有限元考試試題及答案

江西理工大學(xué)研究生考試試卷20__12__—20__13__學(xué)年第___一___學(xué)期課程名稱：_____有限元及數(shù)值模擬________考試時(shí)間:___2012___年__11__月___3___日考試性質(zhì)〔正考、補(bǔ)考或其它〕：[正考]考試方式(開卷、閉卷)：[開卷]試卷類別(A、B):[A]共九大題溫馨提示請(qǐng)考生自覺(jué)遵守考試紀(jì)律，爭(zhēng)做文明誠(chéng)信的大學(xué)生。如有違犯考試紀(jì)律，將嚴(yán)格按照《江西理工大學(xué)學(xué)生違紀(jì)處分規(guī)定》〔試行〕處理。學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名題號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總分得分簡(jiǎn)答題〔共40分，每題10分〕論述單元?jiǎng)澐謶?yīng)遵循的原那么。說(shuō)明形函數(shù)應(yīng)滿足的條件。說(shuō)明四邊形等參數(shù)單元中“等參數(shù)”的含義，即為什么要引入等參數(shù)單元。闡述邊界元法的主要優(yōu)缺點(diǎn)。計(jì)算題〔共60分，每題20分〕1.一桿件如圖3所示，桿件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，：桿件材料的楊氏模量，截面積，，長(zhǎng)度，集中力，用有限元方法求解B點(diǎn)和C點(diǎn)位移。備注：〔1〕1lbf〔磅力，libraforce〕=4.45N。〔2〕楊氏模量、彈性模量、Young氏彈性模量具有相同含義〔10分〕A1A1A2L1L2圖1圖12.如圖2所示，有一正方形薄板，沿對(duì)角承受壓力作用，厚度t=1m，載荷F=20KN/m，設(shè)泊松比μ=0，材料的彈性模量為E，試求它的應(yīng)力分布。〔15分〕圖23.圖示結(jié)點(diǎn)三角形單元的124邊作用有均布側(cè)壓力q，單元厚度為t，求單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載。圖3一、簡(jiǎn)答題1.答：1〕合理安排單元網(wǎng)格的疏密分布2〕為突出重要部位的單元二次劃分3〕劃分單元的個(gè)數(shù)4〕單元形狀的合理性5〕不同材料界面處及荷載突變點(diǎn)、支承點(diǎn)的單元?jiǎng)澐?〕曲線邊界的處理，應(yīng)盡可能減小幾何誤差7〕充分利用結(jié)構(gòu)及載荷的對(duì)稱性，以減少計(jì)算量2.答：形函數(shù)應(yīng)滿足的三個(gè)條件：必須能反映單元的剛體位移，就是位移模式應(yīng)反映與本單元形變無(wú)關(guān)的由其它單元形變所引起的位移。能反映單元的常量應(yīng)變，所謂常量應(yīng)變，就是與坐標(biāo)位置無(wú)關(guān)，單元內(nèi)所有點(diǎn)都具有相同的應(yīng)變。當(dāng)單元尺寸取小時(shí)，那么單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，也就是單元的形變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要局部。盡可能反映位移連續(xù)性；盡可能反映單元之間位移的連續(xù)性，即相鄰單元位移協(xié)調(diào)。3.答：含義：所謂的等參數(shù)單元，就是在確定單元形狀的插值函數(shù)和確定單元位移場(chǎng)的插值函數(shù)中采用了完全相同的形函數(shù)。意義：構(gòu)造出一些曲邊地高精度單元，以便在給定地精度下，用數(shù)目較少地單元，解決工程實(shí)際地具體問(wèn)題。4.答：有限單元法是基于變分原理的里茲〔Ritz〕法的另一種形式，從而使里茲法分析的所有理論根底都適用子有限單元法，確認(rèn)了有限單元法是處理連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的一種普遍方法．利用變分原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲法的主要區(qū)別是有限單元法假設(shè)的近似函數(shù)不是在全求解域而是在單元上規(guī)定的，面且事先不要求滿足任何邊界條件，因此它可以用來(lái)處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題。有限單元法中所利用的主要是伽遼金〔Galerkin〕法。它可以用于已經(jīng)知道問(wèn)題的微分方程和邊界條件，但變分的泛函尚未找到或者根本不存在的情況，因而進(jìn)一步擴(kuò)大了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域。三十多年來(lái)，有限單元法的應(yīng)用已由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題，由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題、動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題。分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料等，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴(kuò)展到優(yōu)化設(shè)計(jì)并和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)相結(jié)合?？