北師大版 2024-2025學(xué)年四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列專(zhuān)題05圓錐的體積(原卷版+解析)

2024-2025學(xué)年蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)寒假學(xué)習(xí)精講練講義專(zhuān)題05圓錐的體積1.推導(dǎo)出圓錐體積的計(jì)算公式。2.會(huì)運(yùn)用圓錐的體積計(jì)算公式計(jì)算圓錐的體積。3.培養(yǎng)觀察、比較、分析、綜合的能力以及初步的空間觀念。知識(shí)點(diǎn)：圓錐體積的計(jì)算方法根據(jù)書(shū)本上的實(shí)驗(yàn)可以得到結(jié)論：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的3倍，或者說(shuō)圓錐的體積是圓柱的三分之一。用字母表示為V圓柱=3V圓錐或者V圓錐=1/3V圓柱。相關(guān)公式：只需要在圓柱的相關(guān)公式前面乘以三分之一。①已知半徑和高，V圓錐=1/3πr2h②已知直徑和高，V圓錐=1/3π(d÷2)2h③已知周長(zhǎng)和高，V圓錐=1/3π(C÷2π)2h知識(shí)點(diǎn)2：圓柱和圓錐的橫截面理解掌握：★圓柱橫截面的分割方法：①按底面的直徑分割，這樣分割的橫截面是長(zhǎng)方形或者是正方形，如果橫截面是正方形說(shuō)明圓柱的底面直徑和高相等。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。圓錐橫截面的分割方法：①按圓錐的高分割，這樣分割的橫截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。知識(shí)點(diǎn)01：圓錐的體積【典例講解】（2023?成華區(qū)）如圖，長(zhǎng)方形硬紙片長(zhǎng)15cm，寬5cm。以長(zhǎng)邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)你想象旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形，再?gòu)南旅鎯蓚€(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)問(wèn)題解答：①旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，它的底面周長(zhǎng)是多少？②把旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，削成一個(gè)最大的圓錐，削去部分的體積是多少？【思路點(diǎn)撥】①旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是圓柱，圓柱底面半徑是5cm，高是15cm，底面周長(zhǎng)是2×3.14×5＝31.4（5cm），據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：我選擇①題解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周長(zhǎng)是31.4cm?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查的是圓柱和圓錐的底面周長(zhǎng)和體積，熟記公式是解答關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練1-1】（2023秋?哈爾濱期末）下列說(shuō)法：①把化成百分?jǐn)?shù)是1.25%。②比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），比值不變。③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的。④一件商品進(jìn)價(jià)600元，商場(chǎng)先按進(jìn)價(jià)提價(jià)10%，然后再降價(jià)10%銷(xiāo)售，商場(chǎng)不賠不賺。其中結(jié)論正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【變式訓(xùn)練1-2】（2023?錦州）一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體的底面半徑之比是3：2，高之比是2：3，則它們體積之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【變式訓(xùn)練1-3】（2023?湘陰縣）麗麗在家中找到一個(gè)底面直徑為20厘米的圓柱形玻璃杯，在杯中裝了一部分水，然后在水中放入一個(gè)底面直徑為8厘米、高為12厘米的圓錐形鉛錘，之后又將鉛錘從水中取出。她運(yùn)用學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)算出了取出鉛錘后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米嗎？【變式訓(xùn)練1-4】（2023?昆明）計(jì)算下圖的體積。知識(shí)點(diǎn)02：組合圖形的體積【典例講解】（2023春?寧鄉(xiāng)市月考）如圖所示，在密閉的玻璃容器（圓柱部分的高大于10厘米）中裝有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把這個(gè)容器倒過(guò)來(lái)，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路點(diǎn)撥】因?yàn)榈鹊椎雀叩膱A柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當(dāng)圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時(shí)，圓柱的高是圓錐高的，據(jù)此可以求出圓錐容器中的水倒入圓柱形容器中的水深，再加上原來(lái)圓柱形容器的水深即可?！疽?guī)范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把這個(gè)容器倒過(guò)來(lái)，那么水面到底部的高度是6厘米。故選：B。【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系及應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練2-1】（2023春?