2023年黑龍江省黑河市統(tǒng)招專(zhuān)升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2023年黑龍江省黑河市統(tǒng)招專(zhuān)升本數(shù)學(xué)自

考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

1.

四階行列式第:行的兒素依次為L(zhǎng)25.3,對(duì)應(yīng)的余/式的值依次為4.329.

則該行列式的俏為《兀

A.35B.7C.-7D.-35

2.

.點(diǎn)(0,1)是曲線y=二+林2+。的拐點(diǎn)，則()

A.6=0=1B.b=-1,c=0

C.6=1,c=1D.b=-1,c=1

3.

已知/'(0)7（0）='且/（o）=g（0）,則lim』①一小一立=（)

丁?0JC

A.a-bB.2a+bC,a+bD.b-a

4.

H-l

極限㈣年f）()

A.eTB.C.eD.e7

5.

).則d之|=

設(shè)之=ln/l+-()

\.V）\（1.1）

A.d、r+dyB.2d、T+2dy

c.ydj--ydj>D.-ydj'+-ydy

6.

/G)=lg(x-1)+J^2-3x+2的定義域?yàn)?)

A.(2,4-00)B.[2,4-00)c.(1,2)D.(-oo,l]

7.

.設(shè)/'(lor)=1+x.fiijjf(2x)dx

)

1+e8l-e!D.-9

A.B.

224

8.

?函數(shù)y=/(])由方程r+lnw=1確定,則該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為

()

A.y+2H—3=0B.y+2x+3=0

C.2y+n-3=0D.2y+jt+3=0

9.

()

吁\ll-1/

A.e-B.e3C.e2D.e：i

10.

設(shè)J/DdLr=F(H)+C,則jz/XoiJ+b〉di=()

A.F<ar2+M+CB.^F(ar2+6)

C.jF(ar:+i)-FCD.^F(az2+A)+C

11.

,設(shè)2=y（xj）有二階偏導(dǎo)數(shù)，則（)

Ad2f_d2fR/

D.9s

dxdydydxdxdydydx

業(yè)d2f》/d2fd2f

C.z在（x,y）處可微nD.當(dāng)——,一人連續(xù)時(shí)，一—=—―

dxdydydxdxdydydx

12.

dzdz.

若z=lnQy),(x>0,y>0),則x二—y--()

oxoy

A.xB.xyC.x+yD.0

13.

?設(shè)1/(r)dz=zc"/.則/Q.)=()

A.B.(.r—1)e^C.(x+2)e"D.2?

14.

ysin.(1-

?(*-1產(chǎn)1+2)()

AD

-fC.Of

15.

曲線zy=1在點(diǎn)(/，2)處的法線方程為()

A.21一8y+15=0B.2%+8了+15=0

C.2JC—8y—15=0D.2xH-8y—15=0

16.

設(shè)/(￡)在［0?瓦I上連續(xù)?則由曲線y=/(7)與直線①=a?7=b,y=0所圍成平面

圖形的面積為()

A.Jf(.r)d.rB.|j,f(x)d.r|

C.Pl/(.r)|dxD.|/(Z()-/(a)|(A-a)

17.

.fidj-=()

J-lX

A.OB.2

C.一2D.以上都不對(duì)

18.

設(shè)八=ln(l=則以下.結(jié)論成立的是（）

A.I><I：B.L>It

C.I\—ItD.J,與h的大小不能磷定

微分方程tanx更一》=0的通解為（)

19.★

20.

?函數(shù)z=八3）在點(diǎn)"皿處有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)窈和方存在，則它在點(diǎn)Q…）處

)

A.連續(xù)B.可微C.不一定連續(xù)D.一定不連續(xù)

21.

已知函數(shù)/（彳）=cos.r在閉區(qū)間［0,2肩上滿(mǎn)足羅爾定理,那么在開(kāi)區(qū)間（0,2丸）內(nèi)使

得等式/（§）=。成立的《值是)

A工B.KC.0D.27r

2

22.

.下列各組角中，可以作為向量的一組方向角的是

A兀兀五R71兀兀

A?了丁石~2

7T

（、n兀兀D

T'l''牙-fTT

23.

