“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”教學(xué)實(shí)錄

“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”教學(xué)實(shí)錄?教材分析三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析，因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了.本章的知識既是解決實(shí)際生產(chǎn)問題的工具，又是學(xué)習(xí)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)模型之一，是研究度量幾何的基礎(chǔ)，又是研究自然界周期變化規(guī)律最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.?教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1.理解并掌握用正弦線作正弦函數(shù)圖象的方法；2.理解并熟練掌握用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)簡圖的方法.過程與方法：通過簡諧運(yùn)動實(shí)驗(yàn)，感知正弦、余弦曲線的形狀；學(xué)生經(jīng)歷利用正弦線作正弦函數(shù)圖象的過程，理解并掌握用正弦線作正弦函數(shù)圖象的方法；通過觀察發(fā)現(xiàn)確定函數(shù)圖象形狀的關(guān)鍵點(diǎn).情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)重點(diǎn)用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象以及五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.教學(xué)難點(diǎn)用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象.教學(xué)方法：講授、啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)實(shí)錄：一、課題導(dǎo)入師：同學(xué)們，通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，當(dāng)角的概念推廣之后，在弧度制下，實(shí)數(shù)集與角的集合之間就形成了一一對應(yīng)的關(guān)系，而當(dāng)角確定之后，正弦值隨之確定，余弦值也隨之確定，這樣，任意給定的一個(gè)實(shí)數(shù)X,有唯一確定的值sinx（或cosx）與之對應(yīng)。由這個(gè)法則所確定的函數(shù)y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）.師：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域是多少？生：定義域?yàn)镽.師：在遇到一類新的函數(shù)時(shí)，我們通常會先作出它的圖象，然后通過圖像來研究它的性質(zhì).通過圖象可以研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？生：值域、單調(diào)性、奇偶性、最大值、最小值等.師：這節(jié)課我們首先來研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象.（教師板書，引出課題：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象）師：在研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象之前，請同學(xué)們觀看一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，多媒體展示“簡諧運(yùn)動的位移和時(shí)間關(guān)系”圖象.【設(shè)計(jì)意圖】多媒體展示“簡諧運(yùn)動的位移和時(shí)間關(guān)系”圖象，讓學(xué)生經(jīng)歷從“生活世界”到“科學(xué)世界”，感受三角函數(shù)變化的特定規(guī)律，并從直觀上認(rèn)識正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象.）生：專心觀察紙板上形成的曲線形狀.師：通過剛才的物理實(shí)驗(yàn)，我們得到了一個(gè)以前未接觸過的圖象，這個(gè)圖象與我們今天研究的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象有什么關(guān)系呢？我們對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象已經(jīng)有了一個(gè)直觀的認(rèn)識，但這是從物理實(shí)驗(yàn)中得到的，在數(shù)學(xué)中，我們?nèi)绾卫盟鶎W(xué)過的數(shù)學(xué)知識來作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象呢？下面我們首先來研究正弦函數(shù)丫=5皿乂，XSymbolNC@[0，2SymbolpA@]的圖象.二、講授新課.利用單位圓中的正弦線作函數(shù)的圖象師：以前我們用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的時(shí)候，一般分哪幾個(gè)步驟？生：列表、描點(diǎn)、連線.師：在列表的時(shí)候，我們一般在定義域內(nèi)任意取一些自變量的值，然后計(jì)算出相對應(yīng)的函數(shù)值.但是，對于正弦函數(shù)來說，它具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，根據(jù)誘導(dǎo)公式——終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等，我們總可以把任意角的三角函數(shù)化成［0，2SymbolpA@］內(nèi)的三角函數(shù)來研究，因此，我們先來研究y=sinx在［0,2SymbolpA@］的圖象.