雁江區(qū)期中）如圖①是一個(gè)直立于水平面的幾何體（下底面是圓，單位：cm），將這樣三個(gè)相同幾何體拼成圖②所示的新幾何體，則該幾何體體積是cm3？【變式訓(xùn)練2-2】（2023?棗強(qiáng)縣）求如圖形的體積?！咀兪接?xùn)練2-3】（2023?市南區(qū)）陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，圖1是一種木制玩具陀螺，可以看作是一個(gè)近似的圓錐和圓柱組合起來(lái)的立體圖形。玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，這樣的陀螺轉(zhuǎn)起來(lái)更穩(wěn)定。圖2是這個(gè)玩具陀螺的直觀圖，其中B、C分別是上、下底面的圓心，并且AC：AB＝3：1。制作這個(gè)陀螺需要多少立方厘米的木料？【變式訓(xùn)練2-4】（2023?黃州區(qū)）把一個(gè)棱長(zhǎng)是6分米的正方體木料削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐的體積是多少立方分米？一．選擇題（共4小題）1．（2023?北票市）一個(gè)圓錐的體積是24dm3，它的底面積是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．182．（2023?莆田）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的圓錐體積計(jì)算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一?！币簿褪怯玫酌嬷荛L(zhǎng)的平方乘高，再除以36。這種計(jì)算方法，圓周率近似值取3。一個(gè)圓錐形的沙堆，底面周長(zhǎng)30米，高2米。用這種方法算出的沙堆體積是（）立方米。A．50 B．25 C． D．3．（2023?播州區(qū)）一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的體積和底面積都相等，圓錐的高是24厘米，那么圓柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．124．（2023?德宏州）圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，它的體積（）A．不變 B．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 C．縮小到原來(lái)的一半 D．?dāng)U大到原來(lái)的4倍二．填空題（共5小題）5．（2023?昆都侖區(qū)）淘氣用一個(gè)邊長(zhǎng)分別是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如圖這樣快速旋轉(zhuǎn)，這個(gè)三角形掃過(guò)的空間是立方厘米。6．（2023?錦州）一個(gè)圓柱形橡皮泥，底面積是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同樣底面大小的圓錐，這個(gè)圓錐的高是厘米。7．（2023?武進(jìn)區(qū)）如圖，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所得立體圖形的體積是立方厘米。8．（2023?永川區(qū)）有一張長(zhǎng)方形硬紙板（如圖），如果將它沿圖中虛線(xiàn)剪開(kāi)，把其中一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，能夠形成一個(gè)立體圖形，這個(gè)立體圖形的體積最小是立方厘米。9．（2023?朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖所示是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是18.84厘米；把這個(gè)扇形圍成圓錐后，它的體積是31.4立方厘米，圍成的這個(gè)圓錐的高是厘米。（π取3.14）三．判斷題（共4小題）10．（2023?遵化市）一個(gè)圓錐體高不變，底面半徑擴(kuò)大原來(lái)的2倍，這個(gè)圓錐的體積也擴(kuò)大到原來(lái)的2倍．（判斷對(duì)錯(cuò)）11．（2023?開(kāi)州區(qū)）圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．．（判斷對(duì)錯(cuò)）12．（2023春?瑞金市期中）圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，高不變，體積就擴(kuò)大到原來(lái)的9倍．．（判斷對(duì)錯(cuò)）13．（2023?石河子）一個(gè)圓錐底面周長(zhǎng)是31.4厘米，高是4厘米，它的體積是314立方厘米。（判斷對(duì)錯(cuò)）四．計(jì)算題（共3小題）14．（2023?蕭山區(qū)模擬）計(jì)算體積。（單位：米）15．（2023?潼南區(qū)）求出下面組合體的體積。（單位：cm）。16．（2023春?沙河市期中）求如圖所示圖形的體積。（單位：cm）五．應(yīng)用題（共10小題）17．（2023?洛龍區(qū)）積木是一種常見(jiàn)的兒童玩具，一套積木中通常有不同的顏色和形狀。其中圓錐形積木是在圓柱形積木的基礎(chǔ)上加工制作而成的。將一個(gè)底面半徑是3cm、高是6cm的圓柱形積木加工制作成一個(gè)等底等高的圓錐形積木，加工制作過(guò)程中削去木料的體積是多少？（π取3.14）（2023?孟津縣）一桶16升的溶液，要分裝在開(kāi)口直徑8厘米、高15厘米的圓錐形杯子里。至少需要幾個(gè)這樣的杯子？19．（2023?隨州）一個(gè)裝滿(mǎn)稻谷的糧囤，如圖，上面是圓錐，下面是圓柱。已知圓柱的底面周長(zhǎng)是6.28米，圓柱的高是3米，圓錐的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么這囤稻谷有多少千克？（π取3.14）20．（2023?洞頭區(qū)）一個(gè)圓錐形金屬鑄件的底面半徑2厘米，高3厘米，把它完全浸沒(méi)在底面半徑是4厘米的圓柱形玻璃槽內(nèi)（玻璃槽足夠高），水面上升多少厘米？（2023?萊陽(yáng)市）從古代一直到近代，匠人們打鐵時(shí)，用火將鐵燒紅變軟，然后用錘子擊打成想要的形狀，最后放到?jīng)鏊镅杆倮鋮s，以增加鐵的硬度，這就是“淬火”。