設(shè)義了）為奇函數(shù)，則FCz）=/（彳）（2，+2］）為

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.無(wú)法判定奇偶性

24.

12]

設(shè)矩陣A=，貝!IIA1|=)

34

A-TB-C.1D.一1

25.

設(shè)，(X)=X(2X-1)(2X+1),X€(-OO,+8),則以下命題正確的是()

A./(%)為奇函數(shù)B./(x)為偶函數(shù)

C.7(x)為有界函數(shù)D./(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

26.

函數(shù)/'(X)在1處有定義是/(J-)在1處極限存在的()

A.必要條件B.充分條件

C.充要條件D.無(wú)關(guān)條件

27.

下列結(jié)論不正確的是()

A-20>)d，)=〃x)?riXCOSX.c

B.------dx=0

1+x2

C.￡cos2xdx=0D.=/(x)-〃a)

28.

sin』d?

.lim——j----=()

J-*0x

A.0B.8

C—D-1

3

29.

當(dāng)“一。時(shí)，下列無(wú)窮小量中階數(shù)最高的是(

A,'B.1—cos.rC.yl—.r—1D.sin.r-tan.r

30.

.設(shè)/⑺具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)/⑵=°,陰芻^=-2,則一定成立的是()

A./(2)是/(x)的極大值B./(2)是/(i)的極小值

C.(2,/(2))是曲線的拐點(diǎn)D.1=2不是曲線的極值點(diǎn)

二、填空題（20題）

31.

設(shè)L是單連通區(qū)域D的邊界，取負(fù)向，O的面積為A,則的心+3曲=

(2—1]

已知A=.則A?=

32.

設(shè)/'<x<v)=b*§in(w+2v),貝i]f；/°

33.I

,121

若A?=a11A|=-1?則a=

232

35.flJl+/d/=

36設(shè)函數(shù)f（-r）的一個(gè)原函數(shù)為sin2.r.則山-

37設(shè)曲線L：.r4-y=4,則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分+）?+1）*=

設(shè)/"）=%（】—?二則八必=

積分(jrcosjr+1sin#|)d#=

40設(shè)—1)(a*—2)(.r—3)(1—4),則f(4)=

41.

設(shè)一平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)（6,—3.2）且與平面4.r—y+2z=8垂直，則此平面

方程為

設(shè)/（Z）是可導(dǎo)函數(shù)，則（"7）心）=

43.

eJ+1.<0.

已知函數(shù)/(.，)=<卜'"一°,在/=0處連續(xù)?則常數(shù)4=

ln(14-2J-)、八

-----------------------------.T>{)

微分方程坐=2Q的通解為

44.此

當(dāng)T-*0時(shí)./1])與1—cosj-等價(jià)，則lim』).=

45.J)jsin.r

m點(diǎn)M(3,2.—1)到平面i+y+之一1=0的距離為

40.

sin—

J1+COS2J

47.

48過(guò)點(diǎn)（3.2.一2）且與平面3?+2y—z—5=。垂直的直線方程為

3'

(1,2,3)2=

50函數(shù).V-In?+aresin才的定義域?yàn)?/p>

三、計(jì)算題（15題）

5］設(shè)y-xyll-x2+arcsinx,求y'.

52.

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需兩種原料為、B,且產(chǎn)品的產(chǎn)量z與所需4原料數(shù)x及3原

料數(shù)歹的關(guān)系式為z=/+89+7必.已知4原料的單價(jià)為1萬(wàn)元/噸，8原料的單價(jià)為

2萬(wàn)元/噸，現(xiàn)有100萬(wàn)元，如何購(gòu)置原料才能使該產(chǎn)品的產(chǎn)量最大？

計(jì)算不定積分I=\才+叫一明工

J廠

53.

54.

已知函數(shù)y=/（工）是一階微分方程半=＞滿(mǎn)足y（0）=1的特解，求二階常系數(shù)非齊

次線性微分方程y"—3y'+2y=/（工）的通解.

55.

設(shè)函數(shù)z=八其中函數(shù)/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求薪.

56.

設(shè)函數(shù)廠，⑴由方程尸=1+）所確定,求‘

z=0

計(jì)算不定積分^e2xd.r.

