面半徑是4厘米的圓柱形玻璃槽內(nèi)（玻璃槽足夠高），水面上升多少厘米？（2023?萊陽市）從古代一直到近代，匠人們打鐵時，用火將鐵燒紅變軟，然后用錘子擊打成想要的形狀，最后放到?jīng)鏊镅杆倮鋮s，以增加鐵的硬度，這就是“淬火”。一鐵匠將底面半徑為10厘米的圓柱形鐵塊燒紅，擊打成與它底面大小相同的圓錐形狀，然后完全沒入一底面積為31.4平方分米的長方體容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求這個圓錐的高是多少厘米。（損耗忽略不計）（2023?新榮區(qū)）一個底面周長是36厘米的正方體容器中，盛有6厘米深的水。把一個高是6厘米的圓錐形鐵塊完全沒入容器里的水中，現(xiàn)在容器里的水深7厘米。這個圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？23．（2023?溫江區(qū)）2023年5月30日9時31分，搭載神舟十六號載人飛船的長征二號F遙十六運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，整流罩是運載火箭的重要組成部分，外形通常由近似的圓柱和圓錐組成。右圖是實驗小學科學小組制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不計，該整流罩的容積是多少立方分米？24．（2023春?襄汾縣校級月考）求如圖物體的體積。（單位：厘米）25．（2023?江寧區(qū)）長征二號F遙十三運載火箭整流罩的底面直徑為3.2米?？萍拣^存放著按一定比例制作的長征二號F遙十三運載火箭的整流罩模型（如圖）。（1）科技館制作整流罩模型的比例是多少？（2）該整流罩模型的體積是多少？（3）如果用一個長方體玻璃盒來存放這個模型，制作這個玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？26．（2023?如皋市）在一個無蓋的圓柱形薄鐵皮桶里，放入一個圓錐形鐵塊，然后裝滿水，鐵塊浸沒在水中。以下是相關信息，請結合這些信息提出一個三步或三步以上計算的問題，并解答。（結果可以保留π）①桶的底面直徑是6分米。②鐵塊的底面直徑為3分米。③取出鐵塊后，水面距離桶沿0.3分米。我的問題：？解答：2024-2025學年蘇教版數(shù)學六年級寒假學習精講練講義專題05圓錐的體積1.推導出圓錐體積的計算公式。2.會運用圓錐的體積計算公式計算圓錐的體積。3.培養(yǎng)觀察、比較、分析、綜合的能力以及初步的空間觀念。知識點：圓錐體積的計算方法根據(jù)書本上的實驗可以得到結論：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的3倍，或者說圓錐的體積是圓柱的三分之一。用字母表示為V圓柱=3V圓錐或者V圓錐=1/3V圓柱。相關公式：只需要在圓柱的相關公式前面乘以三分之一。①已知半徑和高，V圓錐=1/3πr2h②已知直徑和高，V圓錐=1/3π(d÷2)2h③已知周長和高，V圓錐=1/3π(C÷2π)2h知識點2：圓柱和圓錐的橫截面理解掌握：★圓柱橫截面的分割方法：①按底面的直徑分割，這樣分割的橫截面是長方形或者是正方形，如果橫截面是正方形說明圓柱的底面直徑和高相等。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。圓錐橫截面的分割方法：①按圓錐的高分割，這樣分割的橫截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。知識點01：圓錐的體積【典例講解】（2023?成華區(qū)）如圖，長方形硬紙片長15cm，寬5cm。以長邊所在直線為軸旋轉一周，請你想象旋轉后所形成的圖形，再從下面兩個問題中任選一個問題解答：①旋轉后形成的圖形，它的底面周長是多少？②把旋轉后形成的圖形，削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是多少？【思路點撥】①旋轉后形成的圖形是圓柱，圓柱底面半徑是5cm，高是15cm，底面周長是2×3.14×5＝31.4（5cm），據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：我選擇①題解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周長是31.4cm?！究键c評析】本題考查的是圓柱和圓錐的底面周長和體積，熟記公式是解答關鍵?！咀兪接柧?-1】（2023秋?哈爾濱期末）下列說法：①把化成百分數(shù)是1.25%。②比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），比值不變。③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的。④一件商品進價600元，商場先按進價提價10%，然后再降價10%銷售，商場不賠不賺。