初中數(shù)學(xué)1-6冊(cè)?？?00道幾何題匯編

I初中數(shù)學(xué)i-學(xué)常考3吧a幾何題匯編

知識(shí)考點(diǎn)：

理解三角形三邊的關(guān)系及三角形的主要線(xiàn)段(中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn))和三角形的內(nèi)角和定理。關(guān)鍵是正確理

解有關(guān)概念，學(xué)會(huì)概念和定理的運(yùn)用。應(yīng)用方程知識(shí)求解幾何題是這部分知識(shí)常用的方法。

精典例題：

【例1】已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是。、6,且a>6,那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)L的取值范圍是()

A、3a>L>3bB>2(a+b)>L>2a

C、2a6+h>L>2b+aD、3a—b>L>a+2b

分析：涉及構(gòu)成三角形三邊關(guān)系問(wèn)題時(shí)，一定要同時(shí)考慮第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和。

答案：B

變式與思考：在△ABC中，AC=5,中線(xiàn)AD=7,則AB邊的取值范圍是()

A、1<AB<29B、4<AB<24C、5<AB<19D、9<AB<19

評(píng)注：在解三角形的有關(guān)中線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，如果不能直接求解，則常將中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，借助全等三角形知識(shí)求解,

這也是一種常見(jiàn)的作輔助線(xiàn)的方法。

【例2】如圖，已知△ABC中，ZABC=45°,ZACB=61°,延長(zhǎng)BC至E,使CE=AC,延長(zhǎng)CB至D,使DB=

AB,求NDAE的度數(shù)。

分析：用三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等腰三角形性質(zhì)，求出/D+NE的度數(shù)，即可求得NDAE的度數(shù)。

略解：VAB=DB,AC=CE

AZD=-ZABC,ZE=-ZACB

22

AZD+ZE=-(ZABC+ZACB)=53°

2

AZDAE=180°-(ZD+ZE)=127°

探索與創(chuàng)新：

【問(wèn)題一】如圖，已知點(diǎn)A在直線(xiàn)/外，點(diǎn)B、C在直線(xiàn)/上。

(1)點(diǎn)P是4ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：ZP>ZA；

(2)試判斷在△ABC外，又和點(diǎn)A在直線(xiàn)/的同側(cè)，是否存在一點(diǎn)Q,使NBQONA,并證明你的結(jié)論。

問(wèn)題一圖

分析與結(jié)論：

(1)連結(jié)AP,易證明/P>/A；

(2)存在，怎樣的角與/A相等呢？利用同弧上的圓周角相等，可考慮構(gòu)造aABC的外接。。，易知弦BC所

對(duì)且頂點(diǎn)在弧A，"B,和弧A〃C上的圓周角都與NA相等，因此點(diǎn)Q應(yīng)在弓形A”?B和A〃C內(nèi)，利用圓的有關(guān)性

質(zhì)易證明(證明略)。

【問(wèn)題二】如圖，已知P是等邊4ABC的BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別作AB、AC的垂線(xiàn)PE、PD,垂足為E、

Do問(wèn)：4AED的周長(zhǎng)與四邊形EBCD的周長(zhǎng)之間的關(guān)系？

分析與結(jié)論：

'(1)DE是4AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD+AE=BE+BC+CD

［既有等邊三角形的條件，就有60。的角可以利用；又有垂線(xiàn)，可造成含30。角的直角三角形，故本題可借

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助特殊三角形的邊角關(guān)系來(lái)證明。

略解：在等邊^(qū)ABC中，ZB=ZC=60°

又?.?PEJ_AB于E,PDJ_AC于D

AZBPE=ZCPD=30°

不妨設(shè)等邊AABC的邊長(zhǎng)為1,BE=X,CD=y,那么：BP=2x,

2y,x+y=g,而AE=l-x,AD=l-y

3

.?.AE+AD=2-(x+y)=—

3

XVBE+CD+BC=(x+y)+l

2

，AD+AE=BE+BC+CD

從而AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE

即AAED的周長(zhǎng)等于四邊形EBCD的周長(zhǎng)。

評(píng)注：本題若不認(rèn)真分析三角形的邊角關(guān)系，而想走“全等三角形”的道路是很難奏效的。

跟蹤訓(xùn)練：

一、填空題：

1、三角形的三邊為1,1-。，9,則4的取值范圍是。

2、已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別為1和2,如果第三邊的長(zhǎng)也是整數(shù)，那么第三邊的長(zhǎng)為—。