57.J

<Q求曲線>=（］一1）療的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).

JO.

59.

計(jì)算『e3dzdy,其中D是由.y=1,》=x,y=2,x=0所圍成的閉區(qū)域.

D

60求微分方程2/+y'-y=3e，的通解.

61.

求微分方程）'一3=Be?，滿(mǎn)足初始條件.y=1"/=4的特解.

1=01=0

求不定積分|#cos（.zI2）dz.

62.J

求定積分此

64.

計(jì)算一重積分I=g（.r，—3丫）<17<13.其中D=IJT-+V

將函數(shù)/Cr）=￡一展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù).

65.3S

四、證明題（10題）

設(shè)0VaW〃?證明不等式勺必《In也忘

66.卜aa

67.

設(shè)a>A>0,〃>1,證明：面廣1（。一6）<&"一<,ia^l（a-b）.

證明：當(dāng)0Vx<1時(shí).（i—2）ln（l—工）>2x.

68.

0當(dāng)時(shí)，證明sxlnx>彳-1.

70.

設(shè)f（.r）在［―a，”［上連續(xù)（“>0,為常數(shù)）.證明|/（.r）d.r=［［/（x）+/（—x）］dz.

J-QJ0

TCOSJC

并計(jì)算

T]+「

71.

設(shè)/（工）在［-a,a］上連續(xù)（a>0,為常數(shù)），證明|/（,r）d.r=|［/（.r）+/（—x）］dj-.

J—QJ0

并計(jì)算COSJ'

J—T1+e-

72當(dāng)/>1時(shí)，證明：xlnr>J--1.

73.

證明不等式：當(dāng)a>b>e時(shí)，2.71828).

aInab

74.

設(shè)/(x)在區(qū)間[a,瓦|上連續(xù)，在(a,〃)上可導(dǎo)，且/(a)=f(b)=0.

證明：至少一點(diǎn)SG(a.b)使八￡)+2&⑷=0.

75.

設(shè)/(X)二階可導(dǎo)，且滿(mǎn)足方程/*(x)+f(x)-2/(x)=0.若/(a)=f(b)=0,求

證：Vxe[a,Z>],/(x)s0.

五、應(yīng)用題(10題)

76.

求曲線y=Inj'在區(qū)間(2,6)內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線/=2,1=6以及

y=Ini'所圍成的平面圖形面積最小.

77.

求曲線丁=\nx在區(qū)間(2,6)內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線x=2,0：=6以及

y=Imr所圍成的平面圖形面積最小.

“某產(chǎn)品總成本C為月產(chǎn)量1的函數(shù)：

/O.

C(.r)=0.25/+6.r+100(元).

產(chǎn)品銷(xiāo)量?jī)r(jià)格為力?需求函數(shù)為7=彳(力)=10()—2p.

(1)求當(dāng)①=10時(shí)的總成本和邊際成本。

(2)求總收入函數(shù)，當(dāng)價(jià)格p為多少時(shí)總收入最大？最大收入是多少？

79.

求拋物線廠*將圓￥+了=8分割后形成的兩部分的面機(jī)

z

求二元函數(shù)=J（2+1yz）+ylny的極值.

80.

81.

已知曲線丁=a6（a>0）與曲線y=InJF在點(diǎn)（人,）。）處有公切線,試求:

（1）常數(shù)。和切點(diǎn)（死,刈）；

（2）兩曲線與x軸圍成的平面圖形的面積5.

82.

建筑一個(gè)容積為8000n?,深為6m的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋蓄水池,池壁的造價(jià)為a元/n?,

池底的造價(jià)為2a元/n?,問(wèn)蓄水池底面的邊長(zhǎng)各為多少時(shí),總造價(jià)最低？

83.

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，每多生產(chǎn)一噸該產(chǎn)品，成本增加5萬(wàn)

元，該產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為必（。）=10-0.02。，其中Q（單位：噸）為產(chǎn)量.

試求：（1）該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)；

（2）該產(chǎn)品的總收入函數(shù)；

（3）。為多少時(shí)，該廠總利潤(rùn)L最大？最大利潤(rùn)是多少？

84.

