變化率問題教學

關于變化率問題教學通過閱讀引言我們知道：1.隨著對函數的深入研究產生了微積分,它是數學發(fā)展史上的一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造，被譽為數學史上的里程碑..微積分的創(chuàng)立者是2牛頓和萊布尼茨.他們都是著名的科學家，我們應該認識一下.牛頓（IsaccNewton,1642-1727)是英國數學家、天文學家和物理學家是世界上出類拔萃的科學家。

第2頁,共17頁，2024年2月25日，星期天萊布尼茨(1646--1716)德國數學家、哲學家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人.3.本章我們將要學習的導數是微積分的核心概念之一.

打個比喻如果微積分是萬丈高樓，那么平均變化率就是地基.

那么我們這一節(jié)課就相當于是“地基”.現在我們就開始“打造地基”第3頁,共17頁，2024年2月25日，星期天姚明身高變化曲線圖(部分)2.262.12●●●●●●年齡身高47101316●19220.81.61●●●●●●●第4頁,共17頁，2024年2月25日，星期天問題1氣球膨脹率

在吹氣球的過程中,可發(fā)現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數學的角度,如何描述這種現象呢?

氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是若將半徑r表示為體積V的函數,那么當空氣容量V從0L增加到1L,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當空氣容量V從1L增加到2L,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為

隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小.第5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?思考第6頁,共17頁，2024年2月25日，星期天問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系:第7頁,共17頁，2024年2月25日，星期天問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系

如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態(tài),那么:在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,第8頁,共17頁，2024年2月25日，星期天平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。

計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?探究thO(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?第9頁,共17頁，2024年2月25日，星期天平均變化率:式子令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),則稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率.平均變化率的定義：第10頁,共17頁，2024年2月25日，星期天1、式子中△x、△y的值可正、可負，但的△x值不能為0，△y

的值可以為02、若函數f(x)為常函數時，

△y=0理解3、變式:第11頁,共17頁，2024年2月25日，星期天觀察函數f(x)的圖象平均變化率表示什么?思考xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直線AB的斜率y=f(x)第12頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例(1)計算函數

f(x)=2x+1在區(qū)間[–3,–1]上的平均變化率；(2)求函數f(x)=x2

+1的平均變化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4

(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2

△x=-1-(-3)=2第13頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習1.已知函數f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=(D

)

A.

3B.

3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

2、求y=x2在x=x0附近的平均變化率.

2x0+Δx

第14頁,共17頁，2024年2月25日，星期天小結：1.函數的平均變化率2.求函數的平均變化率的步驟:(1)求函數的增量：Δf=Δy=f(x2)-f(x1);