3、在^ABC中，若NC=2（NA+NB）,則/C=度。

4、如果△ABC的一個(gè)外角等于150。，且NB=NC,則NA=。

5、如果aABC中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高，則與/A相等的角是。

6、如圖，在aABC中，ZA=80°,NABC和NACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D,那么NBDC=。

7、如圖，CE平分/ACB,且CE_LDB,NDAB=/DBA,AC=18cm,Z\CBD的周長(zhǎng)為28cm,則DB=。

8、紙片4ABC中，ZA=65°,ZB=75°,將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在4ABC內(nèi)（如圖），若Nl=20。，則N2

的度數(shù)為。

9、在^ABC中，ZA=50°,高BE、CF交于點(diǎn)0,貝lJ/BOC=。

10、若^ABC的三邊分別為b、c,要使整式（a—b+c）（a—b—c）”'>0,則整數(shù)加應(yīng)為

二、選擇題：

1、若aABC的三邊之長(zhǎng)都是整數(shù)，周長(zhǎng)小于10,則這樣的三角形共有（）

A、6個(gè)B、7個(gè)C、8個(gè)D、9個(gè)

2、在^ABC中，AB=AC,D在AC上，且BD=BC=AD,則/A的度數(shù)為（）

A、30°B、36°C、45°D、72°

3、等腰三角形一腰上的中線(xiàn)分周長(zhǎng)為15和12兩部分，則此三角形底邊之長(zhǎng)為（）

A、7B、11C、7或11D、不能確定

^^△ABC中，ZB=50°,AB>AC,則/A的取值范圍是（）

kA、0°<ZA<180°B、0°<ZA<80°

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C、50°<ZA<130°D、80°<ZA<130°

5、若a、B、/是三角形的三個(gè)內(nèi)角，而x=a+￡,y=/3+y,z=7+a,那么x、y、z中，銳角的個(gè)數(shù)

的錯(cuò)誤判斷是()

A、可能沒(méi)有銳角B、可能有一個(gè)銳角

C、可能有兩個(gè)銳角D、最多一個(gè)銳角

6、如果三角形的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個(gè)三角形一定是()

A、銳角三角形B,直角三角形C、鈍角三角形D、正三角形

三、解答題：

1、有5根木條，其長(zhǎng)度分別為4,8,8,10,12,用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？

2、長(zhǎng)為2,3,5的線(xiàn)段，分別延伸相同長(zhǎng)度的線(xiàn)段后，能否組成三角形？若能，它能構(gòu)成直角三角形嗎？為

什么？

3、如圖，在AABC中，ZA=96°,延長(zhǎng)BC到D,/ABC與NACD的平分線(xiàn)相交于，/4田(：與/41口的

平分線(xiàn)相交于A2,依此類(lèi)推，/4^(2與/44。的平分線(xiàn)相交于45,則/A5的大小是多少？

4、如圖，已知OA=a,P是射線(xiàn)ON上一動(dòng)點(diǎn)(即P可在射線(xiàn)。N上運(yùn)動(dòng))，ZAON=60°,填空:

(1)當(dāng)。P=時(shí)，Z^AOP為等邊三角形；

(2)當(dāng)。P=時(shí)，ZiAOP為直角三角形；

(3)當(dāng)0P滿(mǎn)足時(shí)，AAOP為銳角三角形；

(4)當(dāng)0P滿(mǎn)足時(shí)，ZiAOP為鈍角三角形。

一、填空題：

1、一9<。<一7；2、2；3、120°：4、30°或120°；5、ZDCB：6、50°：7、8cm；

8、60°；9、130°；10、偶數(shù)。

二、選擇題：CBCBCB

三、解答題：

1、6種(4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12)