一鐵匠將底面半徑為10厘米的圓柱形鐵塊燒紅，擊打成與它底面大小相同的圓錐形狀，然后完全沒(méi)入一底面積為31.4平方分米的長(zhǎng)方體容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求這個(gè)圓錐的高是多少厘米。（損耗忽略不計(jì)）（2023?新榮區(qū)）一個(gè)底面周長(zhǎng)是36厘米的正方體容器中，盛有6厘米深的水。把一個(gè)高是6厘米的圓錐形鐵塊完全沒(méi)入容器里的水中，現(xiàn)在容器里的水深7厘米。這個(gè)圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？23．（2023?溫江區(qū)）2023年5月30日9時(shí)31分，搭載神舟十六號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十六運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，整流罩是運(yùn)載火箭的重要組成部分，外形通常由近似的圓柱和圓錐組成。右圖是實(shí)驗(yàn)小學(xué)科學(xué)小組制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不計(jì)，該整流罩的容積是多少立方分米？24．（2023春?襄汾縣校級(jí)月考）求如圖物體的體積。（單位：厘米）25．（2023?江寧區(qū)）長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭整流罩的底面直徑為3.2米。科技館存放著按一定比例制作的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭的整流罩模型（如圖）。（1）科技館制作整流罩模型的比例是多少？（2）該整流罩模型的體積是多少？（3）如果用一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃盒來(lái)存放這個(gè)模型，制作這個(gè)玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？26．（2023?如皋市）在一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形薄鐵皮桶里，放入一個(gè)圓錐形鐵塊，然后裝滿(mǎn)水，鐵塊浸沒(méi)在水中。以下是相關(guān)信息，請(qǐng)結(jié)合這些信息提出一個(gè)三步或三步以上計(jì)算的問(wèn)題，并解答。（結(jié)果可以保留π）①桶的底面直徑是6分米。②鐵塊的底面直徑為3分米。③取出鐵塊后，水面距離桶沿0.3分米。我的問(wèn)題：？解答：2024-2025學(xué)年蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)寒假學(xué)習(xí)精講練講義專(zhuān)題05圓錐的體積1.推導(dǎo)出圓錐體積的計(jì)算公式。2.會(huì)運(yùn)用圓錐的體積計(jì)算公式計(jì)算圓錐的體積。3.培養(yǎng)觀察、比較、分析、綜合的能力以及初步的空間觀念。知識(shí)點(diǎn)：圓錐體積的計(jì)算方法根據(jù)書(shū)本上的實(shí)驗(yàn)可以得到結(jié)論：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的3倍，或者說(shuō)圓錐的體積是圓柱的三分之一。用字母表示為V圓柱=3V圓錐或者V圓錐=1/3V圓柱。相關(guān)公式：只需要在圓柱的相關(guān)公式前面乘以三分之一。①已知半徑和高，V圓錐=1/3πr2h②已知直徑和高，V圓錐=1/3π(d÷2)2h③已知周長(zhǎng)和高，V圓錐=1/3π(C÷2π)2h知識(shí)點(diǎn)2：圓柱和圓錐的橫截面理解掌握：★圓柱橫截面的分割方法：①按底面的直徑分割，這樣分割的橫截面是長(zhǎng)方形或者是正方形，如果橫截面是正方形說(shuō)明圓柱的底面直徑和高相等。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。圓錐橫截面的分割方法：①按圓錐的高分割，這樣分割的橫截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。知識(shí)點(diǎn)01：圓錐的體積【典例講解】（2023?成華區(qū)）如圖，長(zhǎng)方形硬紙片長(zhǎng)15cm，寬5cm。以長(zhǎng)邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)你想象旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形，再?gòu)南旅鎯蓚€(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)問(wèn)題解答：①旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，它的底面周長(zhǎng)是多少？②把旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，削成一個(gè)最大的圓錐，削去部分的體積是多少？【思路點(diǎn)撥】①旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是圓柱，圓柱底面半徑是5cm，高是15cm，底面周長(zhǎng)是2×3.14×5＝31.4（5cm），據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：我選擇①題解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周長(zhǎng)是31.4cm?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查的是圓柱和圓錐的底面周長(zhǎng)和體積，熟記公式是解答關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練1-1】（2023秋?哈爾濱期末）下列說(shuō)法：①把化成百分?jǐn)?shù)是1.25%。②比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），比值不變。③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的。