平面圖形由拋物線式=2工與該曲線在點(diǎn)（；，1）處的法線圍成.試求：

（1）該平面圖形的面積；

（2）該平面圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

”某產(chǎn)品的成本函數(shù)：

屋/)=+6,r+100(JE/件)

J

銷(xiāo)售價(jià)格與產(chǎn)品的函數(shù)關(guān)系為:①=—32+138

(1)求總收入函數(shù)RQ);

(2)求總利潤(rùn)函數(shù)L(.r)；

(3)為使利潤(rùn)最大化，應(yīng)銷(xiāo)售多少產(chǎn)品？

(4)最大利潤(rùn)是多少？

六、綜合題(2題)

O,常數(shù)a和切點(diǎn)(加，y。);

oO.

87.

設(shè)W(.r)是定義在(-8,+8)上的連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足方程［，3八山=1-y>(jr).

(1)求函數(shù)*Q)的解析式;

ry(x)—1

二了ro,

(2)討論函數(shù)八工)=<在工=。處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

1

x=0

一~v

參考答案

1.B

2.A

【精析】y-3/+2&r?『=6w+2A?當(dāng)①=0時(shí)=26=0,則。=0,又曲線過(guò)

點(diǎn)(0,1),即c=晨本題選A.

3.C

/(①)一/(0),g(一①)一g(0)

lim".一以一"二hm

2--0j-*0彳-0-x—0

g(一①)—g(0)

+lim

J--o①一0x-01—0

=/f(0)+gf(0)=a+〃，

網(wǎng)卻「=!嗎12、竽?島

【精析】十E

4.C

5.C

L答案」

1

【精析】d之—di—=dv}?所以dzJdi--yclv.故選C?

1J—y曠'/(hD

V

6.B

7.A

【答案］A

【精析】令I(lǐng)rur=f.則1=e，.從而f(Z)=1+e*=1+e”.

2

故jf(2x)dx=J(1+e^)dr=(1+=。1.故選A.

oL

8.A

【精析】由xy+lirr=1得y=—*—三,切線斜率為k=』|(p)=—2.

所以切線方程為y—1=—2(w—1)即y+2i—3=0,故應(yīng)選A.

［答案］B

(Hl)-：＜n

“一2、〃3、

【精析】lim，呵5m叩-HTi

3「小淌

e.吁.—3u

9.B

10.D

［答案1D

2J:

【精析】ax1+6)cLrar+6)d(ar+6)=^-F(a,r+6)+C.

ll.D

D【評(píng)注】選項(xiàng)D是關(guān)于二階混合偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)定理的表述，故選D.

D

【評(píng)注】包=2,，

12.Doxxyxdyxyy

13.A

方程兩邊對(duì)i求導(dǎo)，得/(2+.r)=c?”+彳/+/.所以/(1)=c，+(①一2)1,

=e'+c*+(.r—2)c，=xeJ.

14.A

sin2(l-j)_..(1一—￥A

【精析】=!呷+=5,故應(yīng)選-

Q-l)2(.r+2)―黑(j-l)2(.r+2)

15.A

【精析】方程7〉=1兩邊對(duì)x求導(dǎo)得y+和'=0,將6，2)代入得“=-4,所求的

法線方程為y=9)+2?即2H—8y—15=0,故應(yīng)選A.

由定積分的幾何意義可知本題選c.

16.C

17.D

［答案］D

【精析】「4dl=「之"+「泉2=-工°--'?積分值不存在.故應(yīng)選D.

J-1XJ-1XJ0XX-1X0

18.A

【解析】當(dāng)/+/41時(shí)，ln(l+M+y?)V，卜故選A.

19.C

C

【評(píng)注】變量分離方程求解tanx孚-y=0,可化為,?，二型土由：，兩邊積分得

dxysinx

ln|R=ln|sinx|+C),y=Csinx.

20.C

【精析】偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，只有存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)?函數(shù)可微，進(jìn)而連續(xù)，故

應(yīng)選C.

21.B

［答案］B

【精析】f(.r)=COSK,/"Q)=—siru、，令/'(1)=—sin.r=0,0V.rV2兀，可得

JC=冗?HR￡=7C.

