1991考研數(shù)四真題及解析

文檔文檔/文檔1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)設(shè)則________.(2)設(shè)曲線與都通過點(diǎn)且在點(diǎn)有公共切線,則________,________,________.(3)設(shè),則在點(diǎn)________處取極小值________.(4)階行列式________.(5)設(shè)為隨機(jī)事件,________.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分；每一小題都給出代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)結(jié)論,其中只有一個(gè)是正確的,把你認(rèn)為正確的結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi),每一小題選對(duì)得3分,不選或選錯(cuò)一律得0分.)(1)下列各式中正確的是()(A)(B)(C)(D)(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為則當(dāng)時(shí),是()(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量(D)無界變量(3)設(shè)為階方陣,滿足等式,則必有()(A)或(B)(C)或(D)(4)設(shè)是矩陣,是非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是()(A)若僅有零解,則有唯一解(B)若有非零解,則有無窮多個(gè)解(C)若有無窮多個(gè)解.,則僅有零解(D)若有無窮多個(gè)解,則有非零解(5)設(shè)和是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是()(A)與不相容(B)與相容(C)(D)三、(本題滿分5分)求極限四、(本題滿分5分)求定積分五、(本題滿分5分)求不定積分六、(本題滿分5分)已知,其中是和的函數(shù).求證：七、(本題滿分6分)假設(shè)曲線：、和軸所圍區(qū)域被曲線：分為面積相等的兩部分,其中是大于零的常數(shù).試確定的值.八、(本題滿分8分)某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售,售價(jià)分別為和；銷售量分別為和；需求函數(shù)分別為和.總成本函數(shù)為試問：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià),能使其獲得的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？九、(本題滿分6分)證明不等式.十、(本題滿分5分)設(shè)階矩陣和滿足條件.(1)證明為可逆矩陣(其中是階單位矩陣)；(2)已知求矩陣.十一、(本題滿分7分)設(shè)有三維列向量問取何值時(shí),(1)可由線性表示,且表達(dá)式唯一?(2)可由線性表示,且表達(dá)式不唯一?(3)不能由線性表示?十二、(本題滿分4分)已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量,試求常數(shù)的值.十三、(本題滿分7分)一汽車沿一街道行駛,需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等,以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù).(1)求的概率分布.(2)求.十四、(本題滿分7分)在電源電壓不超過200伏、在200240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2,假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布,試求：(1)該電子元件損壞的概率；(2)該電子元件損壞時(shí),電源電壓在200240伏的概率.附表：注：表中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】方法一：先求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和,然后再寫出全微分,,所以.方法二：利用一階全微分形式不變性和微分四則運(yùn)算法則直接計(jì)算..(2)【答案】,,【解析】由于曲線與都通過點(diǎn)則,又曲線與在點(diǎn)有公切線,則,即,亦即,解之得,,.(3)【答案】；【解析】由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式可知,.對(duì)函數(shù)求導(dǎo),并令,得,解之得駐點(diǎn),且故是函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為.(4)【答案】【解析】因?yàn)楸绢}行列式中零元素較多,所以考慮將行列式按某一行或者某一列展開,達(dá)到降階的目的.方法1：按第1列展開,有.方法2：也可以按第一行展開,有,對(duì)第二個(gè)階行列式,按第一列展開有.所以.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】行列式的性質(zhì)：將行列式對(duì)任一行按下式展開,其值相等,即其中是中去掉第行第列全部元素后按原順序排列成的階行列式,它稱為的余子式,稱為的代數(shù)余子式.(5)【答案】【解析】由概率基本公式,有,故.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(A)【解析】由重要極限可知,極限,.而極限,令,則,所以.故選項(xiàng)(A)正確.(2)【答案】(D)【解析】由于為奇數(shù)時(shí),(當(dāng)時(shí)),為偶數(shù)時(shí),(當(dāng)時(shí)),所以當(dāng)時(shí),既不是無窮大量,也不是無窮小量,而是無界變量.