梢灶A(yù)計(jì)，隨著現(xiàn)代力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等學(xué)科的開展，有限單元法作為一個(gè)具有穩(wěn)固理論根底和廣泛應(yīng)用效力的數(shù)值分析工具，必將在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)開展中發(fā)揮更大的作用，其自身亦將得到進(jìn)一步的開展和完善。計(jì)算題解：將桿件分解成兩個(gè)元素，元素1的剛度矩陣K1=，元素2的剛度矩陣K2=總剛度矩陣單元?jiǎng)偠染仃囆纬珊螅瑧?yīng)將各單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝集合成整體剛度矩陣〔即總剛矩陣〕。如所示為桿系結(jié)構(gòu)兩單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖，可得總剛度矩陣為(3-11)圖3-3桿系結(jié)構(gòu)兩單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖引入邊界條件求解節(jié)點(diǎn)位移總剛矩陣組集完成后，即可獲得整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程為(3-12)整個(gè)結(jié)構(gòu)的邊界條件為，、，三個(gè)未知量三個(gè)方程，因此上式可求得唯一解。解出節(jié)點(diǎn)位移：u1=0u2=0.762×10-5u3=0.18295×10-42.解：(1)建立需要計(jì)算的力學(xué)模型以及劃分單元由于該結(jié)構(gòu)幾何對(duì)稱和受載也對(duì)稱，故可利用其對(duì)稱性，只需要取薄板的1/4作為計(jì)算對(duì)象。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們把它劃分成4個(gè)三角形單元，單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖〔b〕所示。由于對(duì)稱，節(jié)點(diǎn)1，2，4，不可能有水平位移，節(jié)點(diǎn)4，5，6不可能有垂直位移，故施加約束如圖〔b〕所示。圖兩類單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)取總體坐標(biāo)并確定各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。由圖看出，這里只有兩類不同的單元，一類單元是1，2，4，另一類單元是3。兩類單元節(jié)點(diǎn)的編排如下圖。單元1，單元節(jié)點(diǎn)編排對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)1，2，3。三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，代入得：；；；；三角形面積:單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以及單元和節(jié)點(diǎn)的編號(hào)是原始數(shù)據(jù)，可用手工輸入，也可由計(jì)算機(jī)完成。對(duì)于單元2，3，4定出單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值后，同樣可算出，以及各單元的面積?！?〕計(jì)算個(gè)單元的剛度矩陣及組集成總剛由于，，所以于是由式可求得單元?jiǎng)偠染仃嚍橥砜傻脝卧?，4的剛度矩陣分別為，由于1，2，4單元算出的…等值以及三角形面積均相同，故算出2，4的單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元1的剛度矩陣數(shù)值完全相同。單元3的節(jié)點(diǎn)相應(yīng)于總體編號(hào)中的2，5，3點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為由此得：從而算出單元?jiǎng)偠染仃嚍椋焊鶕?jù)各單元?jiǎng)偠染仃嚱M集成總剛度矩陣為由以上結(jié)果求得總剛度矩陣各元素為把上面計(jì)算出的，…，對(duì)號(hào)入座放到總剛矩陣中去，于是得到的具體表達(dá)式?！?〕計(jì)算并代入等效節(jié)點(diǎn)載荷及相應(yīng)的位移邊界條件，以建立和求解未知節(jié)點(diǎn)位移的平衡方程組。先求出各項(xiàng)等效節(jié)點(diǎn)載荷然后疊加，以形成方程組右端載荷項(xiàng)，但本問(wèn)題只在節(jié)點(diǎn)1有一個(gè)集中外載荷〔取的一半〕。由結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可以看出。于是需要求的未知節(jié)點(diǎn)位移分量只有6個(gè)，即，，，，。代入邊界條件及外載荷以及支反力后，其方程組為把左端系數(shù)矩陣行列倒換，于是可分塊求解。第二種方法是把帶有支反力的方程去掉，即把系數(shù)矩陣中的第1，3，7，8，10，12行和列劃掉，得出帶有6個(gè)未知位移的方程式：解此方程組即得到位置節(jié)點(diǎn)位移分量。由上方程組求得位移分量如下：(4)求單元應(yīng)力分量求出節(jié)點(diǎn)位移分量后，就可以按式計(jì)算單元中的應(yīng)力。我們略去初應(yīng)變，于是有對(duì)于單元1，2，4：對(duì)于單元3：注意到，最后可求得各單元的應(yīng)力為如下圖標(biāo)出了各個(gè)單元的應(yīng)力值，而且在單元內(nèi)是不變的，這就說(shuō)明了是一近似解。在單元交界處，應(yīng)力值有突變，這就可以看出，如將單元分得很細(xì)，那么突變減小，其結(jié)果將會(huì)改善。計(jì)算后的各單元應(yīng)力3.解：N1=L1(2L1-1)；N2=L2(2L2-1)；N3=L3(2L3-1)；N4=4L2L2；N5=4L2L3；N6在三角形142邊上L3=0；可得N3=N5=N6=0，因此有：；；在三角形142邊上建立局部坐標(biāo)系如圖：1