2、可以，設(shè)延伸部分為。，則長(zhǎng)為2+a,3+a,5+a的三條線(xiàn)段中，5+a最長(zhǎng),

(2+a)+(3+a)-(5+a)=a>0

只要a>0,長(zhǎng)為2+a,3+a,5+。的三條線(xiàn)段可以組成三角形

設(shè)長(zhǎng)為5+a的線(xiàn)段所對(duì)的角為a,則a為aABC的最大角

又由(2+a)2+(3+a)2-(5+a1=4-12

當(dāng)a?—12=0,即。=2百時(shí)，^ABC為直角三角形。

)a；(2)2a或3；(3)-<OP<2a；(4)0<OP<-^OP>2a

222

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2.全等三角形

知識(shí)考點(diǎn)：

掌握用三角形全等的判定定理來(lái)解決有關(guān)的證明和計(jì)算問(wèn)題，靈活運(yùn)用三角形全等的三個(gè)判定定理來(lái)證明三角

形全等。

精典例題：

【例1】如圖，已知ABJ_BC,DC1BC,E在BC上，AE=AD,AB=BC?求證：CE=CD。

分析：作AFJ_CD的延長(zhǎng)線(xiàn)（證明略）

評(píng)注：尋求全等的條件，在證明兩條線(xiàn)段（或兩個(gè)角）相等時(shí)，若它們所在的兩個(gè)三角形不全等，就必須添加

輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，常見(jiàn)輔助線(xiàn)有：①連結(jié)某兩個(gè)已知點(diǎn)；②過(guò)已知點(diǎn)作某已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)；③延長(zhǎng)某已

知線(xiàn)段到某個(gè)點(diǎn)，或與已知直線(xiàn)相交；④作一角等于已知角。

【例2】如圖，已知在△ABC中，ZC=2ZB,Z1=Z2,求證：AB=AC+CD..

分析：采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，延長(zhǎng)AC至E,使AE=AB,連結(jié)DE；也可在AB上截取AE=AC,再證明EB=CD（證

明略）.

探索與創(chuàng)新：

【問(wèn)題一】閱讀下題：如圖，P是aABC中BC邊上一點(diǎn)，E是AP上的一點(diǎn)，若EB=EC,Z1=Z2,求證：AP

±BCo

證明：在^ABE和4ACE中，EB=EC,AE=AE,Z1=Z2

A△ABEACE（第一步）

AAB=AC,Z3=Z4（第二步）

/.AP±BC（等腰三角形三線(xiàn)合一）

上面的證明過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)寫(xiě)出每一步的推理依據(jù)；若不正確，請(qǐng)指出關(guān)鍵錯(cuò)在哪一步，并寫(xiě)出你

認(rèn)為正確的證明過(guò)程。

略解：不正確，錯(cuò)在第一步。

正確證法為：

VBE=CE

；./EBC=/ECB

又

.?./ABC=/ACB,AB=AC

/.△ABE^AACE（SAS）

；.N3=N4

又：AB=AC

；.AP_LBC

評(píng)注：本題是以考查學(xué)生練習(xí)中常見(jiàn)錯(cuò)誤為閱讀材料設(shè)計(jì)而成的閱讀性試題，其目的是考查學(xué)生閱讀理解能力,

證明過(guò)程中邏輯推理的嚴(yán)密性。閱讀理解題是近幾年各地都有的新題型，應(yīng)引起重視。

【問(wèn)題二】眾所周知，只有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，你能想辦法安排和外理這三個(gè)條件,

使這兩個(gè)三角形全等嗎？

請(qǐng)同學(xué)們參照下面的方案（1）導(dǎo)出方案（2）（3）（4）。

三角形，方案（1）：若這個(gè)角的對(duì)邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個(gè)三

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角形全等。方案（2）：若這個(gè)角是直角，則這兩個(gè)三角形全等。方案（3）：若此角為已知兩邊的夾角，則這兩/

角形全等。7

評(píng)注：這是一道典型的開(kāi)放性試題，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角為鈍角，則這兩個(gè)三角形全等。（5）：

若這兩個(gè)三角形都是銳解（鈍角）三角形，則這兩個(gè)三角形全等。能有效考查學(xué)生對(duì)三角形全等概念的掌握情況，

這類(lèi)題目要求學(xué)生依據(jù)問(wèn)題提供的題設(shè)條件，尋找多種途徑解決問(wèn)題。本題要求學(xué)生著眼于弱化題設(shè)條件，設(shè)計(jì)讓

