2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系 學(xué)案

8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)任務(wù)借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)觀察你所在的教室．問題：(1)教室內(nèi)同一列的燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？(2)教室內(nèi)某燈管所在的直線和地面是什么位置關(guān)系？(3)教室內(nèi)某燈管所在的直線和黑板左右兩側(cè)所在的直線是什么位置關(guān)系？(4)教室內(nèi)黑板面和教室的后墻面是什么位置關(guān)系？知識點(diǎn)1空間中直線與直線的位置關(guān)系1．異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．2．空間兩條直線的三種位置關(guān)系共面直線1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？[提示]不一定．可能平行、相交或異面．2．如何畫異面直線？[提示]常常需要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性，如圖①②③．知識點(diǎn)2空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無數(shù)個公共點(diǎn)一個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示3．直線l在平面α外，l就與α無公共點(diǎn)嗎？[提示]直線l在平面α外包含兩種情況：l與α平行，l與α相交．若l與α相交，則有唯一的公共點(diǎn)．所以直線l在平面α外，l與α不一定沒有公共點(diǎn)．知識點(diǎn)3空間中兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個公共點(diǎn)(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示4．已知兩個平面有三個公共點(diǎn)，這兩個平面的位置關(guān)系如何？[提示]當(dāng)三個公共點(diǎn)共線時，兩個平面相交或重合；當(dāng)三個公共點(diǎn)不共線時，兩個平面重合．1．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條()A．相交 B．異面C．相交或異面 D．平行[答案]C2．若a是平面α外的一條直線，則直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行、相交或異面D[若a∥α，則a與α內(nèi)的直線平行或異面；若a與α相交，則a與α內(nèi)的直線相交或異面．]3．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有______組互相平行的面，與其中一個側(cè)面相交的面共有______個．46[六棱柱的兩個底面互相平行，每個側(cè)面與其直接相對的側(cè)面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共由8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側(cè)面平行的面有1個，其余6個面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系．]類型1異面直線的判定【例1】(源自湘教版教材)如圖，已知a?α，A?α，B∈α，B?a．求證：直線AB與a是異面直線．[證明]假設(shè)直線AB與a在同一個平面內(nèi)，那么這個平面一定經(jīng)過點(diǎn)B和直線a．因?yàn)锽?a，經(jīng)過點(diǎn)B與直線a只有一個平面α．所以直線AB與a應(yīng)在平面α內(nèi)．所以A∈α，這與已知A?α矛盾．所以直線AB與a是異面直線．判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)．(2)重要結(jié)論：與平面相交的直線與該平面內(nèi)不過該交點(diǎn)的直線是異面直線．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面(2)如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直線中，找出與棱AA′所在直線異面的所有直線．(1)D[如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′．故a和c可以平行、相交或異面．](2)[解]先把長方體中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC．觀察棱BC所在直線，因?yàn)锳A′?平面AB′，B∈平面AB′，B?AA′，C?平面AB′，所以直線AA′與BC是異面直線．同理，直線B′C′，D′C′，DC都與直線AA′異面．類型2空間中直線與平面的位置關(guān)系【例2】(1)若直線上有一點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是()A．直線上所有的點(diǎn)都在平面外B．直線上有無數(shù)多個點(diǎn)都在平面外C．直線上有無數(shù)多個點(diǎn)都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個點(diǎn)在平面內(nèi)(2)下列說法中，正確的是________．①如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；②如果一條直線與一個平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線相交；③過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行．(1)B(2)②[(1)直線上有一點(diǎn)在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點(diǎn)在平面外．(2)如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以①錯；如果一條直線與一個平面相交，那么在這個平面內(nèi)作過交點(diǎn)的直線都與這條直線相交，有無數(shù)條，所以②正確；對于③顯然有無數(shù)條，所以錯誤．]在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(多選)下列命題中的真命題是()A．若直線a不在平面α內(nèi)，則a∥αB．若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥αC．若l∥α，則直線l與平面α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)D．平行于同一平面的兩直線可以相交CD[A中，直線a也可能與平面α相交，故A是假命題；B中，直線l與平面α相交時，l上也有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，故B是假命題；C中，l∥α?xí)r，l與α沒有公共點(diǎn)，所以l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)，故C是真命題；D中，長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，且A1C1與B1D1相交，故D是真命題．]類型3平面與平面的位置關(guān)系【例3】(多選)以下四個命題中，正確的有()A．在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行B．在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行C．平面α內(nèi)△ABC的三個頂點(diǎn)在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行D．平面α內(nèi)有無數(shù)個點(diǎn)到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交CD[當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行另一個平面，所以AB錯誤．]判定兩個平面相交，只需找到兩個平面的一個公共點(diǎn)，就可根據(jù)基本事實(shí)3知，兩個不重合的平面是相交的．判定兩個平面平行，可根據(jù)定義判定兩個平面沒有公共點(diǎn)，也可以排除兩個平面相交和重合，從而判定兩平面平行．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定(2)長方體各面所在平面將空間分成______部分．