2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗．故選：D．2.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由排列數(shù)計(jì)算公式可得，解得或.由于且，故.故選：C.3.若函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，則.故選:B4.從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，只需從這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可，因此，滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.5.已知過點(diǎn)的直線與曲線的相切于點(diǎn)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，則過切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程得，，即，又，所以，則，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A6.已知名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū)，每人都有3種選擇，則共有種，故選：C.7.下列不等式中，對任意的不恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，則．故A不合題意；當(dāng)時(shí)，，故B符合題意；令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．故C不合題意；令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．故D不合題意.故選：B.8.設(shè)函數(shù)（），則“”是“在定義域上是增函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)是增函數(shù)，所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充分條件；在定義域上是增函數(shù)，可知恒成立，此時(shí)，所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的必要條件；綜上，“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充要條件；故選：C．9.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，可得，得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；或時(shí)，單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；或時(shí)，單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；或時(shí)，單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，符合題意.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D10.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖：當(dāng)時(shí)，．由，得，則．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即的最小值為．故選：A．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.______．〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：612.若甲、乙、丙、丁人站成一排，甲不站兩端，則不同排法的種數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，共有種，排好之后形成4個(gè)空，甲不站兩端，則有2種選擇，則不同排法的種數(shù)為．故〖答案〗為：12．13.已知函數(shù)．則______；若，則______．〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，則.故〖答案〗為：；.14.設(shè)函數(shù)．能說明“對于任意的，都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是______．〖答案〗－1（〖答案〗不唯一，只要滿足即可）〖解析〗“對于任意的，都有成立”，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．由函數(shù)，可得，令，可得，時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)；時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，故“對于任意的，都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是－1（〖答案〗不唯一，只要滿足即可）．故〖答案〗為：－1（〖答案〗不唯一，只要滿足即可)．15.某高臺跳水運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對于水面的高度（單位：）與跳起后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，的圖象如圖所示，已知曲線在處的切線平行于軸，根據(jù)圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為；②曲線在附近比在附近下降得慢；③曲線在附近比在附近上升得快；④設(shè)在和時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度分別為和，則．其中所有正確結(jié)論的序號是______．〖答案〗①③④〖解析〗因?yàn)?，所?對于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即，所以在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為，故①正確；對于②，由題意知，所以，即曲線附近比在附近下降得快，故②錯(cuò)誤；對于③，由題意知，所以，即曲線在附近比在附近上升得快，故③正確；對于④，由題意知且，所以，，所以，所以.即，故④正確；故〖答案〗為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）因?yàn)?，所?令，解得，.隨著x的變化，，變化情況如下表：x100極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，最小值為.17.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）比較的大小，并畫出的大致圖像；（3）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，，于是時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，又，則在處取到極小值，無極大值.（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減．故．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以．因?yàn)?，所以．結(jié)合（1）中的單調(diào)性，大致圖像如下：（3）的解的個(gè)數(shù)可以看成和直線在同一坐標(biāo)系下圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由（2）的圖像知，當(dāng)?shù)娜≈挡恍∮谧钚≈导纯?，?8.某校舉辦乒乓球團(tuán)體比賽，該比賽采用場勝制，每場均為單打，若某隊(duì)先勝場，則比賽結(jié)束，要求每隊(duì)派名運(yùn)動(dòng)員參賽，每名參賽運(yùn)動(dòng)員在團(tuán)體賽中至多參加場比賽，前場比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場次，若場不能決出勝負(fù)，則由第位或第位出場的運(yùn)動(dòng)員參加后續(xù)的比賽．（1）若某隊(duì)從名運(yùn)動(dòng)員中選名參加此團(tuán)體賽，求該隊(duì)前場比賽有幾種出場情況；（2）已知某隊(duì)派甲、乙、丙這名運(yùn)動(dòng)員參加此團(tuán)體賽．①若場決出勝負(fù)，列出該隊(duì)所有可能出場情況；②若場或場決出勝負(fù)，求該隊(duì)共有幾種出場情況．解：（1）根據(jù)題意，該球隊(duì)前場比賽有種出場情況．（2）①因?yàn)閳鰶Q出勝負(fù)，所以該球隊(duì)所有可能出場有6種情況如下：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲．②由①知，前場共有種出場情況．所以場決出勝負(fù)時(shí)，前3場有6種，后1場有2種，該球隊(duì)共有種出場情況．場決出勝負(fù)時(shí)，前3場有6種，后2場有2種，該球隊(duì)共有種出場情況．所以場或場決出勝負(fù)時(shí)，該球隊(duì)共有種出場情況．19.已知函數(shù)（）．（1）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．①直接寫出的單調(diào)區(qū)間，并求的值；②若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，直接寫出的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性．解：（1）①由圖象知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．因?yàn)?，所以．由圖知．即，解得②由①知，，當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，由題意得：或，∴的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）對任意的，判斷與的大小關(guān)系，并證明結(jié)論．解：（1）由，得．因?yàn)?，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）依題意，．所以．