命題在一般情況不成立，而特殊情況下成立的思路。

跟蹤訓(xùn)練：

一、填空題：

1、若△ABC絲ZSEFG,且NB=60°,NFGE-/E=56°,則/A=度。

2、如圖，AB〃EF〃DC,ZABC=90°,AB=DC,那么圖中有全等三角形對(duì)。

3、如圖，在4ABC中，ZC=90°,BC=40,AD是NBAC的平分線(xiàn)交BC于D,且DC：DB=3:5,則點(diǎn)D至UAB的

距離是。

第4題圖

4、如圖，在△ABC中,AD_LBC,CE_LAB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:

使△AEH之△CEB。

5、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處，BE與AD相交于點(diǎn)。，寫(xiě)出一組相等的線(xiàn)段

（不包括AB=CD和AD=BC）。

6、如圖，ZE=ZF=90°,/B=NC,AE=AF。給出下列結(jié)論：①/1=/2；②BE=CF；（3）AACN^AABM；④CD

=DN。其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）。

二、選擇題：

1、如圖，AD1AB,EA±AC,AE=AD,AB=AC,則下列結(jié)論中正確的是（）

A、AADF^AAEGB、AABE^AACD

C、ABMF^ACNGD、AADC^AABE

填空第5題圖選擇第1題圖

2、如圖，AE=AF,AB=AC,EC與BF交于點(diǎn)0,ZA=60°,ZB=25°,則/EOB的度數(shù)為（）

A,600B、70°C、75°D、85°

3、如果兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角（）

A、相等B、不相等C、互余D、互補(bǔ)或相等

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B

E

A.

選擇第2題圖選擇第4題圖

4、如圖，在△ABC中，AD是NA的外角平分線(xiàn)，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB=/〃，PC=",AB=C,AC

=/?,貝iJ(〃z+〃)與S+c)的大小關(guān)系是()

A、m+n>b+cB、m+n<b+c

C、m+n=b+cD、無(wú)法確定

三、解答題：

1、如圖，N1=N2,N3=N4,EC=AD求證：AABE和ABDC是等腰三角形。

解答題笫2題圖

2、如圖，AB=AE,ZABC=ZAED,BC=ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)。

(1)求證：AF1CD；

(2)在你連結(jié)BE后，還能得出什么新結(jié)論？請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)。

3、(1)已知，在aABC和4DEF中，AB=DE,BC=EF,NBAC=/EDF=100°,求證：Z\ABC^^DEF；

(2)上問(wèn)中，若將條件改為AB=DE,,BC=EF,ZBAC=ZEDF=70°,結(jié)論是否還成立，為什么？

4、如圖，已知NMON的邊0M上有兩點(diǎn)A、B,邊ON上有兩點(diǎn)C、D,且AB=CD,P為NMON的平分線(xiàn)上

一點(diǎn)。問(wèn)：

(1)Z\ABP與4PCD是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由。

(2)4ABP與4PCD的面積是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由。

解答題第5題圖

5、如圖，已知CEJ_AB,DF_LAB,點(diǎn)E、F分別為垂足，且AC〃BD。

(1)根據(jù)所給條件，指出AACE和4BDF具有什么關(guān)系？請(qǐng)你對(duì)結(jié)論予以證明。

(2)若4ACE和4BDF不全等，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，使得兩個(gè)三角形全等，并給予證明。

參考答案

一、填空題:

1、32；2、3；3、15；4、AH=BC或EA=EC或EH=EB等;

5、DC=DE或BC=BE或OA=OE等；6,①②③

BBDA

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三、解答題：

1、略；、

2、（1）略；（2）AF_LBE,AF平分BE等；

3、（1）略；（2）不成立，舉一反例即能說(shuō)明；

4、（1）不一定全等，因4ABP與4PCD中，只有AB=CD,而其它角和邊都有可能不相等，故兩三角形不一定

全等。（2）面積相等，因?yàn)?P為NMON平分線(xiàn)上一點(diǎn)，故P到邊AB、CD上的距離相等，即4ABP中AB邊上的

高與4PCD中CD邊上的高相等，又根據(jù)AB=CD（即底邊也相等）從而4ABP與4PCD的面積相等。

5、（1）4ACE和4BDF的對(duì)應(yīng)角相等；（2）略

4.直角三角形、勾股定理、面積

知識(shí)考點(diǎn)：

了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關(guān)系，掌握用勾股定理解某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。它的有

關(guān)性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線(xiàn)段計(jì)算、證明線(xiàn)段倍分關(guān)系、證明線(xiàn)段平方關(guān)系及與面積有關(guān)的問(wèn)題等方面。

精典例題：

【例1】如圖，在四邊形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,則AB=?