故應(yīng)選(D).(3)【答案】(C)【解析】由,用行列式乘法公式,有,所以,與這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為0,故應(yīng)選(C).注意,若,,有,顯然,.這里一個(gè)常見的錯(cuò)誤是“若,,則”.要引起注意.(4)【答案】(D)【解析】?jī)H有零解有唯一解現(xiàn)在的問題是由能否推導(dǎo)出？若是階矩陣,結(jié)論肯定正確,那么矩陣呢？考察下面的例子：顯然只有零解,而無解,可見(A)不正確.有無窮多解,因?yàn)?故必有非零解.所以(D)正確.故應(yīng)選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價(jià)向量組).設(shè)是矩陣,線性方程組,則有唯一解有無窮多解無解不能由的列向量線表出.2.對(duì)齊次線性方程組,有定理如下:對(duì)矩陣按列分塊,有,則的向量形式為,那么,有非零解線性相關(guān)(5)【答案】(D)【解析】,如果,則,即與互不相容；如果,則,即與相容.由于、的任意性,故選項(xiàng)(A)(B)均不正確.任何事件一定可以表示為兩個(gè)互不相容事件與的和.又因,從而,另外要注意區(qū)分獨(dú)立與互不相容兩個(gè)概念,不要錯(cuò)誤地把、互不相容等同于、相互獨(dú)立而錯(cuò)選(C).,不相容,,均不為零,因此,即(C)不正確.用排除法應(yīng)選(D).事實(shí)上,三、(本題滿分5分)【解析】本題屬型未定式極限.方法一：而,于是方法二：,而于是四、(本題滿分5分)【解析】,因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,為偶函數(shù),為奇函數(shù),所以由定積分的性質(zhì)可知,,所以.五、(本題滿分5分)【解析】方法一：.方法二：令則.六、(本題滿分5分)【解析】將兩邊同時(shí)對(duì)分別求偏導(dǎo)數(shù),得,即.于是七、(本題滿分6分)【解析】先求出曲線和的交點(diǎn),然后利用定積分求出平面圖形面積和,如圖：由得所以,.又因?yàn)?所以,即,解得八、(本題滿分8分)【解析】方法1：總收入函數(shù)為,總利潤(rùn)函數(shù)為.由極值的必要條件,得方程組即.因駐點(diǎn)的唯一,且由問題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn).故當(dāng)時(shí),廠家所獲得的總利潤(rùn)最大,其最大總利潤(rùn)為方法2：兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格函數(shù)分別為,總收入函數(shù)為,總利潤(rùn)函數(shù)為.由極值的必要條件,得方程組因駐點(diǎn)的唯一,且由問題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn).故當(dāng),即時(shí),廠家所獲得的總利潤(rùn)最大,其最大總利潤(rùn)為.九、(本題滿分6分)【解析】令,欲證不等式成立,只需證.方法一：利用單調(diào)性.由于,且,故,所以函數(shù)在上單調(diào)減少.又,于是有,所以.方法二：利用拉格朗日中值定理.令,所以在區(qū)間存在一點(diǎn),使得,即又因?yàn)?所以,所以,即.十、(本題滿分5分)【解析】(1)由,加項(xiàng)后因式分解得有,所以可逆,且,,.(2)由(1)小題得出.對(duì)于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律：,則求的伴隨矩陣.如果,這樣.再利用分塊矩陣求逆的法則：,有,利用2階矩陣快速求逆法得,再利用分塊矩陣求逆的法則,得,故.注：由要證可逆時(shí),因?yàn)闈M足關(guān)系式的矩陣不唯一,故應(yīng)當(dāng)用定義法.十一、(本題滿分7分)【解析】設(shè)將分量代入得到方程組對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換.第一行分別乘以有、加到第二行和第三行上,有,再第二行加到第三行上,所以有.若且即且,則,方程組有唯一解,即可由線性表示且表達(dá)式唯一.若,則,方程組有無窮多解,可由線性表示,且表達(dá)式不唯一.若,則,方程組無解,從而不能由線性表示.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價(jià)向量組).設(shè)是矩陣,線性方程組,則(1)有唯一解(2)有無窮多解(3)無解不能由的列向量線表出.十二、(本題滿分4分)【解析】由為的特征值可知,存在非零向量使,兩端左乘,得.因?yàn)?故,于是有.按特征值定義知是的特征值,且為相應(yīng)的特征向量.本題中設(shè)是所屬的特征值,即.于是,或.注：利用特征值、特征向量的定義來建立方程組,通過借方程組可求出參數(shù).這種方法在以后的考試中多次出現(xiàn).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)是階矩陣,若存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.十三、(本題滿分7分)【解析】(1)首先確定的可能值是,其次計(jì)算取各種可能值的概率.設(shè)事件“汽車在第個(gè)路口首次遇到紅燈”,且相互獨(dú)立.事件發(fā)生表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)為.所以有則的概率分布為(2)離散型隨機(jī)變量的取值為.所以其概率分布為由離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式,因?yàn)榈母怕史植家阎?所以有.注：此題易犯的一個(gè)錯(cuò)誤是將計(jì)算為,這是由于該街道僅有三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