④一件商品進(jìn)價(jià)600元，商場(chǎng)先按進(jìn)價(jià)提價(jià)10%，然后再降價(jià)10%銷(xiāo)售，商場(chǎng)不賠不賺。其中結(jié)論正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】①分?jǐn)?shù)化為百分?jǐn)?shù)，用分子除以分母得到小數(shù)，再把小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位，再加上百分號(hào)；②根據(jù)比的基本性質(zhì)判斷即可；③根據(jù)等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍判斷；④商品進(jìn)價(jià)600，加價(jià)10%后的價(jià)格是600+600×10%＝660（元），再降價(jià)10%，此時(shí)的售價(jià)是660×（1﹣10%）＝594（元），594＜600，所以商場(chǎng)賠錢(qián)了，據(jù)此解答即可。【規(guī)范解答】解：①把化成百分?jǐn)?shù)是125%，說(shuō)法錯(cuò)誤；②比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），比值不變，說(shuō)法正確；③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的，說(shuō)法正確；④一件商品進(jìn)價(jià)600元，商場(chǎng)先按進(jìn)價(jià)提價(jià)10%，然后再降價(jià)10%銷(xiāo)售，商場(chǎng)賠錢(qián)了，原說(shuō)法錯(cuò)誤。其中結(jié)論正確的是②和③。故選：B?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查的是所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練1-2】（2023?錦州）一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體的底面半徑之比是3：2，高之比是2：3，則它們體積之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【思路點(diǎn)撥】分析題意，設(shè)圓錐體的底面半徑是3，高是2，則圓柱體的底面半徑是2，高是3；再根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式計(jì)算，然后寫(xiě)出它們的體積之比，最后化簡(jiǎn)即可得到答案?！疽?guī)范解答】解：設(shè)圓錐體的底面半徑是3，高是2。則圓柱體的底面半徑是2，高是3。圓錐體的體積為：×π×32×2＝3π×2＝6π圓柱體的體積為：π×22×3＝4π×3＝12π6π：12π＝1：2答：它們的體積之比是1：2。故選：A。【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查比的應(yīng)用，需結(jié)合圓錐和圓柱的體積公式求解。【變式訓(xùn)練1-3】（2023?湘陰縣）麗麗在家中找到一個(gè)底面直徑為20厘米的圓柱形玻璃杯，在杯中裝了一部分水，然后在水中放入一個(gè)底面直徑為8厘米、高為12厘米的圓錐形鉛錘，之后又將鉛錘從水中取出。她運(yùn)用學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)算出了取出鉛錘后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米嗎？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，求出圓錐體鉛錘的體積，用圓錐體鉛錘的體積除以圓柱形玻璃杯的底面積即可?！疽?guī)范解答】解：×3.14×（8÷2）2×12÷[3.14×（20÷2）2]＝×3.14×16×12÷[3.14×100]＝200.96÷314＝0.64（厘米）答：杯里的水下降0.64厘米。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。【變式訓(xùn)練1-4】（2023?昆明）計(jì)算下圖的體積?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：20×3×3＝60×3＝180（立方厘米）×3.14×（12÷2）2×15＝×3.14×36×15＝565.2（立方分米）答：長(zhǎng)方體的體積是180立方厘米，圓錐的體積是565.2立方分米。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查長(zhǎng)方體的體積公式、圓錐的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。知識(shí)點(diǎn)02：組合圖形的體積【典例講解】（2023春?寧鄉(xiāng)市月考）如圖所示，在密閉的玻璃容器（圓柱部分的高大于10厘米）中裝有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把這個(gè)容器倒過(guò)來(lái)，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路點(diǎn)撥】因?yàn)榈鹊椎雀叩膱A柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當(dāng)圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時(shí)，圓柱的高是圓錐高的，據(jù)此可以求出圓錐容器中的水倒入圓柱形容器中的水深，再加上原來(lái)圓柱形容器的水深即可?！疽?guī)范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把這個(gè)容器倒過(guò)來(lái)，那么水面到底部的高度是6厘米。故選：B。【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系及應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練2-1】（2023春?雁江區(qū)期中）如圖①是一個(gè)直立于水平面的幾何體（下底面是圓，單位：cm），將這樣三個(gè)相同幾何體拼成圖②所示的新幾何體，則該幾何體體積是188.4cm3？