(1)C(2)27[(1)逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．(2)分上、中、下三個部分，每個部分分空間為9個部分，共27部分．]1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面D[由于空間兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，則不平行的兩條直線的位置關(guān)系是相交或異面．]2．在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是()A．SBB．SCC．BCD．ABC[由題圖知SB，SC，AB，AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．]3．若點(diǎn)A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是________．相交[∵點(diǎn)A∈α，B?α，C?α，∴平面ABC與平面α有公共點(diǎn)，且不重合，∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交．]4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AA1異面的棱有________條，正方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面有________個．43[與AA1異面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4條；與AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3個．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．空間中兩直線的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷它們的位置關(guān)系？[提示]空間兩條直線有相交、平行、異面三種位置關(guān)系．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．2．空間中直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷？[提示]在直線和平面的位置關(guān)系中，直線和平面平行，直線和平面相交，統(tǒng)稱直線在平面外，可以用符號a?α來表示a∥α、a∩α＝A這兩種情形．3．空間中兩平面的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷？[提示]兩個平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無公共點(diǎn)來區(qū)分．如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么由基本事實(shí)3可知：這兩個平面相交于過這個點(diǎn)的一條直線；如果兩個平面沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個平面相互平行．課時分層作業(yè)(二十八)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1．若空間兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面D[若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線．]2．若平面α與β的公共點(diǎn)多于兩個，則()A．α，β可能只有三個公共點(diǎn)B．α，β可能有無數(shù)個公共點(diǎn)，但這無數(shù)個公共點(diǎn)不在一條直線上C．α，β一定有無數(shù)個公共點(diǎn)D．以上均不正確C[若平面α與β的公共點(diǎn)多于兩個，則平面α與β相交或重合，因此α與β一定有無數(shù)個公共點(diǎn)．]3．(多選)以下四個命題中正確的是()A．兩個平面最多可以把空間分成四部分B．若直線a?平面α，直線b?平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價C．若α∩β＝l，直線a?平面α，直線b?平面β，且a∩b＝P，則P∈lD．若n條直線中任意兩條共面，則它們共面AC[A正確；B中當(dāng)α與β相交時，a與b不一定相交，故B不正確；C正確；D的反例：正方體的四條側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共面．故選AC．]4．如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，則()A．GH＝2EF，且直線EF，GH是相交直線B．GH＝2EF，且直線EF，GH是異面直線C．GH≠2EF，且直線EF，GH是相交直線D．GH≠2EF，且直線EF，GH是異面直線C[設(shè)正方體的棱長為2，則EF＝12A1B＝2，GH＝GC2+CH2＝6，所以GH≠2EF．設(shè)M，N分別為CC1和A1D1的中點(diǎn)，則六邊形EFGMHN是過E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)的平面截正方體的截面(圖略)，所以EF與GH是共面直線．因?yàn)镋F與GH5．(多選)如圖，點(diǎn)G，H，M，N分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是()ABCDBD[A中HG∥MN，C中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，BD正確．]二、填空題6．若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離(非零)相等，則直線l與平面α的關(guān)系是________．平行或相交[當(dāng)這兩點(diǎn)在α的同側(cè)時，l與α平行；當(dāng)這兩點(diǎn)在α的異側(cè)時，l與α相交．]7．在四棱錐P-ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對．8[以底邊所在直線為準(zhǔn)進(jìn)行考察，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平面圖形，4條邊在同一平面內(nèi)，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2對異面直線，所以共有4×2＝8(對)異面直線．]8．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是________；(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是________．(1)平行(2)相交[(1)AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點(diǎn)，所以平行；(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點(diǎn)B，故相交．]三、解答題9．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？[解]還原的正方體如圖所示：根據(jù)異面直線的判定方法知共有三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH．10．兩條相交直線a，b都在平面α內(nèi)且都不在平面β內(nèi)，且平面α與β相交，則a和b()A．一定與平面β都相交B．至少一條與平面β相交C．至多一條與平面β相交D．可能與平面β都不相交B[設(shè)α∩β＝c，若直線a，b都不與β相交，則a∥c，b∥c，∴a∥b，這與直線a，b相交矛盾，故直線a，b中至少一條與β相交．]11．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之間的兩個點(diǎn)，則()A．過P，Q的平面一定與α，β都相交B．過P，Q有且僅有一個平面與α，β都平行C．過P，Q的平面不一定與α，β都平行D．過P，Q可作無數(shù)個平面與α，β都平行C[當(dāng)過P，Q的直線與α，β相交時，過P，Q的平面一定與平面α，β都相交，排除B，D；當(dāng)過P，Q的直線與α，β都平行時，可以作唯一的一個平面與α，β都平行，排除A，故選C．]12．已知A，B，C，D是空間內(nèi)四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC與BD不相交，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙的充分不必要條件．]13．過平面外兩點(diǎn)，可作________個平