分析：通過(guò)作輔助線(xiàn)，將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決，其關(guān)鍵是對(duì)內(nèi)分割還是向外補(bǔ)形。

答案：-V3

3

A

【例2】如圖，P為△ABC邊BC上一點(diǎn)，PC=2PB,已知NABCU45。，ZAPC=60°,求/ACB的度數(shù)。

分析：本題不能簡(jiǎn)單地由角的關(guān)系推出/ACB的度數(shù)，而應(yīng)綜合運(yùn)用條件PC-2PB及/APC=60。來(lái)構(gòu)造出含

30。角的直角三角形。這是解本題的關(guān)鍵。

答案：NACB=75。（提示：過(guò)C作CCUAP于Q,連結(jié)BQ,則AQ=BQ=CQ）

探索與創(chuàng)新：

【問(wèn)題一】如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且NQPN=30。，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)

汽車(chē)行駛時(shí)，周?chē)?00米以?xún)?nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么汽車(chē)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲

的影響？如果受影響，已知汽車(chē)的速度為18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？

分析：從學(xué)校（A點(diǎn)）距離公路（MN）的最近距離（AD=80米）入手，在距A點(diǎn)方圓100米的范圍內(nèi)，利用

圖形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解決它。

略解：作AD1MN于D,在RtAADP中，易知AD=80。所以這所學(xué)校會(huì)受到噪聲的影響。以A為圓心，100

米為半徑作圓交MN于,E、F,連結(jié)AE、AF,則AE=AF=100,根據(jù)勾股定理和垂徑定理知：ED=FD=60,EF=120,

從而學(xué)校受噪聲影響的時(shí)間為：

120

=—（小時(shí)）=24（秒）

18000150

評(píng)注：本題是一道存在性探索題，通過(guò)給定的條件，判斷所研究的對(duì)象是否存在。

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問(wèn)題一圖問(wèn)題二圖

【問(wèn)題二】臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)鷶?shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞

力.如圖12,據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，

每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30。方向往C移動(dòng)，

且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變。若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則稱(chēng)為受臺(tái)風(fēng)影響。

(1)該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由。

(2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？

(3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？

解：(1)如圖1,由點(diǎn)A作ADLBC,垂足為D。

VAB=220,ZB=30°AAD=110(千米)。

由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響。故該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響。

(2)由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響。則AE=AF=160。當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心

從E處移到F處時(shí)，該城市都會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響。由勾股定理得：

2222(千米)。

DE=Y1AE-AD=V160-110=V270X50=30V15o.,.EF=6oV15

???該臺(tái)風(fēng)中心以15千米/時(shí)的速度移動(dòng)。.?.這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為空叵=4后(小時(shí))。

15

(3)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí)，A市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12-19=6.5(級(jí))。

20

評(píng)注：本題是一道幾何應(yīng)用題，解題時(shí)要善于把實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形，并領(lǐng)會(huì)圖形中的幾何元素代表的意

義，由題意可分析出，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，若過(guò)A作ADLBC于D,設(shè)E,F分

別表示A市受臺(tái)風(fēng)影響的最初，最后時(shí)臺(tái)風(fēng)中心的位置，則AE=AF=160；當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí)，A市受臺(tái)風(fēng)影

響的風(fēng)力最大。

跟蹤訓(xùn)練：

一、填空題：

1、如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是6、8、X,則x的取值范圍是。

2、如圖，D為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，已知AB=13,AD=12,,BD=5,AC=BC,則BC=。

D

A

第2題圖第3題圖第5題圖

3、如圖，四邊形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1,且/B=90。，則/DAB=

4、等腰4ABC中，一腰上的高為3cm,這條高與底邊的夾角為30。，則50如

5,如圖，AABC中，ZBAC=90°,ZB=2ZC,D點(diǎn)在BC上，AD平分NBAC,若AB=1,則BD的長(zhǎng)為.