22.D

由于方向角a?0，7必須滿(mǎn)足cos2a+cos2/?+cos2y=1?可以驗(yàn)證只有D

項(xiàng)正確.

23.B

24.B

L答案」B

121

【精析】|A|-1X4-2X3--2.所以1ATI—］A廣】一

342

25.A

【評(píng)注】〃x）=x（4,一1）戶(hù)為奇函數(shù)，4x2-1為偶函數(shù)，所以/a）=x（4/-i）為奇

函數(shù).

26.D

L答案」D

【精析】函數(shù)在某?點(diǎn)處有定義與函數(shù)在該點(diǎn)處有極限是無(wú)美的.舉反例說(shuō)明.例如.

1,121?

函數(shù)/（7）=1函數(shù)”7）在1=1處有定義.但在①=1處左右極限不同.

I-1,E<1.

故極限不存在；又例如函數(shù)g（工）h:——在1=0處沒(méi)有定義.但g（］）卻在才=0處有

極限.故應(yīng)選D.

27.D

sln/2dz］

【精析】limg一一=lim學(xué)=2=4.故應(yīng)選D.

28.D10z—00.廣3

29.D

［答案］D

r

【精析】當(dāng).r-0時(shí),1-cos.r?-^■上？?\/1--—1?--^-.rtsin.r-tan.i'=

sirtN1-ccy)寺丁.故選項(xiàng)D中的無(wú)窮小量的階數(shù)是最高的.

cos.r

30.A

［答案］A

【精析】lim/(心=一2V().知當(dāng)①一2時(shí)，/V0,即在z=2的某去心

鄰域內(nèi)有/“(］)＜。，又/(2)=0,所以/(2)是/(l)的極大值?故應(yīng)選A.

31.

2A

.2A

【評(píng)注】由格林公式，15jdx-i-3xdy==24

L

注：本題考查格林公式及其應(yīng)用.

32.

3”

52

31

［答案］

52

2-13131

【精析】=6-5=1?A*.貝I」A-=

35252

33.0

7穴

【精析】由于八0?N)sin2y?則/：(0.y)=2cos2.y.所以COS—0.

34.2

［答案12

121121

11

【精析】IAa11=a11=(-1)(-iy2=1-a=

a1

2320-10

］

MJ—1?故a=2.

35.

［答案］

【精析】yr+Fd/=yi+cj-2)3.(.r2)f=

36.

cos4.r+C

［答案］cos4.r+C

【精析】pJ(2.r)d.r=yj/(2.r)d(2.r)=y/(2.r)+C.

又因?yàn)楹瘮?shù)/(.r)的一個(gè)原函數(shù)為sin2.r,即/(l)=(5in2.r)，=2cos2r.

fJJ(.2.r)d.r=/(2,r)+C=co?4.r+

J4

37.

207t

【精析】令彳=2cost,y=2sim.0&￡427c■則中(/十/十l)ds=J(4cos"+4sin?r

+1)?2sin/)i+(2cos/)2d/=|10d/=20K.

38.

《Hm(l—三尸=lim(l-三)一"2=e-J故/(ln2)=

2LRHflL

39.4

【精析】在上，/cos.r是奇函數(shù)，|sin.r|是偶函數(shù).所以由定積分在對(duì)稱(chēng)區(qū)間

*K、'n

上的性質(zhì)可得(xcosz+|siruI)dz=|sinx|dr=2sinxdz=4.

~nJfJ0

40.

4!

［答案14!

【精析】In/(①)=In+In(d一1)+ln(i—2)+ln(j'—3)+ln(.r—4),

f0—1I1I1I1I1.

f(x)①JC-1jr-2.r-37一4,

/'(］)=/-H-----rH--------H----------d----------r\

\JCx—1JC—2JC—3.r—4}

=△^+小=+小二+以久+工(1-1)(2—2)(才-3),

XJC-1X-LJC-3

即Z(4)=O+O+O+O+4?3?2?1=4!.

41.

2i+2y—3z=0.

【精析】設(shè)所求平面為〃，由題設(shè)得：

向量(6,—3,2)//口，向量(4.一1,2)//〃，

則“0=(4.-1.2)X(6,-3,2)為平面〃的一個(gè)法向量.即

iJk

〃。=4-12=4i+4j-6A.