當(dāng)時(shí)，，所以．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．因，所以當(dāng)時(shí)，．（3）不妨假設(shè)中的定值，令，，則，，．由（2）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕畯亩谏蠁握{(diào)遞減．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即．綜上，對任意的，有21.已知函數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，證明：的圖象在的圖象的上方．解：（1）因，，所以．依題設(shè)，，，且．解得，．（2）令，，證明的圖象在圖象的上方，等價(jià)于證明對任意的，恒成立，等價(jià)于證明當(dāng)，的最小值大于零．由，得，，令，則，且當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，所以，即．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)?，且，所以．因?yàn)椋裕剩裕蕦θ我獾?，恒成立，即的圖象在圖象的上方．北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗．故選：D．2.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由排列數(shù)計(jì)算公式可得，解得或.由于且，故.故選：C.3.若函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，則.故選:B4.從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，只需從這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可，因此，滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.5.已知過點(diǎn)的直線與曲線的相切于點(diǎn)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，則過切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程得，，即，又，所以，則，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A6.已知名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū)，每人都有3種選擇，則共有種，故選：C.7.下列不等式中，對任意的不恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，則．故A不合題意；當(dāng)時(shí)，，故B符合題意；令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．故C不合題意；令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．故D不合題意.故選：B.8.設(shè)函數(shù)（），則“”是“在定義域上是增函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)是增函數(shù)，所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充分條件；在定義域上是增函數(shù)，可知恒成立，此時(shí)，所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的必要條件；綜上，“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充要條件；故選：C．9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，可得，得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；或時(shí)，單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；或時(shí)，單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；或時(shí)，單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，符合題意.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D10.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖：當(dāng)時(shí)，．由，得，則．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即的最小值為．故選：A．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.______．〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：612.若甲、乙、丙、丁人站成一排，甲不站兩端，則不同排法的種數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，共有種，排好之后形成4個(gè)空，甲不站兩端，則有2種選擇，則不同排法的種數(shù)為．故〖答案〗為：12．13.已知函數(shù)．則______；若，則______．〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)椋瑒t.故〖答案〗為：；.14.設(shè)函數(shù)．能說明“對于任意的，都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是______．〖答案〗－1（〖答案〗不唯一，只要滿足即可）〖解析〗“對于任意的，都有成立”，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．由函數(shù)，可得，令，可得，時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)；時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，故“對于任意的，都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是－1（〖答案〗不唯一，只要滿足即可）．故〖答案〗為：－1（〖答案〗不唯一，只要滿足即可)．15.某高臺跳水運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對于水面的高度（單位：）與跳起后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，的圖象如圖所示，已知曲線在處的切線平行于軸，根據(jù)圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為；②曲線在附近比在附近下降得慢；③曲線在附近比在附近上升得快；④設(shè)在和時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度分別為和，則．其中所有正確結(jié)論的序號是______．〖答案〗①③④〖解析〗因?yàn)?，所?對于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即，所以在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為，故①正確；對于②，由題意知，所以，即曲線附近比在附近下降得快，故②錯(cuò)誤；對于③，由題意知，所以，即曲線在附近比在附近上升得快，故③正確；對于④，由題意知且，所以，，所以，所以.即，故④正確；故〖答案〗為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）因?yàn)?，所?令，解得，.隨著x的變化，，變化情況如下表：x100極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，最小值為.17.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）比較的大小，并畫出的大致圖像；（3）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，，于是時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，又，則在處取到極小值，無極大值.（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減．故．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以．因?yàn)?，所以．結(jié)合（1）中的單調(diào)性，大致圖像如下：（3）的解的個(gè)數(shù)可以看成和直線在同一坐標(biāo)系下圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由（2）的圖像知，當(dāng)?shù)娜≈挡恍∮谧钚≈导纯?，?8.某校舉辦乒乓球團(tuán)體比賽，該比賽采用場勝制，每場均為單打，若某隊(duì)先勝場，則比賽結(jié)束，要求每隊(duì)派名運(yùn)動(dòng)員參賽，每名參賽運(yùn)動(dòng)員在團(tuán)體賽中至多參加場比賽，前場比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場次，若場不能決出勝負(fù)，則由第位或第位出場的運(yùn)動(dòng)員參加后續(xù)的比賽．（1）若某隊(duì)從名運(yùn)動(dòng)員中選名參加此團(tuán)體賽，求該隊(duì)前場比賽有幾種出場情況；（2）已知某隊(duì)派甲、乙、丙這名運(yùn)動(dòng)員參加此團(tuán)體賽．①若場決出勝負(fù)，列出該隊(duì)所有可能出場情況；②若場或場決出勝負(fù)，求該隊(duì)共有幾種出場情況．解：（1）根據(jù)題意，該球隊(duì)前場比賽有種出場情況．（2）①因?yàn)閳鰶Q出勝負(fù)，所以該球隊(duì)所有可能出場有6種情況如下：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲．②由①知，前場共有種出場情況．所以場決出勝負(fù)時(shí)，前3場有6種，后1場有2種，該球隊(duì)共有種出場情況．場決出勝負(fù)時(shí)，前3場有6種，后2場有2種，該球隊(duì)共有種出場