6、已知RtZ^ABC中，ZC=90°,AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為2,且AC+BC=6,則S.BC

7、如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,腰長(zhǎng)為8cm,AC、BD相交于。點(diǎn)，且NAOD=60。，設(shè)E、F分別為CO、

AB的中點(diǎn)，則EF=。

8、BQlADo已知PE=1,PQ

=3,則AD=o

9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正

方形A、B、C、D的面積的和是o

二、選擇題：

1、如圖，已知^ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PR_LAB于R,PS_LAC于S,則三個(gè)結(jié)論：①AS=AR；②QP〃AR；③

△BRP也ZXQSP中（)

A、全部正確B、僅①和②正確C、僅①正確D、僅①和③正確

2、如果一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)是另一條邊的長(zhǎng)的2倍，并且有一個(gè)角是30。，那么這個(gè)三角形的形狀是（）

A、直角三角形B、鈍角三角形C、銳角三角形D、不能確定

3、在四邊形ABCD中,AD_LCD,AB=13,BC=12,CD=4,AD=3,則NACB的度數(shù)是（）

A、大于90。B、小于9于C、等于90°D、不能確定

第1題圖第4題圖

如圖，已知AABC中，ZB=90°,AB=3,BC=73,OA=OC=屈，則NOAB的度數(shù)為（）

A、10°B、15°C、20°D、25°

題:

第9頁(yè)共88頁(yè)

1、閱讀下面的解題過(guò)程：已知。、b、C為AABC的三邊，且滿(mǎn)足/。2一。2。2=。4

-b\試判斷AABC的形狀。

W：-：a2c2-b2c2=a4-b4……①

c2(a2-h2)=(a2+b2)(a2-h2)......②

/.a2+h2=c2....(3)

...△ABC是直角三角形。

問(wèn)：(1)上述解題過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào);

(2)錯(cuò)誤的原因是;

(3)本題的正確結(jié)論是。

2、己知^ABC中，/BAC=75°,ZC=60°,BC=3+行，求AB、AC的長(zhǎng)。

3、如圖，Z^ABC中，AD是高，CE是中線(xiàn)，DC=BE,DG_LCE于G。

(1)求證：G是CE的中點(diǎn)；

(2)ZB=2ZBCE,

BDC

第3題圖第4題圖

4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，NACB=90。，BC=60米，NA=36。。

(1)若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出入口E到C點(diǎn)的最短路線(xiàn)，并求最短路線(xiàn)CE

的長(zhǎng)(保留整數(shù))；

(2)若線(xiàn)段CD是一條水渠，并且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠造價(jià)為50元/米，水渠路線(xiàn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使

造價(jià)最低？請(qǐng)你畫(huà)出水渠路線(xiàn)，并求出最低造價(jià)。

參考數(shù)據(jù)：sin36°=0.5878,sin540=0.8090

5、已知^ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是方程一一(2左+3)》+/+3女+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC=5。

(1)%為何值時(shí)，^ABC是以BC為斜邊的直角三角形；

(2)%為何值時(shí)，AABC是等腰三角形，求出此時(shí)其中一個(gè)三角形的面積。

參考答案

一、填空題：

1、10或2/；2、16.9；3、135°；4、3-73cm2；5、73-1：6、5；7、4

8、7；9、49

二、選擇題：BDCB

三、解答題：

1、(1)③；(2)略；(3)直角三角形或等腰三角形

提示：過(guò)A作ADJ_BC于D,則AB=3&,AC=273

第10頁(yè)共88頁(yè)

3、提示：連結(jié)ED

4、(1)51米；(2)若要水渠造價(jià)最低，則水渠應(yīng)與AB垂直，造價(jià)2427元。

5、(1)2；(2)%=4或3,當(dāng)％=4時(shí)，面積為12。

5.角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)

知識(shí)考點(diǎn)：

了解角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)和定理，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。

精典例題：

【例題】如圖,已知在4ABC中，AB=AC,ZB=30°,AB的垂直平分線(xiàn)EF交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,求證:

CF=2BFo

分析一：要證明CF=2BF,由于BF與CF沒(méi)有直接聯(lián)系，聯(lián)想題設(shè)中EF是中垂線(xiàn)，根據(jù)其性質(zhì)可連結(jié)AF,則