6-32

由于平面〃過(guò)原點(diǎn).得平面n的點(diǎn)法式方程為

2(H—0)+2(j—0)—3(z—0)=0.

即得平面II的方程為2JC+2.y—3z=0.

42.

f(T)【精析】(=f(T).

43.2

【精析】lim/C_r)=lim(erI1)=2,lim/(.r)=lim~=lim—2/0)

k.函數(shù)fCJ)在/=0處連續(xù)?；?/數(shù))=lim?+/Cr)=li—m-/Cr)，故k

44.

y=Ce"

【精析】將方程分離變量，得⑥=2工也.兩邊積分得In|yI=三十G,所以yCe).

V

45.

~2

【精析】由題意可知，/(.「)與1—COSJ-等價(jià)，則

J-2

../(X)..1—CO5K2

lim―—r—=hm----：----=lim-----

LQxsina'LO1rsiru、才?①

46.

|3+2-1-1

廠距離d=

712+12+12

47.

-arctanfco&r)+(

--edr=——-------5―d(cos.r)=-arctan(coski)+C

J1+COS1J1+COSX

48.

j-3__y-2_n+2

3T~~-1

［答窠J中=中=安

6Z-1

【精析】由題可知直線的方向向量為$={3.2.—“，又直線過(guò)點(diǎn)(3.2.—2).故直線方

程為三限=J'2=z十2

2-1,

(3]

【精析】(1,2,3)2=10.

49.10

50.

(0,10

,.r>0,

【精析】由題意R故原函數(shù)的定義域?yàn)?0.1」.

1-1<.r<1,

51.

解：y=1-Ji-，+x.一尸-+.，=■=-■-X-{..+!=2J1-X，.

52.

解：依題意，有x+2y=100,BPx=100-2j,代入z=x?+8盯+7/,整

理得z=10000+400y-5廣上式對(duì)_y求導(dǎo)，有曲?=-10y+400,令業(yè)■=()得

dydy

2

dz

y=40.又—7=-10<0,知產(chǎn)量z在y=40時(shí)取最大值.由y=40,得x=20,故

dy

購(gòu)置4原料20噸、B原料40噸能使產(chǎn)量戢大.

53.

【精析】/=-da'+的a（k

=In|xI----ln(l-x)

jrT1—J*

=Inx|——ln(1—z)一/-----L---l(Lr

xJ\xI—JC)

=In|j|——ln(1———In|JC|十ln(l-x)十C

=(1-5)ln(1—ar)-C.

54.

【精析】由孚=）得L）=（dx=>ln|y==Ce，，由y（0）

dxyJyJ

=1得。=1,所以N=e\即/-3/+2y=e，,特征方程為r-3r+2=0,特征

根為2=1?/2=2.故齊次方程的通解為丫=（；1+。20匕2=1是特征方程的單根.

故令特解為V=山4?。（/）'=A/+zA/?（y如）〃=八^+八/+立1^,代人原方

程得一Aez=k,故A=—1.

所以非齊次方程的通解為y=Ger+C"“-ze'.

55.

【精析】=cosjf/i+2.r/\?

□2,

1=cosx/*,,?(—2y)+2工『SJ?(―2y)――2)coszf躇—4g/

fljcdy

56.

【箭】方程2嗅"對(duì)捌］耦群到得的醐福

M二葉蟲(chóng)才也二

翻得/ln2+刎n2,

心Alix1-冽優(yōu)

當(dāng)E瞇人就舸引二1,曬二獸呆ln2-l

drEi1-濯ln2

57.

58.

【精析】函數(shù)的定義域是（-8,+8）,且

4T=2(5.r+D2(5.r+1)

9、969j,

當(dāng)El----^時(shí).>"=0.當(dāng)xz=0時(shí)不存在.故以J'l----和及=0將定義域分

OO

成三個(gè)部分區(qū)間，并列表討論如下:

(0,+8)

X~T（-春。）0

n

y一0+不存在+

v=/<-r>n有拐點(diǎn)u無(wú)拐點(diǎn)U

所以.在（一8,一內(nèi)曲線是凸的，在（一+8）內(nèi)曲線是凹的.曲線的拐點(diǎn)

為（一卜一5jjj，

59.