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生清楚為什么先研究y=sinx在［0,2SymbolpA@］的圖象，而不像研究其它函數(shù)的圖象那樣，直接在整個(gè)定義域上研究）師生共同討論總結(jié)描點(diǎn)法的弊端，當(dāng)x取值時(shí)，y的值大都是近似值，加之作圖上的誤差,不易描出對應(yīng)點(diǎn)的精確位置.師：（進(jìn)一步提出問題）如何作出比較精確的正弦函數(shù)的圖象？教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：要作出比較精確的正弦函數(shù)的圖象,關(guān)鍵是要把“列表”中的點(diǎn)的縱坐標(biāo)精確的標(biāo)出來,注意到點(diǎn)的縱坐標(biāo)其實(shí)都是正弦值,因此,問題轉(zhuǎn)化成如何在坐標(biāo)系中表示正弦值。因?yàn)樵谇懊嬉呀?jīng)學(xué)習(xí)過三角函數(shù)線——三角函數(shù)線從“形”的角度刻畫了三角函數(shù)值的大小,這樣學(xué)生很自然的想到利用單位圓中的三角函數(shù)線來表示點(diǎn)的的縱坐標(biāo)——正弦值.師：引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)線的相關(guān)知識——如何做正弦線？生：建立坐標(biāo)系，以原點(diǎn)為圓心做單位圓，與角a終邊交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P做PM垂直于x軸于點(diǎn)M，則有向線段MP叫正弦線.師：多媒體演示利用正弦線作正弦函數(shù)y=sinx，xSymbolNC@［0,2SymbolpA@］的圖象,邊演示,邊講解,并不時(shí)的提問學(xué)生,與學(xué)生交流.師：在剛才的作圖過程中,我們同樣是利用了描點(diǎn)法,所不同的是,在描點(diǎn)的時(shí)候,我們利用了三角函數(shù)線,使得描出來的點(diǎn)比較精確.【設(shè)計(jì)意圖】對作圖過程進(jìn)行小結(jié),讓學(xué)生進(jìn)一步體會用正弦線描點(diǎn)的精確性）師：我們知道正弦函數(shù)的定義域是R，但是剛才得到的僅僅是［0，2n］上的圖象.提出問題：如何由y=sinx,xSymbolNC@［0，2SymbolpA@］的圖象得到y(tǒng)=sinx,xSymbolNC@R的圖象.2.由函數(shù)y=sinx,x￡［0,2n］的圖象得到函數(shù)y=sinx,x￡R的圖象教師結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究［2n,4n］上的圖象，讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)：［2n,4用上的圖象和［0，2n］上的圖象都是由相同的正弦線通過平移過去得到的，因此，［2n，4用上的圖象和［0，2n］上的圖象在形狀上是完全一樣的，只是位置不同，即要得到［2n，4用上的圖象只需把［0，2n］上的圖象像右平移2n個(gè)就能得到，其他區(qū)間上的圖象也可以用類似的方法得到.師生形成共識：把函數(shù)y=sinx,x￡［0,2n］的圖象沿乂軸左、右平移，每次平移2n個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=sinx,x￡R的圖象.師：多媒體演示由y=sinx,x￡［0,2用的圖象得到y(tǒng)=sinx,x￡R的圖象的過程.師：（小結(jié)）由y=sinx,x￡［0,2n］的圖象得到y(tǒng)=sinx,x￡R的圈象的過程中，我們實(shí)際上根據(jù)的是誘導(dǎo)公式一：sin（x+2kSymbolpA@）=sinx，kSymbolNC@Z.【設(shè)計(jì)意圖】先讓學(xué)生從直觀上感受［2n,4n］上的圖象，再用誘導(dǎo)公式——從理論的高度上解釋、認(rèn)識，學(xué)生較容易接受，如果一開始就利用誘導(dǎo)公式一來解釋由y=sinx,x￡［0,2用的圖象得到y(tǒng)=sinx,x￡R的圖象的過程，比較抽象，學(xué)生不易理解）師：以后要作正弦函數(shù)的圖象，關(guān)鍵先作出哪個(gè)區(qū)間上的圖象？生：先作［0,2n］的圖象，然后沿乂軸左、右平移，每次平移2n個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=sinx,x￡R的圖象..用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的簡圖師：在以后的學(xué)習(xí)中，我們將多次作出正弦函數(shù)的圖象，同學(xué)們想一想，如果每次作正弦函數(shù)的圖象都用這種方法的話，麻煩不麻煩？生：雖然精確，但很麻煩.師：（進(jìn)一步提出問題：）在精確度要求不太高時(shí)，如何作正弦函數(shù)的圖象呢？師：引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考:觀察我們用單位圓中的正弦線作出的函數(shù)y=sinx,xSymbolNC@[0，2SymbolpA@]的圖象，你發(fā)現(xiàn)有哪幾個(gè)點(diǎn)在確定圖象的形狀起著關(guān)鍵作用？生：觀察、思考、發(fā)現(xiàn)：在確定圖象的形狀起著關(guān)鍵作用五個(gè)點(diǎn)：（0，0）、（兀2，1）、（n，0）、（3n2，-1）、（2n，0）.師：（小結(jié)：講解“五點(diǎn)法”）在精確度要求不太高時(shí)，要作y=sinx，xSymbolNC@[0，2SymbolpA@]的圖象，只需先描出五個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)，再用光滑的曲線把它們連接起來.