其中結論正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【思路點撥】①分數(shù)化為百分數(shù)，用分子除以分母得到小數(shù)，再把小數(shù)的小數(shù)點向右移動2位，再加上百分號；②根據(jù)比的基本性質(zhì)判斷即可；③根據(jù)等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍判斷；④商品進價600，加價10%后的價格是600+600×10%＝660（元），再降價10%，此時的售價是660×（1﹣10%）＝594（元），594＜600，所以商場賠錢了，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：①把化成百分數(shù)是125%，說法錯誤；②比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），比值不變，說法正確；③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的，說法正確；④一件商品進價600元，商場先按進價提價10%，然后再降價10%銷售，商場賠錢了，原說法錯誤。其中結論正確的是②和③。故選：B?！究键c評析】本題考查的是所學知識的綜合應用，靈活運用所學的知識是解答本題的關鍵。【變式訓練1-2】（2023?錦州）一個圓錐體和一個圓柱體的底面半徑之比是3：2，高之比是2：3，則它們體積之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【思路點撥】分析題意，設圓錐體的底面半徑是3，高是2，則圓柱體的底面半徑是2，高是3；再根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式計算，然后寫出它們的體積之比，最后化簡即可得到答案。【規(guī)范解答】解：設圓錐體的底面半徑是3，高是2。則圓柱體的底面半徑是2，高是3。圓錐體的體積為：×π×32×2＝3π×2＝6π圓柱體的體積為：π×22×3＝4π×3＝12π6π：12π＝1：2答：它們的體積之比是1：2。故選：A?！究键c評析】本題主要考查比的應用，需結合圓錐和圓柱的體積公式求解?！咀兪接柧?-3】（2023?湘陰縣）麗麗在家中找到一個底面直徑為20厘米的圓柱形玻璃杯，在杯中裝了一部分水，然后在水中放入一個底面直徑為8厘米、高為12厘米的圓錐形鉛錘，之后又將鉛錘從水中取出。她運用學習過的知識算出了取出鉛錘后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米嗎？【思路點撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，求出圓錐體鉛錘的體積，用圓錐體鉛錘的體積除以圓柱形玻璃杯的底面積即可。【規(guī)范解答】解：×3.14×（8÷2）2×12÷[3.14×（20÷2）2]＝×3.14×16×12÷[3.14×100]＝200.96÷314＝0.64（厘米）答：杯里的水下降0.64厘米?！究键c評析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式?！咀兪接柧?-4】（2023?昆明）計算下圖的體積。【思路點撥】根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：20×3×3＝60×3＝180（立方厘米）×3.14×（12÷2）2×15＝×3.14×36×15＝565.2（立方分米）答：長方體的體積是180立方厘米，圓錐的體積是565.2立方分米。【考點評析】此題主要考查長方體的體積公式、圓錐的體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。知識點02：組合圖形的體積【典例講解】（2023春?寧鄉(xiāng)市月考）如圖所示，在密閉的玻璃容器（圓柱部分的高大于10厘米）中裝有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路點撥】因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時，圓柱的高是圓錐高的，據(jù)此可以求出圓錐容器中的水倒入圓柱形容器中的水深，再加上原來圓柱形容器的水深即可?！疽?guī)范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是6厘米。故選：B?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系及應用。【變式訓練2-1】（2023春?雁江區(qū)期中）如圖①是一個直立于水平面的幾何體（下底面是圓，單位：cm），將這樣三個相同幾何體拼成圖②所示的新幾何體，則該幾何體體積是188.4cm3？【思路點撥】三個直立于水平面上的形狀完全相同的幾何體，底面的直徑都是4，將它們拼成如圖2的新幾何體，新幾何體的體積＝一個圓柱體的體積加半個圓柱體的體積，新圓柱體的高是4+6+4＝14cm，半個圓柱體的高是6﹣4＝2cm，如圖所示：?！疽?guī)范解答】解：新幾何體的體積＝一個圓柱體的體積加半個圓柱體的體積，新圓柱體的高是4+6+4＝14（cm）半個圓柱體的高是6﹣4＝2（cm）圓柱體底面的半徑4÷2＝2（cm）根據(jù)圓柱體的體積公式V＝π×半徑2×高，得：新幾何體的體積＝π×22×14+π×22×2×＝56×3.14+4×3.14＝60×3.14＝188.4（cm3），答：應為188.4cm3故答案為：188.4?！