【思路點(diǎn)撥】三個(gè)直立于水平面上的形狀完全相同的幾何體，底面的直徑都是4，將它們拼成如圖2的新幾何體，新幾何體的體積＝一個(gè)圓柱體的體積加半個(gè)圓柱體的體積，新圓柱體的高是4+6+4＝14cm，半個(gè)圓柱體的高是6﹣4＝2cm，如圖所示：?！疽?guī)范解答】解：新幾何體的體積＝一個(gè)圓柱體的體積加半個(gè)圓柱體的體積，新圓柱體的高是4+6+4＝14（cm）半個(gè)圓柱體的高是6﹣4＝2（cm）圓柱體底面的半徑4÷2＝2（cm）根據(jù)圓柱體的體積公式V＝π×半徑2×高，得：新幾何體的體積＝π×22×14+π×22×2×＝56×3.14+4×3.14＝60×3.14＝188.4（cm3），答：應(yīng)為188.4cm3故答案為：188.4。【考點(diǎn)評(píng)析】本題的關(guān)鍵是理解新幾何體的體積等于一個(gè)圓柱體的體積加半個(gè)圓柱體的體積，然后弄清這兩個(gè)物體的高和底面半徑，代入公式解決問(wèn)題?！咀兪接?xùn)練2-2】（2023?棗強(qiáng)縣）求如圖形的體積。【思路點(diǎn)撥】組合圖形的體積等于圓柱體積加上圓錐的體積。利用體積公式V柱＝πr2h，V錐＝πr2h，計(jì)算即可?！疽?guī)范解答】解：3.14×（6÷2）2×6+3.14×（6÷2）2×6×＝3.14×（6÷2）2×6×（1+）＝3.14×（6÷2）2×6×＝226.08（立方厘米）答：組合圖形的體積是226.08立方厘米。【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要利用規(guī)則圖形的體積公式計(jì)算組合圖形的體積?！咀兪接?xùn)練2-3】（2023?市南區(qū)）陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，圖1是一種木制玩具陀螺，可以看作是一個(gè)近似的圓錐和圓柱組合起來(lái)的立體圖形。玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，這樣的陀螺轉(zhuǎn)起來(lái)更穩(wěn)定。圖2是這個(gè)玩具陀螺的直觀圖，其中B、C分別是上、下底面的圓心，并且AC：AB＝3：1。制作這個(gè)陀螺需要多少立方厘米的木料？【思路點(diǎn)撥】玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，陀螺中底面直徑是6厘米，用6乘1.2求出總高度，即AC的高度，又因?yàn)锳C：AB＝3：1，即AC是AB的3倍，用AC除以3就是AB的高度，也就是圓錐的高，再用總高度減去圓錐的高就是圓柱的高，根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，圓錐的體積＝底面積×高解答即可?！疽?guī)范解答】解：6×1.2＝7.2（厘米）7.2÷3＝2.4（厘米）7.2﹣2.4＝4.8（厘米）6÷2＝3（厘米）3.14×32×4.8+×3.14×32×2.4＝28.26×4.8+3.14×7.2＝135.648+22.608＝158.256（立方厘米）答：制作這個(gè)陀螺需要158.256立方厘米的木料?！究键c(diǎn)評(píng)析】熟練掌握按比例分配的方法以及圓柱的體積、圓錐體積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練2-4】（2023?黃州區(qū)）把一個(gè)棱長(zhǎng)是6分米的正方體木料削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐的體積是多少立方分米？【思路點(diǎn)撥】通過(guò)觀察圖形可知，把這個(gè)正方體木料削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：×3.14×（6÷2）2×6＝3.14×9×6＝56.52（立方分米）答：這個(gè)圓錐的體積是56.52立方分米。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。一．選擇題（共4小題）1．（2023?北票市）一個(gè)圓錐的體積是24dm3，它的底面積是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．18【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，據(jù)此解答即可。【規(guī)范解答】解：24×3÷12＝72÷12＝6（分米）答：它的高是6分米。故選：C?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。2．（2023?莆田）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的圓錐體積計(jì)算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一?！币簿褪怯玫酌嬷荛L(zhǎng)的平方乘高，再除以36。這種計(jì)算方法，圓周率近似值取3。一個(gè)圓錐形的沙堆，底面周長(zhǎng)30米，高2米。用這種方法算出的沙堆體積是（）立方米。A．50 B．25 C． D．【思路點(diǎn)撥】由題意，“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”意思就是用底面周長(zhǎng)的平方乘高，再除以36，可以得到這個(gè)圓錐的體積?！疽?guī)范解答】解：302×2÷36＝900×2÷36＝1800÷36＝50（立方米）答：沙堆體積是50立方米。故選：A。【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了小數(shù)的理解分析能力，解決問(wèn)題的能力。3．（2023?播州區(qū)）一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的體積和底面積都相等，圓錐的高是24厘米，那么圓柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．12【思路點(diǎn)撥】如果圓柱與圓錐的高相等，也是24厘米，體積則是與它等底等高的圓錐體積的3倍，如果圓柱體積縮小到原來(lái)的與圓錐體積相等，底面積不變，根據(jù)圓柱底面積不變，圓柱的高與體積成正比例可知，圓柱的高也應(yīng)縮小到原來(lái)?！疽?guī)范解答】解：24×＝8（厘米）所以圓柱的高是8厘米。故選：C?！