這種作圖的方法稱為“五點(diǎn)法”，這五個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)分別是：最高點(diǎn)，最低點(diǎn)以及與x軸的交點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值是有規(guī)律的一每隔n2取一個(gè)值..由正弦函數(shù)的圖象得到余弦函數(shù)的圖象師：（過渡）到這里，我們這節(jié)課的第一個(gè)問題——正弦函數(shù)的圖象就解決了，對于余弦函數(shù)的圖象，我們是否可以用類似的方法來研究？生：可以，但比較麻煩.師：要求學(xué)生課后用余弦線作余弦函數(shù)的圖象，并提出問題：以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，你能不能很快作出余弦函數(shù)的圖象？探究：你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)膱D象變換得到余弦函數(shù)的圖象嗎？（教師組織學(xué)生討論、交流引導(dǎo)學(xué)生利用誘導(dǎo)公式由正弦函數(shù)的圖象得出余弦函數(shù)的圖象，并動態(tài)演示過程.）師：我們學(xué)過的哪個(gè)誘導(dǎo)公式能夠?qū)崿F(xiàn)正弦和余弦的互化？是需要把正弦化余弦，還是余弦化正弦？生1：把余弦化正弦，y=cosx=sin（n2-x）；師：（繼續(xù)引導(dǎo)）還沒有其它的誘導(dǎo)公式能夠?qū)崿F(xiàn)余弦化正弦？生2：y=cosx=sin（n2+x）；師：（對學(xué)生的回答表示肯定與贊賞）非常好！要作y=cosx的圖象，只要作y=sin（n2-x）或y=sin（n2+x）的圖象。從函數(shù)圖象變換的角度考慮，如何由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=sin（n2-x）或y=sin（n2+x）的圖象，哪一個(gè)更簡單？生：由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=sin（n2-x）的圖象，需要經(jīng)過兩次圖象變換，而由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=sin（n2+x）的圖象只要經(jīng)過一次變換即向左平移n2個(gè)單位，所以后者更簡單.師：這樣，我們通過平移，就得到了余弦函數(shù)的圖象..用“五點(diǎn)法”作余弦函數(shù)的簡圖師：同樣，以后我們要作余弦函數(shù)的圖象，關(guān)鍵也是先作出［0，2SymbolpA@］上的圖象.師：（探究：）類似于正弦函數(shù)圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，你能找出余弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)嗎？生：通過觀察類比，確定余弦函數(shù)圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（0，1）、（兀2,0）、（n，-1）、（3n2，0）、（2n，1）.師：（總結(jié)方法）在精確度要求不太高時(shí)，先作出函數(shù)y=sinx和y=cosx的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們順次連結(jié)起來，就得到函數(shù)的簡圖。這種作圖法叫做“五點(diǎn)（畫圖）法”.師：（小結(jié)）到這里，我們這節(jié)課的兩個(gè)問題就都解決了.我們主要是學(xué)習(xí)了作三角函數(shù)圖象的兩種方法：利用三角函數(shù)線作正弦函數(shù)的圖象和利用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖.用三角函數(shù)線作函數(shù)的圖象雖然精確但比較麻煩，在今后的學(xué)習(xí)中，我們更多的是用“五點(diǎn)法”，它更實(shí)用.下面我們就一起用“五點(diǎn)法”來作與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)的圖象..典型例題講解示例1：（1）用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=1+sinx，x￡［0，2n］上的簡圖；（2）用“五黠法”作函數(shù)y=-cosx，x￡［0，2n］上的簡圖.（對于（1），由教師重點(diǎn)、詳細(xì)講解，并多媒體演示過程，對于（2），則由學(xué)生練習(xí)，獨(dú)立完成.）教師個(gè)別指導(dǎo)，學(xué)生列表，描點(diǎn)，教師點(diǎn)評，并及時(shí)糾正學(xué)生作圖過程中存在的問題.師：（進(jìn)一步提出思考，引導(dǎo)學(xué)生從圖象變換的角度了解圖象間的關(guān)系）你能否從函數(shù)圖象變換的角度出發(fā)，利用y=sinx,xSymbolNC@[0，2SymbolpA@]的圖象，得到y(tǒng)=1+sinx,xSymbolNC@[0，2SymbolpA@]的圖象？同樣的，如何利用y=cosx,xSymbolNC@[0，2SymbolpA@]的圖象，得到y(tǒng)=-cosx,xSymbolNC@[0，2SymbolpA@]的圖象？（教師多媒體演示，學(xué)生觀察圖象間的關(guān)系.在課堂教學(xué)中，教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，注重學(xué)生與教師相互交流、共同參與，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑、探究，讓學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程.）三、鞏固練習(xí)1、在同一坐標(biāo)系內(nèi)，用五點(diǎn)法分別畫出函數(shù)y=sinx,xSymbolNC@[0，2SymbolpA@]和y=cosx，xSymbolNC@[-n2，3n2]的簡