究键c評析】本題的關鍵是理解新幾何體的體積等于一個圓柱體的體積加半個圓柱體的體積，然后弄清這兩個物體的高和底面半徑，代入公式解決問題。【變式訓練2-2】（2023?棗強縣）求如圖形的體積?！舅悸伏c撥】組合圖形的體積等于圓柱體積加上圓錐的體積。利用體積公式V柱＝πr2h，V錐＝πr2h，計算即可?！疽?guī)范解答】解：3.14×（6÷2）2×6+3.14×（6÷2）2×6×＝3.14×（6÷2）2×6×（1+）＝3.14×（6÷2）2×6×＝226.08（立方厘米）答：組合圖形的體積是226.08立方厘米?！究键c評析】本題主要利用規(guī)則圖形的體積公式計算組合圖形的體積。【變式訓練2-3】（2023?市南區(qū)）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，圖1是一種木制玩具陀螺，可以看作是一個近似的圓錐和圓柱組合起來的立體圖形。玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，這樣的陀螺轉起來更穩(wěn)定。圖2是這個玩具陀螺的直觀圖，其中B、C分別是上、下底面的圓心，并且AC：AB＝3：1。制作這個陀螺需要多少立方厘米的木料？【思路點撥】玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，陀螺中底面直徑是6厘米，用6乘1.2求出總高度，即AC的高度，又因為AC：AB＝3：1，即AC是AB的3倍，用AC除以3就是AB的高度，也就是圓錐的高，再用總高度減去圓錐的高就是圓柱的高，根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，圓錐的體積＝底面積×高解答即可。【規(guī)范解答】解：6×1.2＝7.2（厘米）7.2÷3＝2.4（厘米）7.2﹣2.4＝4.8（厘米）6÷2＝3（厘米）3.14×32×4.8+×3.14×32×2.4＝28.26×4.8+3.14×7.2＝135.648+22.608＝158.256（立方厘米）答：制作這個陀螺需要158.256立方厘米的木料。【考點評析】熟練掌握按比例分配的方法以及圓柱的體積、圓錐體積的計算方法是解題的關鍵?！咀兪接柧?-4】（2023?黃州區(qū)）把一個棱長是6分米的正方體木料削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方分米？【思路點撥】通過觀察圖形可知，把這個正方體木料削成一個最大的圓錐，這個圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：×3.14×（6÷2）2×6＝3.14×9×6＝56.52（立方分米）答：這個圓錐的體積是56.52立方分米。【考點評析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。一．選擇題（共4小題）1．（2023?北票市）一個圓錐的體積是24dm3，它的底面積是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．18【思路點撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：24×3÷12＝72÷12＝6（分米）答：它的高是6分米。故選：C。【考點評析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。2．（2023?莆田）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載的圓錐體積計算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”也就是用底面周長的平方乘高，再除以36。這種計算方法，圓周率近似值取3。一個圓錐形的沙堆，底面周長30米，高2米。用這種方法算出的沙堆體積是（）立方米。A．50 B．25 C． D．【思路點撥】由題意，“下周自乘，以高乘之，三十六而一?！币馑季褪怯玫酌嬷荛L的平方乘高，再除以36，可以得到這個圓錐的體積?！疽?guī)范解答】解：302×2÷36＝900×2÷36＝1800÷36＝50（立方米）答：沙堆體積是50立方米。故選：A?！究键c評析】本題考查了小數(shù)的理解分析能力，解決問題的能力。3．（2023?播州區(qū)）一個圓錐和一個圓柱的體積和底面積都相等，圓錐的高是24厘米，那么圓柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．12【思路點撥】如果圓柱與圓錐的高相等，也是24厘米，體積則是與它等底等高的圓錐體積的3倍，如果圓柱體積縮小到原來的與圓錐體積相等，底面積不變，根據(jù)圓柱底面積不變，圓柱的高與體積成正比例可知，圓柱的高也應縮小到原來?！疽?guī)范解答】解：24×＝8（厘米）所以圓柱的高是8厘米。故選：C?！究键c評析】解答此題的關鍵是掌握“等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍”以及“圓柱底面積不變，圓柱的高與體積成正比例”。4．（2023?