究键c(diǎn)評(píng)析】解答此題的關(guān)鍵是掌握“等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍”以及“圓柱底面積不變，圓柱的高與體積成正比例”。4．（2023?德宏州）圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，它的體積（）A．不變 B．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 C．縮小到原來(lái)的一半 D．?dāng)U大到原來(lái)的4倍【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，可知：圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍的圓錐的體積為：V＝π（2r）2h，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：[π（2r）2h]÷（πr2h）＝4r2÷r2＝4答：它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的4倍。故選：D?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了圓錐的體積公式的應(yīng)用。二．填空題（共5小題）5．（2023?昆都侖區(qū)）淘氣用一個(gè)邊長(zhǎng)分別是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如圖這樣快速旋轉(zhuǎn)，這個(gè)三角形掃過(guò)的空間是37.68立方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】通過(guò)觀察圖形可知，以直角邊（4厘米）為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）答：這個(gè)三角形掃過(guò)的空間是37.68立方厘米。故答案為：37.68。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。6．（2023?錦州）一個(gè)圓柱形橡皮泥，底面積是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同樣底面大小的圓錐，這個(gè)圓錐的高是15厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)題意可知，圓柱形橡皮泥捏成圓錐形后，體積不變，根據(jù)V＝Sh，所以先求出橡皮泥的體積，然后就能求出圓錐的高，根據(jù)h＝V×3÷S解答即可。【規(guī)范解答】解：橡皮泥體積：12×5＝60（cm3）圓錐的高：60×3÷12＝15（cm）答：圓錐的高是15厘米。故答案為：15。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓柱的體積公式及有關(guān)圓錐體積公式的應(yīng)用。7．（2023?武進(jìn)區(qū)）如圖，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是37.68立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所得立體圖形的體積是50.24立方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)圓錐的特征可知，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐；如果以直角邊BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面半徑是4厘米，高是3厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝50.24（立方厘米）答：將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是37.68立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所得立體圖形的體積是50.24立方厘米。故答案為：37.68，50.24?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。8．（2023?永川區(qū)）有一張長(zhǎng)方形硬紙板（如圖），如果將它沿圖中虛線(xiàn)剪開(kāi)，把其中一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，能夠形成一個(gè)立體圖形，這個(gè)立體圖形的體積最小是37.68立方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)圓錐的特征可知，以較長(zhǎng)的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)形成圓錐的底面半徑是3厘米，高是4厘米；以較段的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)形成圓錐的底面半徑是4厘米，高是3厘米；根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出兩個(gè)圓錐的體積，然后進(jìn)行比較即可?！疽?guī)范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝50.24（立方厘米）37.68＜50.24答：這個(gè)立體圖形的體積最小是37.68立方厘米。故答案為：37.68。【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A錐的特征及應(yīng)用，圓錐的體積公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。9．（2023?朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖所示是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是18.84厘米；把這個(gè)扇形圍成圓錐后，它的體積是31.4立方厘米，圍成的這個(gè)圓錐的高是3厘米。