BF=AF。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證CF=2AF,又NB=/C=30。，這就等價(jià)于要證/CAF=90。，則根據(jù)含30。角的直角三角形的

性質(zhì)可得CF=2AF=2BF。

分析二：要證明CF=2BF,聯(lián)想NB=30。，EF是AB的中垂線(xiàn)，可過(guò)點(diǎn)A作AG〃EF交FC于G后，得到含30。

角的RtZ\ABG,且EF是RtZ\ABG的中位線(xiàn),因此BG=2BF=2AG,再設(shè)法證明AG=GC,即有BF=FG=GC。

例題圖1

分析三：由等腰三角形聯(lián)想到“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，作ADXBC于D,則BD=CD,考慮到NB=30。，不妨設(shè)

EF=1,再用勾股定理計(jì)算便可得證。

以上三種分析的證明略。

E

例題圖3

探索與創(chuàng)新：

【問(wèn)題】請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題：

三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)分對(duì)邊所得的兩條線(xiàn)段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。如圖,

△ABC中，AD是角平分線(xiàn)。求證：—=—.

DCAC

分析：要證殷=絲，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似，現(xiàn)在B、D、

DCAC

C在同一條直線(xiàn)上，4ABD與4ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。我們注意到在比例式型=空中，AC

DCAC

恰好是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過(guò)C作CE〃AD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,從而得到BD、CD、AB的第四比

例項(xiàng)AE,這樣，證明皎="就可以轉(zhuǎn)化為證AE=AC。

DCAC

證明：過(guò)C作CE〃AD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E

第11頁(yè)共88頁(yè)

N1=N2

CE〃AD=(N2=N3>nNE=N3=>AE=AC

N1=NE

?BDAB

CE〃AD=——=——

DCAE

.BDAB

"~DC~~AC

（1）上述證明過(guò)程中，用了哪些定理（寫(xiě)出兩個(gè)定理即可）;

（2）在上述分析、證明過(guò)程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個(gè)填入后面的括號(hào)內(nèi)（）

①數(shù)形結(jié)合思想②轉(zhuǎn)化思想③分類(lèi)討論思想

答案：②轉(zhuǎn)化思想

（3）用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理解答問(wèn)題：已知AD是aABC中/BAC的角平分線(xiàn)，AB=5cm,AC=4cm,

BC=7cm,求BD的長(zhǎng)。

答案：一cm

9

評(píng)注：本題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀理解能力。

跟蹤訓(xùn)練：

一、填空題：

1、如圖，ZA=52°,。是AB、AC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，那么NOCB=。

2、如圖，已知AB=AC,ZA=44°,AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D,則NDBC=

第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖

3、如圖，在4ABC中，/C=90°,ZB=15°,AB的中垂線(xiàn)DE交BC于D點(diǎn)，E為垂足，若BD=8,則AC=。

4、如圖，在^ABC中，AB=AC,DE是AB的垂直平分線(xiàn)，4BCE的周長(zhǎng)為24,BC=10,貝UAB=。

5、如圖，EG、FG分別是/MEF和/NFE的角平分線(xiàn)，交點(diǎn)是G,BP、CP分別是NMBC和/NCB的角平分線(xiàn)，交

點(diǎn)是P,F、C在AN上，B、E在AM上，若NG=68。，那么NP=。

選擇第2題圖

二、選擇題：

1、如圖，Z^ABC的角平分線(xiàn)CD、BE相交于點(diǎn)F,且NA=60。，則NBFC等于（）

A、800B、1000C、1200D、140°

&如圖,ZXABC中，/1=/2,N3=/4,若/D=36。，則NC的度數(shù)為（）

■A、820B、72°C、62°D、52°

第12頁(yè)共88頁(yè)

3、某三角形有一個(gè)外角平分線(xiàn)平行于三角形的一邊,而這三角形另一邊上的中線(xiàn)分周長(zhǎng)為2：3兩部分，若

角形的周長(zhǎng)為30cm,則此三角形三邊長(zhǎng)分別是（）

A、8cm>8cm>14cm12cm>12cm>6cm

C、8cm、8cm^14cm或12cm、12cm、6cmD、以上答案都不對(duì)