德宏州）圓錐的底面半徑擴大到原來的2倍，它的體積（）A．不變 B．擴大到原來的2倍 C．縮小到原來的一半 D．擴大到原來的4倍【思路點撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，可知：圓錐的底面半徑擴大到原來的2倍的圓錐的體積為：V＝π（2r）2h，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：[π（2r）2h]÷（πr2h）＝4r2÷r2＝4答：它的體積擴大到原來的4倍。故選：D?！究键c評析】本題主要考查了圓錐的體積公式的應用。二．填空題（共5小題）5．（2023?昆都侖區(qū)）淘氣用一個邊長分別是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如圖這樣快速旋轉，這個三角形掃過的空間是37.68立方厘米。【思路點撥】通過觀察圖形可知，以直角邊（4厘米）為軸旋轉一周，得到一個底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）答：這個三角形掃過的空間是37.68立方厘米。故答案為：37.68?！究键c評析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。6．（2023?錦州）一個圓柱形橡皮泥，底面積是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同樣底面大小的圓錐，這個圓錐的高是15厘米?！舅悸伏c撥】根據(jù)題意可知，圓柱形橡皮泥捏成圓錐形后，體積不變，根據(jù)V＝Sh，所以先求出橡皮泥的體積，然后就能求出圓錐的高，根據(jù)h＝V×3÷S解答即可?！疽?guī)范解答】解：橡皮泥體積：12×5＝60（cm3）圓錐的高：60×3÷12＝15（cm）答：圓錐的高是15厘米。故答案為：15?！究键c評析】此題主要考查圓柱的體積公式及有關圓錐體積公式的應用。7．（2023?武進區(qū)）如圖，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉一周，所得立體圖形的體積是37.68立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉一周，那么所得立體圖形的體積是50.24立方厘米。【思路點撥】根據(jù)圓錐的特征可知，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉一周，得到一個底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐；如果以直角邊BC為軸旋轉一周，得到一個底面半徑是4厘米，高是3厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝50.24（立方厘米）答：將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉一周，所得立體圖形的體積是37.68立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉一周，那么所得立體圖形的體積是50.24立方厘米。故答案為：37.68，50.24?！究键c評析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。8．（2023?永川區(qū)）有一張長方形硬紙板（如圖），如果將它沿圖中虛線剪開，把其中一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉一周，能夠形成一個立體圖形，這個立體圖形的體積最小是37.68立方厘米?！舅悸伏c撥】根據(jù)圓錐的特征可知，以較長的直角邊為軸旋轉形成圓錐的底面半徑是3厘米，高是4厘米；以較段的直角邊為軸旋轉形成圓錐的底面半徑是4厘米，高是3厘米；根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出兩個圓錐的體積，然后進行比較即可?！疽?guī)范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝50.24（立方厘米）37.68＜50.24答：這個立體圖形的體積最小是37.68立方厘米。故答案為：37.68?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握圓錐的特征及應用，圓錐的體積公式及應用，關鍵是熟記公式。9．（2023?朝陽區(qū)模擬）如圖所示是一個扇形，這個扇形的弧長是18.84厘米；把這個扇形圍成圓錐后，它的體積是31.4立方厘米，圍成的這個圓錐的高是3厘米。（π取3.14）【思路點撥】根據(jù)題意可知，這個扇形的弧長是18.84厘米；把這個扇形圍成圓錐后，這個圓錐的底面周長就是18.84厘米，根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，據(jù)此求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）31.4÷÷（3.14×32）＝31.4×3÷（3.14×9）＝94.2÷28.26＝3（厘米）答：圍成的這個圓錐的高是3厘米。