【精析】積分區(qū)域如圖所示.

第17題圖

田(Lrdy=Je于dr=]yet

D

—(e—1)?-^-j2

Zi

2,

60.

【精析】對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為2爐+2一1=0.特征根為貓=-EA2=5,所

以原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為W=Cie^+C2e^，G，C2為任意常數(shù).

設(shè)》=Ae，為方程特解.代入方程得2Ae，+Ae，—Ae>=3eL即A=

故原方程的通解為.y=Ge:+C?e9+,e'，其中G，G為任意常數(shù).

61.

【精析】特征方程/—1=0,廠1.2=±1，

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為3=Ge，+Ger,

求出其一個(gè)特解為y，=e。，

其通解為：y=Ge^+Ge^+e2-,

由3=1得G+(、2+1=1，

JT=O

Jx

y=Cje—C2e~+2e”,

由y'=4得Ci—C'z+2=4,

i=0

解出G=1,C2=-1,

滿(mǎn)足初始條件的特解為丁=e，-+e2\

62.

Ij;cos(jr4-2)di=idsinQ，+2)=1rsin(z+2)—|sin(j?+2)d1r

=jtsinCx+2)+cos(J-+2)+C.

63.

arccosxd(，1—7)

Jo

1

=一arccosx?/］一,.|?產(chǎn)

一①2

=_4+三_@=包一在

1222122,

64.

【精析】由于積分區(qū)域D關(guān)于工軸對(duì)稱(chēng)，且3y是關(guān)丁y的奇函數(shù),故(3y(bd3，=0,

［一工464工.

區(qū)域D可用極坐標(biāo)表示為12、、2所以

10(r*4a?

=fd8(r?rdr=2「dgfHdr=-7-a1.

(.r+y2)dwdy

J-4JoJoJo4

D

65.

f)B(IfH1)

3

=S.21"<IrI<3).

IJ

66.

67.

【證明】設(shè)/(I)=］",

顯然/(1)在閉區(qū)間［/)，"］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(。，〃)內(nèi)可導(dǎo).

由拉格朗日中值定理得，

在(4.a)內(nèi)至少存在一點(diǎn)W，

使得/(。)一/</>)=/'(￡)(4-6),

Hn

即a—b=成i(a—〃)，

又因?yàn)镮L<1fl<ql,

所以滴I(a—/力<an-bn<必I(a

68.

【證明】令/(jr)=(x2)ln(1jr)2x,=ln(lx)1—

jr-1

/'(?r)=—^+T當(dāng)0<工<1時(shí),>0.

所以.f'O)在04才<1內(nèi)單調(diào)遞增.又/(0)=0,所以/(J-)>0,

故/(工)單調(diào)遞增,又因?yàn)榘?)=0,所以當(dāng)0〈才〈1時(shí)，/(Z)>0,

即當(dāng)0VHV1時(shí)，(*2)ln(l>2x.

69.

【證明】令/(7)=川117—1+1,在［1,+8)上連續(xù).則，(了)=Inj-［1—1=Inx,

當(dāng)1時(shí),/(1)>0.故函數(shù)/(-r)在(1.+8)上單調(diào)增加.且/(I)=0,

因此在工>1時(shí)>/(I)=0.即j,lnjr>工—1.

70.

【證明】因/<])=)"(])+/(-.r)]+

而9/1)―/(—①)]是奇函數(shù)』[/(①)+/(—J-)]是偶函數(shù)，

w乙

故i—/(—=0,

J-uL

所以，/(①)cLr=214[/(7)+/(—J)]cLr=f[/(/)+/(—jr)[d];

Jo4-Jo

COSJTi「千「cos.r.cos(-i)=trc^cosj'.cos①「

,=Jo[r+^+=L[i+F+T+7],

「A.q&

<=coszcLr=sin.r=丁.

Jo02

71.

【證明】因f(x)=4*)(①)+/(--r)]+—/(一m)].

而白/⑺一八一小是奇函數(shù).9/(①)+/(—1才是偶函數(shù)，

故IJ1/")一/(—=0,

所以]f(.r)dx=2