4、如圖，RtAABC中，ZC=90°,CD是AB邊上的高，CE是中線(xiàn)，CF是/ACB的平分

線(xiàn)，圖中相等的銳角為一組，則共有（）

A、0組B、2組

C、3組D、4組

5、如果三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在第三邊上，那么這個(gè)三角形是（）

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定

三、解答題：

1、如圖，RtZ\ABC的NA的平分線(xiàn)與過(guò)斜邊中點(diǎn)M的垂線(xiàn)交于點(diǎn)D,求證：MA=MD。

2,在aABC中，ABWAC,D、E在BC上，且DE=EC,過(guò)D作DF〃BA交AE于點(diǎn)F,DF=AC,求證：AE平分

ZBACo

3、如圖，在^ABC中，ZB=22.5°,ZC=60°,AB的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,BD=672,AEJ_BC于點(diǎn)E,

求EC的長(zhǎng)。

4、如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=BC,D為BC的中點(diǎn)，CE1AD,垂足為E,BF〃AC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)F,求證AB垂直平分DF。

參考答案

一、填空題：

1、38°；2、24°；3、4；4、14；5、68°

二、選擇題：CBCDB

三、解答題：

1、過(guò)A作ANJ_BC于N,證/D=/DAM；

2、延長(zhǎng)FE到G,使EG=EF,連結(jié)CG,證4DEF絲ZkCEG

3、連結(jié)AD,DF為AB的垂直平分線(xiàn)，AD=BD=6&,/B=ZDAB=22.5。

第13頁(yè)共88頁(yè)

5/2^I—

ZADE=45°,AE=-----AD=------x6j2=6

22

又,.?/C=60°

AE6

EC='

V3

4、證4ACD之Z\CBF

6.平行四邊形

知識(shí)考點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)

精典例題：

【例1】已知如圖：在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,點(diǎn)E、F分別在BC和AD邊上，AF=CE,EF和對(duì)角

線(xiàn)BD相交于點(diǎn)0,求證：點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)。

分析：構(gòu)造全等三角形或利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明B0=D0

略證：連結(jié)BF、DE

在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC

四邊形ABCD是平行四邊形

；.AD〃BC,AD=BC

又：AF=CE

；.FD〃BE,FD=BE

四邊形BEDF是平行四邊形

.-.B0=D0,即點(diǎn)0是BD的中點(diǎn)。

【例2】己知如圖：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH

是平行四邊形。

分析：欲證四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)條件需從邊上著手分析，由E、F、G、

H分別是各邊上的中點(diǎn)，可聯(lián)想到三角形的中位線(xiàn)定理，連結(jié)AC后，EF和GH的關(guān)系就

明確了，此題也便得證。（證明略）

變式1:順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

變式2：順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。

例2圖

變式3:順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。

變式4：順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

變式5:若AC=BD,AC_LBD,則四邊形EFGH是正方形。

變式6:在四邊形ABCD中，若AB=CD,E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，求證：EFGH是菱形。

孌式6圖孌式7圖

變式7:如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點(diǎn)，AADE和4BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別

是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形PQMN是菱形。

法與創(chuàng)新：

訕題】已知如圖，在AABC中，NC=90。，點(diǎn)M在BC上，且BM=AC,點(diǎn)N在AC上，且AN=MC,AM和

第14頁(yè)共88頁(yè)

BN相交于P,求/BPM的度數(shù)。

分析：條件給出的是線(xiàn)段的等量關(guān)系，求的卻是角的度數(shù)，為此，我們由條件中的直角及相等的線(xiàn)段，可魂

到構(gòu)造等腰直角三角形，從而應(yīng)該平移AN。

略證：過(guò)M作ME〃AN,且ME=AN,連結(jié)NE、BE,則四邊形AMEN是平行四邊形，得NE=AM,ME〃AN,

AC1BC

AME1BC

在△BEM和aAMC中，

ME=CM,ZEMB=ZMCA=90°,BM=AC

.二△BEM絲ZXAMC

；.BE=AM=NE,Z1=Z2,Z3=Z4,Zl+Z3=90°

；./2+/4=90°,且BE=NE

.?.△BEN是等腰直角三角形

.?./BNE=45°

探索與創(chuàng)新圖

；AM〃NE

.?./BPM=NBNE=45°

跟蹤訓(xùn)練：

一