故答案為：3。【考點評析】此題主要考查圓的周長公式、面積公式、圓錐的體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。三．判斷題（共4小題）10．（2023?遵化市）一個圓錐體高不變，底面半徑擴大原來的2倍，這個圓錐的體積也擴大到原來的2倍．×（判斷對錯）【思路點撥】圓錐的體積＝×底面積×高，若“高不變，底面半徑擴大到原來的2倍”，則面積擴大到22倍，體積也擴大22倍．【規(guī)范解答】解：因為圓錐的體積＝×底面積×高，如果一個圓錐體高不變，底面半徑擴大到原來的2倍，這個圓錐的體積也擴大到原來的22＝4倍．故題干的說法是錯誤的．故答案為：×．【考點評析】此題主要考查圓錐的體積公式．11．（2023?開州區(qū)）圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．×．（判斷對錯）【思路點撥】因為在等底、等高的情況下，圓錐體積是圓柱體積的，因此，只有圓柱、圓錐在等底的情況下，圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．【規(guī)范解答】解：圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等是錯誤的．因為只有圓柱、圓錐在等底的情況下，圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等，這是里沒有等底這一條件，所以無法比較它們的體積．故答案為：×．【考點評析】根據(jù)圓錐的體積計算公式“V＝Sh”、圓柱的體積計算公式“V＝Sh”，圓柱與圓錐底面積相等時，圓錐高是圓柱高的3倍，或圓柱與圓錐高相等時，圓錐底面積是圓柱底面積的3倍，圓柱、圓錐的體積才相等．12．（2023春?瑞金市期中）圓錐的底面半徑擴大到原來的3倍，高不變，體積就擴大到原來的9倍．√．（判斷對錯）【思路點撥】圓錐的體積＝×底面積×高，若“高不變，底面半徑擴大到原來的3倍”，則面積擴大到32倍，體積也擴大32倍．【規(guī)范解答】解：因為圓錐的體積＝×底面積×高，如果一個圓錐體高不變，底面半徑擴大到原來的3倍，這個圓錐的體積也擴大到原來的32＝9倍；故答案為：√．【考點評析】此題主要考查圓錐的體積公式．13．（2023?石河子）一個圓錐底面周長是31.4厘米，高是4厘米，它的體積是314立方厘米?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路點撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個圓錐的體積，然后與314立方厘米進行比較即可。【規(guī)范解答】解：×3.14×（31.4÷3.14÷2）2×4＝×3.14×25×4≈105（立方厘米）105立方厘米≠314立方厘米因此題干中的結論是錯誤的。故答案為：×。【考點評析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。四．計算題（共3小題）14．（2023?蕭山區(qū)模擬）計算體積。（單位：米）【思路點撥】由圖可知，組合圖形由一個底面直徑為2米、高為3米的圓錐體和一個棱長為2米的正方體組成，根據(jù)正方體體積公式“V＝a3”和圓錐體體積公式“V＝πr2h”，代入數(shù)據(jù)計算即可?！疽?guī)范解答】解：23+×3.14×（2÷2）2×3＝8+3.14＝11.14（立方米）答：組合體的體積是11.14立方米。【考點評析】解答本題需明確組合圖形的組成，熟練掌握圓錐體的體積公式和正方體的體積公式。15．（2023?潼南區(qū)）求出下面組合體的體積。（單位：cm）?！舅悸伏c撥】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：3.14×（4÷2）2×7+8×5×2＝3.14×4×7+40×2＝87.92+80＝167.92（立方厘米）答：它的體積是167.92立方厘米?！究键c評析】此題主要考查圓柱、長方體體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。16．（2023春?沙河市期中）求如圖所示圖形的體積。（單位：cm）【思路點撥】圓錐的體積公式：V＝πr2h，圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出它們的體積和即可。【規(guī)范解答】解：×3.14×（6÷2）2×6×2+3.14×（6÷2）2×15＝×3.14×9×6×2+3.14×9×15＝56.52×2+28.26×15＝113.04+423.9＝536.94（立方厘米）答：它的體積是536.94立方厘米?！究键c評析】此題主要考查圓錐、圓柱體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。五．應用題（共10小題）17．（2023?洛龍區(qū)）積木是一種常見的兒童玩具，一套積木中通常有不同的顏色和形狀。其中圓錐形積木是在圓柱形積木的基礎上加工制作而成的。將一個底面半徑是3cm、高是6cm的圓柱形積木加工制作成一個等底等高的圓錐形積木，加工制作過程中削去木料的體積是多少？