（π取3.14）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是18.84厘米；把這個(gè)扇形圍成圓錐后，這個(gè)圓錐的底面周長(zhǎng)就是18.84厘米，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，據(jù)此求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）31.4÷÷（3.14×32）＝31.4×3÷（3.14×9）＝94.2÷28.26＝3（厘米）答：圍成的這個(gè)圓錐的高是3厘米。故答案為：3?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓的周長(zhǎng)公式、面積公式、圓錐的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。三．判斷題（共4小題）10．（2023?遵化市）一個(gè)圓錐體高不變，底面半徑擴(kuò)大原來(lái)的2倍，這個(gè)圓錐的體積也擴(kuò)大到原來(lái)的2倍．×（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路點(diǎn)撥】圓錐的體積＝×底面積×高，若“高不變，底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍”，則面積擴(kuò)大到22倍，體積也擴(kuò)大22倍．【規(guī)范解答】解：因?yàn)閳A錐的體積＝×底面積×高，如果一個(gè)圓錐體高不變，底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，這個(gè)圓錐的體積也擴(kuò)大到原來(lái)的22＝4倍．故題干的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．故答案為：×．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐的體積公式．11．（2023?開(kāi)州區(qū)）圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．×．（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樵诘鹊?、等高的情況下，圓錐體積是圓柱體積的，因此，只有圓柱、圓錐在等底的情況下，圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．【規(guī)范解答】解：圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等是錯(cuò)誤的．因?yàn)橹挥袌A柱、圓錐在等底的情況下，圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等，這是里沒(méi)有等底這一條件，所以無(wú)法比較它們的體積．故答案為：×．【考點(diǎn)評(píng)析】根據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式“V＝Sh”、圓柱的體積計(jì)算公式“V＝Sh”，圓柱與圓錐底面積相等時(shí)，圓錐高是圓柱高的3倍，或圓柱與圓錐高相等時(shí)，圓錐底面積是圓柱底面積的3倍，圓柱、圓錐的體積才相等．12．（2023春?瑞金市期中）圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，高不變，體積就擴(kuò)大到原來(lái)的9倍．√．（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路點(diǎn)撥】圓錐的體積＝×底面積×高，若“高不變，底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的3倍”，則面積擴(kuò)大到32倍，體積也擴(kuò)大32倍．【規(guī)范解答】解：因?yàn)閳A錐的體積＝×底面積×高，如果一個(gè)圓錐體高不變，底面半徑擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，這個(gè)圓錐的體積也擴(kuò)大到原來(lái)的32＝9倍；故答案為：√．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐的體積公式．13．（2023?石河子）一個(gè)圓錐底面周長(zhǎng)是31.4厘米，高是4厘米，它的體積是314立方厘米。×（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個(gè)圓錐的體積，然后與314立方厘米進(jìn)行比較即可?！疽?guī)范解答】解：×3.14×（31.4÷3.14÷2）2×4＝×3.14×25×4≈105（立方厘米）105立方厘米≠314立方厘米因此題干中的結(jié)論是錯(cuò)誤的。故答案為：×?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。四．計(jì)算題（共3小題）14．（2023?蕭山區(qū)模擬）計(jì)算體積。（單位：米）【思路點(diǎn)撥】由圖可知，組合圖形由一個(gè)底面直徑為2米、高為3米的圓錐體和一個(gè)棱長(zhǎng)為2米的正方體組成，根據(jù)正方體體積公式“V＝a3”和圓錐體體積公式“V＝πr2h”，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。【規(guī)范解答】解：23+×3.14×（2÷2）2×3＝8+3.14＝11.14（立方米）答：組合體的體積是11.14立方米?！究键c(diǎn)評(píng)析】解答本題需明確組合圖形的組成，熟練掌握?qǐng)A錐體的體積公式和正方體的體積公式。15．（2023?潼南區(qū)）求出下面組合體的體積。（單位：cm）?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：3.14×（4÷2）2×7+8×5×2＝3.14×4×7+40×2＝87.92+80＝167.92（立方厘米）答：它的體積是167.92立方厘米。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓柱、長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。16．（2023春?沙河市期中）求如圖所示圖形的體積。（單位：cm）【思路點(diǎn)撥】圓錐的體積公式：V＝πr2h，圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出它們的體積和即可。