（π取3.14）【思路點撥】把這個圓柱削成一個最大分圓錐，也就是削成的圓錐與圓柱等底等高，因為等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，所以削求部分的體積相當于圓柱體積的（1）。根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：3.14×32×6×（1）＝3.14×9×6×＝169.56×＝113.04（立方厘米）答：加工制作過程中削去木料的體積是113.04立方厘米?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系及應用，圓柱的體積公式及應用，關鍵是熟記公式。18．（2023?孟津縣）一桶16升的溶液，要分裝在開口直徑8厘米、高15厘米的圓錐形杯子里。至少需要幾個這樣的杯子？【思路點撥】根據(jù)1升＝1000毫升＝1000立方厘米進行單位換算，再根據(jù)圓錐的體積＝πrh，求出圓錐的體積，用溶液的體積除以圓錐杯子的體積即可解答，結果用“進一法”保留整數(shù)。【規(guī)范解答】解：8÷2＝4（厘米）×3.14×42×15＝15×（3.14×16）＝5×50.24＝251.2（立方厘米）16升＝16000立方厘米16000÷251.2≈64（個）答：至少需要64個這樣的杯子?！究键c評析】本題主要考查了學生對圓錐體積公式、容積單位換算的掌握。19．（2023?隨州）一個裝滿稻谷的糧囤，如圖，上面是圓錐，下面是圓柱。已知圓柱的底面周長是6.28米，圓柱的高是3米，圓錐的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么這囤稻谷有多少千克？（π取3.14）【思路點撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝π（）2h，圓柱的體積公式：V＝π（）2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出圓錐與圓柱的體積和，然后再乘每立方米稻谷的質(zhì)量即可。【規(guī)范解答】解：3.14×（6.28÷3.14÷2）2×0.6+3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3＝3.14×1×0.6+3.14×1×3＝0.628+9.42＝10.048（立方米）10.048×100＝1004.8（千克）答：這囤稻谷有1004.8千克?！究键c評析】此題主要考查圓錐、圓柱體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。20．（2023?洞頭區(qū)）一個圓錐形金屬鑄件的底面半徑2厘米，高3厘米，把它完全浸沒在底面半徑是4厘米的圓柱形玻璃槽內(nèi)（玻璃槽足夠高），水面上升多少厘米？【思路點撥】用圓錐形金屬鑄件的體積除以圓柱形玻璃槽的底面積，即可求出水面上升多少厘米?！疽?guī)范解答】解：×3.14×22×3÷（3.14×42）＝12.56÷50.24＝0.25（厘米）答：水面上升0.25厘米?！究键c評析】解答本題需熟練掌握圓錐體和圓柱體體積公式，靈活計算。21．（2023?萊陽市）從古代一直到近代，匠人們打鐵時，用火將鐵燒紅變軟，然后用錘子擊打成想要的形狀，最后放到?jīng)鏊镅杆倮鋮s，以增加鐵的硬度，這就是“淬火”。一鐵匠將底面半徑為10厘米的圓柱形鐵塊燒紅，擊打成與它底面大小相同的圓錐形狀，然后完全沒入一底面積為31.4平方分米的長方體容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求這個圓錐的高是多少厘米。（損耗忽略不計）【思路點撥】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，圓錐的體積公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：31.4平方分米＝3140平方厘米3140×1.5÷÷（3.14×102）＝4710×3÷（3.14×100）＝14130÷314＝45（厘米）答：這個圓錐的高是45厘米。【考點評析】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。22．（2023?新榮區(qū)）一個底面周長是36厘米的正方體容器中，盛有6厘米深的水。把一個高是6厘米的圓錐形鐵塊完全沒入容器里的水中，現(xiàn)在容器里的水深7厘米。這個圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？【思路點撥】根據(jù)題意可知，把鐵塊放入容器中，上升部分水的體積就等于鐵塊的體積，根據(jù)正方形的周長公式：C＝4a，那么a＝C÷4，據(jù)此求出底面邊長，長方體的體積公式：V＝abh，圓錐的體積公式：V＝Sh，那么S＝V÷÷h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：36÷4＝9（厘米）9×9×（7﹣6）÷÷6＝81×1×3÷6＝243÷6＝40.5（平方厘米）答：這個圓錐形鐵塊的底面積