【規(guī)范解答】解：×3.14×（6÷2）2×6×2+3.14×（6÷2）2×15＝×3.14×9×6×2+3.14×9×15＝56.52×2+28.26×15＝113.04+423.9＝536.94（立方厘米）答：它的體積是536.94立方厘米?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐、圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。五．應(yīng)用題（共10小題）17．（2023?洛龍區(qū)）積木是一種常見(jiàn)的兒童玩具，一套積木中通常有不同的顏色和形狀。其中圓錐形積木是在圓柱形積木的基礎(chǔ)上加工制作而成的。將一個(gè)底面半徑是3cm、高是6cm的圓柱形積木加工制作成一個(gè)等底等高的圓錐形積木，加工制作過(guò)程中削去木料的體積是多少？（π取3.14）【思路點(diǎn)撥】把這個(gè)圓柱削成一個(gè)最大分圓錐，也就是削成的圓錐與圓柱等底等高，因?yàn)榈鹊椎雀叩膱A錐的體積是圓柱體積的，所以削求部分的體積相當(dāng)于圓柱體積的（1）。根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：3.14×32×6×（1）＝3.14×9×6×＝169.56×＝113.04（立方厘米）答：加工制作過(guò)程中削去木料的體積是113.04立方厘米。【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系及應(yīng)用，圓柱的體積公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。18．（2023?孟津縣）一桶16升的溶液，要分裝在開(kāi)口直徑8厘米、高15厘米的圓錐形杯子里。至少需要幾個(gè)這樣的杯子？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)1升＝1000毫升＝1000立方厘米進(jìn)行單位換算，再根據(jù)圓錐的體積＝πrh，求出圓錐的體積，用溶液的體積除以圓錐杯子的體積即可解答，結(jié)果用“進(jìn)一法”保留整數(shù)?！疽?guī)范解答】解：8÷2＝4（厘米）×3.14×42×15＝15×（3.14×16）＝5×50.24＝251.2（立方厘米）16升＝16000立方厘米16000÷251.2≈64（個(gè)）答：至少需要64個(gè)這樣的杯子。【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了學(xué)生對(duì)圓錐體積公式、容積單位換算的掌握。19．（2023?隨州）一個(gè)裝滿(mǎn)稻谷的糧囤，如圖，上面是圓錐，下面是圓柱。已知圓柱的底面周長(zhǎng)是6.28米，圓柱的高是3米，圓錐的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么這囤稻谷有多少千克？（π取3.14）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝π（）2h，圓柱的體積公式：V＝π（）2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出圓錐與圓柱的體積和，然后再乘每立方米稻谷的質(zhì)量即可?！疽?guī)范解答】解：3.14×（6.28÷3.14÷2）2×0.6+3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3＝3.14×1×0.6+3.14×1×3＝0.628+9.42＝10.048（立方米）10.048×100＝1004.8（千克）答：這囤稻谷有1004.8千克。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓錐、圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。20．（2023?洞頭區(qū)）一個(gè)圓錐形金屬鑄件的底面半徑2厘米，高3厘米，把它完全浸沒(méi)在底面半徑是4厘米的圓柱形玻璃槽內(nèi)（玻璃槽足夠高），水面上升多少厘米？【思路點(diǎn)撥】用圓錐形金屬鑄件的體積除以圓柱形玻璃槽的底面積，即可求出水面上升多少厘米。【規(guī)范解答】解：×3.14×22×3÷（3.14×42）＝12.56÷50.24＝0.25（厘米）答：水面上升0.25厘米?！究键c(diǎn)評(píng)析】解答本題需熟練掌握?qǐng)A錐體和圓柱體體積公式，靈活計(jì)算。21．（2023?萊陽(yáng)市）從古代一直到近代，匠人們打鐵時(shí)，用火將鐵燒紅變軟，然后用錘子擊打成想要的形狀，最后放到?jīng)鏊镅杆倮鋮s，以增加鐵的硬度，這就是“淬火”。一鐵匠將底面半徑為10厘米的圓柱形鐵塊燒紅，擊打成與它底面大小相同的圓錐形狀，然后完全沒(méi)入一底面積為31.4平方分米的長(zhǎng)方體容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求這個(gè)圓錐的高是多少厘米。（損耗忽略不計(jì)）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，圓錐的體積公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：31.4平方分米＝3140平方厘米3140×1.5÷÷（3.14×102）＝4710×3÷（3.14×100）＝14130÷314＝45（厘米）答：這個(gè)圓錐的高是45厘米?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。22．（2023?新榮區(qū)）一個(gè)底面周長(zhǎng)是36厘米的正方體容器中，盛有6厘米深的水。把一個(gè)高是6厘米的圓錐形鐵塊完全沒(méi)入容器里的水中，現(xiàn)在容器里的水深7厘米。這個(gè)圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知，把鐵塊放入容器中，上升部分水的體積就等于鐵塊的體積，根據(jù)正方形的周長(zhǎng)公式：C＝4a，那么a＝C÷4，據(jù)此求出底面邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，圓錐的體積公式：V＝Sh，那么S＝V÷÷h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：36÷4＝9（厘米）9×9×（7﹣6）÷÷6＝81×1×3÷6＝243÷6＝40.5（平方厘米）答：這個(gè)圓錐形鐵塊的底面積